Zakres funkcji w zadaniach egzaminacyjnych. Rozwiązywanie typowych problemów Znajdź zbiór wartości funkcji 4 x 2
Wiele zadań prowadzi nas do poszukiwania zbioru wartości funkcji na określonym segmencie lub na całej dziedzinie definicji. Takie zadania obejmują różne obliczanie wyrażeń, rozwiązywanie nierówności.
W tym artykule zdefiniujemy zakres funkcji, rozważymy metody jej znajdowania i szczegółowo przeanalizujemy rozwiązanie przykładów od prostych do bardziej złożonych. Wszystkie materiały zostaną opatrzone ilustracjami graficznymi dla przejrzystości. Ten artykuł jest więc szczegółową odpowiedzią na pytanie, jak znaleźć zakres funkcji.
Definicja.
Zbiór wartości funkcji y = f(x) na przedziale X zwany zbiorem wszystkich wartości funkcji, które przyjmuje podczas iteracji po wszystkich .
Definicja.
Zakres funkcji y = f(x) nazywamy zbiorem wszystkich wartości funkcji, które przyjmuje podczas iteracji po wszystkich x z dziedziny definicji.
Zakres funkcji jest oznaczony jako E(f) .
Zakres funkcji i zbiór wartości funkcji to nie to samo. Pojęcia te zostaną uznane za równoważne, jeśli przedział X przy znajdowaniu zbioru wartości funkcji y = f(x) pokrywa się z dziedziną funkcji.
Nie należy również mylić zakresu funkcji ze zmienną x dla wyrażenia po prawej stronie równania y=f(x) . Obszar dopuszczalnych wartości zmiennej x dla wyrażenia f(x) to obszar definicji funkcji y=f(x) .
Na rysunku przedstawiono kilka przykładów.
Wykresy funkcji są pokazane za pomocą pogrubionych niebieskich linii, cienkie czerwone linie to asymptoty, czerwone kropki i linie na osi Oy pokazują zakres odpowiedniej funkcji.
Jak widać, zakres funkcji uzyskuje się przez rzutowanie wykresu funkcji na oś y. Może to być pojedyncza liczba (pierwszy przypadek), zbiór liczb (drugi przypadek), odcinek (trzeci przypadek), przedział (czwarty przypadek), otwarty promień (piąty przypadek), suma (szósty przypadek) itp. .
Więc co musisz zrobić, aby znaleźć zakres funkcji.
Zacznijmy od najprostszego przypadku: pokażemy, jak wyznaczyć zbiór wartości funkcji ciągłej y = f(x) na przedziale .
Wiadomo, że funkcja ciągła na odcinku osiąga na nim swoje maksimum i minimum. Zatem zestaw wartości pierwotnej funkcji na segmencie będzie segmentem 
. Dlatego nasze zadanie sprowadza się do znalezienia największej i najmniejszej wartości funkcji na przedziale .
Na przykład znajdźmy zakres funkcji arcus sinus.
Przykład.
Określ zakres funkcji y = arcsinx .
Rozwiązanie.
Dziedziną definicji arcus sinusa jest segment [-1; 1] . Znajdź największą i najmniejszą wartość funkcji w tym segmencie. 
Pochodna jest dodatnia dla wszystkich x z przedziału (-1; 1) , to znaczy funkcja arcus sinus rośnie w całej dziedzinie definicji. Dlatego przyjmuje najmniejszą wartość przy x = -1, a największą przy x = 1. 
Otrzymaliśmy zakres funkcji arcus sinus 
.
Przykład.
Znajdź zbiór wartości funkcji 
na segmencie.
Rozwiązanie.
Znajdź największą i najmniejszą wartość funkcji na danym odcinku.
Zdefiniujmy punkty ekstremalne należące do odcinka: 
Obliczamy wartości pierwotnej funkcji na końcach odcinka iw punktach 
:
Dlatego zbiorem wartości funkcji na segmencie jest segment 
.
Teraz pokażemy, jak znaleźć zbiór wartości funkcji ciągłej y = f(x) w przedziałach (a; b) , .
Najpierw wyznaczamy punkty ekstremalne, ekstrema funkcji, przedziały wzrostu i spadku funkcji na danym przedziale. Następnie obliczamy na końcach przedziału i (lub) granice w nieskończoności (czyli badamy zachowanie funkcji na granicach przedziału lub w nieskończoności). Ta informacja wystarczy, aby znaleźć zbiór wartości funkcji na takich przedziałach.
Przykład.
Określ zbiór wartości funkcji w przedziale (-2; 2) .
Rozwiązanie.
Znajdźmy punkty ekstremalne funkcji mieszczącej się w przedziale (-2; 2): 
Kropka x = 0 to punkt maksymalny, ponieważ pochodna zmienia znak z plusa na minus, przechodząc przez niego, a wykres funkcji zmienia się z rosnącego na malejący. 
jest odpowiednim maksimum funkcji.
Dowiedzmy się, jak zachowuje się funkcja, gdy x dąży do -2 po prawej stronie, a gdy x dąży do 2 po lewej stronie, to znaczy, że znajdujemy jednostronne granice: 
Co otrzymaliśmy: gdy argument zmienia się od -2 do zera, wartości funkcji rosną od minus nieskończoności do minus jednej czwartej (maksimum funkcji przy x = 0 ), gdy argument zmienia się od zera do 2, funkcja wartości maleją do minus nieskończoności. Zatem zbiór wartości funkcji w przedziale (-2; 2) wynosi .
Przykład.
Określ zbiór wartości funkcji stycznej y = tgx na przedziale .
Rozwiązanie.
Pochodna funkcji stycznej na przedziale jest dodatnia 
, co wskazuje na wzrost funkcji. Badamy zachowanie funkcji na granicach przedziału: 
Tak więc, gdy argument zmienia się z na, wartości funkcji rosną od minus nieskończoności do plus nieskończoności, czyli zbiór wartości stycznych w tym przedziale jest zbiorem wszystkich liczb rzeczywistych.
Przykład.
Znajdź zakres funkcji logarytmu naturalnego y = lnx .
Rozwiązanie.
Funkcja logarytmu naturalnego jest zdefiniowana dla dodatnich wartości argumentu 
. W tym przedziale pochodna jest dodatnia 
, oznacza to wzrost funkcji na nim. Znajdźmy jednostronną granicę funkcji, gdy argument dąży do zera z prawej strony, oraz granicę, gdy x dąży do plus nieskończoności: 
Widzimy, że gdy x zmienia się od zera do plus nieskończoności, wartości funkcji rosną od minus nieskończoności do plus nieskończoności. Dlatego zakres funkcji logarytmu naturalnego to cały zbiór liczb rzeczywistych.
Przykład.
Rozwiązanie.
Ta funkcja jest zdefiniowana dla wszystkich rzeczywistych wartości x. Wyznaczmy punkty ekstremalne oraz przedziały wzrostu i spadku funkcji. 
Dlatego funkcja maleje w , rośnie w , x = 0 to punkt maksymalny, 
odpowiednie maksimum funkcji.
Przyjrzyjmy się zachowaniu funkcji w nieskończoności: 
Zatem w nieskończoności wartości funkcji asymptotycznie zbliżają się do zera.
