Параллелограмм және оның ауданы. Параллелограмның бұрыштарының қосындысы мен ауданын есептейміз: қасиеттері мен белгілері. Көршілес бұрыштардың ерекшеліктері

Параллелограмм ауданы

1-теорема

Параллелограмның ауданы оның қабырғасының ұзындығының оған түсірілген биіктікке көбейтіндісі ретінде анықталады.

мұндағы $a$ — параллелограммның қабырғасы, $h$ — осы жағына сызылған биіктік.

Дәлелдеу.

$AD=BC=a$ болатын $ABCD$ параллелограммы берілсін. $DF$ және $AE$ биіктіктерін салайық (1-сурет).

1-сурет.

$FDAE$ фигурасы тіктөртбұрыш екені анық.

\[\бұрыш BAE=(90)^0-\бұрыш A,\ \] \[\бұрыш CDF=\бұрыш D-(90)^0=(180)^0-\бұрыш A-(90)^0=(90)^0-\бұрыш A=\бұрыш BAE\]

Сондықтан $CD=AB,\ DF=AE=h$, $\triangle BAE=\triangle CDF$ болғандықтан, $I$ арқылы үшбұрыштың теңдігін тексеру. Содан кейін

Сонымен, тіктөртбұрыштың ауданы теоремасы бойынша:

Теорема дәлелденді.

2-теорема

Параллелограмның ауданы оның іргелес қабырғаларының ұзындығының сол қабырғалар арасындағы бұрыштың синусына көбейтіндісі ретінде анықталады.

Математикалық тұрғыдан мұны келесідей жазуға болады

мұндағы $a,\ b$ - параллелограмның қабырғалары, $\alpha $ - олардың арасындағы бұрыш.

Дәлелдеу.

$BC=a,\ CD=b,\ \бұрышы C=\alpha $ болатын $ABCD$ параллелограммы берілсін. $DF=h$ биіктігін салыңыз (2-сурет).

2-сурет.

Синустың анықтамасы бойынша біз аламыз

Демек

Демек, $1$ теоремасы бойынша:

Теорема дәлелденді.

Үшбұрыштың ауданы

Теорема 3

Үшбұрыштың ауданы оның қабырғасының ұзындығы мен оған тартылған биіктіктің көбейтіндісінің жартысы ретінде анықталады.

Математикалық тұрғыдан мұны келесідей жазуға болады

мұндағы $a$ — үшбұрыштың қабырғасы, $h$ — осы қабырғаға сызылған биіктік.

Дәлелдеу.

3-сурет

Сонымен $1$ теоремасы бойынша:

Теорема дәлелденді.

Теорема 4

Үшбұрыштың ауданы оның іргелес қабырғаларының ұзындығының осы қабырғалар арасындағы бұрыштың синусының көбейтіндісінің жартысы ретінде анықталады.

Математикалық тұрғыдан мұны келесідей жазуға болады

мұндағы $a,\ b$ - үшбұрыштың қабырғалары, $\alpha $ - олардың арасындағы бұрыш.

Дәлелдеу.

$AB=a$ болатын $ABC$ үшбұрышын алайық. $CH=h$ биіктігін салыңыз. Оны $ABCD$ параллелограммына дейін құрастырайық (3-сурет).

Әлбетте, $\triangle ACB=\triangle CDB$ $I$. Содан кейін

Сонымен $1$ теоремасы бойынша:

Теорема дәлелденді.

Трапеция аймағы

5-теорема

Трапецияның ауданы оның табандарының ұзындығы қосындысының биіктігіне көбейтіндісінің жартысы ретінде анықталады.

Математикалық тұрғыдан мұны келесідей жазуға болады

Дәлелдеу.

Бізге $ABCK$ трапециясы берілсін, мұнда $AK=a,\ BC=b$. Ондағы $BM=h$ және $KP=h$ биіктіктерін, сонымен қатар $BK$ диагоналін салайық (4-сурет).

4-сурет

Теорема бойынша $3$ аламыз

Теорема дәлелденді.

Тапсырма үлгісі

1-мысал

Тең қабырғалы үшбұрыштың қабырғасының ұзындығы $a.$ болса, оның ауданын табыңыз

Шешім.

