Trokut je geometrijski broj sastavljen od tri segmenta koji spajaju tri točke koje ne leže na istom pravcu. Točke koje tvore trokut nazivaju se njegovim točkama, a segmenti su jedan pored drugog.

Ovisno o vrsti trokuta (pravokutni, jednobojni i sl.) stranicu trokuta možete izračunati na različite načine, ovisno o ulaznim podacima i uvjetima zadatka.

Brza navigacija za članak

Za izračun stranica pravokutnog trokuta koristi se Pitagorin poučak prema kojem je kvadrat hipotenuze jednak zbroju kvadrata katete.

Ako katete označimo s "a" i "b", a hipotenuzu s "c", tada se mogu pronaći stranice sa sljedećim formulama:

Ako su poznati oštri kutovi pravokutnog trokuta (a i b), njegove se stranice mogu pronaći pomoću sljedećih formula:

izrezani trokut

Trokutom se naziva jednakostranični trokut kojemu su obje stranice jednake.

Kako pronaći hipotenuzu u dvije noge

Ako je slovo "a" identično istoj stranici, "b" je baza, "b" je kut nasuprot osnovici, "a" je susjedni kut, sljedeće formule mogu se koristiti za izračunavanje stranica:

Dva ugla i strana

Ako su poznata jedna stranica (c) i dva kuta (a i b) bilo kojeg trokuta, za izračun preostalih stranica koristi se formula sinusa:

Morate pronaći treću vrijednost y = 180 - (a + b) jer

zbroj svih kutova trokuta je 180°;

Dvije strane i kut

Ako su poznate dvije stranice trokuta (a i b) i kut između njih (y), kosinusni teorem može se koristiti za izračun treće strane.

Kako odrediti opseg pravokutnog trokuta

Trokutasti trokut je trokut, od kojih je jedan 90 stupnjeva, a druga dva su oštra. izračun perimetar takav trokut ovisno o količini poznatih informacija o tome.

Trebat će ti

• Ovisno o prilici, vještine 2 tri strane trokuta, kao i jedan od njegovih oštrih kutova.

upute

prvi Metoda 1. Ako su poznate sve tri stranice trokut Zatim, bez obzira je li okomit ili ne trokutast, opseg se izračunava kao: P = A + B + C, gdje je moguće, c je hipotenuza; a i b su noge.

drugi Metoda 2.

Ako pravokutnik ima samo dvije strane, tada koristeći Pitagorin teorem, trokut može se izračunati pomoću formule: P = v (a2 + b2) + a + b ili P = v (c2 - b2) + b + c.

treći Metoda 3. Neka je hipotenuza c i šiljasti kut? S obzirom na pravokutni trokut, opseg će biti moguće pronaći na ovaj način: P = (1 + sin?

Četvrta Metoda 4. Kažu da je u pravokutnom trokutu duljina jedne noge jednaka a i, naprotiv, ima oštar kut. Zatim izračunajte perimetar Ovaj trokut izvršit će se prema formuli: P = a * (1 / tg?

1 / sin? + 1)

peti Metoda 5.

Online izračun trokuta

Neka naša noga vodi i bude uključena u nju, tada će se raspon izračunati kao: P = A * (1 / CTG + 1 / + 1 cos?)

Slični videozapisi

Pitagorina teorema je osnova svake matematike. Određuje odnos između stranica pravog trokuta. Sada postoji 367 dokaza ove teoreme.

upute

prvi Klasična školska formulacija Pitagorinog teorema zvuči ovako: kvadrat hipotenuze jednak je zbroju kvadrata nogu.

Da biste pronašli hipotenuzu u pravokutnom trokutu od dva Cateta, morate kvadrirati duljinu kateta, sastaviti ih i izvaditi kvadratni korijen zbroja. U izvornoj formulaciji njegove izjave, tržište se temelji na hipotenuzi, jednakoj zbroju kvadrata 2 kvadrata koje je proizveo Catete. Međutim, moderna algebarska formulacija ne zahtijeva uvođenje prikaza domene.

drugi Na primjer, pravokutni trokut čije su katete 7 cm i 8 cm.

