평행사변형과 그 넓이. 우리는 각도의 합과 평행 사변형의 면적을 계산합니다 : 속성 및 부호. 인접한 모서리의 특징

평행 사변형 영역

정리 1

평행 사변형의 면적은 측면의 길이와 높이를 곱한 값으로 정의됩니다.

여기서 $a$는 평행사변형의 측면이고 $h$는 이 측면에 그려진 높이입니다.

증거.

$AD=BC=a$인 평행사변형 $ABCD$가 주어집니다. 높이 $DF$ 및 $AE$를 그려봅시다(그림 1).

그림 1.

그림 $FDAE$는 직사각형임이 분명합니다.

\[\angle BAE=(90)^0-\angle A,\ \] \[\angle CDF=\angle D-(90)^0=(180)^0-\angle A-(90)^0 =(90)^0-\각도 A=\각도 BAE\]

따라서 $CD=AB,\ DF=AE=h$, $\triangle BAE=\triangle CDF$이므로 $I$에 의해 삼각형 동등성 검정이 됩니다. 그 다음에

따라서 직사각형 영역 정리에 따르면 다음과 같습니다.

정리가 입증되었습니다.

정리 2

평행 사변형의 면적은 인접한 변의 길이와 변 사이의 각도의 사인을 곱한 값으로 정의됩니다.

수학적으로 이것은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

여기서 $a,\ b$는 평행사변형의 변이고 $\alpha $는 그 사이의 각도입니다.

증거.

$BC=a,\ CD=b,\ \angle C=\alpha $인 평행사변형 $ABCD$가 주어집니다. 높이 $DF=h$를 그립니다(그림 2).

그림 2.

사인의 정의에 따라

따라서

따라서 정리 $1$:

정리가 입증되었습니다.

삼각형의 면적

정리 3

삼각형의 면적은 변의 길이와 그 높이의 곱의 절반으로 정의됩니다.

수학적으로 이것은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

여기서 $a$는 삼각형의 변이고 $h$는 이 변에 그려진 높이입니다.

증거.

그림 3

따라서 정리 $1$:

정리가 입증되었습니다.

정리 4

삼각형의 면적은 인접한 변의 길이와 변 사이의 각도의 사인을 곱한 값의 절반으로 정의됩니다.

수학적으로 이것은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

여기서 $a,\ b$는 삼각형의 변이고 $\alpha $는 그 사이의 각도입니다.

증거.

$AB=a$인 삼각형 $ABC$가 주어집니다. 높이 $CH=h$를 그립니다. 평행사변형 $ABCD$까지 만들어 봅시다(그림 3).

당연히 $\triangle ACB=\triangle CDB$는 $I$입니다. 그 다음에

따라서 정리 $1$:

정리가 입증되었습니다.

사다리꼴 지역

정리 5

사다리꼴의 면적은 밑면의 길이와 높이의 합의 절반으로 정의됩니다.

수학적으로 이것은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

증거.

$AK=a,\ BC=b$인 사다리꼴 $ABCK$가 주어집니다. 높이 $BM=h$ 및 $KP=h$와 대각선 $BK$를 그립니다(그림 4).

그림 4

정리 $3$에 의해, 우리는

정리가 입증되었습니다.

작업 예

예 1

한 변의 길이가 $a.$일 때 정삼각형의 넓이 구하기

해결책.

삼각형은 정삼각형이므로 모든 각도는 $(60)^0$와 같습니다.

그러면 정리 $4$에 의해

답변:$\frac(a^2\sqrt(3))(4)$.

이 문제의 결과는 주어진 변을 가진 정삼각형의 영역을 찾는 데 사용할 수 있습니다.

유클리드 기하학에서와 같이 점과 직선은 평면론의 주요 요소이므로 평행사변형은 볼록사변형의 핵심 도형 중 하나입니다. 그것으로부터 공의 실처럼 "직사각형", "사각형", "마름모"및 기타 기하학적 수량의 개념이 흐릅니다.

접촉

평행사변형의 정의

볼록 사변형,각 쌍이 평행인 세그먼트로 구성되며 기하학에서 평행사변형으로 알려져 있습니다.

고전적인 평행사변형의 모습은 사변형 ABCD입니다. 변을 밑변(AB, BC, CD, AD)이라고 하고, 어떤 꼭지점에서 이 꼭지점의 반대쪽으로 그은 수선을 높이(BE, BF)라고 하고, 선 AC와 BD는 대각선입니다.

주목!정사각형, 마름모 및 직사각형은 평행사변형의 특수한 경우입니다.

측면 및 각도: 비율 기능

주요 속성은 대체로 지정 자체에 의해 미리 결정됨, 그들은 정리에 의해 증명됩니다. 이러한 특성은 다음과 같습니다.

