Tema lekcije je „Skup funkcijskih vrijednosti u USE problemima. Pronalaženje skupa vrijednosti funkcije Skup vrijednosti funkcije y 4 x

Danas ćemo se u lekciji osvrnuti na jedan od temeljnih pojmova matematike – pojam funkcije; Pogledajmo pobliže jedno od svojstava funkcije - skup njezinih vrijednosti.

Tijekom nastave

Učitelj, nastavnik, profesor. Prilikom rješavanja problema primjećujemo da nas ponekad upravo pronalaženje skupa vrijednosti funkcije dovodi u teške situacije. Zašto? Čini se da proučavajući funkciju od 7. razreda, znamo puno o tome. Stoga imamo sve razloge za preventivni potez. Idemo se danas "poigrati" s puno vrijednosti funkcija kako bismo riješili mnoga pitanja o ovoj temi na nadolazećem ispitu.

Skupovi vrijednosti elementarnih funkcija

Učitelj, nastavnik, profesor. Za početak je potrebno ponoviti grafove, jednadžbe i skupove vrijednosti osnovnih elementarnih funkcija u cijeloj domeni definiranja.

Na ekran se projiciraju grafovi funkcija: linearni, kvadratni, frakciono-racionalni, trigonometrijski, eksponencijalni i logaritamski, za svaku od njih se verbalno određuje skup vrijednosti. Obratite pozornost na činjenicu da je linearna funkcija E(f) = R ili jedan broj, za linearni razlomak

Ovo je naša abeceda. Dodajući tome svoje znanje o transformacijama grafova: paralelna translacija, istezanje, kompresija, refleksija, možemo riješiti probleme iz prvog dijela KORIŠTENJE pa čak i malo teže. Idemo to provjeriti.

Samostalni rad

Na riječi zadataka i koordinatni sustavi ispisani za svakog učenika.

1. Pronađite skup vrijednosti funkcije na cijeloj domeni definicije:

A) g= 3 grijeha x ;
b) g = 7 – 2 x ;
V) g= -arccos( x + 5):
G) g= | arctg x |;
e)

2. Pronađite skup vrijednosti funkcije g = x 2 između J, ako:

A) J = ;
b) J = [–1; 5).

3. Analitički (jednadžbom) definirajte funkciju ako je skup njezinih vrijednosti:

1) E(f(x)) = (–∞ ; 2] i f(x) - funkcija

kvadrat
b) logaritamski,
c) demonstrativna;

2) E(f(x)) = R \{7}.

Kad se raspravlja o zadatku 2samostalnom radu skrenuti pozornost studentima da u slučaju monotonosti i neprekidnosti funkcije y=f(x)u zadanom intervalu[a;b],skup njegovih značenja-interval,čiji su krajevi vrijednosti f(a)i f(b).

Mogućnosti odgovora za zadatak 3.

1.
A) g = –x 2 + 2 , g = –(x + 18) 2 + 2,
g= a(x – x c) 2 + 2 at A < 0.

b) g= -| dnevnik 8 x | + 2,

V) g = –| 3 x – 7 | + 2, g = –5 | x | + 3.

2.
a) b)

V) g = 12 – 5x, Gdje x ≠ 1 .

Pronalaženje skupa vrijednosti funkcije pomoću izvoda

Učitelj, nastavnik, profesor. U 10. razredu smo se upoznali s algoritmom za pronalaženje ekstrema funkcije kontinuirane na segmentu i pronalaženje njezinog skupa vrijednosti bez oslanjanja na graf funkcije. Sjećate se kako smo to učinili? ( Uz pomoć izvedenice.) Prisjetimo se ovog algoritma .

1. Provjerite funkciju g = f(x) je definiran i kontinuiran na intervalu J = [a; b]. 2. Pronađite vrijednosti funkcije na krajevima segmenta: f(a) i f(b). Komentar. Ako znamo da je funkcija kontinuirana i monotona na J, tada možete odmah odgovoriti: E(f) = [f(a); f(b)] ili E(f) = [f(b); f(A)]. 3. Nađite derivaciju, a zatim kritične točke x kJ. 4. Pronađite vrijednosti funkcije u kritičnim točkama f(x k). 5. Usporedite vrijednosti funkcije f(a), f(b) I f(x k), odaberite najveću i najmanju vrijednost funkcije i dajte odgovor: E(f)= [f najam; f naib].

