Trigonometrijske funkcije lekcije kutnog argumenta. Što je radijan

Lekcija i prezentacija na temu: "Trigonometrijska funkcija kutnog argumenta, stupanjska mjera kuta i radijani"

Dodatni materijali
Dragi korisnici, ne zaboravite ostaviti svoje komentare, povratne informacije, prijedloge. Svi materijali su provjereni antivirusnim programom.

Priručnici i simulatori u online trgovini "Integral" za razred 10 od 1C
Rješavamo zadatke iz geometrije. Interaktivni zadaci građenja
Rješavamo zadatke iz geometrije. Interaktivni zadaci za građenje u prostoru

Što ćemo proučavati:
1. Prisjetimo se geometrije.
2. Definicija kutnog argumenta.
3. Stupnjevna mjera kuta.
4. Radijanska mjera kuta.
5. Što je radijan?
6. Primjeri i zadaci za samostalno rješavanje.

Ponavljanje geometrije

Dečki, na našim funkcijama:

y= sin(t), y= cos(t), y= tg(t), y= ctg(t)

Varijabla t može poprimiti ne samo numeričke vrijednosti, odnosno biti numerički argument, već se može smatrati i mjerom kuta - kutnim argumentom.

Pogledajmo geometriju!
Kako smo tamo definirali sinus, kosinus, tangens, kotangens?

Sinus kuta je omjer suprotnog kraka i hipotenuze

Kosinus kuta - omjer susjedne noge i hipotenuze

Tangens kuta je omjer suprotnog kraka i susjednog.

Kotangens kuta je omjer susjednog kraka i suprotnog kraka.

Definicija trigonometrijske funkcije kutnog argumenta

Definirajmo trigonometrijske funkcije kao funkcije argumenta kuta na brojevnoj kružnici:
Uz pomoć numeričke kružnice i koordinatnog sustava uvijek lako možemo pronaći sinus, kosinus, tangens i kotangens kuta:

Vrh našeg kuta α postavimo u središte kružnice, tj. u središte koordinatne osi i postavite jednu od stranica tako da se poklapa s pozitivnim smjerom x-osi (OA)
Tada druga stranica siječe brojevnu kružnicu u točki M.

Ordinata točke M: sinus kuta α
Apscisa točke M: kosinus kuta α

Imajte na umu da je duljina luka AM isti dio jedinične kružnice kao naš kut α od 360 stupnjeva: gdje je t duljina luka AM.

Stupanjska mjera kuta

1) Dečki, dobili smo formulu za određivanje stupnjeve mjere kuta kroz duljinu luka numeričke kružnice, pogledajmo je pobliže:

Zatim trigonometrijske funkcije zapišemo u obliku:

Na primjer:

Radijanska mjera kutova

Kada računate stupanj ili radijansku mjeru kuta, zapamtite! :
Na primjer:

Usput! Oznaka rad. možeš pasti!

Što je radijan?

Dragi prijatelji, naišli smo na novi koncept - Radijan. Pa što je to?

postojati razne mjere duljina, vrijeme, težina na primjer: metar, kilometar, sekunda, sat, gram, kilogram i drugo. Dakle, radijan je jedna od mjera kuta. Vrijedno je razmotriti središnje kutove, odnosno smještene u središtu numeričkog kruga.
Kut od 1 stupnja je središnji kut koji se temelji na luku jednakom 1/360 opsega.

Kut od 1 radijana je središnji kut koji se temelji na luku jednakom 1 u jediničnoj kružnici, a u proizvoljnoj kružnici na luku jednakom polumjeru kružnice.

Primjeri:

Primjeri pretvorbe stupnjeve mjere kuta u radijane i obrnuto

Zadaci za samostalno rješavanje

1. Nađite radijansku mjeru kutova:
a) 55° b) 450° c) 15° d) 302°

2. Pronađite:
a) sin(150°) b) cos(45°) c) tg(120°)

3. Odredite stupanjsku mjeru kutova:

Koji god se realni broj t uzme, može mu se dodijeliti jedinstveno definiran broj sin t. Istina, pravilo korespondencije prilično je komplicirano; kao što smo vidjeli gore, sastoji se u sljedećem.