1. 반대편은 쌍으로 동일합니다.
2. 서로 반대인 각도는 쌍으로 동일합니다.

증명: 사변형 ABCD를 선 AC로 나누어 얻은 ΔABC 및 ΔADC를 고려하십시오. ∠BCA=∠CAD 및 ∠BAC=∠ACD, AC는 그들에게 공통적이기 때문입니다(각각 BC||AD 및 AB||CD에 대한 수직 각도). ∆ABC = ∆ADC(삼각형의 등식에 대한 두 번째 기준)입니다.

∆ABC의 세그먼트 AB와 BC는 ∆ADC의 선 CD와 AD에 쌍으로 대응합니다. 즉 AB = CD, BC = AD입니다. 따라서 ∠B는 ∠D에 해당하며 둘은 같습니다. 쌍으로도 동일한 ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD이므로 ∠A = ∠C입니다. 속성이 입증되었습니다.

도형의 대각선 특성

주요 특징이 평행사변형 선: 교차점이 선을 이등분합니다.

증명: m.E를 도형 ABCD의 대각선 AC와 BD의 교점이라고 합니다. 그것들은 ∆ABE와 ∆CDE라는 두 개의 상응하는 삼각형을 형성합니다.

AB=CD는 반대이기 때문입니다. 선과 시컨트에 따르면 ∠ABE = ∠CDE 및 ∠BAE = ∠DCE입니다.

두 번째 평등 기호에 따르면 ∆ABE = ∆CDE입니다. 이는 요소 ΔABE 및 ΔCDE가 AE = CE, BE = DE이며 또한 AC 및 BD의 상응하는 부분임을 의미합니다. 속성이 입증되었습니다.

인접한 모서리의 특징

인접한 변에서 각도의 합은 180°입니다., 그들은 평행선과 시컨트의 같은쪽에 있기 때문입니다. 사변형 ABCD의 경우:

∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º

이등분 속성:

1. , 한쪽으로 떨어지면 수직입니다.
2. 반대 꼭짓점은 평행 이등분선을 갖습니다.
3. 이등분선을 그려서 얻은 삼각형은 이등변이 될 것입니다.

정리에 의한 평행 사변형의 특징 결정

이 그림의 특징은 다음과 같은 주요 정리를 따릅니다. 사변형은 평행 사변형으로 간주됩니다.대각선이 교차하는 경우이 점은 대각선을 동일한 세그먼트로 나눕니다.

증명: 사변형 ABCD의 직선 AC와 BD가 t에서 교차한다고 하자. E. ∠AED = ∠BEC이고 AE+CE=AC BE+DE=BD이므로 ∆AED = ∆BEC(삼각형의 첫 번째 등호에 의해)입니다. 즉, ∠EAD = ∠ECB입니다. 그들은 또한 선 AD와 BC에 대한 갈선 AC의 내부 교차 각도입니다. 따라서 병렬 처리의 정의에 따라 - AD || 기원전. 라인 BC와 CD의 유사한 속성도 파생됩니다. 정리가 입증되었습니다.

그림의 면적 계산

이 그림의 면적 여러 방법으로 찾았다가장 간단한 방법 중 하나: 높이와 기준을 곱하는 것입니다.

증명: 꼭지점 B와 C에서 수직선 BE와 CF를 그립니다. ΔABE와 ΔDCF는 AB = CD 및 BE = CF이므로 같습니다. ABCD는 S ABE 및 S EBCD, S DCF 및 S EBCD와 같이 비례적인 수치로 구성되기 때문에 직사각형 EBCF와 같습니다. 이 기하학적 도형의 면적은 직사각형의 면적과 같습니다.

S ABCD = S EBCF = BE×BC=BE×AD.

평행 사변형의 면적에 대한 일반 공식을 결정하기 위해 높이를 다음과 같이 나타냅니다. hb, 그리고 측면 비. 각기:

영역을 찾는 다른 방법

면적 계산 평행사변형의 변과 각을 통해그들이 형성하는 두 번째 알려진 방법입니다.

,

Spr-ma - 지역;

a와 b는 측면입니다.

α - 세그먼트 a와 b 사이의 각도.

이 방법은 실질적으로 첫 번째 방법을 기반으로 하지만 알 수 없는 경우에 대비합니다. 는 항상 삼각법 항등식에 의해 매개변수가 발견되는 직각 삼각형을 잘라냅니다. 비율을 변환하면 . 첫 번째 방법의 방정식에서 높이를 이 제품으로 대체하고 이 공식의 유효성에 대한 증거를 얻습니다.

평행사변형과 각의 대각선을 통해,교차할 때 생성되는 영역을 찾을 수도 있습니다.

증명: AC와 BD가 교차하여 ABE, BEC, CDE, AED의 네 삼각형을 형성합니다. 그들의 합은 이 사변형의 면적과 같습니다.