Problemi za primjenu ovog algoritma nalaze se u USE opcije. Primjerice, 2008. godine predložen je takav zadatak. Moraš to riješiti Kuće .

Zadatak C1. Pronađite najveću vrijednost funkcije

f(x) = (0,5x + 1) 4 – 50(0,5x + 1) 2

na | x + 1| ≤ 3.

Uvjeti domaće zadaće ispisani za svakog učenika .

Pronalaženje skupa vrijednosti složene funkcije

Učitelj, nastavnik, profesor. Glavni dio naše lekcije bit će nestandardni zadaci koji sadrže složene funkcije, čije su derivacije vrlo složeni izrazi. A grafovi tih funkcija su nam nepoznati. Stoga ćemo za rješenje koristiti definiciju složene funkcije, odnosno ovisnost između varijabli u redoslijedu njihovog ugniježđivanja u ovu funkciju, te procjenu njihovog raspona (intervala promjene njihovih vrijednosti). Zadaci ove vrste nalaze se u drugom dijelu ispita. Okrenimo se primjerima.

Vježba 1. Za funkcije g = f(x) I g = g(x) napišite složenu funkciju g = f(g(x)) i pronađite njegov skup vrijednosti:

A) f(x) = –x 2 + 2x + 3, g(x) = grijeh x;
b) f(x) = –x 2 + 2x + 3, g(x) = log 7 x;
V) g(x) = x 2 + 1;
G)

Riješenje. a) Složena funkcija ima oblik: g= -grijeh 2 x+2sin x + 3.

Uvođenje srednjeg argumenta t, ovu funkciju možemo napisati ovako:

g= –t 2 + 2t+ 3, gdje t= grijeh x.

Na unutarnjoj funkciji t= grijeh x argument ima bilo koju vrijednost, a skup njegovih vrijednosti je segment [–1; 1].

Dakle, za vanjsku funkciju g = –t 2 +2t+ 3 naučili smo interval promjene vrijednosti njegovog argumenta t: t[-1; 1]. Pogledajmo graf funkcije g = –t 2 +2t + 3.

Imajte na umu da je kvadratna funkcija za t[-1; 1] uzima najmanje i najveće vrijednosti na svojim krajevima: g zapošljavanje = g(–1) = 0 i g naib = g(1) = 4. A kako je ova funkcija neprekidna na intervalu [–1; 1], tada također preuzima sve vrijednosti između njih.

Odgovor: g .

b) Kompozicija ovih funkcija vodi nas do složene funkcije koja se, nakon uvođenja srednjeg argumenta, može predstaviti na sljedeći način:

g= –t 2 + 2t+ 3, gdje t= dnevnik 7 x,

Funkcija t= dnevnik 7 x

x (0; +∞ ), t (–∞ ; +∞ ).

Funkcija g = –t 2 + 2t+ 3 (vidi grafikon) argument t uzima bilo koju vrijednost, a sama kvadratna funkcija uzima sve vrijednosti ne veće od 4.

Odgovor: g (–∞ ; 4].

c) Kompleksna funkcija ima sljedeći oblik:

Uvođenjem srednjeg argumenta dobivamo:

Gdje t = x 2 + 1.

Budući da za unutarnju funkciju x R , A t .

Odgovor: g (0; 3].

d) Kompozicija ovih dviju funkcija daje nam složenu funkciju

što se može napisati kao

primijeti da

Dakle, u

Gdje k Z , t [–1; 0) (0; 1].

Crtanje grafa funkcije vidimo da za ove vrijednosti t

g(–∞ ; –4] c ;

b) preko cijele domene definicije.