Dowiedzieliśmy się, że gdy argument zmienia się od minus nieskończoności do zera (punkt maksymalny), wartości funkcji rosną od zera do dziewięciu (aż do maksimum funkcji), a gdy x zmienia się od zera do plus nieskończoności, wartości funkcji zmniejszają się od dziewięciu do zera.
Spójrz na schematyczny rysunek.
Teraz wyraźnie widać, że zakres funkcji wynosi .
Znalezienie zbioru wartości funkcji y = f(x) na przedziałach wymaga podobnych badań. Nie będziemy teraz szczegółowo omawiać tych przypadków. Zobaczymy je w poniższych przykładach.
Niech dziedziną funkcji y = f(x) będzie suma kilku przedziałów. Po znalezieniu zakresu takiej funkcji określane są zestawy wartości w każdym przedziale i brana jest ich suma.
Przykład.
Znajdź zakres funkcji .
Rozwiązanie.
Mianownik naszej funkcji nie powinien dążyć do zera, czyli .
Najpierw znajdźmy zbiór wartości funkcji na otwartym promieniu.
Pochodna funkcji 
jest ujemna w tym przedziale, to znaczy, że funkcja w nim maleje. 
Stwierdziliśmy, że skoro argument dąży do minus nieskończoności, wartości funkcji asymptotycznie zbliżają się do jedności. Gdy x zmienia się z minus nieskończoności na dwa, wartości funkcji zmniejszają się od jednego do minus nieskończoności, czyli na rozpatrywanym przedziale funkcja przyjmuje zbiór wartości. Nie uwzględniamy jedności, ponieważ wartości funkcji do niej nie docierają, a jedynie asymptotycznie dążą do niej w minus nieskończoności.
Postępujemy podobnie dla otwartej belki.
W tym przedziale funkcja również maleje. 
Zbiór wartości funkcji na tym przedziale to zbiór .
Zatem pożądanym zakresem wartości funkcji jest suma zbiorów i .
Ilustracja graficzna.
Osobno powinniśmy rozwodzić się nad funkcjami okresowymi. Zakres funkcji okresowych pokrywa się ze zbiorem wartości na przedziale odpowiadającym okresowi tej funkcji.
Przykład.
Znajdź zakres funkcji sinus y = sinx .
Rozwiązanie.
Ta funkcja jest okresowa z okresem dwóch pi. Weźmy segment i zdefiniujmy na nim zestaw wartości. 
Segment zawiera dwa punkty ekstremalne i .
Obliczamy wartości funkcji w tych punktach i na granicach segmentu wybieramy najmniejszą i największą wartość: 
Stąd, 
.
Przykład.
Znajdź zakres funkcji 
.
Rozwiązanie.
Wiemy, że zakres arcus cosinus to odcinek od zera do pi, czyli 
lub w innym poście. Funkcjonować 
można uzyskać z arccosx, przesuwając i rozciągając wzdłuż osi x. Takie przekształcenia nie wpływają na zasięg, dlatego 
. Funkcjonować 
pochodzi z rozciągający się trzykrotnie wzdłuż osi Oy, czyli 
. A ostatnim etapem przekształceń jest przesunięcie o cztery jednostki w dół wzdłuż osi y. To prowadzi nas do podwójnej nierówności 
Zatem pożądany zakres wartości to 
.
Podajmy rozwiązanie innego przykładu, ale bez wyjaśnień (nie są one wymagane, ponieważ są całkowicie podobne).
Przykład.
Zdefiniuj zakres funkcji 
.
Rozwiązanie.
Piszemy pierwotną funkcję w formularzu 
. Zakres funkcji wykładniczej to przedział . To jest, . Następnie 
Stąd, 
.
Aby uzupełnić obraz, powinniśmy porozmawiać o znalezieniu zakresu funkcji, który nie jest ciągły w dziedzinie definicji. W tym przypadku dziedzina definicji jest podzielona przez punkty przerwania na przedziały, a na każdym z nich znajdujemy zbiory wartości. Łącząc otrzymane zestawy wartości, otrzymujemy zakres wartości funkcji pierwotnej. Zalecamy zapamiętanie 3 po lewej stronie, wartości funkcji mają tendencję do minus jeden, a gdy x dąży do 3 po prawej stronie, wartości funkcji mają tendencję do plus nieskończoności.
Zatem dziedzina definicji funkcji jest podzielona na trzy przedziały.
W przedziale mamy funkcję 
. Od tego czasu 
Zatem zbiór wartości pierwotnej funkcji na przedziale to [-6;2] .
Na półprzedziale mamy stałą funkcję y = -1 . Oznacza to, że zbiór wartości pierwotnej funkcji na przedziale składa się z jednego elementu.
Funkcja jest zdefiniowana dla wszystkich poprawnych wartości argumentu. Znajdź przedziały wzrostu i spadku funkcji.
Pochodna znika przy x=-1 i x=3 . Zaznaczamy te punkty na osi rzeczywistej i wyznaczamy znaki pochodnej na otrzymanych przedziałach. 
Funkcja maleje o 
, wzrasta o [-1; 3] , x=-1 punkt minimalny, x=3 punkt maksymalny.
Obliczamy odpowiednie funkcje minimum i maksimum: 
Sprawdźmy zachowanie funkcji w nieskończoności: 
Druga granica została obliczona z .
Zróbmy schematyczny rysunek.
Gdy argument zmienia się z minus nieskończoności na -1, wartości funkcji maleją od plus nieskończoności do -2e, gdy argument zmienia się z -1 na 3, wartości funkcji rosną od -2e do, gdy argument zmienia się z Od 3 do plus nieskończoności wartości funkcji maleją od zera, ale nie dochodzą do zera.
Funkcja jest modelem. Zdefiniujmy X jako zbiór wartości zmiennej niezależnej // niezależny oznacza dowolny.
Funkcja to reguła, według której dla każdej wartości zmiennej niezależnej ze zbioru X można znaleźć jedyną wartość zmiennej zależnej. // tj. na każde x przypada jedno y.
Z definicji wynika, że istnieją dwa pojęcia – zmienna niezależna (którą oznaczamy przez x i może przyjmować dowolną wartość) oraz zmienna zależna (którą oznaczamy przez y lub f(x) i jest obliczana z funkcji, gdy podstawiamy x).
NA PRZYKŁAD y=5+x
1. Niezależność to x, więc bierzemy dowolną wartość, niech x = 3
2. a teraz obliczamy y, więc y \u003d 5 + x \u003d 5 + 3 \u003d 8. (y jest zależne od x, bo jakim x podstawiamy, to otrzymujemy takie y)
Mówimy, że zmienna y jest funkcyjnie zależna od zmiennej x i oznaczamy to następująco: y = f (x).
NA PRZYKŁAD.
1.y=1/x. (nazywana hiperbolą)
2. y=x^2. (nazywana parabolą)
3.y=3x+7. (nazywana linią prostą)
4. y \u003d √ x. (nazywana gałęzią paraboli)
Zmienną niezależną (którą oznaczamy przez x) nazywamy argumentem funkcji.
Zakres funkcji
Zbiór wszystkich wartości, które przyjmuje argument funkcji, nazywany jest dziedziną funkcji i jest oznaczony przez D(f) lub D(y).