이들 각 Δ의 면적은 a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB인 식에서 구할 수 있습니다. 이므로 사인의 단일 값이 계산에 사용됩니다. 그건 . AE+CE=AC= d 1 및 BE+DE=BD= d 2 이므로 면적 공식은 다음과 같이 줄어듭니다.

.

벡터 대수학에서의 응용

이 사변형의 구성 부분의 특징은 벡터 대수학, 즉 두 벡터의 추가에 적용됩니다. 평행사변형 규칙은 벡터가 주어진 경우그리고아니다동일 선상에 있으면 그 합은이 벡터에 해당하는 밑면이있는이 그림의 대각선과 같습니다.

증거: 임의로 선택한 시작부터 - 즉. - 우리는 벡터를 만들고 . 다음으로 세그먼트 OA와 OB가 변인 평행사변형 OASV를 만듭니다. 따라서 OS는 벡터 또는 합계에 있습니다.

평행사변형의 매개변수 계산 공식

ID는 다음 조건에서 제공됩니다.

1. a와 b, α - 측면과 그 사이의 각도;
2. d 1 및 d 2 , γ - 대각선 및 교차점;
3. h a 및 h b - 측면 a 및 b로 낮아진 높이;

모수	공식
측면 찾기
대각선과 그들 사이의 각도의 코사인을 따라
대각선으로 옆으로
높이와 반대쪽 꼭지점을 통해
대각선의 길이 구하기
측면과 그들 사이의 상단 크기
측면과 대각선 중 하나를 따라	 결론 기하학의 주요 수치 중 하나인 평행사변형은 예를 들어 부지 면적이나 기타 측정을 계산할 때 건설과 같이 삶에서 사용됩니다. 따라서 다양한 매개 변수를 계산하는 구별 기능 및 방법에 대한 지식은 언제든지 유용할 수 있습니다.

이 주제에 대한 문제를 풀 때, 기본 속성 평행사변형해당 공식을 기억하고 다음을 적용할 수 있습니다.

1. 평행사변형 내각의 이등분선은 그것으로부터 이등변삼각형을 자른다
2. 평행사변형의 한 변에 인접한 내각의 이등분선은 서로 수직입니다.
3. 평행사변형의 반대쪽 내각에서 나오는 이등분선은 서로 평행하거나 하나의 직선 위에 놓입니다.
4. 평행사변형의 대각선 제곱의 합은 그 변의 제곱의 합과 같습니다
5. 평행 사변형의 면적은 대각선 곱의 절반과 그 사이 각도의 사인입니다.

이러한 속성이 사용되는 솔루션의 작업을 고려해 봅시다.

작업 1.

평행 사변형 ABCD의 각도 C의 이등분선은 점 M에서 변 AD와 점 E에서 점 A를 넘어 변 AB의 연속과 교차합니다. AE \u003d 4, DM \u003d 3인 경우 평행 사변형의 둘레를 찾습니다.

해결책.

1. 삼각형 CMD 이등변. (속성 1). 따라서 CD = MD = 3cm입니다.

2. 삼각형 EAM은 이등변입니다.
따라서 AE = AM = 4cm입니다.

3. 광고 = 오전 + MD = 7cm.

4. 둘레 ABCD = 20cm.

답변. 20cm

작업 2.

대각선은 볼록 사변형 ABCD로 그려집니다. 삼각형 ABD, ACD, BCD의 넓이는 같다고 알려져 있습니다. 주어진 사변형이 평행사변형임을 증명하시오.

해결책.

1. BE는 삼각형 ABD의 높이, CF는 삼각형 ACD의 높이라고 하자. 문제의 조건에 따라 삼각형의 넓이가 같고 밑변 AD가 같으므로 삼각형의 높이도 같습니다. BE = CF.

2. BE, CF는 AD에 수직이다. 점 B와 C는 선 AD의 같은 쪽에 있습니다. BE = CF. 따라서 라인 BC || 기원 후. (*)

3. AL은 삼각형 ACD의 고도, BK는 삼각형 BCD의 고도라고 하자. 문제의 조건에 따라 삼각형의 넓이가 같고 공통 밑변 CD가 있으므로 이 삼각형의 높이는 같습니다. 알 = BK.

4. AL과 BK는 CD에 수직입니다. 점 B와 A는 직선 CD의 같은 쪽에 있습니다. 알 = BK. 따라서 라인 AB || CD (**)

5. 조건 (*), (**)은 ABCD가 평행사변형임을 의미합니다.

답변. 입증되었습니다. ABCD는 평행사변형입니다.

작업 3.

평행사변형 ABCD의 변 BC와 CD에 점 M과 H가 각각 표시되어 선분 BM과 HD가 점 O에서 교차합니다.<ВМD = 95 о,