زاویه قائمه چیست 2. زاویه مستقیم، مبهم، حاد و توسعه یافته. نحوه علامت گذاری یک زاویه حاد

بیایید با تعریف زاویه شروع کنیم. اولاً، ثانیاً توسط دو پرتو تشکیل شده است که به آنها اضلاع زاویه می گویند. ثالثاً دومی ها از یک نقطه بیرون می آیند که به آن راس گوشه می گویند. بر اساس این نشانه ها می توان تعریف کرد: زاویه یک شکل هندسی است که از دو پرتو (ضلع) بیرون آمده از یک نقطه (راس) تشکیل شده است.

آنها بر اساس درجه، مکان نسبت به یکدیگر و نسبت به دایره طبقه بندی می شوند. بیایید با انواع زاویه ها بر اساس اندازه آنها شروع کنیم.

انواع مختلفی از آنها وجود دارد. بیایید نگاهی دقیق تر به هر نوع بیندازیم.

تنها چهار نوع زاویه وجود دارد - زاویه راست، مبهم، حاد و توسعه یافته.

سر راست

به نظر می رسد این است:

اندازه گیری درجه آن همیشه 90 درجه است، به عبارت دیگر زاویه قائمه زاویه 90 درجه است. فقط چهار ضلعی هایی مانند مربع و مستطیل دارای آنها هستند.

بلانت

به نظر می رسد این است:

اندازه گیری درجه همیشه بیشتر از 90 درجه است، اما کمتر از 180 درجه است. می تواند در چهارگوش هایی مانند لوزی، متوازی الاضلاع دلخواه، در چندضلعی ها رخ دهد.

تند

به نظر می رسد این است:

درجه یک زاویه حاد همیشه کمتر از 90 درجه است. در تمام چهارضلعی ها به جز مربع و متوازی الاضلاع دلخواه وجود دارد.

مستقر شده است

زاویه گسترش یافته به صورت زیر است:

در چند ضلعی ها رخ نمی دهد، اما اهمیت آن کمتر از بقیه نیست. زاویه مستقیم یک شکل هندسی است که اندازه درجه آن همیشه 180 درجه است. می توانید با کشیدن یک یا چند پرتو از رأس آن در هر جهتی روی آن بسازید.

چندین نوع ثانویه دیگر از زاویه وجود دارد. آنها در مدارس مطالعه نمی شوند، اما لازم است حداقل از وجود آنها اطلاع داشته باشیم. فقط پنج نوع ثانویه زاویه وجود دارد:

1. صفر

به نظر می رسد این است:

نام این زاویه قبلاً از بزرگی آن صحبت می کند. مساحت داخلی آن 0 o است و اضلاع آن مانند شکل روی هم قرار دارند.

2. مایل

مایل می تواند مستقیم، مبدل، و زاویه حاد و توسعه یافته باشد. شرط اصلی آن این است که برابر 0 o، 90 o، 180 o، 270 o نباشد.

3. محدب

محدب زوایای صفر، راست، منفرد، تند و توسعه یافته هستند. همانطور که قبلاً فهمیدید، درجه یک زاویه محدب از 0 تا 180 درجه است.

4. غیر محدب

غیر محدب زوایایی هستند که دارای درجه ای از 181 تا 359 درجه باشند.

5. پر

زاویه کامل 360 درجه است.

اینها همه انواع زاویه ها با توجه به اندازه آنها هستند. حال انواع آنها را بر اساس موقعیت مکانی در هواپیما نسبت به یکدیگر در نظر بگیرید.

1. اضافی

اینها دو زاویه حاد هستند که یک خط مستقیم را تشکیل می دهند، یعنی. مجموع آنها 90 درجه است.

2. مرتبط

زوایای مجاور تشکیل می شوند اگر یک پرتو در هر جهت از طریق مستقر شده، به طور دقیق تر، از بالای آن کشیده شود. مجموع آنها 180 درجه است.

3. عمودی

زوایای عمودی با قطع دو خط تشکیل می شود. معیارهای درجه آنها برابر است.

حالا بیایید به انواع زاویه های قرار گرفته نسبت به دایره بپردازیم. تنها دو مورد از آنها وجود دارد: مرکزی و کتیبه.

1. مرکزی

زاویه مرکزی زاویه ای است که راس آن در مرکز دایره قرار دارد. اندازه درجه آن برابر است با درجه اندازه گیری قوس کوچکتر که توسط طرفین فرو رفته است.