Riješenje. Prvo, ispitujemo monotonost ove funkcije. Funkcija t= arcctg x- kontinuirano i opadajuće na R i skup njegovih vrijednosti (0; π). Funkcija g= dnevnik 5 t definiran je na intervalu (0; π), kontinuiran je i na njemu raste. To znači da ova složena funkcija opada na skupu R . I ona će, kao sastav dviju kontinuiranih funkcija, biti kontinuirana dalje R .

Riješimo problem "a".

Budući da je funkcija kontinuirana na cijelom brojevnom pravcu, ona je kontinuirana na bilo kojem njegovom dijelu, posebno na određenom segmentu. I onda na ovom segmentu ima najmanju i najveću vrijednost i uzima sve vrijednosti između njih:

f(4) = log 5 arcctg 4.

Koja je od dobivenih vrijednosti veća? Zašto? A koji će biti skup vrijednosti?

Odgovor:

Riješimo zadatak "b".

Odgovor: na(–∞; log 5 π) u cijeloj domeni definicije.

Zadatak s parametrom

Pokušajmo sada sastaviti i riješiti jednostavnu jednadžbu s parametrom oblika f(x) = a, Gdje f(x) - ista funkcija kao u zadatku 4.

Zadatak 5. Odredite broj korijena jednadžbe log 5 (arcctg x) = A za svaku vrijednost parametra A.

Riješenje. Kao što smo već pokazali u zadatku 4, funkcija na= log 5 (arctg x) se smanjuje i kontinuirano dalje R i uzima vrijednosti manje od log 5 π. Ovi podaci dovoljni su za odgovor.

Odgovor: Ako A < log 5 π, то уравнение имеет единственный корень;

Ako A≥ log 5 π, tada nema korijena.

Učitelj, nastavnik, profesor. Danas smo razmatrali probleme vezane uz pronalaženje skupa vrijednosti funkcije. Na tom smo putu otkrili novu metodu rješavanja jednadžbi i nejednadžbi - metodu estimacije, pa je pronalaženje skupa vrijednosti funkcije postalo sredstvo rješavanja problema više razine. Istodobno smo vidjeli kako se takvi problemi konstruiraju i kako svojstva monotonosti funkcije olakšavaju njihovo rješavanje.

I nadam se da vas je logika koja je povezivala danas razmatrane zadatke iznenadila ili barem iznenadila. Ne može biti drugačije: uspon na novi vrh nikoga ne ostavlja ravnodušnim! Primjećujemo i cijenimo lijepe slike, skulpture itd. Ali i matematika ima svoju ljepotu, privlačnu i očaravajuću - ljepotu logike. Matematičari to kažu lijepo rješenje- to je obično ispravno rješenje i to nije samo fraza. Sada vi sami morate pronaći takva rješenja, a mi smo danas naznačili jedan od načina do njih. Sretno ti! I zapamtite: put će svladati onaj koji hoda!

Funkcija je model. Definirajmo X kao skup vrijednosti nezavisne varijable // neovisno znači bilo koje.

Funkcija je pravilo po kojem se za svaku vrijednost nezavisne varijable iz skupa X može pronaći jedina vrijednost zavisne varijable. // tj. za svaki x postoji jedan y.

Iz definicije proizlazi da postoje dva pojma - nezavisna varijabla (koju označavamo s x i može poprimiti bilo koju vrijednost) i zavisna varijabla (koju označavamo s y ili f (x) i izračunava se iz funkcije kada zamijenimo x).

NA PRIMJER y=5+x

1. Neovisno je x, pa uzimamo bilo koju vrijednost, neka je x = 3

2. a sada izračunavamo y, pa je y \u003d 5 + x \u003d 5 + 3 \u003d 8. (y je ovisan o x, jer ono što x zamijenimo, dobivamo takav y)

Kažemo da je varijabla y funkcionalno ovisna o varijabli x i to se označava na sljedeći način: y = f (x).

NA PRIMJER.

1.y=1/x. (naziva se hiperbola)

2. y=x^2. (naziva se parabola)

3.y=3x+7. (zvana ravna linija)

4. y \u003d √ x. (naziva se grana parabole)

Neovisna varijabla (koju označavamo s x) naziva se argument funkcije.

