متوازی الاضلاع و مساحت آن ما مجموع زاویه ها و مساحت متوازی الاضلاع را محاسبه می کنیم: ویژگی ها و علائم. ویژگی های گوشه های مجاور

مساحت متوازی الاضلاع

قضیه 1

مساحت متوازی الاضلاع به صورت حاصل ضرب طول ضلع آن ضربدر ارتفاع کشیده شده به سمت آن تعریف می شود.

که در آن $a$ ضلع متوازی الاضلاع است، $h$ ارتفاع کشیده شده به این سمت است.

اثبات

اجازه دهید متوازی الاضلاع $ABCD$ با $AD=BC=a$ به ما داده شود. اجازه دهید ارتفاعات $DF$ و $AE$ را رسم کنیم (شکل 1).

تصویر 1.

واضح است که شکل $FDAE$ یک مستطیل است.

\[\زاویه BAE=(90)^0-\زاویه A،\ \] \[\زاویه CDF=\زاویه D-(90)^0=(180)^0-\زاویه A-(90)^0 =(90)^0-\زاویه A=\زاویه BAE\]

بنابراین، از آنجایی که $CD=AB،\ DF=AE=h$، $\مثلث BAE=\مثلث CDF$، توسط $I$ آزمون برابری مثلث انجام می شود. سپس

بنابراین با توجه به قضیه مساحت مستطیل:

قضیه ثابت شده است.

قضیه 2

مساحت متوازی الاضلاع به صورت حاصل ضرب طول اضلاع مجاور آن ضربدر سینوس زاویه بین آن ضلع ها تعریف می شود.

از نظر ریاضی، این را می توان به صورت زیر نوشت

در جایی که $a،\ b$ اضلاع متوازی الاضلاع هستند، $\alpha $ زاویه بین آنهاست.

اثبات

اجازه دهید متوازی الاضلاع $ABCD$ با $BC=a,\ CD=b,\ \ زاویه C=\alpha $ به ما داده شود. ارتفاع $DF=h$ را رسم کنید (شکل 2).

شکل 2.

با تعریف سینوس، ما دریافت می کنیم

از این رو

بنابراین، با قضیه $1$:

قضیه ثابت شده است.

مساحت یک مثلث

قضیه 3

مساحت مثلث نصف حاصلضرب طول ضلع آن و ارتفاع کشیده شده به سمت آن تعریف می شود.

از نظر ریاضی، این را می توان به صورت زیر نوشت

که $a$ ضلع مثلث است، $h$ ارتفاع کشیده شده به این ضلع است.

اثبات

شکل 3

بنابراین با قضیه $1$:

قضیه ثابت شده است.

قضیه 4

مساحت یک مثلث به صورت نصف حاصلضرب طول اضلاع مجاور آن ضربدر سینوس زاویه بین آن ضلع ها تعریف می شود.

از نظر ریاضی، این را می توان به صورت زیر نوشت

در جایی که $a,\ b$ اضلاع مثلث هستند، $\alpha $ زاویه بین آنهاست.

اثبات

اجازه دهید یک مثلث $ABC$ با $AB=a$ به ما داده شود. ارتفاع $CH=h$ را رسم کنید. بیایید آن را تا متوازی الاضلاع $ABCD$ بسازیم (شکل 3).

بدیهی است که $\مثلث ACB=\مثلث CDB$ توسط $I$. سپس

بنابراین با قضیه $1$:

قضیه ثابت شده است.

منطقه ذوزنقه

قضیه 5

مساحت ذوزنقه به صورت نصف حاصل ضرب مجموع طول قاعده های آن ضربدر ارتفاع آن تعریف می شود.

از نظر ریاضی، این را می توان به صورت زیر نوشت

اثبات

اجازه دهید به ما یک ذوزنقه $ABCK$ داده شود، که در آن $AK=a،\ BC=b$. اجازه دهید ارتفاعات $BM=h$ و $KP=h$ و همچنین قطر $BK$ را در آن رسم کنیم (شکل 4).

شکل 4

با قضیه $3$ دریافت می کنیم

قضیه ثابت شده است.

نمونه کار

مثال 1

مساحت مثلث متساوی الاضلاع را در صورتی که طول ضلع آن $a.$ باشد را بیابید

راه حل.

از آنجایی که مثلث متساوی الاضلاع است، تمام زوایای آن برابر با $(60)^0$ است.