2. نوشته شده

زاویه محاطی زاویه ای است که راس آن روی دایره قرار دارد و اضلاع آن آن را قطع می کنند. اندازه درجه آن برابر است با نصف قوسی که روی آن قرار گرفته است.

همه چیز به گوشه ها مربوط می شود. اکنون می دانید که علاوه بر معروف ترین - تیز، مبهم، مستقیم و مستقر - در هندسه انواع دیگری از آنها وجود دارد.

به تصویر نگاه کن. (عکس. 1)

برنج. 1. برای مثال تصویر

چه اشکال هندسی برای شما آشناست؟

البته دیدید که تصویر از مثلث و مستطیل تشکیل شده است. چه کلمه ای در نام هر دوی این چهره ها نهفته است؟این کلمه یک زاویه است (شکل 2).

برنج. 2. تعیین زاویه

امروز یاد می گیریم که چگونه یک زاویه راست بکشیم.

نام این زاویه قبلاً کلمه "راست" را دارد. برای ترسیم صحیح یک زاویه راست، به یک مربع نیاز داریم. (شکل 3)

برنج. 3. مربع

خود مربع در حال حاضر زاویه قائمه دارد. (شکل 4)

برنج. 4. زاویه راست

او به ما کمک می کند تا این شکل هندسی را به تصویر بکشیم.

برای ترسیم صحیح شکل، باید مربع را به صفحه (1) وصل کنیم، اضلاع آن را دور بزنیم (2)، راس زاویه (3) و پرتوها را (4) نامگذاری کنیم.

بیایید تعیین کنیم که آیا خطوط مستقیمی در بین زوایای موجود وجود دارد (شکل 5). یک مربع به ما در این امر کمک خواهد کرد.

برنج. 5. برای مثال تصویرسازی

بیایید زاویه مناسب مربع را پیدا کرده و آن را به زوایای موجود اعمال کنیم (شکل 6).

برنج. 6. برای مثال تصویرسازی

می بینیم که زاویه سمت راست با زاویه PTO منطبق است. این به این معنی است که زاویه PTO درست است. بیایید دوباره همان عملیات را انجام دهیم. (شکل 7)

برنج. 7. برای مثال تصویرسازی

می بینیم که زاویه راست مربع ما با زاویه COD منطبق نیست. این بدان معنی است که زاویه COD یک زاویه راست نیست. یک بار دیگر زاویه راست مربع را به زاویه AOT اعمال می کنیم. (شکل 8)

برنج. 8. برای مثال تصویرسازی

می بینیم که زاویه AOT بسیار بزرگتر از زاویه راست است. این به این معنی است که زاویه AOT یک زاویه راست نیست.

در این درس یاد گرفتیم که چگونه با استفاده از مربع یک زاویه قائمه بسازیم.

کلمه "زاویه" نام بسیاری از چیزها و همچنین اشکال هندسی را داده است: یک مستطیل، یک مثلث، یک مربع، که با آنها می توانید یک زاویه قائمه رسم کنید.

مثلث شکل هندسی است که از سه ضلع و سه زاویه تشکیل شده است. مثلثی که زاویه قائمه دارد را مثلث قائم الزاویه می گویند.

به تصویر نگاه کن. (عکس. 1)

برنج. 1. برای مثال تصویر

چه اشکال هندسی برای شما آشناست؟

برنج. 2. تعیین زاویه

امروز یاد می گیریم که چگونه یک زاویه راست بکشیم.

نام این زاویه قبلاً کلمه "راست" را دارد. برای ترسیم صحیح یک زاویه راست، به یک مربع نیاز داریم. (شکل 3)

برنج. 3. مربع

خود مربع در حال حاضر زاویه قائمه دارد. (شکل 4)

برنج. 4. زاویه راست

او به ما کمک می کند تا این شکل هندسی را به تصویر بکشیم.

برنج. 5. برای مثال تصویرسازی

بیایید زاویه مناسب مربع را پیدا کرده و آن را به زوایای موجود اعمال کنیم (شکل 6).

برنج. 6. برای مثال تصویرسازی

برنج. 7. برای مثال تصویرسازی

برنج. 8. برای مثال تصویرسازی

می بینیم که زاویه AOT بسیار بزرگتر از زاویه راست است. این به این معنی است که زاویه AOT یک زاویه راست نیست.

در این درس یاد گرفتیم که چگونه با استفاده از مربع یک زاویه قائمه بسازیم.