Opseg funkcije

Skup svih vrijednosti koje argument funkcije ima naziva se domena funkcije i označava se s D(f) ili D(y).

Uzmite u obzir D(y) za 1.,2.,3.,4.

1. D (y)= (∞; 0) i (0;+∞) //cijeli skup realnih brojeva osim nule.

2. D (y) \u003d (∞; +∞) / / svi mnogi realni brojevi

3. D (y) \u003d (∞; +∞) / / svi mnogi realni brojevi

4. D (y) \u003d. Odredi najveću i najmanju vrijednost funkcije na ovom segmentu.

Izvod je pozitivan za sve x iz intervala (-1; 1) , tj. funkcija arksinusa raste u cijeloj domeni definicije. Stoga uzima najmanju vrijednost pri x=-1, a najveća na x=1.

Dobili smo raspon funkcije arksinusa .

Pronađite skup vrijednosti funkcije na segmentu .

Riješenje.

Odredi najveću i najmanju vrijednost funkcije na zadanom segmentu.

Odredimo točke ekstrema koje pripadaju segmentu :

Ovisnost jedne varijable o drugoj naziva se funkcionalna ovisnost. Ovisnost varijable g iz varijable x nazvao funkcija, ako je svaka vrijednost x odgovara jednoj vrijednosti g.

Oznaka:

varijabla x naziva nezavisna varijabla ili argument, i varijabla g- ovisan. To kažu g je funkcija od x. Značenje g koji odgovara zadanoj vrijednosti x, nazvao vrijednost funkcije.

Sve vrijednosti koje su potrebne x, obrazac opseg funkcije; sve vrijednosti koje su potrebne g, obrazac skup vrijednosti funkcije.

Oznake:

D(f)- vrijednosti argumenata. E(f)- vrijednosti funkcije. Ako je funkcija dana formulom, tada se smatra da domenu definiranja čine sve vrijednosti varijable za koje ova formula ima smisla.

Grafikon funkcije naziva se skup svih točaka na koordinatnoj ravnini čije su apscise jednake vrijednostima argumenta, a ordinate jednake odgovarajućim vrijednostima funkcije. Ako neka vrijednost x=x0 odgovara više vrijednosti (ne samo jednoj) g, tada takvo dopisivanje nije funkcija. Da bi skup točaka koordinatne ravnine bio graf neke funkcije, potrebno je i dovoljno da bilo koji pravac paralelan s osi Oy siječe graf najviše u jednoj točki.

Načini postavljanja funkcije

1) Funkcija se može postaviti analitički u obliku formule. Na primjer,

2) Funkcija se može definirati tablicom od mnogo parova (x; y).

3) Funkcija se može postaviti grafički. Parovi vrijednosti (x; y) prikazan na koordinatnoj ravnini.

Monotonost funkcije

Funkcija f(x) nazvao povećavajući se na zadanom numeričkom intervalu, ako većoj vrijednosti argumenta odgovara veća vrijednost funkcije. Zamislite da se određena točka pomiče po grafu slijeva nadesno. Tada će se točka na neki način "popeti" na grafikonu.

Funkcija f(x) nazvao opadajući na zadanom numeričkom intervalu, ako manja vrijednost funkcije odgovara većoj vrijednosti argumenta. Zamislite da se određena točka pomiče po grafu slijeva nadesno. Tada će se točka, tako reći, "skotrljati" niz grafikon.

Poziva se funkcija koja samo raste ili samo pada na zadanom numeričkom intervalu monoton na ovom intervalu.

Nule funkcije i intervali konstantnosti

Vrijednosti x, na kojem y=0, Zove se funkcijske nule. To su apscise točaka presjeka grafa funkcije s x-osi.

Takvi rasponi vrijednosti x, na kojem su vrijednosti funkcije g nazivaju se ili samo pozitivni ili samo negativni intervali predznaka konstantnosti funkcije.