Tada je, prema Pitagorinom poučku, kvadratna hipotenuza R + S = 49 + 64 = 113 cm. Hipotenuza je jednaka kvadratnom korijenu iz 113.

Kutovi pravokutnog trokuta

Rezultat je bio nerazuman broj.

treći Ako su trokuti katete 3 i 4, tada je hipotenuza = 25 = 5. Kad izvadite kvadratni korijen, dobit ćete prirodan broj. Brojevi 3, 4, 5 tvore Pigagorinu trojku, budući da zadovoljavaju relaciju x? +Y? = Z, što je prirodno.

Drugi primjeri Pitagorinog trojca su: 6, 8, 10; 5, 12, 13; 15, 20, 25; 9, 40, 41.

Četvrta U ovom slučaju, ako su noge identične jedna drugoj, Pitagorin teorem pretvara se u primitivniju jednadžbu. Na primjer, neka je takva kazaljka jednaka broju A i hipotenuza je definirana za C, a onda c? = Ap + Ap, C = 2A2, C = A? 2. U ovom slučaju ne trebate A.

peti Pitagorin teorem je poseban slučaj koji je veći od općeg kosinusnog teorema, koji uspostavlja odnos između triju stranica trokuta za bilo koji kut između njih dvije.

Savjet 2: Kako odrediti hipotenuzu za katete i kutove

Hipotenuza se naziva stranica u pravokutnom trokutu koja je nasuprot kutu od 90 stupnjeva.

upute

prvi U slučaju dobro poznatih katetera, kao i oštrog kuta pravokutnog trokuta, hipotenuza može imati veličinu jednaku omjeru noge i kosinusa / sinusa ovog kuta, ako je kut bio suprotan / e uključiti : H = C1 (ili C2) / sin, H = C1 (ili S2 ?) / cos ?. Primjer: Neka je ABC dan nepravilni trokut s hipotenuzom AB i pravim kutom C.

Neka B bude 60 stupnjeva, a A 30 stupnjeva. Duljina debla BC je 8 cm.Treba pronaći duljinu hipotenuze AB. Da biste to učinili, možete koristiti jednu od gore navedenih metoda: AB = BC / cos60 = 8 cm AB = BC / sin30 = 8 cm.

Hipotenuza je najduža stranica pravokutnika trokut. Nalazi se pod pravim kutom. Metoda određivanja hipotenuze pravokutnika trokut ovisno o izvornim podacima.

upute

prvi Ako su vam noge okomite trokut, zatim duljina hipotenuze pravokutnika trokut može se pronaći pitagorejskim analogom - kvadrat duljine hipotenuze jednak je zbroju kvadrata duljina kateta: c2 = a2 + b2, gdje su a i b duljine kateta desne trokut .

drugi Ako je poznato, a jedna od nogu je pod oštrim kutom, formula za pronalaženje hipotenuze ovisit će o prisutnosti ili odsutnosti pod određenim kutom u odnosu na poznatu nogu - susjednu (noga se nalazi blizu), ili obrnuto (suprotan slučaj nalazi se nego.V navedenog kuta jednak je razlomku kraka hipotenuze u kosinusnom kutu: a = a / cos; E, s druge strane, hipotenuza je jednaka omjeru sinusnih kutova : da = a / sin.

Slični videozapisi

Korisni savjeti
Kutni trokut čije su stranice spojene kao 3:4:5, nazvan je egipatska delta, zbog činjenice da su ove figure naširoko koristili arhitekti drevnog Egipta.

Ovo je također najjednostavniji primjer Jeronovih trokuta, sa stranicama i površinom predstavljenim kao cijeli brojevi.

Trokutom se naziva pravokutnik čiji je kut 90°. Strana nasuprot desnom kutu naziva se hipotenuza, druga strana se zove katete.

Ako želite saznati kako pravokutni trokut nastaje pomoću nekih svojstava pravilnih trokuta, naime činjenice da je zbroj šiljastih kutova 90°, što se koristi, i činjenice da je duljina nasuprotnog kraka polovica hipotenuze je 30°.