Rozważmy D(y) dla 1.,2.,3.,4.
1. D (y)= (∞; 0) i (0;+∞) //cały zbiór liczb rzeczywistych oprócz zera.
2. D (y) \u003d (∞; +∞) / / wszystkie liczby rzeczywiste
3. D (y) \u003d (∞; +∞) / / wszystkie liczby rzeczywiste
4. D (y) \u003d
Przykłady
Znajdź zbiór wartości funkcji:
Korzystanie z pochodnej
Znajdź dziedzinę definicji: D(f)=[-3;3], ponieważ $9-x^(2)\geq 0$
Znajdź pochodną: $f"(x)=-\frac(x)(\sqrt(9-x^(2)))$
f"(x) = 0, jeśli x = 0. f"(x) nie istnieje, jeśli $\sqrt(9-x^(2))=0$, tj. dla x = ±3. Otrzymujemy trzy punkty krytyczne: x 1 \u003d -3, x 2 \u003d 0, x 3 \u003d 3, z których dwa pokrywają się z końcami odcinka. Oblicz: f(–3) = 0, f(0) = 3, f(3) = 0. Zatem najmniejsza wartość f(x) to 0, największa to 3.
Odpowiedź: E(f) = .
NIE używając pochodnej
Znajdź największą i najmniejszą wartość funkcji:
Od $
f(x) = 1-\cos^(2)(x)+\cos(x)-\frac(1)(2) =
= 1-\frac(1)(2)+\frac(1)(4)-(\cos^(2)(x)-2\cdot\cos(x)\cdot\frac(1)(2) +(\frac(1)(2))^2) =
= \frac(3)(4)-(\cos(x)-\frac(1)(2))^(2) $ , wtedy:
$f(x)\leq \frac(3)(4)$ dla wszystkich x;
$f(x)\geq \frac(3)(4)-(\frac(3)(2))^(2)=-\frac(3)(2)$ dla wszystkich x(ponieważ $|\cos (x)|\równik 1$);
$f(\frac(\pi)(3))= \frac(3)(4)-(\cos(\frac(\pi)(3))-\frac(1)(2))^(2 )=\frac(3)(4)$;
$f(\pi)= \frac(3)(4)-(\cos(\pi)-\frac(1)(2))^(2)=-\frac(3)(2)$;
Odpowiedź: $\frac(3)(4)$ i $-\frac(3)(2)$
Jeśli rozwiążesz ten problem za pomocą pochodnych, będziesz musiał pokonać przeszkody związane z faktem, że funkcja f (x) jest zdefiniowana nie na odcinku, ale na całej linii rzeczywistej.
Korzystanie z metody granic/szacunków
Z definicji sinusa wynika, że $-1\leq\sin(x)\leq 1$. Następnie korzystamy z własności nierówności liczbowych.
$-4\leq - 4\sin(x)\leq 4$, (pomnóż wszystkie trzy części podwójnej nierówności przez -4);
$1\leq 5 - 4\sin(x)\leq 9$ (dodane do trzech części podwójnej nierówności 5);
Ponieważ dana funkcja jest ciągła w całej dziedzinie definicji, to zbiór jej wartości leży między jej najmniejszą a największą wartością w całej dziedzinie definicji, jeśli taka istnieje.
W tym przypadku zbiorem wartości funkcji $y = 5 - 4\sin(x)$ jest zbiór .
Z nierówności $$ \\ -1\leq\cos(7x)\leq 1 \\ -5\leq 5\cos(x)\leq 5 $$ otrzymujemy oszacowanie $$\\ -6\leq y\ leq 6 $ $
Dla x = p i x = 0 funkcja przyjmuje wartości -6 i 6, tj. osiąga dolną i górną granicę. Jako liniowa kombinacja funkcji ciągłych cos(7x) i cos(x), funkcja y jest ciągła wzdłuż całej osi liczbowej, dlatego przez właściwość funkcji ciągłej przyjmuje wszystkie wartości od -6 do 6 włącznie , i tylko one, ponieważ ze względu na nierówności $- 6\leq y\leq 6$ inne wartości są dla niego niemożliwe.
Dlatego E(y) = [-6;6].
$$ \\ -1\równoważnik\sin(x)\równoważnik 1 \\ 0\równoważnik\sin^(2)(x)\równoważnik 1 \\ 0\równoważnik2\sin^(2)(x)\równoważnik 2 \\ 1\leq1+2\sin^(2)(x)\leq 3 $$ Odpowiedź: E(f) = .
$$ \\ -\infty< {\rm tg}\, x < +\infty \\ 0 \leq {\rm tg}^{2}\, x < +\infty \\ 3 \leq 3+{\rm tg}^{2}\, x < +\infty \\ 2^{3} \leq 2^{3+{\rm tg}^{2}\, x} < +\infty \\ -\infty < -2^{3+{\rm tg}^{2}\, x} \leq -8 \\ -\infty < 3-2^{3+{\rm tg}^{2}\, x} \leq -5 $$ Ответ: E(f) = (–∞; -5].
$$ \\ -\infty< \lg{x} < +\infty \\ 0 \leq \lg^{2}{x} < +\infty \\ -\infty < -\lg^{2}{x} \leq 0 \\ -\infty < 16-\lg^{2}{x} \leq 16 \\ 0 \leq \sqrt{16-\lg^{2}{x}} \leq 4 \\ 2 \leq 2+\sqrt{16-\lg^{2}{x}} \leq 6 $$ Ответ: E(f) = .
Przekształćmy wyrażenie $$ \\ \sin(x) + \cos(x) = \sin(x) + \sin(\frac(\pi)(2) - x) = \\ 2\sin\left ((\ frac(x + \frac(\pi)(2) - x)(2)) \right)\cos\left ((\frac(x + \frac(\pi)(2) + x)( 2)) \right) \\ = 2\sin(\frac(\pi)(4))cos(x +\frac(\pi)(4)) = \sqrt(2)cos(x +\frac( \pi) (4)) $$.
Definicja cosinusa implikuje $$ \\ -1\leq\cos(x)\leq 1; \\ -1\równik \cos((x + \frac(\pi)(4)))\równik 1; \\ -\sqrt(2)\leq \sqrt(2)\cos((x +\frac(\pi)(4)))\leq\sqrt(2); $$
Ponieważ funkcja ta jest ciągła na całej dziedzinie definicji, to zbiór jej wartości jest zawarty między jej najmniejszą a największą wartością, jeśli taka występuje, zbiorem wartości funkcji $y =\sqrt(2)\ cos((x +\frac(\pi)(4 )))$ to zbiór $[-\sqrt(2);\sqrt(2)]$.
$$\\ E(3^(x)) = (0;+∞), \\ E(3^(x)+ 1) = (1;+∞), \\ E(-(3^(x) )+ 1)^(2) = (-∞;-1), \\ E(5 – (3^(x)+1)^(2)) = (-∞;4) $$
Oznaczmy $t = 5 – (3^(x)+1)^(2)$, gdzie -∞≤t≤4. Tym samym problem sprowadza się do znalezienia zbioru wartości funkcji $y = \log_(0,5)(t)$ na półprostej (-∞;4). Ponieważ funkcja $y = \log_(0,5)(t)$ jest zdefiniowana tylko dla t > 0 , to jej zbiór wartości na półprostej (-∞;4) pokrywa się ze zbiorem wartości funkcja na przedziale (0;4) reprezentująca przecięcie promienia (-∞;4) z dziedziną definicji (0;+∞) funkcji logarytmicznej. Na przedziale (0;4) funkcja ta jest ciągła i malejąca. Dla t > 0 dąży do +∞, a dla t = 4 przyjmuje wartość -2, więc E(y) = (-2, +∞).