Parne i neparne funkcije

Ravnomjerna funkcija
1) Područje definicije je simetrično u odnosu na točku (0; 0), tj. ako je točka a pripada domeni definicije, zatim točka -a također spada u domenu definicije.
2) Za bilo koju vrijednost x f(-x)=f(x)
3) Graf parne funkcije je simetričan u odnosu na os Oy.

neparna funkcija ima sljedeća svojstva:
1) Područje definicije je simetrično u odnosu na točku (0; 0).
2) za bilo koju vrijednost x, što spada u domenu definicije, jednakosti f(-x)=-f(x)
3) Graf neparne funkcije je simetričan u odnosu na ishodište (0; 0).

Nije svaka funkcija parna ili neparna. Funkcije opći pogled nisu ni parni ni neparni.

Periodične funkcije

Funkcija f naziva se periodičnim ako postoji broj takav da za bilo koji x iz domene definicije jednakost f(x)=f(x-T)=f(x+T). T je period funkcije.

Svaka periodična funkcija ima beskonačan broj perioda. U praksi se obično uzima u obzir najmanji pozitivni period.

Vrijednosti periodične funkcije se ponavljaju nakon intervala jednakog razdoblju. Ovo se koristi pri crtanju grafikona.

Stranica 1
Lekcija 3

"raspon funkcija"
Ciljevi: - Primijeniti koncept raspona vrijednosti na rješenje konkretnog problema;

rješavanje tipičnih problema.

Već nekoliko godina redovito se pojavljuju problemi na ispitima u kojima se iz zadane obitelji funkcija moraju odabrati one čiji skupovi vrijednosti zadovoljavaju deklarirane uvjete.

Razmotrimo takve zadatke.

1. 
   Ažuriranje znanja.

Provodi se u obliku dijaloga s učenicima.

Što podrazumijevamo pod skupom vrijednosti funkcije?

Što je skup vrijednosti funkcije?

• 
  Iz kojih podataka možemo pronaći skup vrijednosti funkcije? (Prema analitičkom zapisu funkcije ili njezinom grafu)

- Pomoću slike pronađite područje vrijednosti funkcije iz grafikona.

(cm USE zadaci, dio A)

• 
  Koje vrijednosti funkcija znamo? (Glavne funkcije navedene su ispisanim na ploči; za svaku od funkcija zapisan je njezin skup vrijednosti). Kao rezultat toga, na ploči iu učeničkim bilježnicama

Funkcija	Mnoge vrijednosti
g = x 2 g = x 3 y=| x| y=	E( g) = E( g) = [- 1, 1] E( g) = (– ∞, + ∞) E( g) = (– ∞, + ∞) E( g) = (– ∞, + ∞) E( g) = (0, + ∞)

• 
  Možemo li pomoću ovog znanja odmah pronaći skupove vrijednosti funkcija napisanih na ploči? (vidi tablicu 2).
• 
  Što može pomoći u odgovoru na ovo pitanje? (Grafovi ovih funkcija).
• 
  Kako nacrtati prvu funkciju? (Spustite parabolu 4 jedinice prema dolje).

Slično, govorimo o svakoj funkciji iz tablice.