Brza navigacija za članak

izrezani trokut

Jedno od svojstava jednakog trokuta je da su mu dva kuta jednaka.

Da biste izračunali kut pravokutnog jednakostraničnog trokuta, morate znati sljedeće:

• Nije lošiji od 90°.
• Vrijednosti oštrih kutova određene su formulom: (180 ° -90 °) / 2 = 45 °, tj.

  Kutovi α i β iznose 45°.

Ako je poznata vrijednost jednog od oštrih kutova, drugi se može pronaći pomoću formule: β = 180º-90º-α ili α = 180º-90º-β.

Ovaj omjer se najčešće koristi ako je jedan od kutova 60° ili 30°.

Ključni koncepti

Zbroj unutarnjih kutova trokuta je 180°.

Budući da je to jedna razina, dvije ostaju oštre.

Izračunajte trokut online

Ako ih želite pronaći, morate znati sljedeće:

druge metode

Vrijednosti oštrog kuta pravokutnog trokuta mogu se izračunati iz srednje vrijednosti - crtom iz točke na suprotnoj strani trokuta, a visina - linija je okomica povučena iz hipotenuze pod pravim kutom.

Neka se medijan proteže od desnog kuta do sredine hipotenuze, a h je visina. U ovom slučaju ispada da:

• sinα = b / (2 * s); sin β = a / (2 * s).
• cosα = a / (2 * s); cos β = b / (2 * s).
• sinα = h / b; sin β = h / a.

Dvije stranice

Ako su duljine hipotenuze i jedne od nogu poznate u pravokutnom trokutu ili s dvije strane, tada se za određivanje vrijednosti oštrih kutova koriste trigonometrijski identiteti:

• α=arcsin(a/c), β=arcsin(b/c).
• α=arcos(b/c), β=arcos(a/c).
• α = arctan (a / b), β = arctan (b / a).

Duljina pravokutnog trokuta

Površina i površina trokuta

perimetar

Opseg svakog trokuta jednak je zbroju duljina triju stranica. Opća formula za pronalaženje trokutastog trokuta je:

gdje je P opseg trokuta, a, b i c njegove stranice.

Opseg jednakog trokuta može se pronaći uzastopnim kombiniranjem duljina njegovih stranica ili množenjem duljine stranice s 2 i dodavanjem duljine baze proizvodu.

Opća formula za pronalaženje ravnotežnog trokuta izgledat će ovako:

gdje je P opseg jednakog trokuta, ali b, b su osnovica.

Opseg jednakostraničnog trokuta može se pronaći uzastopnim kombiniranjem duljina njegovih stranica ili množenjem duljine bilo koje stranice s 3.

Opća formula za pronalaženje ruba jednakostraničnog trokuta izgledala bi ovako:

gdje je P opseg jednakostraničnog trokuta, a je bilo koja njegova stranica.

regija

Ako želite izmjeriti površinu trokuta, možete ga usporediti s paralelogramom. Promotrimo trokut ABC:

Ako uzmemo isti trokut i popravimo ga tako da dobijemo paralelogram, dobit ćemo paralelogram iste visine i baze kao ovaj trokut:

U ovom slučaju, zajednička stranica trokuta presavijena je duž dijagonale oblikovanog paralelograma.

Iz svojstava paralelograma. Poznato je da su dijagonale paralelograma uvijek podijeljene na dva jednaka trokuta, tada je površina svakog trokuta jednaka polovici opsega paralelograma.

Budući da je površina paralelograma umnožak visine baze, površina trokuta bit će polovica tog umnoška. Dakle, za ΔABC područje će biti isto

Sada razmotrite pravokutni trokut:

Dva jednaka pravokutna trokuta mogu se saviti u pravokutnik ako se na njih prisloni, a to je svaka druga hipotenuza.

Budući da se površina pravokutnika podudara s površinom susjednih stranica, površina ovog trokuta je ista:

Iz ovoga možemo zaključiti da je površina svakog pravokutnog trokuta jednaka umnošku kateta podijeljenom s 2.