زاویه شکل هندسی اصلی است که در سراسر موضوع آن را تحلیل خواهیم کرد. تعاریف، روش های تنظیم، نشانه گذاری و اندازه گیری زاویه. بیایید اصول انتخاب گوشه ها را در نقشه ها تجزیه و تحلیل کنیم. کل تئوری مصور است و دارای تعداد زیادی نقاشی بصری است.

تعریف 1

گوشه- یک شکل ساده و مهم در هندسه. زاویه مستقیماً به تعریف پرتو بستگی دارد که به نوبه خود از مفاهیم اساسی یک نقطه، یک خط و یک صفحه تشکیل شده است. برای مطالعه کامل، باید در موضوعات عمیق بشوید خط مستقیم در هواپیما - اطلاعات لازمو هواپیما - اطلاعات لازم.

مفهوم زاویه با مفاهیم یک نقطه، یک صفحه و یک خط مستقیم که در این صفحه به تصویر کشیده شده است شروع می شود.

تعریف 2

یک خط a در یک هواپیما داده می شود. یک نقطه O را روی آن مشخص کنید. خط توسط یک نقطه به دو قسمت تقسیم می شود که هر کدام یک نام دارند اشعه، و نقطه O است شروع پرتو.

به عبارت دیگر یک تیر یا نیم خط -این بخشی از یک خط است، متشکل از نقاط یک خط معین، که در همان سمت نسبت به نقطه شروع، یعنی نقطه O قرار دارد.

تعیین پرتو در دو تغییر مجاز است: یک حروف کوچک یا دو حرف بزرگ الفبای لاتین. هنگامی که پرتو با دو حرف مشخص می شود، نامی متشکل از دو حرف دارد. بیایید نگاهی دقیق تر به نقاشی بیندازیم.

بیایید به مفهوم تعریف زاویه برویم.

تعریف 3

گوشه- این شکلی است که در یک صفحه معین قرار دارد که توسط دو پرتو ناهمخوان که منشأ مشترک دارند تشکیل شده است. گوشه کنارییک پرتو است راس- شروع مشترک احزاب.

موردی وجود دارد که اضلاع یک زاویه می توانند به عنوان یک خط مستقیم عمل کنند.

تعریف 4

هنگامی که هر دو طرف یک زاویه روی یک خط مستقیم قرار می گیرند یا اضلاع آن به عنوان نیم خط اضافی یک خط مستقیم عمل می کنند، چنین زاویه ای نامیده می شود. مستقر شده است.

شکل زیر یک گوشه صاف را نشان می دهد.

نقطه روی خط مستقیم راس زاویه است. اغلب با نقطه O نشان داده می شود.

یک زاویه در ریاضیات با علامت "∠" نشان داده می شود. هنگامی که اضلاع یک زاویه با لاتین کوچک مشخص می شود، برای تعریف صحیح زاویه، حروف به ترتیب در یک ردیف با توجه به اضلاع نوشته می شوند. اگر دو ضلع با k و h نشان داده شوند، آنگاه زاویه به صورت ∠ k h یا ∠ h k نشان داده می شود.

هنگامی که یک علامت با حروف بزرگ وجود دارد، به ترتیب، طرفین گوشه دارای نام های O A و O B هستند. در این مورد، زاویه دارای نام سه حرف از الفبای لاتین است که در یک ردیف، در مرکز با راس - ∠ A O B و ∠ B O A نوشته می شود. زمانی که گوشه ها نام یا حروف ندارند، به شکل اعداد مشخص می شود. در زیر شکلی وجود دارد که زوایای آن به روش های مختلف نشان داده شده است.

یک زاویه صفحه را به دو قسمت تقسیم می کند. اگر زاویه توسعه نیافته باشد، یک قسمت از هواپیما نام دارد منطقه گوشه داخلی، دیگری - ناحیه گوشه بیرونی. در زیر تصویری وجود دارد که توضیح می دهد کدام قسمت های هواپیما خارجی و کدام قسمت داخلی هستند.

هنگامی که در یک صفحه بر یک زاویه مستقیم تقسیم می شود، هر یک از قسمت های آن به عنوان قسمت داخلی زاویه مستقیم در نظر گرفته می شود.

ناحیه داخلی گوشه عنصری است که برای تعریف دوم گوشه کاربرد دارد.