Үшбұрыш тең ​​қабырғалы болғандықтан, оның барлық бұрыштары $(60)^0$-ға тең.

Сонда $4$ теоремасы бойынша бізде бар

Жауап:$\frac(a^2\sqrt(3))(4)$.

Бұл есептің нәтижесін берілген қабырғасы бар кез келген теңбүйірлі үшбұрыштың ауданын табуға болатынын ескеріңіз.

Евклид геометриясындағыдай нүкте мен түзу жазықтықтар теориясының негізгі элементтері болып табылады, сондықтан параллелограмм дөңес төртбұрыштардың негізгі фигураларының бірі болып табылады. Одан шардың жіптері сияқты «тіктөртбұрыш», «шаршы», «ромб» және басқа геометриялық шамалар ұғымдары шығады.

Байланыста

Параллелограммның анықтамасы

дөңес төртбұрыш,әрбір жұбы параллель болатын кесінділерден тұратын геометрияда параллелограмм деп аталады.

Классикалық параллелограмм ABCD төртбұрышына ұқсайды. Қабырғалары табандар (AB, BC, CD және AD), кез келген төбеден осы төбенің қарама-қарсы жағына жүргізілген перпендикуляр биіктік (BE және BF), AC және BD түзулері диагональдар деп аталады.

Назар аударыңыз!Шаршы, ромб және тіктөртбұрыш параллелограмның ерекше жағдайлары болып табылады.

Қабырғалары мен бұрыштары: қатынас ерекшеліктері

Негізгі қасиеттер, жалпы алғанда, белгілеудің өзі алдын ала белгіленеді, олар теорема арқылы дәлелденеді. Бұл сипаттамалар келесідей:

1. Қарама-қарсы жақтары жұпта бірдей.
2. Бір-біріне қарама-қарсы бұрыштар жұпта тең.

Дәлелдеу: ABCD төртбұрышын АС түзуіне бөлу арқылы алынған ∆ABC және ∆ADC қарастырайық. ∠BCA=∠CAD және ∠BAC=∠ACD, өйткені AC оларға ортақ (тиісінше BC||AD және AB||CD үшін тік бұрыштар). Бұдан шығатыны: ∆ABC = ∆ADC (үшбұрыштар теңдігінің екінші критерийі).

∆ABC-тегі AB және BC сегменттері ∆ADC-тегі CD және AD сызықтарына жұппен сәйкес келеді, бұл олардың бірдей екенін білдіреді: AB = CD, BC = AD. Осылайша, ∠B ∠D сәйкес келеді және олар тең. ∠A=∠BAC+∠CAD болғандықтан, жұптарда да бірдей ∠C=∠BCA+∠ACD, онда ∠A = ∠C. Меншік дәлелденді.

Фигураның диагональдарының сипаттамасы

Негізгі ерекшелігімына параллелограмм түзулері: қиылысу нүктесі оларды екіге бөледі.

Дәлелдеу: ABCD фигурасының AC және BD диагональдарының қиылысу нүктесі m.E болсын. Олар екі пропорционал үшбұрыш құрайды - ∆ABE және ∆CDE.

AB=CD, өйткені олар қарама-қарсы. Сызықтар мен секанттарға сәйкес ∠ABE = ∠CDE және ∠BAE = ∠DCE.

Теңдіктің екінші белгісі бойынша ∆ABE = ∆CDE. Бұл ∆ABE және ∆CDE элементтері: AE = CE, BE = DE және, сонымен қатар, олар AC және BD тең бөліктері болып табылады дегенді білдіреді. Меншік дәлелденді.

Көршілес бұрыштардың ерекшеліктері

Көрші қабырғаларда бұрыштардың қосындысы 180°-қа тең, өйткені олар параллель түзулер мен секанттың бір жағында жатады. ABCD төртбұрышы үшін:

∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º

Биссектриса қасиеттері:

1. , бір жағына түсірілген, перпендикуляр;
2. қарама-қарсы төбелердің параллель биссектрисалары болады;
3. биссектрисасын салу арқылы алынған үшбұрыш тең ​​қабырғалы болады.