Funkcija	Mnoge vrijednosti
g = x 2 – 4	E( g) = [-4, + ∞)
g = + 5	E( g) =
g = – 5 cos x	E( g) = [- 5, 5]
y= tg( x + / 6) – 1	E( g) = (– ∞, + ∞)
y= grijeh( x + / 3) – 2	E( g) = [- 3, - 1]
y=| x – 1 | + 3	E( g) =
y=| ctg x|	E( g) =
g = = | cos(x + /4) |	E( g) =
y=(x- 5) 2 + 3	E( g) = . Pronađite skup vrijednosti funkcije: . Uvođenje algoritma za rješavanje problema pronalaženja skupa vrijednosti trigonometrijskih funkcija. Pogledajmo kako možemo primijeniti naše iskustvo na razne zadatke uključene u opcije za jedan ispit. 1. Pronalaženje vrijednosti funkcija za zadanu vrijednost argumenta. Primjer. Odredite vrijednost funkcije y = 2 cos(π/2+ π/4 ) – 1, Ako x = -π/2. Riješenje. g(-π/2) = 2 cos(- π/2 – π/4 )- 1= 2 cos(π/2 + π/4 )- 1 = - 2 grijehπ/4 – 1 = - 2 – 1 = = – – 1. 2. Određivanje raspona trigonometrijskih funkcija Riješenje. 1≤ grijehx≤ 1 2 ≤ 2 grijehx≤ 2 9 ≤ 11+2grijehx≤ 13 3 ≤ +2∙ grijeh x ≤ , tj. E (y) = . Ispišimo cjelobrojne vrijednosti funkcije na intervalu. Ovaj broj je 3. Odgovor: 3. Pronađite skup vrijednosti funkcije na= grijeh 2 x+6sin x + 10. Pronađite skup vrijednosti funkcije: na = grijeh 2 X - 6 grijeh x + 8 . (na svoju ruku) Riješenje. na= grijeh 2 X- 2 3 grijehx + 3 2 - 3 2 + 8, na= (grijehX- 3) 2 -1. E ( grijehx) = [-1;1]; E ( grijehx -3) = [-4;-2]; E ( grijehx -3) 2 = ; E ( na) = . Odgovor: . Pronađite najmanju vrijednost funkcije na= cos 2 x+2sin x – 2. Riješenje. Možemo li pronaći skup vrijednosti za ovu funkciju? (Ne.) Što treba učiniti? (Svedeno na jednu funkciju.) Kako to učiniti? (Koristite formulu cos 2 x= 1-grijeh 2 x.) Tako, na= 1-grijeh 2 x+2sin x –2, g= -grijeh 2 x+2sin x –1, na= -(grijeh x –1) 2 . Pa, sada možemo pronaći skup vrijednosti i odabrati najmanju od njih. 1 ≤ grijeh x ≤ 1, 2 ≤ grijeh x – 1 ≤ 0, 0 ≤ (sin x – 1) 2 ≤ 4, 4 ≤ -(sin x -1) 2 ≤ 0. Dakle, najmanja vrijednost funkcije na najam= -4. Odgovor: -4. Pronađite umnožak najveće i najmanje vrijednosti funkcije y = sin 2 x+ cos x + 1,5. Riješenje. na= 1-cos 2 x+ cos x + 1,5, na= -cos 2 x+ 2∙0,5∙cos x - 0,25 + 2,75, na= -(cos x- 0,5) 2 + 2,75. E(cos x) = [-1;1], E(cos x – 0,5) = [-1,5;0,5], E(cos x – 0,5) 2 = , E(-(cos x-0,5) 2) = [-2,25;0], E( na) = . Najveća vrijednost funkcije na naib= 2,75; najmanja vrijednost na najam= 0,5. Nađimo umnožak najveće i najmanje vrijednosti funkcije: na naib ∙na najam = 0,5∙2,75 = 1,375. Odgovor: 1.375. Riješenje. Prepišimo funkciju u obliku na =, na = , Pronađimo sada skup vrijednosti funkcije. E(grijeh x) = [-1, 1], E(6 sin x) = [-6, 6], E(6 sin x + 1) = [-5, 7], E((6sin x + 1) 2) = , E(– (6sin x + 1) 2) = [-49, 0], E(– (6sin x + 1) 2 + 64) = , E( g) = [ , 8]. Nađimo zbroj cjelobrojnih vrijednosti funkcije: 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 30. Odgovor: 30. Riješenje. 1) to je x pripada prvoj četvrtini. 2) Stoga, 2 x pripadaju drugoj četvrtini. 3) U drugoj četvrtini funkcija sinusa opada i kontinuirana je. Sredstva, dana funkcija preuzima sve vrijednosti iz prije 4) Izračunajte ove vrijednosti: Odgovor : . Riješenje. 1) Budući da sinus uzima vrijednosti od -1 do 1, tada skup vrijednosti razlike . Kada se pomnoži sa ovaj segment će ići u segment . 