Iz ovih primjera možemo zaključiti da je površina svakog trokuta jednaka umnošku duljine, a visina se svodi na osnovicu podijeljenu s 2.

Opća formula za pronalaženje površine trokuta izgledala bi ovako:

gdje je S površina trokuta, ali njegova baza, ali visina pada na dno a.

Izgradnja bilo kojeg krova nije tako jednostavna kao što se čini. A ako želite da bude pouzdan, izdržljiv i da se ne boji raznih opterećenja, tada prije, čak iu fazi projektiranja, morate napraviti mnogo izračuna. I oni će uključivati ​​ne samo količinu materijala koji se koristi za ugradnju, već i određivanje kutova nagiba, površine padina itd. Kako pravilno izračunati kut krova? Od ove vrijednosti uvelike će ovisiti ostali parametri ovog dizajna.

Projektiranje i izgradnja bilo kojeg krova uvijek je vrlo važan i odgovoran posao. Pogotovo kada je riječ o krovu stambene zgrade ili krovu složenog oblika. Ali čak i uobičajena šupa, postavljena na neuglednu šupu ili garažu, treba samo preliminarne izračune.

Ako unaprijed ne odredite kut nagiba krova, ne saznate koju optimalnu visinu treba imati greben, tada postoji veliki rizik od izgradnje krova koji će se srušiti nakon prvog snijega, ili sav završni premaz otkinut će s njega čak i umjeren vjetar.

Također, kut nagiba krova značajno će utjecati na visinu grebena, površinu i dimenzije padina. Ovisno o tome, bit će moguće točnije izračunati količinu materijala potrebnih za izradu rafter sustava i završnu obradu.

Cijene raznih vrsta krovnih sljemena

Krovni greben

Jedinice

Sjećajući se geometrije koju su svi učili u školi, sigurno je reći da se kut krova mjeri u stupnjevima. Međutim, u knjigama o građevinarstvu, kao iu raznim crtežima, možete pronaći i drugu opciju - kut je označen kao postotak (ovdje mislimo na omjer visine).

općenito, kut nagiba je kut koji čine dvije ravnine koje se sijeku- preklapanje i izravno nagib krova. Može biti samo oštar, odnosno ležati u rasponu od 0-90 stupnjeva.

Napomena! Vrlo strme padine, čiji je kut veći od 50 stupnjeva, izuzetno su rijetke u svom čistom obliku. Obično se koriste samo za ukrašavanje krovova, mogu biti prisutni na tavanima.

Što se tiče mjerenja kutova krova u stupnjevima, onda je sve jednostavno - svi koji su učili geometriju u školi imaju to znanje. Dovoljno je na papiru skicirati shemu krova i pomoću kutomjera odrediti kut.

Što se tiče postotaka, onda morate znati visinu grebena i širinu zgrade. Prvi pokazatelj se dijeli s drugim, a dobivena vrijednost se množi sa 100%. Tako se može izračunati postotak.

Napomena! Pri postotku od 1, tipični stupanj nagiba je 2,22%. To jest, nagib s kutom od 45 običnih stupnjeva jednak je 100%. A 1 posto je 27 lučnih minuta.

Tablica vrijednosti - stupnjevi, minute, postoci

Koji čimbenici utječu na kut nagiba?

Na kut nagiba bilo kojeg krova utječe vrlo velik broj čimbenika, od želja budućeg vlasnika kuće do regije u kojoj će se kuća nalaziti. Prilikom izračuna važno je uzeti u obzir sve suptilnosti, čak i one koje se na prvi pogled čine beznačajnima. U nekom trenutku oni mogu odigrati svoju ulogu. Odredite odgovarajući kut nagiba krova, znajući:

• vrste materijala od kojih će se graditi krovna pita, počevši od rešetkastog sustava i završavajući vanjskom završnom obradom;
• klimatski uvjeti u području (opterećenje vjetrom, prevladavajući smjer vjetra, oborine itd.);
• oblik buduće zgrade, njegova visina, dizajn;
• namjena zgrade, mogućnosti korištenja tavanskog prostora.