Теорема арқылы параллелограмның сипаттамалық белгілерін анықтау

Бұл фигураның ерекшеліктері оның келесідей оқылатын негізгі теоремасынан туындайды: төртбұрыш параллелограмм болып саналадыоның диагональдары қиылысатын жағдайда және бұл нүкте оларды тең кесінділерге бөледі.

Дәлелдеу: ABCD төртбұрышының AC және BD түзулері t Е-де қиылыссын. ∠AED = ∠BEC, және AE+CE=AC BE+DE=BD болғандықтан, ∆AED = ∆BEC (үшбұрыштар теңдігінің бірінші белгісі бойынша). Яғни, ∠EAD = ∠ECB. Олар сонымен қатар AD және BC сызықтары үшін айнымалы ток секантының ішкі қиылысу бұрыштары болып табылады. Сонымен, параллелизмнің анықтамасы бойынша – AD || BC. BC және CD сызықтарының ұқсас қасиеті де шығарылады. Теорема дәлелденді.

Фигураның ауданын есептеу

Бұл фигураның ауданы бірнеше жолмен табылдықарапайымдардың бірі: ол тартылатын биіктік пен негізді көбейту.

Дәлелдеу: В және С төбелерінен BE және CF перпендикулярларын салыңдар. AB = CD және BE = CF болғандықтан ∆ABE және ∆DCF тең. ABCD EBCF тіктөртбұрышына тең, өйткені олар да пропорционалды сандардан тұрады: S ABE және S EBCD, сонымен қатар S DCF және S EBCD. Бұдан шығатыны, бұл геометриялық фигураның ауданы тіктөртбұрыштың ауданымен бірдей:

S ABCD = S EBCF = BE×BC=BE×AD.

Параллелограмм ауданының жалпы формуласын анықтау үшін биіктікті деп белгілейміз hb, және жағы б. Тиісінше:

Ауданды табудың басқа жолдары

Аудандық есептеулер параллелограммның қабырғалары мен бұрышы арқылы, олар қалыптастырады, екінші белгілі әдіс болып табылады.

,

Spr-ma - аймақ;

a және b - оның қабырғалары

α - a және b сегменттері арасындағы бұрыш.

Бұл әдіс іс жүзінде біріншіге негізделген, бірақ ол белгісіз жағдайда. әрқашан параметрлері тригонометриялық сәйкестіктер арқылы табылған тікбұрышты үшбұрышты кесіп тастайды, яғни. Пропорцияны түрлендірсек, аламыз. Бірінші әдістің теңдеуінде биіктікті осы көбейтіндімен ауыстырамыз және осы формуланың жарамдылығының дәлелін аламыз.

Параллелограмм мен бұрыштың диагональдары арқылы,олар қиылысқан кезде жасайды, сіз ауданды да таба аласыз.

Дәлелдеу: AC және BD қиылысу төрт үшбұрышты құрайды: ABE, BEC, CDE және AED. Олардың қосындысы осы төртбұрыштың ауданына тең.

Олардың әрқайсысының ауданын ∆ өрнегінен табуға болады, мұндағы a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB. болғандықтан, онда есептеулерде синустың жалғыз мәні қолданылады. Яғни . AE+CE=AC= d 1 және BE+DE=BD= d 2 болғандықтан, аудан формуласы келесіге азайтылады:

.

Векторлық алгебрада қолданылуы

Бұл төртбұрыштың құрамдас бөліктерінің ерекшеліктері векторлық алгебрада қолдануды тапты, атап айтқанда: екі векторды қосу. Параллелограмм ережесі бұл туралы айтады векторлары берілген болсаЖәнеЖоқколлинеар болса, онда олардың қосындысы осы фигураның диагоналіне тең болады, олардың негіздері осы векторларға сәйкес келеді.

Дәлелдеу: ерікті түрде таңдалған бастаудан - яғни. - және векторларын саламыз. Әрі қарай, OA және OB сегменттері қабырғалар болып табылатын OASV параллелограммын саламыз. Осылайша, ОЖ векторда немесе қосындыда жатыр.