Da biste pronašli vrijednost sin t prema broju t, trebate:

1) brojevnu kružnicu postaviti u koordinatnu ravninu tako da se središte kružnice poklapa s ishodištem koordinata, a početna točka A kružnice pogađa točku (1; 0);

2) pronaći točku na kružnici koja odgovara broju t;

3) nađite ordinatu te točke.

Ova ordinata je sin t.

Zapravo, govorimo o funkciji u = sin t, gdje je t bilo koji realni broj.

Sve te funkcije nazivaju se trigonometrijske funkcije numeričkog argumenta t.

Postoji niz relacija koje povezuju vrijednosti raznih trigonometrijskih funkcija, neke od tih relacija smo već primili:

sin 2 t + cos 2 t = 1

Iz posljednje dvije formule lako je dobiti relaciju koja povezuje tg t i ctg t:

Sve ove formule koriste se u onim slučajevima kada je, znajući vrijednost bilo koje trigonometrijske funkcije, potrebno izračunati vrijednosti preostalih trigonometrijskih funkcija.

Pojmovi "sinus", "kosinus", "tangens" i "kotangens" zapravo su bili poznati, no ipak su se koristili u malo drugačijem tumačenju: u geometriji i fizici smatrali su sinus, kosinus, tangens i kotangens g l a(ali ne

brojevi, kao što je bilo u prethodnim paragrafima).

Iz geometrije je poznato da je sinus (kosinus) šiljastog kuta omjer kraka pravokutnog trokuta i njegove hipotenuze, a tangens (kotangens) kuta omjer krakova pravokutnog trokuta. Različiti pristup konceptima sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa razvijen je u prethodnim paragrafima. Zapravo, ti su pristupi međusobno povezani.

Uzmimo kut sa stupnjevitom mjerom b o i rasporedimo ga u model "brojčane kružnice u pravokutnom koordinatnom sustavu" kao što je prikazano na sl. 14

vrh kuta kompatibilan sa središtem

kružnice (s ishodištem koordinatnog sustava),

a jedna strana kuta je kompatibilna s

pozitivna zraka x-osi. točka

sjecište druge stranice kuta sa

krug ćemo označiti slovom M. Ordina-

Slika 14 b o , a apscisa te točke je kosinus kuta b o .

Za pronalaženje sinusa ili kosinusa kuta b o uopće nije potrebno svaki put praviti ove vrlo složene konstrukcije.

Dovoljno je uočiti da je luk AM isti dio duljine brojčane kružnice kao i kut b o od kuta od 360°. Ako duljinu luka AM označimo slovom t, dobivamo:

Tako,

Na primjer,

Vjeruje se da je 30° stupnjevna mjera kuta i radijanska mjera istog kuta: 30° = rad. Uopće:

Posebno mi je drago odakle, pak, dolazimo.

Dakle, koliko je 1 radijan? Postoje razne mjere duljine segmenata: centimetri, metri, jardi itd. Također postoje različite mjere za označavanje veličine kutova. Promatramo središnje kutove jedinične kružnice. Kut od 1° je središnji kut koji se temelji na luku koji je dio kružnice. Kut od 1 radijana je središnji kut koji se temelji na luku duljine 1, tj. na luk čija je duljina jednaka polumjeru kružnice. Iz formule dobivamo da je 1 rad \u003d 57,3 °.

Uzimajući u obzir funkciju u = sin t (ili bilo koju drugu trigonometrijsku funkciju), nezavisnu varijablu t možemo smatrati numeričkim argumentom, kao što je bio slučaj u prethodnim paragrafima, ali ovu varijablu možemo također smatrati mjerom kuta, tj. kutni argument. Stoga je, govoreći o trigonometrijskoj funkciji, u određenom smislu ravnodušno smatrati je funkcijom numeričkog ili kutnog argumenta.