2) Arkosinus je monotono opadajuća i kontinuirana funkcija. Dakle, skup vrijednosti izraza je segment . 3) Kada se ovaj segment pomnoži sa dobivamo . Odgovor: . Riješenje. Budući da je arktangens rastuća funkcija, onda . 2) Pri povećanju x iz prije argument 2 x povećava se od prije . Budući da sinus na takvom intervalu raste, funkcija uzima vrijednosti iz do 1. 3) Pri povećanju od prije argument 2 x povećava se od prije . Budući da se sinus smanjuje na takvom intervalu, funkcija uzima vrijednosti iz do 1. 4) Koristeći formulu koja izražava sinus kroz tangens polukuta, nalazimo da . Dakle, željeni skup vrijednosti je unija segmenata I , odnosno segment . Odgovor: . Ova tehnika (uvođenje pomoćnog kuta) koristi se za pronalaženje skupa vrijednosti funkcija oblika na= a sin x + b cos x ili na= grijeh (Rx) + bcos (Rx). Pronađite skup vrijednosti funkcije y \u003d 15 sin 2x + 20 cos 2x. Riješenje. Pronađimo vrijednost = = 25. Transformirajmo izraz 15 sin 2x + 20 cos 2x = 25 ( ) = 25 () = 25 grijeha (2x + ), gdje je cos = , grijeh =. Skup vrijednosti funkcije y \u003d sin (2x + ): -1 grijeh (2x + ) 1. Zatim skup vrijednosti izvorne funkcije -25 25 grijeha (2x + ) 25. Odgovor: [-25; 25]. 3. Zadaci za pronalaženje najveće i najmanje vrijednosti funkcije na intervalu. Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije na= ctg x na segmentu [π/4; π/2]. Riješenje. Funkcija na= ctg x opada na segmentu [π/4; π/2], stoga će funkcija uzeti najmanju vrijednost pri x =π/2, tj na(π/2) = stg π/2 = 0; a najveća vrijednost je kod x=π/4, tj na(π/4) = stg π/4 = 1. Odgovor: 1, 0. . Riješenje. Odvojeni u jednakosti cijeli dio: . Slijedi da je graf funkcije f(x) ili hiperbola (a≠ 0) ili pravac bez točke. Štoviše, ako je; 2a) i (2a; ) i, ako je a > 0, monotono raste na tim zrakama. Ako je a \u003d 0, tada je f (x) \u003d -2 u cijeloj domeni definicije x ≠ 0. Stoga je očito da željene vrijednosti parametra nisu jednake nuli. Budući da nas zanimaju samo vrijednosti funkcije na segmentu [-1; 1], tada je klasifikacija situacija određena činjenicom da se asimptota x = 2a hiperbole (a≠0) nalazi u odnosu na ovaj segment. Slučaj 1. Sve točke intervala [-1; 1] nalaze se desno od vertikalne asimptote x = 2a, tj. kada je 2a Slučaj 2. Vertikalna asimptota siječe interval [-1; 1], a funkcija opada (kao u slučaju 1), odnosno kada Slučaj 3. Vertikalna asimptota siječe interval [-1; 1], a funkcija je rastuća, tj. -1 . Slučaj 4. Sve točke intervala [-1; 1] nalaze se lijevo od okomite asimptote, odnosno 1 a > . i drugo Prijem 4 . Izražavanje x preko y. (Pronalaženje domene inverzne funkcije) Prijem 5. Pojednostavljivanje formule koja definira razlomačku racionalnu funkciju Prijem 6. Pronalaženje skupa vrijednosti kvadratnih funkcija (pronalaženjem vrha parabole i utvrđivanjem prirode ponašanja njezinih grana). Prijem 7. Uvođenje pomoćnog kuta za pronalaženje skupa vrijednosti nekih trigonometrijskih funkcija. Stranica 1 Pročitajte također: Najmanji kvadrati u Excelu Korištenje metode najmanjih kvadrata (OLS) Gore