Stosujemy technikę opartą na graficznym przedstawieniu funkcji.
Po przekształceniach funkcji mamy: y 2 + x 2 = 25, oraz y ≥ 0, |x| ≤ 5.
Należy przypomnieć, że $x^(2)+y^(2)=r^(2)$ jest równaniem okręgu o promieniu r.
Przy tych ograniczeniach wykresem tego równania jest górne półkole o środku w początku układu współrzędnych i promieniu równym 5. Jest oczywiste, że E(y) = .
Odpowiedź: E(y) = .
Bibliografia
Zakres funkcji w zadaniach Jednolitego Egzaminu Państwowego, Minyuk Irina Borisovna
Wskazówki dotyczące znajdowania zestawu wartości funkcji, Belyaeva I., Fedorova S.
Znajdowanie zbioru wartości funkcji
Jak rozwiązywać problemy z matematyki na egzaminach wstępnych, I.I. Melnikov, I.N. Sergeev
Strona 1
Lekcja 3
„zakres funkcji”
Cele: - zastosować pojęcie zakresu wartości do rozwiązania konkretnego problemu;
rozwiązanie typowe zadania.
Od kilku lat regularnie pojawiają się problemy w egzaminach, w których wymagane jest wybranie z danej rodziny funkcji tych, których zbiory wartości spełniają zadeklarowane warunki.
Rozważmy takie zadania.
Aktualizacja wiedzy.
Co rozumiemy przez zbiór wartości funkcji?
Jaki jest zbiór wartości funkcji?
Z jakich danych możemy znaleźć zbiór wartości funkcji? (Według zapisu analitycznego funkcji lub jej wykresu)
(cm USE zadania, część A)
Jakie znamy wartości funkcji? (Główne funkcje są wymienione wraz z ich zapisem na tablicy; dla każdej z funkcji zapisany jest jej zestaw wartości). W rezultacie na tablicy iw zeszytach uczniów
|
Funkcjonować |
Wiele wartości |
|
y = X 2 y = X 3 y=| X| y=
|
MI( y) = MI( y) = [- 1, 1] MI( y) = (– ∞, + ∞) MI( y) = (– ∞, + ∞) MI( y) = (– ∞, + ∞) MI( y) = (0, + ∞) |
Czy korzystając z tej wiedzy możemy od razu znaleźć zbiory wartości funkcji zapisane na tablicy? (patrz tabela 2).
Co może pomóc odpowiedzieć na to pytanie? (Wykresy tych funkcji).
Jak wykreślić pierwszą funkcję? (Opuść parabolę o 4 jednostki w dół).
|
Funkcjonować |
Wiele wartości |
|
y = X 2 – 4 |
MI( y) = [-4, + ∞) |
|
y = + 5 |
MI( y) = |
|
y = – 5 cos X |
MI( y) = [- 5, 5] |
|
y= tg( x + / 6) – 1 |
MI( y) = (– ∞, + ∞) |
|
y= grzech( x + / 3) – 2 |
MI( y) = [- 3, - 1] |
|
y=| X – 1 | + 3 |
MI( y) = |
|
y=| ktg X| |
MI( y) = |
|
y =  = | cos(x + /4) | |
MI( y) = |
|
y=(X- 5) 2 + 3 |
MI( y) = . Znajdź zbiór wartości funkcji:   . 
Wprowadzenie algorytmu rozwiązywania problemów znajdowania zbioru wartości funkcji trygonometrycznych. Zobaczmy, jak możemy zastosować nasze doświadczenie do różnych zadań zawartych w opcjach pojedynczego egzaminu. 1. Znalezienie wartości funkcji dla danej wartości argumentu. Przykład. Znajdź wartość funkcji y = 2 sałata(π/2+ π/4 ) – 1, Jeśli x = -π/2. Rozwiązanie. y(-π/2) = 2 sałata(- π/2 – π/4 )- 1= 2 sałata(π/2 + π/4 )- 1 = - 2 grzechπ/4 – 1 = - 2  – 1 =
= – 2. Znajdowanie zakresu funkcji trygonometrycznych
1≤ grzechX≤ 1 2 ≤ 2 grzechX≤ 2 9 ≤ 11+2grzechX≤ 13 3 ≤ Wypiszmy całkowite wartości funkcji na przedziale . Ta liczba to 3. Odpowiedź: 3.
Na= grzech 2 X- 2 3 grzechx + 3 2 - 3 2 + 8, Na= (grzechX- 3) 2 -1. E ( grzechX) = [-1;1]; E ( grzechX -3) = [-4;-2]; E ( grzechX -3) 2 = ; E ( Na) = . Odpowiedź: .
Czy możemy znaleźć zestaw wartości dla tej funkcji? (NIE.) Co powinno być zrobione? (Zredukowane do jednej funkcji). Jak to zrobić? (Użyj wzoru cos 2 X= 1-grzech 2 X.) Więc, Na= 1-grzech 2 X+2 grzech X –2, y= -grzech 2 X+2 grzech X –1, Na= -(grzech X –1) 2 . Cóż, teraz możemy znaleźć zestaw wartości i wybrać najmniejszą z nich. 1 ≤ grzech X ≤ 1, 2 ≤ grzech X – 1 ≤ 0, 0 ≤ (grzech X – 1) 2 ≤ 4, 4 ≤ -(grzech X -1) 2 ≤ 0. Zatem najmniejsza wartość funkcji Na wynajmować= -4. Odpowiedź: -4.
Rozwiązanie. Na= 1-cos 2 X+ cos X + 1,5, Na= -cos 2 X+ 2∙0,5∙cos X - 0,25 + 2,75, Na= -(cos X- 0,5) 2 + 2,75. E(cos X) = [-1;1], E(cos X – 0,5) = [-1,5;0,5], E(cos X – 0,5) 2 = , E(-(cos X-0,5) 2) = [-2,25;0], MI( Na) = . Największa wartość funkcji Na naib= 2,75; najmniejsza wartość Na wynajmować= 0,5. Znajdźmy iloczyn największej i najmniejszej wartości funkcji: Na naib ∙Na wynajmować = 0,5∙2,75 = 1,375. Odpowiedź: 1,375. Rozwiązanie. Przepiszmy funkcję w formularzu Na =, Na = Znajdźmy teraz zbiór wartości funkcji. E(grzech X) = [-1, 1], E(6 grzech X) = [-6, 6], E(6 grzech X + 1) = [-5, 7], E((6grzech X + 1) 2) = , E(– (6 grzech X + 1) 2) = [-49, 0], E(– (6 grzech X + 1) 2 + 64) = , MI( y) = [ Znajdźmy sumę wartości całkowitych funkcji: 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 30. Odpowiedź: 30.  Rozwiązanie. 1) 2) Dlatego 2 X należą do drugiej ćwiartki. 3) W drugiej ćwiartce funkcja sinus maleje i jest ciągła. Więc ta funkcja 4) Oblicz te wartości:
Odpowiedź :
 Rozwiązanie. 1) Ponieważ sinus przyjmuje wartości od -1 do 1, to zbiór wartości różnicowych 2) Arcus cosinus jest funkcją monotonicznie malejącą i ciągłą. Stąd zbiór wartości wyrażenia jest segmentem 3) Podczas mnożenia tego segmentu przez Odpowiedź:  Rozwiązanie. Ponieważ styczna łuku jest funkcją rosnącą, więc 2) Podczas zwiększania X z 3) Przy zwiększaniu od 4) Korzystając ze wzoru wyrażającego sinus jako tangens kąta połówkowego, znajdujemy to
Stąd pożądanym zestawem wartości jest suma segmentów Odpowiedź: Na= za grzech x + b cos x Lub Na= grzech (Rx) + bcos (RX).