Trigonometrijske funkcije numeričkog argumenta raščlanili smo. Uzeli smo točku A na kružnici i tražili sinuse i kosinuse iz rezultirajućeg kuta β.

Točku smo označili s A, ali u algebri se često označava s t i sve formule/funkcije su zadane s njom. Također nećemo odstupiti od kanona. Oni. t - to će biti određeni broj, i stoga numerička funkcija(npr. sint)

Logično je da budući da imamo kružnicu polumjera jedan, onda

Trigonometrijske funkcije kutnog argumenta također smo ga uspješno raščlanili - prema kanonima, za takve ćemo funkcije pisati: sin α °, što znači pod α ° bilo koji kut s brojem stupnjeva koji nam je potreban.

Zraka ovog kuta dat će nam drugu točku na kružnici (OA - točka A) i odgovarajuće točke C i B za funkciju numeričkog argumenta, ako nam treba: sin t = sin α°

Pravci sinusa, kosinusa, tangensa i kotangenata

Nikad to nemoj zaboraviti y-os je sinusna linija, x-os je linija kosinusa! Na tim osima označene su točke dobivene iz kruga.

A pravci tangenti i kotangenata su s njima paralelni i prolaze kroz točke (1; 0) i (0; 1) odnosno.

Video lekcija "Trigonometrijske funkcije kutnog argumenta" vizualni je materijal za izvođenje lekcije matematike na odgovarajuću temu. Videozapis je sastavljen na takav način da je proučavano gradivo predstavljeno što prikladnije za razumijevanje učenika, lako se pamti, dobro otkriva vezu između dostupnih informacija o trigonometrijskim funkcijama iz odjeljka o proučavanju trokuta i njihove definicije pomoću jedinične kružnice. Može postati samostalan dio lekcije, jer u potpunosti pokriva ova tema, dopunjen važnim komentarima u tijeku bodovanja.

Da se jasno pokaže veza razne definicije trigonometrijske funkcije, koriste se efekti animacije. Označavanje teksta bojom, jasne razumljive konstrukcije, dopunjavanje komentarima pomaže u bržem savladavanju, pamćenju gradiva i bržem postizanju ciljeva lekcije. Povezanost između definicija trigonometrijskih funkcija zorno se pokazuje animacijskim efektima i isticanjem boja, što pridonosi razumijevanju i pamćenju gradiva. Priručnik je usmjeren na poboljšanje učinkovitosti treninga.

Lekcija počinje uvodom u temu. Zatim se prisjećaju definicije sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa šiljastog kuta pravokutnog trokuta. Definicija istaknuta u okviru podsjeća da su sinus i kosinus oblikovani kao omjer kateta i hipotenuze, a tangens i kotangens oblikovani su omjerom kateta. Učenici se također podsjećaju na nedavno proučavano gradivo da kada se razmatra točka koja pripada jediničnoj kružnici, apscisa točke je kosinus, a ordinata je sinus broja koji odgovara toj točki. Povezanost ovih pojmova demonstrirana je konstrukcijom. Na ekranu se prikazuje jedinična kružnica postavljena tako da joj se središte poklapa s ishodištem. Iz koordinatnog ishodišta konstruirana je zraka koja s pozitivnom poluosi apscise zaklapa kut α. Ta zraka siječe jediničnu kružnicu u točki O. Okomice se spuštaju iz točke na apscisu i os y, pokazujući da koordinate te točke određuju kosinus i sinus kuta α. Primjećuje se da je duljina luka AO od sjecišta jedinične kružnice s pozitivnim smjerom osi apscisa do točke O jednak dio cijelog luka kao i kut α od 360°. To vam omogućuje da napravite proporciju α/360=t/2π, koja se prikazuje upravo tamo i označena crvenom bojom za pamćenje. Vrijednost t=πα/180° izvedena je iz ovog omjera. Uzimajući ovo u obzir, određuje se odnos između definicija sinusa i kosinusa sinα°= sint= sinπα/180, cosα°=trošak=cosπα/180. Na primjer, dan je pronalazak sin60 °. Zamjenom stupnjeve mjere kuta u formulu dobivamo sin π 60°/180°. Smanjujući razlomak za 60, dobivamo sin π/3, što je jednako √3/2. Napominje se da ako je 60° mjera stupnja kuta, tada se π/3 naziva radijanska mjera kuta. Postoje dva moguća zapisa omjera stupnjeve mjere kuta i radijana: 60°=π/3 i 60°=π/3 rad.