تعریف 5

گوشهیک شکل هندسی نامیده می شود، متشکل از دو پرتو غیر منطبق، دارای یک مبدا مشترک و یک منطقه داخلی متناظر از زاویه.

این تعریف دقیق تر از تعریف قبلی است، زیرا شرایط بیشتری دارد. توصیه نمی شود که هر دو تعریف را جداگانه در نظر بگیریم، زیرا زاویه یک شکل هندسی است که با استفاده از دو پرتو که از یک نقطه خارج می شود، تبدیل می شود. هنگامی که لازم است اعمال با زاویه انجام شود، تعریف به معنای وجود دو پرتو با منشاء مشترک و منطقه داخلی است.

تعریف 6

دو گوشه نامیده می شود مربوطاگر یک ضلع مشترک وجود داشته باشد و دو نیم خط دیگر مکمل یکدیگر باشند یا یک زاویه مستقیم تشکیل دهند.

شکل نشان می دهد که گوشه های مجاور یکدیگر را تکمیل می کنند، زیرا آنها ادامه یکدیگر هستند.

تعریف 7

دو گوشه نامیده می شود عمودی، اگر اضلاع یکی مکمل نیم خط دیگری باشد یا امتداد اضلاع دیگری باشد. شکل زیر تصویری از گوشه های عمودی را نشان می دهد.

هنگام عبور از خطوط، 4 جفت زاویه مجاور و 2 جفت زاویه عمودی به دست می آید. زیر در تصویر نشان داده شده است.

این مقاله تعاریف زوایای مساوی و نابرابر را نشان می دهد. ما تجزیه و تحلیل خواهیم کرد که کدام زاویه بزرگ، کدام کوچکتر و سایر ویژگی های زاویه در نظر گرفته می شود. دو رقم در صورتی مساوی در نظر گرفته می‌شوند که، هنگام قرار گرفتن، کاملاً منطبق باشند. همین ویژگی در مورد مقایسه زاویه ها نیز صدق می کند.

با توجه به دو زاویه. باید به این نتیجه رسید که آیا این زوایا مساوی هستند یا خیر.

مشخص است که رئوس دو گوشه و ضلع گوشه اول با هر ضلع دیگر گوشه دوم همپوشانی دارند. یعنی در صورت انطباق کامل، زمانی که زوایا روی هم قرار می گیرند، اضلاع زوایای داده شده کاملاً منطبق می شوند، زوایا. برابر.

ممکن است هنگام قرار دادن کناره ها ترکیب نشوند، سپس گوشه ها نابرابر، کوچکترکه از دیگری تشکیل شده است و بیشتریک زاویه کامل دیگر را در بر می گیرد. در زیر زوایای نابرابر هستند که هنگام قرار گرفتن روی هم تراز نیستند.

زوایای توسعه یافته برابر هستند.

اندازه‌گیری زاویه‌ها با اندازه‌گیری ضلع زاویه اندازه‌گیری شده و ناحیه داخلی آن آغاز می‌شود که با زوایای واحد پر می‌شود، آنها به یکدیگر اعمال می‌شوند. لازم است تعداد گوشه های انباشته را بشمارید، آنها اندازه گیری زاویه اندازه گیری شده را از قبل تعیین می کنند.

یک واحد زاویه را می توان در هر زاویه قابل اندازه گیری بیان کرد. واحدهای اندازه گیری پذیرفته شده ای وجود دارد که در علم و فناوری استفاده می شود. آنها در عناوین دیگر تخصص دارند.

پرکاربردترین مفهوم درجه.

تعریف 8

یک درجهبه زاویه ای گفته می شود که دارای یکصد و هشتادم زاویه راست باشد.

نماد استاندارد برای یک درجه "°" است، سپس یک درجه 1 درجه است. بنابراین، یک زاویه مستقیم شامل 180 زاویه است که از یک درجه تشکیل شده است. تمام گوشه‌های موجود به‌طور محکم روی هم چیده شده‌اند و اضلاع گوشه‌های قبلی با گوشه‌های بعدی در یک راستا قرار دارند.

مشخص است که تعداد درجه یک زاویه همان اندازه زاویه است. گوشه توسعه یافته دارای 180 گوشه انباشته در ترکیب خود است. شکل زیر نمونه هایی را نشان می دهد که در آن زاویه 30 بار، یعنی یک ششم منبسط شده، و 90 بار، یعنی نصف گذاشته شده است.