Rozwiązanie. Znajdźmy wartość Przekształćmy wyrażenie 15 grzech 2x + 20 bo 2x = 25 ( 25 grzechów (2x + Zestaw wartości funkcji y \u003d grzech (2x + Następnie zestaw wartości oryginalnej funkcji -25 Odpowiedź:
[-25; 25].
Funkcjonować Na= ctg X maleje na odcinku [π/4; π/2], zatem funkcja przyjmie najmniejszą wartość w x =π/2, tj Na(π/2) = πg π/2 = 0; a największa wartość to at x=π/4, tj Na(π/4) = πg π/4 = 1. Odpowiedź: 1, 0.  . Rozwiązanie. Oddzielić w równości Wynika z tego, że wykres funkcji f(x) jest albo hiperbolą (а≠ 0), albo linią prostą bez punktu. Ponadto, jeśli; 2a) i (2a; Jeśli a \u003d 0, to f (x) \u003d -2 w całej dziedzinie definicji x ≠ 0. Dlatego oczywiste jest, że pożądane wartości parametru nie są równe zeru. Ponieważ interesują nas tylko wartości funkcji na odcinku [-1; 1], to o klasyfikacji sytuacji decyduje fakt, że asymptota x = 2a hiperboli (a≠0) jest położona względem tego odcinka. Przypadek 1. Wszystkie punkty przedziału [-1; 1] znajdują się na prawo od pionowej asymptoty x = 2a, czyli gdy 2a Przypadek 2. Asymptota pionowa przecina przedział [-1; 1], a funkcja maleje (jak w przypadku 1), czyli kiedy Przypadek 3. Asymptota pionowa przecina przedział [-1; 1], a funkcja jest rosnąca, czyli -1 Przypadek 4. Wszystkie punkty przedziału [-1; 1] znajdują się na lewo od pionowej asymptoty, czyli 1 a > . i drugi Recepcja 5. Uproszczenie wzoru definiującego ułamkową funkcję wymierną Recepcja 6. Znalezienie zbioru wartości funkcji kwadratowych (poprzez znalezienie wierzchołka paraboli i ustalenie charakteru zachowania się jej gałęzi). Recepcja 7. Wprowadzenie kąta pomocniczego do znajdowania zbioru wartości niektórych funkcji trygonometrycznych. Często w ramach rozwiązywania problemów musimy szukać zbioru wartości funkcji na dziedzinie definicji lub na odcinku. Na przykład należy to zrobić podczas rozwiązywania różne rodzaje nierówności, oceny wyrażeń itp. W ramach tego materiału opowiemy, jaki jest zakres funkcji, podamy główne metody jej obliczania oraz przeanalizujemy problemy o różnym stopniu złożoności. Dla przejrzystości poszczególne pozycje zilustrowano wykresami. Po przeczytaniu tego artykułu uzyskasz pełne zrozumienie zakresu funkcji. Zacznijmy od podstawowych definicji. Definicja 1 Zbiór wartości funkcji y = f (x) na pewnym przedziale x jest zbiorem wszystkich wartości, które ta funkcja przyjmuje podczas iteracji po wszystkich wartościach x ∈ X . Definicja 2 Zakres funkcji y = f (x) to zbiór wszystkich jej wartości, jakie może przyjąć podczas iteracji po wartościach x z zakresu x ∈ (f) . Zakres niektórych funkcji jest zwykle oznaczony przez E (f) . Należy pamiętać, że pojęcie zbioru wartości funkcji nie zawsze jest tożsame z obszarem jej wartości. Pojęcia te będą równoważne tylko wtedy, gdy zakres wartości x przy znajdowaniu zbioru wartości pokrywa się z dziedziną funkcji. Ważne jest również rozróżnienie między zakresem a zakresem zmiennej x dla wyrażenia po prawej stronie y = f (x) . Obszar dopuszczalnych wartości x dla wyrażenia f(x) będzie obszarem definicji tej funkcji. Poniżej znajduje się ilustracja przedstawiająca kilka przykładów. Niebieskie linie to wykresy funkcji, czerwone to asymptoty, czerwone kropki i linie na osi y to zakresy funkcji. Oczywiście zakres funkcji można uzyskać rzutując wykres funkcji na oś O y . Jednocześnie może to być pojedyncza liczba lub zestaw liczb, odcinek, przedział, otwarty promień, suma przedziałów liczbowych itp. Rozważ główne sposoby znajdowania zakresu funkcji. Zacznijmy od zdefiniowania zbioru wartości funkcji ciągłej y = f (x) na pewnym odcinku, oznaczonym [ a ; B] . Wiemy, że funkcja ciągła na pewnym przedziale osiąga na nim swoje minimum i maksimum, czyli maksimum m a x x ∈ a ; b f (x) i najmniejsza wartość m ja n x ∈ a ; b fa (x) . Otrzymujemy więc odcinek m i n x ∈ a ; bf(x) ; m za x x ∈ za ; b f (x) , który będzie zawierał zestawy wartości oryginalnej funkcji. Następnie wystarczy znaleźć określone minimum i maksimum punktów na tym odcinku. Weźmy problem, w którym konieczne jest określenie zakresu wartości arcus sinus. Przykład 1 Stan : schorzenie: znajdź zakres y = a r c sin x . Rozwiązanie W ogólnym przypadku dziedzina definicji arcus sinus znajduje się na przedziale [ - 1 ; 1 ] . Musimy wyznaczyć na nim największą i najmniejszą wartość podanej funkcji. y "= a r c grzech x" = 1 1 - x 2 Wiemy, że pochodna funkcji będzie dodatnia dla wszystkich wartości x znajdujących się w przedziale [-1; 1 ] , czyli w całej dziedzinie definicji funkcja arcus sinus będzie rosła. Oznacza to, że przyjmie najmniejszą wartość, gdy x jest równe - 1, a największą - gdy x jest równe 1. m ja n x ∈ - 1; 1 za r do grzech x = za r do grzech - 1 = - π 2 m za x x ∈ - 1 ; 1 za r do grzech x = za r do grzech 1 = π 2 Zatem zakres funkcji arcus sinus będzie równy E (ar c sin x) = - π 2 ; π 2 . Odpowiedź: mi (ar c sin x) \u003d - π 2; π 2 Przykład 2 Stan : schorzenie: oblicz zakres y = x 4 - 5 x 3 + 6 x 2 na danym odcinku [ 1 ; 4 ] . Rozwiązanie Wszystko, co musimy zrobić, to obliczyć największą i najmniejszą wartość funkcji w zadanym przedziale. Aby wyznaczyć punkty ekstremalne, należy wykonać następujące obliczenia: y "= x 4 - 5 x 3 + 6 x 2" = 4 x 3 + 15 x 2 + 12 x = x 4 x 2 - 15 x + 12 y " = 0 ⇔ x (4 x 2 - 15 x + 12 ) = 0 x 1 = 0 ∉ 1;4 i l oraz 4 x 2 - 15 x + 12 = 0 re = - 15 2 - 4 4 12 = 33 x 2 = 15 - 33 8 ≈ 1. 