Koncept kuta od jednog stupnja definiran je kao središnji kut koji se temelji na luku čija duljina 1/360 predstavlja dio opsega. Sljedeća definicija otkriva koncept kuta od jednog radijana - središnjeg kuta temeljenog na luku duljine jedan, ili jednakom polumjeru kruga. Definicije su označene kao važne i istaknute za pamćenje.

Za pretvorbu mjere kuta od jednog stupnja u radijan i obrnuto koristi se formula α ° \u003d πα / 180 rad. Ova formula je istaknuta u okviru na ekranu. Iz ove formule slijedi da je 1°=π/180 rad. U ovom slučaju jedan radijan odgovara kutu od 180°/π≈57,3°. Napominje se da se pri pronalaženju vrijednosti trigonometrijskih funkcija nezavisne varijable t može smatrati i numeričkim argumentom i kutnim.

Nadalje, prikazani su primjeri korištenja stečenog znanja u tijeku rješavanja matematičkih zadataka. U primjeru 1 potrebno je pretvoriti vrijednosti iz stupnjeva u radijane 135° i 905°. Na desnoj strani ekrana nalazi se formula koja prikazuje odnos između stupnja i radijana. Nakon zamjene vrijednosti u formulu, dobivamo (π/180) 135. Nakon što ovaj razlomak smanjimo za 45, dobivamo vrijednost 135°=3π/4. Za pretvorbu kuta od 905° u radijane koristi se ista formula. Nakon zamjene vrijednosti u nju, ispada (π / 180) 905 \u003d 181π / 36 rad.

U drugom primjeru rješava se inverzni problem - nalazi se stupanjska mjera kutova izražena u radijanima π/12, -21π/20, 2.4π. Na desnoj strani ekrana prisjeća se proučavana formula za odnos između stupnja i radijanske mjere kuta 1 rad \u003d 180 ° / π. Svaki primjer je riješen zamjenom mjere radijana u formulu. Zamjenom π/12 dobivamo (180°/π)·(π/12)=15°. Slično se nalaze vrijednosti preostalih kutova -21π/20=-189° i 2,4π=432°.

Video lekcija "Trigonometrijske funkcije kutnog argumenta" preporuča se koristiti u tradicionalnim satovima matematike kako bi se povećala učinkovitost učenja. Materijal će pomoći u pružanju vizualizacije učenja tijekom učenja na daljinu na ovu temu. Detaljno, razumljivo objašnjenje teme, rješavanje problema na njoj može pomoći učeniku da samostalno savlada gradivo.

INTERPRETACIJA TEKSTA:

"Trigonometrijske funkcije kutnog argumenta".

Iz geometrije već znamo da je sinus (kosinus) šiljastog kuta pravokutnog trokuta omjer kateta i hipotenuze, a tangens (kotangens) omjer kateta. A u algebri apscisu točke na jediničnoj kružnici nazivamo kosinusom, a ordinatu te točke sinusom. Pobrinut ćemo se da sve to bude međusobno usko povezano.

Postavimo kut sa stupnjevnom mjerom α° (alfa stupnjeva), kao što je prikazano na slici 1: vrh kuta je kompatibilan sa središtem jedinične kružnice (s ishodištem koordinatnog sustava), a jedna strana kuta kut je kompatibilan s pozitivnom zrakom x-osi. Druga stranica kuta siječe kružnicu u točki O. Ordinata točke O je sinus kuta alfa, a apscisa te točke je kosinus alfa.

Imajte na umu da je luk AO isti dio duljine jedinične kružnice kao što je kut alfa od kuta od tristo šezdeset stupnjeva. Označimo duljinu luka AO kroz t(te), tada ćemo napraviti omjer =

(alfa se odnosi na fondove od šezdeset kao te prema dva pi).Odavde nalazimo te: t = = (te je jednako pi alfa podijeljeno sa sto osamdeset).