دقیقه و ثانیه برای تعیین دقیق اندازه گیری زاویه استفاده می شود. آنها زمانی استفاده می شوند که مقدار زاویه یک درجه صحیح نباشد. چنین قسمت هایی از یک درجه به شما امکان می دهد محاسبات دقیق تری انجام دهید.

تعریف 9

دقیقهیک شصتم درجه نامیده می شود.

تعریف 10

دومینیک شصت دقیقه تماس گرفت.

یک درجه شامل 3600 ثانیه است. دقیقه ها نشان دهنده """، و ثانیه ها """ هستند. تعیین صورت می گیرد:

1°=60"=3600"، 1"=(160)°، 1"=60"، 1""=(160)"=(13600)°،

و نماد زاویه 17 درجه و 3 دقیقه و 59 ثانیه 17 درجه 3 "59" است.

تعریف 11

بیایید مثالی از علامت گذاری درجه یک زاویه برابر با 17 درجه 3 "59" " ارائه دهیم. ورودی شکل دیگری دارد 17 + 3 60 + 59 3600 \u003d 17 239 3600.

برای اندازه گیری دقیق زوایا از دستگاه اندازه گیری مانند نقاله استفاده می شود. هنگام تعیین زاویه ∠ A O B و اندازه گیری درجه آن 110 درجه، از نماد راحت تری استفاده می شود ∠ A O B \u003d 110 درجه، که به عنوان خوانده شده "زاویه A O B برابر با 110 درجه است."

در هندسه از یک اندازه زاویه از بازه (0، 180) استفاده می شود و در مثلثات اندازه گیری درجه دلخواه نامیده می شود. زوایای چرخشمقدار زاویه ها همیشه به صورت یک عدد واقعی بیان می شود. زاویه راستزاویه ای است که 90 درجه دارد. گوشه ی تیززاویه ای است که کمتر از 90 درجه است و صریح- بیشتر.

یک زاویه تند در بازه (0، 90) و یک زاویه مبهم - (90، 180) اندازه گیری می شود. سه نوع زاویه به وضوح در زیر نشان داده شده است.

هر درجه ای از هر زاویه ای مقدار یکسانی دارد. یک زاویه بزرگتر، به ترتیب، دارای درجه بزرگتر از زاویه کوچکتر است. اندازه گیری درجه یک زاویه مجموع تمام مقیاس های درجه موجود در زوایای داخلی است. شکل زیر زاویه AOB را نشان می دهد که از زوایای AOC، COD و DOB تشکیل شده است. در جزئیات، به نظر می رسد: ∠ A O B = ∠ A O C + ∠ D O B = 45 ° + 30 ° + 60 ° = 135 درجه.

بر این اساس می توان نتیجه گرفت که مجموعهمه زوایای مجاور 180 درجه استزیرا همه آنها یک زاویه منبسط شده را تشکیل می دهند.

از این نتیجه می شود که هر زوایای عمودی برابر است. اگر این را با یک مثال در نظر بگیریم، به این نتیجه می‌رسیم که زاویه A O B و C O D عمودی هستند (در نقاشی)، سپس جفت‌های A O B و B O C، C O D و B O C مجاور در نظر گرفته می‌شوند. در چنین حالتی، تساوی ∠ A O B + ∠ B O C = 180 درجه همراه با ∠ C O D + ∠ B O C = 180 درجه منحصراً درست در نظر گرفته می شود. از این رو داریم که ∠ A O B = ∠ C O D . در زیر نمونه ای از تصویر و نامگذاری صیدهای عمودی آورده شده است.

علاوه بر درجه، دقیقه و ثانیه از واحد اندازه گیری دیگری نیز استفاده می شود. نامیده می شود رادیان. اغلب می توان آن را در مثلثات هنگام تعیین زوایای چندضلعی ها یافت. آنچه رادیان نامیده می شود.

تعریف 12

یک زاویه رادیانیبه نام زاویه مرکزی که شعاع دایره ای برابر با طول کمان دارد.

در شکل، رادیان به صورت دایره ای نشان داده شده است که در آن یک مرکز وجود دارد که با یک نقطه نشان داده شده است، دو نقطه روی دایره به هم متصل شده و به شعاع O A و O B تبدیل شده است. طبق تعریف، این مثلث A O B متساوی الاضلاع است، به این معنی که طول کمان A B برابر با طول شعاع O B و O A است.