16 ∈ 1 ;4 ;x3 = 15 + 338 ≈ 2,59 ∈ 1;4 Teraz znajdźmy wartości danej funkcji na końcach odcinka i punktach x 2 = 15 - 33 8 ; x 3 \u003d 15 + 33 8: y (1) = 1 4 - 5 1 3 + 6 1 2 = 2 y 15 - 33 8 = 15 - 33 8 4 - 5 15 - 33 8 3 + 6 15 - 33 8 2 = = 117 + 165 33 512 ≈ 2. 08 y 15 + 33 8 = 15 + 33 8 4 - 5 15 + 33 8 3 + 6 15 + 33 8 2 = = 117 - 165 33 512 ≈ - 1 . 62 r (4) = 4 4 - 5 4 3 + 6 4 2 = 32 Oznacza to, że zbiór wartości funkcji będzie określony przez segment 117 - 165 33 512 ; 32 . Odpowiedź: 117 - 165 33 512 ; 32 . Przejdźmy do znalezienia zbioru wartości funkcji ciągłej y = f (x) w przedziałach (a ; b) , oraz a ; + ∞ , - ∞ ; b , -∞ ; +∞ . Zacznijmy od wyznaczenia największego i najmniejszego punktu oraz przedziałów wzrostu i spadku w danym przedziale. Następnie będziemy musieli obliczyć granice jednostronne na końcach przedziału i/lub granice w nieskończoności. Innymi słowy, musimy określić zachowanie funkcji w danych warunkach. Do tego mamy wszystkie niezbędne dane. Przykład 3 Stan : schorzenie: oblicz zakres funkcji y = 1 x 2 - 4 na przedziale (- 2 ; 2) . Rozwiązanie Wyznacz największą i najmniejszą wartość funkcji w zadanym przedziale y "= 1 x 2 - 4" = - 2 x (x 2 - 4) 2 y " = 0 ⇔ - 2 x (x 2 - 4) 2 = 0 ⇔ x = 0 ∈ (- 2 ; 2) Otrzymaliśmy maksymalną wartość równą 0 , ponieważ w tym momencie zmienia się znak funkcji i wykres zaczyna się zmniejszać. Zobacz ilustrację:
Oznacza to, że y (0) = 1 0 2 - 4 = - 1 4 będzie maksymalną wartością funkcji. Teraz zdefiniujmy zachowanie funkcji dla x, które dąży do -2 po prawej stronie i +2 po lewej stronie. Innymi słowy, znajdujemy jednostronne granice: limit x → - 2 + 0 1 x 2 - 4 = limit x → - 2 + 0 1 (x - 2) (x + 2) = = 1 - 2 + 0 - 2 - 2 + 0 + 2 = - 1 4 1 + 0 = - ∞ granica x → 2 + 0 1 x 2 - 4 = granica x → 2 + 0 1 (x - 2) (x + 2) = = 1 2 - 0 - 2 2 - 0 + 2 = 1 4 1 - 0 = -∞ Otrzymaliśmy, że wartości funkcji wzrosną od minus nieskończoności do - 1 4, gdy argument zmieni się z - 2 na 0 . A gdy argument zmieni się z 0 na 2, wartości funkcji maleją w kierunku minus nieskończoności. Dlatego zestaw wartości danej funkcji na potrzebnym nam przedziale będzie (- ∞ ; - 1 4 ] . Odpowiedź: (- ∞ ; - 1 4 ] . Przykład 4 Stan: wskaż zbiór wartości y = t g x w podanym przedziale - π 2 ; π 2 . Rozwiązanie Wiemy, że na ogół pochodna tangensa w - π 2; π 2 będzie dodatnie, to znaczy funkcja będzie rosła. Teraz zdefiniujmy, jak funkcja zachowuje się w danych granicach: lim x → π 2 + 0 t sol x = t sol - π 2 + 0 = - ∞ lim x → π 2 - 0 t sol x = t sol π 2 - 0 = + ∞ Uzyskaliśmy wzrost wartości funkcji od minus nieskończoności do plus nieskończoności, gdy argument zmienia się z - π 2 na π 2 i możemy powiedzieć, że zbiór rozwiązań tej funkcji będzie zbiorem wszystkich rzeczywistych liczby. Odpowiedź: - ∞ ; + ∞ . Przykład 5 Stan : schorzenie: wyznacz zakres funkcji logarytmu naturalnego y = ln x . Rozwiązanie Wiemy, że ta funkcja jest zdefiniowana dla dodatnich wartości argumentu D(y) = 0; +∞ . Pochodna na podanym przedziale będzie dodatnia: y " = ln x " = 1 x . Oznacza to, że funkcja jest na nim rosnąca. Następnie musimy zdefiniować jednostronną granicę dla przypadku, gdy argument dąży do 0 (po prawej stronie) i gdy x dąży do nieskończoności: lim x → 0 + 0 ln x = ln (0 + 0) = - ∞ lim x → ∞ ln x = ln + ∞ = + ∞ Odkryliśmy, że wartości funkcji wzrosną od minus nieskończoności do plus nieskończoności, gdy wartości x zmienią się od zera do plus nieskończoności. Oznacza to, że zbiór wszystkich liczb rzeczywistych jest zakresem funkcji logarytmu naturalnego. Odpowiedź: zbiór wszystkich liczb rzeczywistych to zakres funkcji logarytmu naturalnego. Przykład 6 Stan : schorzenie: wyznacz zakres funkcji y = 9 x 2 + 1 . Rozwiązanie Ta funkcja jest zdefiniowana pod warunkiem, że x jest liczbą rzeczywistą. Obliczmy największą i najmniejszą wartość funkcji, a także przedziały jej wzrostu i spadku: y " = 9 x 2 + 1 " = - 18 x (x 2 + 1) 2 y " = 0 ⇔ x = 0 y " ≤ 0 ⇔ x ≥ 0 y " ≥ 0 ⇔ x ≤ 0 W rezultacie ustaliliśmy, że funkcja ta będzie maleć, jeśli x ≥ 0; zwiększać, jeśli x ≤ 0; ma punkt maksymalny y (0) = 9 0 2 + 1 = 9, gdy zmienna wynosi 0 . Zobaczmy, jak funkcja zachowuje się w nieskończoności: granica x → - ∞ 9 x 2 + 1 = 9 - ∞ 2 + 1 = 9 1 + ∞ = + 0 granica x → + ∞ 9 x 2 + 1 = 9 + ∞ 2 + 1 = 9 1 + ∞ = +0 Z zapisu widać, że wartości funkcji w tym przypadku będą dążyć asymptotycznie do 0. Podsumowując: gdy argument zmienia się od minus nieskończoności do zera, to wartości funkcji rosną od 0 do 9. Gdy wartości argumentów przejdą od 0 do plus nieskończoności, odpowiednie wartości funkcji zmniejszą się z 9 do 0 . Przedstawiliśmy to na rysunku:
Pokazuje, że zakresem funkcji będzie przedział E (y) = (0 ; 9 ] Odpowiedź: mi (y) = (0 ; 9 ] Jeśli musimy wyznaczyć zbiór wartości funkcji y = f (x) na przedziałach [ a ; b) , (a ; b ] , [ a ; + ∞) , (- ∞ ; b ] , to będziemy musieli przeprowadzić dokładnie te same badania. Nie będziemy jeszcze analizować tych przypadków: spotkamy się z nimi później w problemach . Ale co, jeśli dziedziną pewnej funkcji jest suma kilku przedziałów? Następnie musimy obliczyć zestawy wartości na każdym z tych przedziałów i połączyć je. Przykład 7 Stan : schorzenie: określ, jaki będzie zakres y = x x - 2 . Rozwiązanie Ponieważ mianownika funkcji nie należy zamieniać na 0 , to D (y) = - ∞ ; 2 ∪ 2 ; +∞ . Zacznijmy od zdefiniowania zbioru wartości funkcji na pierwszym segmencie - ∞ ; 2, który jest otwartą belką. Wiemy, że funkcja na nim będzie maleć, czyli pochodna tej funkcji będzie ujemna. granica x → 2 - 0 x x - 2 = 2 - 0 2 - 0 - 2 = 2 - 0 = - ∞ granica x → - ∞ x x - 2 = granica x → - ∞ x - 2 + 2 x - 2 = granica x → - ∞ 1 + 2 x - 2 = 1 + 2 - ∞ - 2 = 1 - 0 Następnie w przypadkach, gdy argument zmienia się w kierunku minus nieskończoności, wartości funkcji asymptotycznie zbliżają się do 1 . Jeśli wartości x zmienią się z minus nieskończoności na 2, to wartości zmniejszą się od 1 do minus nieskończoności, tj. funkcja na tym segmencie przyjmie wartości z przedziału - ∞ ; 1. Wykluczamy jedność z naszego rozumowania, ponieważ wartości funkcji do niej nie docierają, a jedynie asymptotycznie się do niej zbliżają. Dla belki otwartej 2 ; + ∞ wykonujemy dokładnie te same czynności. Funkcja na nim jest również malejąca: granica x → 2 + 0 x x - 2 = 2 + 0 2 + 0 - 2 = 2 + 0 = + ∞ granica x → + ∞ x x - 2 = granica x → + ∞ x - 2 + 2 x - 2 = granica x → + ∞ 1 + 2 x - 2 = 1 + 2 + ∞ - 2 = 1 + 0 Wartości funkcji na tym segmencie są określone przez zbiór 1; +∞ . Oznacza to, że zakres wartości funkcji określony w warunku, którego potrzebujemy, będzie sumą zbiorów - ∞; 1 i 1; +∞ . Odpowiedź: mi (y) = - ∞ ; 1 ∪ 1 ; +∞ . Widać to na wykresie:
Szczególnym przypadkiem są funkcje okresowe. Ich obszar wartości pokrywa się ze zbiorem wartości na przedziale odpowiadającym okresowi tej funkcji. Przykład 8 Stan : schorzenie: określ zakres sinus y = sin x . Rozwiązanie Sinus odnosi się do funkcji okresowej, a jej okres wynosi 2 pi. Bierzemy segment 0; 2 π i zobacz jaki będzie na nim zbiór wartości. y " = (grzech x) " = sałata x y " = 0 ⇔ sałata x = 0 ⇔ x = π 2 + πk , k ∈ Z w ciągu 0; 2 π funkcja będzie miała punkty skrajne π 2 i x = 3 π 2 . Obliczmy, jakie wartości funkcji będą w nich równe, a także na granicach odcinka, po czym wybieramy największą i najmniejszą wartość. y (0) = grzech 0 = 0 y π 2 = grzech π 2 = 1 y 3 π 2 = grzech 3 π 2 = - 1 y (2 π) = grzech (2 π) = 0 ⇔ min x ∈ 0 ; 2 π grzech x = grzech 3 π 2 = - 1 , max x ∈ 0 ; 2 π sinx \u003d grzech π 2 \u003d 1 Odpowiedź: mi (sinx) = - 1 ; 1. Jeśli chcesz poznać zakresy funkcji, takich jak wykładniczy, wykładniczy, logarytmiczny, trygonometryczny, odwrotny trygonometryczny, radzimy ponownie przeczytać artykuł o podstawowych funkcjach elementarnych. Teoria, którą tutaj prezentujemy, pozwala nam przetestować podane tam wartości. Pożądane jest ich poznanie, ponieważ często są one wymagane przy rozwiązywaniu problemów. Jeśli znasz zakresy funkcji głównych, możesz łatwo znaleźć zakresy funkcji, które są uzyskiwane z elementarnych za pomocą transformacji geometrycznej. Przykład 9 Stan : schorzenie: wyznacz przedział y = 3 a r do cos x 3 + 5 π 7 - 4 . Rozwiązanie Wiemy, że odcinek od 0 do pi jest zakresem odwrotnego cosinusa. Innymi słowy, E (a r c cos x) = 0; π lub 0 ≤ za r do sałata x ≤ π . Funkcję a r c cos x 3 + 5 π 7 możemy otrzymać z arc cosinus przesuwając i rozciągając ją wzdłuż osi O x, ale takie przekształcenia nic nam nie dadzą. Stąd 0 ≤ a r do cos x 3 + 5 π 7 ≤ π . Funkcję 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 można otrzymać z odwrotności cosinusa a r c cos x 3 + 5 π 7 przez rozciągnięcie wzdłuż osi y, tj. 0 ≤ 3 za r do sałata x 3 + 5 π 7 ≤ 3 π . Ostateczna transformacja to przesunięcie wzdłuż osi O y o 4 wartości. W rezultacie otrzymujemy podwójną nierówność: 0 - 4 ≤ 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 - 4 ≤ 3 π - 4 ⇔ - 4 ≤ 3 arccos x 3 + 5 π 7 - 4 ≤ 3 π - 4 Otrzymaliśmy, że potrzebny nam zakres będzie równy E (y) = - 4 ; 3 pi - 4 . Odpowiedź: mi (y) = - 4; 3 pi - 4 . Napiszmy jeszcze jeden przykład bez wyjaśnień, bo jest całkowicie podobny do