Параллелограммның параметрлерін есептеу формулалары

Сәйкестендірулер келесі шарттарда беріледі:

1. a және b, α - қабырғалары және олардың арасындағы бұрыш;
2. d 1 және d 2 , γ - диагональдар және олардың қиылысу нүктесінде;
3. h a және h b - a және b жақтарына түсірілген биіктіктер;

Параметр	Формула
Тараптарды табу
диагональдардың бойымен және олардың арасындағы бұрыштың косинусы
диагональды және бүйірлік
биіктік және қарама-қарсы шың арқылы
Диагональдардың ұзындығын табу
бүйірлерде және олардың арасындағы үстіңгі жағының өлшемі
бүйірлері мен диагональдарының бірі бойымен	 Қорытынды Параллелограмм геометрияның негізгі фигураларының бірі ретінде өмірде, мысалы, құрылыста учаскенің ауданын немесе басқа өлшемдерді есептеу кезінде қолданылады. Сондықтан оның әртүрлі параметрлерін есептеудің ерекше белгілері мен әдістері туралы білім өмірдің кез келген уақытында пайдалы болуы мүмкін.

Осы тақырып бойынша есептер шығарғанда, қосымша негізгі қасиеттері параллелограммжәне сәйкес формулалар үшін келесілерді есте сақтауға және қолдануға болады:

1. Параллелограмның ішкі бұрышының биссектрисасы одан тең қабырғалы үшбұрышты кесіп тастайды
2. Параллелограмның қабырғаларының біріне іргелес жатқан ішкі бұрыштардың биссектрисалары өзара перпендикуляр
3. Параллелограмның қарама-қарсы ішкі бұрыштарынан келетін, бір-біріне параллель немесе бір түзудің бойында жатқан биссектрисалары
4. Параллелограмның диагональдарының квадраттарының қосындысы оның қабырғаларының квадраттарының қосындысына тең
5. Параллелограммның ауданы диагональдардың олардың арасындағы бұрыштың синусының көбейтіндісінің жартысына тең.

Осы қасиеттерді шешуде қолданылатын тапсырмаларды қарастырайық.

1-тапсырма.

ABCD параллелограммының С бұрышының биссектрисасы M нүктесінде AD қабырғасын және Е нүктесінде А нүктесінен кейінгі АВ қабырғасының жалғасын қиып өтеді. Параллелограммның периметрін табыңыз, егер AE \u003d 4, DM \u003d 3.

Шешім.

1. CMD үшбұрышының тең қабырғасы. (1-қасиет). Демек, CD = MD = 3 см.

2. EAM үшбұрышы тең қабырғалы.
Демек, AE = AM = 4 см.

3. AD = AM + MD = 7 см.

4. Периметрі ABCD = 20 см.

Жауап. 20 см

2-тапсырма.

Диагональдары дөңес ABCD төртбұрышында сызылған. ABD, ACD, BCD үшбұрыштарының аудандары тең екені белгілі. Берілген төртбұрыштың параллелограмм екенін дәлелдеңдер.

Шешім.

1. ABD үшбұрышының биіктігі BE, ACD үшбұрышының биіктігі CF болсын. Есептің шарты бойынша үшбұрыштардың аудандары тең және олардың ортақ табаны AD болғандықтан, бұл үшбұрыштардың биіктіктері тең болады. BE = CF.

2. BE, CF AD-ге перпендикуляр. В және С нүктелері AD түзуінің бір жағында орналасқан. BE = CF. Демек, BC || сызығы AD. (*)

3. ACD үшбұрышының биіктігі AL, BCD үшбұрышының биіктігі BK болсын. Есептің шарты бойынша үшбұрыштардың аудандары тең және олардың ортақ CD негізі болғандықтан, бұл үшбұрыштардың биіктіктері тең болады. AL = BK.

4. AL және BK CD-ге перпендикуляр. В және А нүктелері CD түзуінің бір жағында орналасқан. AL = BK. Сондықтан АВ || сызығы CD (**)

5. (*), (**) шарттары ABCD параллелограмм екенін білдіреді.

Жауап. Дәлелденген. ABCD — параллелограмм.

3-тапсырма.

ABCD параллелограммының ВС және CD қабырғаларында BM және HD кесінділері О нүктесінде қиылысатындай етіп сәйкесінше M және H нүктелері белгіленген;<ВМD = 95 о,