Dakle, da biste pronašli sinus ili kosinus kuta alfa stupnjeva, možete koristiti formulu:

sin α ° \u003d sint \u003d sin (sinus alfa stupnjeva jednak je sinusu te i jednak je sinusu privatnog pi alfa do sto osamdeset),

cosα° \u003d trošak \u003d cos (kosinus alfa stupnjeva jednak je kosinusu te i jednak je kosinusu privatnog pi alfa na sto osamdeset).

Na primjer, sin 60 ° \u003d sin \u003d sin \u003d (sinus od šezdeset stupnjeva jednak je sinusu od pi za tri, prema tablici osnovnih vrijednosti sinusa, jednak je korijenu od tri po dva).

Vjeruje se da je 60° mjera kuta u stupnjevima, a (pi sa tri) radijanska mjera istog kuta, odnosno 60° = radostan(šezdeset stupnjeva jednako je pi puta tri radijana). Radi sažetosti, dogovorili smo notaciju radostan izostaviti, odnosno dopušten je sljedeći zapis: 60°= (prikaži kratice radijanska mjera = rad.)

Kut od jednog stupnja je središnji kut koji je oslonjen na luk koji je (jedan tristo šezdeseti) dio luka. Kut od jednog radijana je središnji kut koji se naslanja na luk duljine jedan, odnosno na luk čija je duljina jednaka polumjeru kruga (smatramo da središnji kutovi jedinične kružnice pokazuju kut u pi radijani na kružnici).

Prisjetimo se važne formule za pretvaranje mjere stupnja u radijan:

α° = radostan. (alfa je jednako pi alfa podijeljeno sa sto osamdeset radijana) Konkretno, 1° = radostan(jedan stupanj jednak pi podijeljen sa sto osamdeset radijana).

Iz ovoga možemo pronaći da je jedan radijan jednak omjeru od sto osamdeset stupnjeva prema pi i približno je jednak pedeset sedam zarez tri desetinke stupnja: 1 radostan= ≈ 57,3°.

Iz gore navedenog: kada govorimo o bilo kojoj trigonometrijskoj funkciji, na primjer, o funkciji s \u003d sint (es je jednako sinus te), nezavisna varijabla t (te) može se smatrati i numeričkim argumentom i kutnim argumentom.

Razmotrite primjere.

PRIMJER 1. Pretvori iz stupnjeva u radijane: a) 135°; b) 905°.

Riješenje. Upotrijebimo formulu za pretvaranje stupnjeva u radijane:

a) 135° = 1° ∙ 135 = radostan ∙ 135 = radostan

(stotinu trideset pet stupnjeva jednako je pi puta sto osamdeset radijana puta sto trideset pet, a nakon smanjenja je tri pi puta četiri radijana)

b) Slično, koristeći formulu za pretvaranje stupnjeve mjere u radijan, dobivamo

905° = radostan ∙ 905 = radostan.

(devetsto pet stupnjeva jednako je sto osamdeset jedan pi puta trideset šest radijana).

PRIMJER 2. Izrazite u stupnjevima: a) ; b) -; c) 2,4π

(pi puta dvanaest; minus dvadeset i jedan pi puta dvadeset; dva zarez četiri desetine pi).

Riješenje. a) Izrazite u stupnjevima pi s dvanaest, upotrijebite formulu za prevođenje radijanske mjere kuta u mjeru stupnjeva u 1 radostan=, dobivamo

radostan = 1 radostan∙ = ∙ = 15°

Slično b) - = 1 radostan∙ (-) \u003d ∙ (-) \u003d - 189 ° (minus dvadeset jedan pi sa dvadeset jednako je minus sto osamdeset devet stupnjeva),

c) 2,4π = 1 radostan∙ 2,4π = ∙ 2,4π = 432° (dva zarez četiri od pi jednako je četiri stotine trideset i dva stupnja).