poprzedniego. Przykład 10 Stan : schorzenie: oblicz jaki będzie zakres funkcji y = 2 2 x - 1 + 3 . Rozwiązanie Przepiszmy funkcję podaną w warunku jako y = 2 · (2 x - 1) - 1 2 + 3 . Dla funkcji potęgowej y = x - 1 2 zakres będzie określony w przedziale 0 ; + ∞ , tj. x - 1 2 > 0 . W tym przypadku: 2 x - 1 - 1 2 > 0 ⇒ 2 (2 x - 1) - 1 2 > 0 ⇒ 2 (2 x - 1) - 1 2 + 3 > 3 Więc E (y) = 3; +∞ . Odpowiedź: mi (y) = 3; +∞ . Przyjrzyjmy się teraz, jak znaleźć zakres funkcji, który nie jest ciągły. Aby to zrobić, musimy podzielić cały obszar na przedziały i znaleźć na każdym z nich zestawy wartości, a następnie połączyć to, co mamy. Aby lepiej to zrozumieć, radzimy zapoznać się z głównymi typami punktów przerwania funkcji. Przykład 11 Stan : schorzenie: mając daną funkcję y = 2 grzech x 2 - 4 , x ≤ - 3 - 1 , - 3< x ≤ 3 1 x - 3 , x >3 . Oblicz jego zasięg. Rozwiązanie Ta funkcja jest zdefiniowana dla wszystkich wartości x. Przeanalizujmy to pod kątem ciągłości z wartościami argumentu równymi - 3 i 3: lim x → - 3 - 0 f (x) = lim x → - 3 2 grzech x 2 - 4 = 2 grzech - 3 2 - 4 = - 2 grzech 3 2 - 4 lim x → - 3 + 0 f (x) = granica x → - 3 (1) = - 1 ⇒ granica x → - 3 - 0 fa (x) ≠ granica x → - 3 + 0 fa (x) Mamy nieodwracalną nieciągłość pierwszego rodzaju o wartości argumentu - 3 . Gdy się do tego zbliżysz, wartości funkcji będą miały tendencję do - 2 sin 3 2 - 4 , a ponieważ x dąży do - 3 po prawej stronie, wartości będą dążyć do - 1 . lim x → 3 - 0 f(x) = lim x → 3 - 0 (- 1) = 1 lim x → 3 + 0 f(x) = lim x → 3 + 0 1 x - 3 = + ∞ W punkcie 3 mamy nieusuwalną nieciągłość drugiego rodzaju. Gdy funkcja dąży do niej, jej wartości zbliżają się do -1, natomiast dążąc do tego samego punktu po prawej stronie - do minus nieskończoności. Oznacza to, że cała dziedzina definicji tej funkcji jest podzielona na 3 przedziały (- ∞ ; - 3 ] , (- 3 ; 3 ] , (3 ; + ∞) . Na pierwszym z nich otrzymaliśmy funkcję y \u003d 2 grzech x 2 - 4. Ponieważ - 1 ≤ grzech x ≤ 1 , otrzymujemy: 1 ≤ grzech x 2< 1 ⇒ - 2 ≤ 2 sin x 2 ≤ 2 ⇒ - 6 ≤ 2 sin x 2 - 4 ≤ - 2 Oznacza to, że w tym przedziale (- ∞ ; - 3 ] zbiór wartości funkcji wynosi [ - 6 ; 2 ] . Na półprzedziale (- 3 ; 3 ] otrzymujemy stałą funkcję y = - 1. W konsekwencji cały zestaw jej wartości w tym przypadku zostanie zredukowany do jednej liczby - 1 . Na drugim interwale 3 ; + ∞ mamy funkcję y = 1 x - 3 . Jest malejąca, ponieważ y " = - 1 (x - 3) 2< 0 . Она будет убывать от плюс бесконечности до 0 , но самого 0 не достигнет, потому что: granica x → 3 + 0 1 x - 3 = 1 3 + 0 - 3 = 1 + 0 = + ∞ granica x → + ∞ 1 x - 3 = 1 + ∞ - 3 = 1 + ∞ + 0 Stąd zbiorem wartości pierwotnej funkcji dla x > 3 jest zbiór 0; +∞ . Teraz połączmy wyniki: E (y) = - 6 ; - 2 ∪ - 1 ∪ 0 ; +∞ . Odpowiedź: mi (y) = - 6; - 2 ∪ - 1 ∪ 0 ; +∞ . Rozwiązanie pokazano na wykresie:
Przykład 12 Warunek: istnieje funkcja y = x 2 - 3 e x . Określ zbiór jego wartości. Rozwiązanie Jest zdefiniowany dla wszystkich wartości argumentów, które są liczbami rzeczywistymi. Ustalmy, w jakich odstępach ta funkcja będzie rosła, a w jakich maleje: y "= x 2 - 3 mi x" = 2 x mi x - mi x (x 2 - 3) mi 2 x = - x 2 + 2 x + 3 mi x = - (x + 1) (x - 3) mi x Wiemy, że pochodna będzie równa 0, jeśli x = - 1 i x = 3 . Umieszczamy te dwa punkty na osi i sprawdzamy, jakie znaki będzie miała pochodna na otrzymanych przedziałach.
Funkcja zmniejszy się o (- ∞ ; - 1 ] ∪ [ 3 ; + ∞) i wzrośnie o [ - 1 ; 3]. Punktem minimalnym będzie - 1 , maksimum - 3 . Teraz znajdźmy odpowiednie wartości funkcji: y (- 1) = - 1 2 - 3 mi - 1 = - 2 mi y (3) = 3 2 - 3 mi 3 = 6 mi - 3 Przyjrzyjmy się zachowaniu funkcji w nieskończoności: lim x → - ∞ x 2 - 3 mi x = - ∞ 2 - 3 mi - ∞ = + ∞ + 0 = + ∞ lim x → + ∞ x 2 - 3 mi x = + ∞ 2 - 3 mi + ∞ = + ∞ + ∞ = = lim x → + ∞ x 2 - 3 "e x" = lim x → + ∞ 2 x mi x = + ∞ + ∞ = = lim x → + ∞ 2 x "(e x)" = 2 lim x → + ∞ 1 mi x = 2 1 + ∞ = + 0 Do obliczenia drugiej granicy wykorzystano regułę L'Hospitala. Narysujmy nasze rozwiązanie na wykresie.
Pokazuje, że wartości funkcji będą maleć od plus nieskończoności do - 2 e, gdy argument zmieni się z minus nieskończoności na - 1 . Jeśli zmieni się z 3 na plus nieskończoność, wówczas wartości zmniejszą się z 6 e - 3 do 0, ale 0 nie zostanie osiągnięte. Zatem mi (y) = [ - 2 e ; +∞) . Odpowiedź: mi (y) = [ - 2 mi ; +∞) Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter |
– 1.
, tj. mi (y) = .
,
, 8].
to jest X należy do pierwszej ćwiartki.
zanim 
.
. Po pomnożeniu przez 
ten segment przejdzie do segmentu 
.
.
dostajemy 
.
.
.
zanim 
argument 2 X wzrasta od 
zanim 
. Ponieważ sinus na takim przedziale wzrasta, funkcja 
do 1.
argument 2 X wzrasta od 
. Ponieważ sinus maleje w takim przedziale, funkcja 
do 1.
.
I 
czyli odcinek 
= 
= 25.
) = 25 () =
), gdzie cos 
grzech (2x + 
) i jeśli a > 0, wzrasta monotonicznie na tych promieniach.
.