U onim regijama gdje postoji jako opterećenje vjetrom, preporuča se izgraditi krov s jednim nagibom i malim kutom nagiba. Zatim, s jakim vjetrom, vjerojatnije je da će se krov oduprijeti i neće biti otkinut. Ako regiju karakterizira velika količina oborina (snijeg ili kiša), onda je bolje napraviti nagib strmiji - to će omogućiti da se oborina kotrlja / odvodi s krova i ne stvara dodatno opterećenje. Optimalni nagib krovnog krova u vjetrovitim područjima varira između 9-20 stupnjeva, a gdje ima puno padalina - do 60 stupnjeva. Kut od 45 stupnjeva omogućit će vam općenito zanemarivanje opterećenja snijegom, ali u ovom slučaju tlak vjetra na krovu bit će 5 puta veći nego na krovu s nagibom od samo 11 stupnjeva.

Napomena! Što su veći parametri nagiba krova, to će više materijala biti potrebno za njegovu izradu. Trošak se povećava za najmanje 20%.

Kutovi nagiba i krovni materijali

Ne samo da će klimatski uvjeti imati značajan utjecaj na oblik i kut padina. Važnu ulogu igraju materijali koji se koriste za izgradnju, posebno - krovište.

Stol. Optimalni kutovi nagiba za krovove od različitih materijala.

Napomena! Što je niži nagib krova, to je manji nagib korišten za izradu sanduka.

Cijene metalnih pločica

metalna pločica

Visina klizaljke također ovisi o kutu nagiba.

Pri proračunu bilo kojeg krova uvijek se kao smjernica uzima pravokutni trokut, gdje su noge visina nagiba na gornjoj točki, odnosno na grebenu ili prijelazu s donjeg dijela cijelog sustava splavi na vrh. (kod mansardnih krovova), kao i projekcija duljine pojedinog nagiba na horizontalu, koja se prikazuje preklopima. Ovdje postoji samo jedna konstantna vrijednost - to je duljina krova između dva zida, odnosno duljina raspona. Visina dijela grebena varirat će ovisno o kutu nagiba.

Poznavanje formula iz trigonometrije pomoći će u projektiranju krova: tgA \u003d H / L, sinA = H / S, H \u003d LhtgA, S \u003d H / sinA, gdje je A kut nagiba, H je visina krova do područja sljemena, L je ½ ukupne duljine raspona krova (sa zabatnim krovom) ili cijele duljine (u slučaju krovnog krova), S - duljina samog nagiba. Na primjer, ako je poznata točna vrijednost visine dijela grebena, tada se kut nagiba određuje prvom formulom. Kut možete pronaći pomoću tablice tangenti. Ako se izračun temelji na kutu krova, tada možete pronaći parametar visine grebena pomoću treće formule. Duljina rogova, koja ima vrijednost kuta nagiba i parametre nogu, može se izračunati pomoću četvrte formule.

U matematici, kada se razmatra trokut, mnogo se pažnje nužno posvećuje njegovim stranama. Budući da ovi elementi tvore ovu geometrijsku figuru. Stranice trokuta koriste se za rješavanje mnogih geometrijskih problema.

Definicija pojma

Isječci koji spajaju tri točke koje ne leže na istoj pravoj crti nazivaju se stranicama trokuta. Elementi koji se razmatraju ograničavaju dio ravnine, koji se naziva unutrašnjost dane geometrijske figure.

Matematičari u svojim proračunima dopuštaju generalizacije u pogledu stranica geometrijskih figura. Dakle, u degeneriranom trokutu tri njegova segmenta leže na jednoj ravnoj liniji.

Karakteristike koncepta

Izračun stranica trokuta uključuje određivanje svih ostalih parametara figure. Znajući duljinu svakog od ovih segmenata, lako možete izračunati opseg, površinu, pa čak i kutove trokuta.

Riža. 1. Proizvoljni trokut.