تعیین زاویه به عنوان "راد" گرفته می شود. یعنی یک مدخل در 5 رادیان به اختصار 5 راد می باشد. گاهی اوقات می توانید نامی را پیدا کنید که نام pi دارد. رادیان ها به طول یک دایره معین بستگی ندارند، زیرا شکل ها با کمک یک زاویه و قوس آن با مرکزی واقع در راس یک زاویه مشخص، نوعی محدودیت دارند. مشابه در نظر گرفته می شوند.

رادیان ها همان معنای درجه هستند، فقط تفاوت در بزرگی آنهاست. برای تعیین این، لازم است که طول محاسبه شده قوس زاویه مرکزی را بر طول شعاع آن تقسیم کنیم.

در عمل استفاده می کنند درجه را به رادیان و رادیان را به درجه تبدیل کنیدبرای حل آسانتر مشکل مقاله مشخص شده دارای اطلاعاتی در مورد ارتباط بین میزان درجه و رادیان است که می توانید ترجمه های درجه به رادیان و بالعکس را به تفصیل مطالعه کنید.

برای یک تصویر بصری و راحت از قوس ها، زوایا، نقشه ها استفاده می شود. همیشه نمی توان به درستی یک زاویه، قوس یا نام خاص را به تصویر کشید و علامت گذاری کرد. زوایای مساوی به شکل تعداد کمانهای یکسان و به شکل قوسهای متفاوت نامساوی هستند. نقشه تعیین صحیح زوایای تیز، مساوی و نابرابر را نشان می دهد.

هنگامی که بیش از 3 گوشه باید علامت گذاری شود، از علامت های قوس خاصی مانند موج دار یا ناهموار استفاده می شود. خیلی هم مهم نیست شکل زیر نام آنها را نشان می دهد.

تعیین زاویه ها باید ساده باشد تا با مقادیر دیگر تداخل نداشته باشد. هنگام حل یک مشکل، توصیه می شود فقط گوشه های لازم برای حل را انتخاب کنید تا کل نقاشی را به هم نریزید. این در راه حل و اثبات تداخلی ایجاد نمی کند و همچنین ظاهر زیبایی به نقاشی می بخشد.

اگر متوجه اشتباهی در متن شدید، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید

هر زاویه بسته به اندازه آن نام خاص خود را دارد:

نمای زاویه ای	اندازه بر حسب درجه	مثال
تند	کمتر از 90 درجه
سر راست	برابر 90 درجه در نقاشی، زاویه قائمه معمولاً با نمادی که از یک طرف زاویه به سمت دیگر کشیده می شود نشان داده می شود.
بلانت	بزرگتر از 90 درجه اما کمتر از 180 درجه
مستقر شده است	برابر با 180 درجه یک زاویه مستقیم برابر است با مجموع دو زاویه قائمه و یک زاویه راست نصف زاویه مستقیم است.
محدب	بیش از 180 درجه اما کمتر از 360 درجه
پر شده	برابر با 360 درجه است

دو گوشه نامیده می شود مربوطاگر یک طرف مشترک باشد و دو طرف دیگر یک خط مستقیم تشکیل دهند:

گوشه ها MOPو ponمجاور از پرتو OP- طرف مشترک و دو طرف دیگر - OMو بریک خط مستقیم تشکیل دهید

ضلع مشترک زوایای مجاور نامیده می شود مایل به راست، که دو ضلع دیگر روی آن قرار می گیرند، فقط در صورتی که زوایای مجاور با یکدیگر مساوی نباشند. اگر زوایای مجاور مساوی باشند، ضلع مشترک آنها خواهد بود عمود بر.

مجموع زوایای مجاور 180 درجه است.

دو گوشه نامیده می شود عمودی، اگر اضلاع یک زاویه مکمل خطوط مستقیم باشد اضلاع یک زاویه دیگر:

زوایای 1 و 3 و همچنین زوایای 2 و 4 عمودی هستند.

زوایای عمودی برابر هستند.

بیایید ثابت کنیم که زوایای عمودی برابر هستند:

مجموع ∠1 و ∠2 یک زاویه مستقیم است. و مجموع ∠3 و ∠2 یک زاویه مستقیم است. پس این دو جمع مساوی هستند:

∠1 + ∠2 = ∠3 + ∠2.

در این برابری، در سمت چپ و در سمت راست همان عبارت وجود دارد - ∠2. اگر این عبارت در سمت چپ و راست حذف شود، تساوی نقض نمی شود. سپس می گیریم.