Zbrajanjem strana ove figure možete odrediti opseg.

P=a+b+c, gdje su a, b, c stranice trokuta

A da biste pronašli područje trokuta, trebali biste upotrijebiti Heronovu formulu.

$$S=\sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c))$$

Gdje je p poluperimetar.

Kutovi zadane geometrijske figure izračunavaju se pomoću kosinusnog teorema.

$$cos α=((b^2+c^2-a^2)\preko (2bc))$$

Značenje

Omjerom stranica trokuta izražavaju se neka svojstva ovog geometrijskog lika:

• Nasuprot najmanje stranice trokuta nalazi se njegov najmanji kut.
• Vanjski kut razmatranog geometrijskog lika dobiva se produženjem jedne od stranica.
• Nasuprot jednakim kutovima trokuta su jednake stranice.
• U svakom trokutu, jedna od stranica je uvijek veća od razlike druga dva segmenta. A zbroj bilo koje dvije strane ove brojke veći je od treće.

Jedan od znakova jednakosti dvaju trokuta je omjer zbroja svih stranica geometrijskog lika. Ako su ove vrijednosti iste, tada će trokuti biti jednaki.

Neka svojstva trokuta ovise o njegovoj vrsti. Stoga biste prvo trebali razmotriti veličinu strana ili kutova ove figure.

Formiranje trokuta

Ako su dvije strane razmatrane geometrijske figure iste, tada se ovaj trokut naziva jednakokračan.

Riža. 2. Jednakokračni trokut.

Kada su svi segmenti u trokutu jednaki, dobit ćete jednakostranični trokut.

Riža. 3. Jednakostranični trokut.

Svaki izračun je prikladniji za izvođenje u slučajevima kada se proizvoljni trokut može pripisati određenoj vrsti. Od tada će pronalaženje traženog parametra ove geometrijske figure biti znatno pojednostavljeno.

Iako ispravno odabrana trigonometrijska jednadžba omogućuje vam rješavanje mnogih problema u kojima se razmatra proizvoljni trokut.

Što smo naučili?

Tri odsječka koja su spojena točkama i ne pripadaju istoj pravoj crti čine trokut. Te stranice tvore geometrijsku ravninu, koja se koristi za određivanje površine. Uz pomoć ovih segmenata možete pronaći mnoge važne karakteristike figure, kao što su opseg i kutovi. Omjer širine i visine trokuta pomaže u pronalaženju njegove vrste. Neka svojstva danog geometrijskog lika mogu se koristiti samo ako su poznate dimenzije svake njegove stranice.

Tematski kviz

Ocjena članka

Prosječna ocjena: 4.3. Ukupno primljenih ocjena: 142.

Online kalkulator.
Rješenje trokuta.

Rješenje trokuta je pronalaženje svih njegovih šest elemenata (tj. tri stranice i tri kuta) pomoću bilo koja tri dana elementa koji definiraju trokut.

Ovaj matematički program pronalazi stranicu \(c \), kutove \(\alpha \) i \(\beta \) zadane od strane korisnika \(a, b \) i kut između njih \(\gamma \)

Program ne samo da daje odgovor na problem, već također prikazuje proces pronalaženja rješenja.

Ovaj internetski kalkulator može biti koristan srednjoškolcima u pripremama za testove i ispite, prilikom provjere znanja prije Jedinstvenog državnog ispita, a roditeljima za kontrolu rješavanja mnogih zadataka iz matematike i algebre. Ili vam je možda preskupo unajmiti učitelja ili kupiti nove udžbenike? Ili samo želite završiti svoju zadaću iz matematike ili algebre što je brže moguće? U tom slučaju također možete koristiti naše programe s detaljnim rješenjem.

Na taj način možete sami provoditi obuku i/ili obuku svoje mlađe braće ili sestara, a pritom se povećava razina obrazovanja u području zadataka koje treba rješavati.

Ukoliko niste upoznati s pravilima unosa brojeva, preporučamo da se s njima upoznate.

Pravila za unos brojeva

Brojevi se mogu postaviti ne samo cijeli, već i frakcijski.
Cijeli i razlomački dio u decimalnim razlomcima mogu biti odvojeni točkom ili zarezom.
Na primjer, možete unijeti decimale poput 2,5 ili 2,5

Unesite stranice \(a, b \) i kut između njih \(\gamma \) Riješite trokut

Utvrđeno je da neke skripte potrebne za rješavanje ovog zadatka nisu učitane i program možda neće raditi.
Možda imate omogućen AdBlock.
U tom slučaju, onemogućite ga i osvježite stranicu.

U pregledniku vam je onemogućen JavaScript.
JavaScript mora biti omogućen da bi se rješenje pojavilo.
Ovdje su upute o tome kako omogućiti JavaScript u svom pregledniku.

Jer Puno je ljudi koji žele riješiti problem, vaš zahtjev je u redu.
Nakon nekoliko sekundi, rješenje će se pojaviti ispod.
Molimo pričekajte sekund...

Ako ti uočio grešku u rješenju, tada možete pisati o tome u obrascu za povratne informacije.
Ne zaboravi navesti koji zadatak ti odluči što unesite u polja.

Naše igre, zagonetke, emulatori:

Malo teorije.

Sinusni teorem

Teorema

Stranice trokuta proporcionalne su sinusima suprotnih kutova:
$$ \frac(a)(\sin A) = \frac(b)(\sin B) = \frac(c)(\sin C) $$

Kosinusni teorem

Teorema
Neka je u trokutu ABC AB = c, BC = a, CA = b. Zatim
Kvadrat stranice trokuta jednak je zbroju kvadrata druge dvije stranice minus dvostruki umnožak tih stranica pomnožen s kosinusom kuta između njih.
$$ a^2 = b^2+c^2-2ba \cos A $$

Rješavanje trokuta

Rješenje trokuta je pronalaženje svih njegovih šest elemenata (tj. tri stranice i tri kuta) pomoću bilo koja tri dana elementa koji definiraju trokut.

Razmotrite tri problema za rješavanje trokuta. U ovom ćemo slučaju za stranice trokuta ABC koristiti sljedeće oznake: AB = c, BC = a, CA = b.

Rješenje trokuta s dvije stranice i kutom između njih

Dano je: \(a, b, \kut C \). Pronađite \(c, \kut A, \kut B \)

Riješenje
1. Po zakonu kosinusa nalazimo \(c\):

$$ c = \sqrt( a^2+b^2-2ab \cos C ) $$ 2. Koristeći teorem o kosinusu, imamo:
$$ \cos A = \frac( b^2+c^2-a^2 )(2bc) $$

3. \(\kut B = 180^\krug -\kut A -\kut C \)

Rješenje trokuta sa stranicom i pridruženim kutovima

Zadano: \(a, \kut B, \kut C \). Pronađite \(\kut A, b, c \)

Riješenje
1. \(\kut A = 180^\krug -\kut B -\kut C \)

2. Koristeći sinusni teorem, izračunavamo b i c:
$$ b = a \frac(\sin B)(\sin A), \quad c = a \frac(\sin C)(\sin A) $$

Rješavanje trokuta s tri strane

Zadano: \(a, b, c\). Pronađite \(\kut A, \kut B, \kut C \)

Riješenje
1. Prema teoremu kosinusa dobivamo:
$$ \cos A = \frac(b^2+c^2-a^2)(2bc) $$

Pomoću \(\cos A \) nalazimo \(\kut A \) pomoću mikrokalkulatora ili iz tablice.

2. Slično nalazimo kut B.
3. \(\kut C = 180^\krug -\kut A -\kut B \)

Rješavanje trokuta s dvije stranice i kutom nasuprot poznate stranice

Dano je: \(a, b, \kut A\). Pronađite \(c, \kut B, \kut C \)

Riješenje
1. Po sinusnom teoremu nalazimo \(\sin B \) dobivamo:
$$ \frac(a)(\sin A) = \frac(b)(\sin B) \Rightarrow \sin B = \frac(b)(a) \cdot \sin A $$

Uvedimo oznaku: \(D = \frac(b)(a) \cdot \sin A \). Ovisno o broju D mogući su sljedeći slučajevi:
Ako je D > 1, takav trokut ne postoji, jer \(\sin B \) ne može biti veći od 1
Ako je D = 1, postoji jedinstveni \(\kut B: \quad \sin B = 1 \desna strelica \kut B = 90^\circ \)
Ako D Ako je D 2. \(\kut C = 180^\krug -\kut A -\kut B \)

3. Pomoću sinusnog teorema izračunavamo stranu c:
$$ c = a \frac(\sin C)(\sin A) $$

Knjige (udžbenici) Sažeci Jedinstvenog državnog ispita i OGE testova online Igre, zagonetke Grafikovanje funkcija Pravopisni rječnik ruskog jezika Rječnik žargona mladih Katalog ruskih škola Katalog srednjih škola u Rusiji Katalog ruskih sveučilišta Popis zadataka

U geometriji se često javljaju problemi vezani uz stranice trokuta. Na primjer, često je potrebno pronaći stranicu trokuta ako su poznate druge dvije.

Trokuti su jednakokračni, jednakostranični i jednakostranični. Od sve raznolikosti, za prvi primjer odabrat ćemo pravokutni (u takvom trokutu jedan od kutova je 90 °, strane uz njega nazivaju se nogama, a treći je hipotenuza).

Brza navigacija članaka

Duljine stranica pravokutnog trokuta

Rješenje problema proizlazi iz teorema velikog matematičara Pitagore. Kaže da je zbroj kvadrata kateta pravokutnog trokuta jednak kvadratu njegove hipotenuze: a²+b²=c²

• Nađi kvadrat duljine kraka a;
• Nađi kvadrat kraka b;
• Sastavljamo ih;
• Iz dobivenog rezultata izdvajamo korijen drugog stupnja.

Primjer: a=4, b=3, c=?

• a²=4²=16;
• b²=3²=9;
• 16+9=25;
• √25=5. Odnosno, duljina hipotenuze ovog trokuta je 5.

Ako trokut nema pravi kut, tada duljine dviju stranica nisu dovoljne. To zahtijeva treći parametar: to može biti kut, visina, površina trokuta, polumjer kruga upisanog u njega itd.

Ako je poznat opseg

U ovom slučaju zadatak je još lakši. Opseg (P) je zbroj svih stranica trokuta: P=a+b+c. Dakle, rješavanjem jednostavne matematičke jednadžbe dobivamo rezultat.

Primjer: P=18, a=7, b=6, c=?

1) Rješavamo jednadžbu, prebacujući sve poznate parametre na jednu stranu znaka jednakosti:

2) Zamijenite vrijednosti umjesto njih i izračunajte treću stranu:

c=18-7-6=5, pa je treća stranica trokuta 5.

Ako je kut poznat

Da bi se izračunala treća stranica trokuta s obzirom na kut i druge dvije stranice, rješenje se svodi na izračunavanje trigonometrijske jednadžbe. Poznavajući odnos strana trokuta i sinusa kuta, lako je izračunati treću stranu. Da biste to učinili, trebate kvadrirati obje strane i zbrojiti njihove rezultate. Zatim od dobivenog umnoška stranica oduzmite kosinus kuta: C=√(a²+b²-a*b*cosα)

Ako je područje poznato

U ovom slučaju jedna formula nije dovoljna.

1) Prvo izračunavamo sin γ izražavajući ga iz formule za površinu trokuta:

sin γ= 2S/(a*b)

2) Pomoću sljedeće formule izračunavamo kosinus istog kuta:

sin² α + cos² α=1

cos α=√(1 - sin² α)=√(1- (2S/(a*b))²)

3) I opet koristimo sinusni teorem:

C=√((a²+b²)-a*b*cosα)

C=√((a²+b²)-a*b*√(1- (S/(a*b))²))

Zamjenom vrijednosti varijabli u ovu jednadžbu dobivamo odgovor na problem.