سپس، با قضیه $4$، ما داریم

پاسخ:$\frac(a^2\sqrt(3))(4)$.

توجه داشته باشید که از نتیجه این مشکل می توان برای یافتن مساحت هر مثلث متساوی الاضلاع با ضلع معین استفاده کرد.

همانطور که در هندسه اقلیدسی، نقطه و خط مستقیم عناصر اصلی نظریه صفحات هستند، متوازی الاضلاع نیز یکی از اشکال کلیدی چهارضلعی های محدب است. از آن، مانند نخ های یک توپ، مفاهیم "مستطیل"، "مربع"، "لوزی" و سایر مقادیر هندسی جاری می شود.

در تماس با

تعریف متوازی الاضلاع

چهارضلعی محدب،متشکل از قطعاتی که هر جفت آن موازی است، در هندسه به عنوان متوازی الاضلاع شناخته می شود.

آنچه یک متوازی الاضلاع کلاسیک به نظر می رسد یک ABCD چهار ضلعی است. اضلاع را قاعده می نامند (AB، BC، CD و AD)، عمود کشیده شده از هر رأس به طرف مقابل این راس، ارتفاع (BE و BF)، خطوط AC و BD قطر هستند.

توجه!مربع، لوزی و مستطیل موارد خاص متوازی الاضلاع هستند.

اضلاع و زوایا: ویژگی های نسبت

خواص کلیدی، به طور کلی، توسط خود نامگذاری از پیش تعیین شده است، با قضیه ثابت می شوند. این خصوصیات به شرح زیر است:

1. ضلع هایی که در مقابل یکدیگر قرار دارند به صورت جفت یکسان هستند.
2. زوایایی که در مقابل هم قرار دارند جفت با هم برابرند.

اثبات: ∆ABC و ∆ADC را در نظر بگیرید که از تقسیم چهار ضلعی ABCD بر خط AC به دست می آیند. ∠BCA=∠CAD و ∠BAC=∠ACD، زیرا AC برای آنها مشترک است (زوایای عمودی برای BC||AD و AB||CD، به ترتیب). از این نتیجه می شود: ∆ABC = ∆ADC (معیار دوم برای تساوی مثلث ها).

بخش های AB و BC در ∆ABC به صورت جفت با خطوط CD و AD در ∆ADC مطابقت دارند، به این معنی که آنها یکسان هستند: AB = CD، BC = AD. بنابراین، ∠B با ∠D مطابقت دارد و آنها برابر هستند. از آنجایی که ∠A=∠BAC+∠CAD، ∠C=∠BCA+∠ACD، که به صورت جفتی نیز یکسان هستند، پس ∠A = ∠C. ملک ثابت شده است.

ویژگی های قطرهای شکل

ویژگی اصلیاین خطوط متوازی الاضلاع: نقطه تقاطع آنها را به دو نیم می کند.

اثبات: فرض کنید m. E نقطه تقاطع قطرهای AC و BD شکل ABCD باشد. آنها دو مثلث متناسب را تشکیل می دهند - ∆ABE و ∆CDE.

AB=CD چون مقابل هم هستند. با توجه به سطرها و خطوط، ∠ABE = ∠CDE و ∠BAE = ∠DCE.

با توجه به علامت دوم برابری، ∆ABE = ∆CDE. این بدان معناست که عناصر ∆ABE و ∆CDE عبارتند از: AE = CE، BE = DE و علاوه بر این، آنها بخش‌های متناسبی از AC و BD هستند. ملک ثابت شده است.

ویژگی های گوشه های مجاور

در اضلاع مجاور مجموع زوایای 180 درجه است، از آنجایی که آنها در یک سمت خطوط موازی و سکنت قرار دارند. برای ABCD چهار ضلعی:

∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º

خواص نیمساز:

1. ، به یک طرف افتاده، عمود هستند.
2. رئوس مخالف دارای نیمسازهای موازی هستند.
3. مثلثی که با رسم نیمساز به دست می آید متساوی الساقین خواهد بود.

تعیین ویژگی های متوازی الاضلاع توسط قضیه

ویژگی های این شکل از قضیه اصلی آن که به شرح زیر است ناشی می شود: چهار ضلعی متوازی الاضلاع در نظر گرفته می شوددر صورتی که قطرهای آن قطع شود و این نقطه آنها را به قطعات مساوی تقسیم می کند.

اثبات: بگذارید خطوط AC و BD چهار ضلعی ABCD در t. E قطع شوند. از آنجایی که ∠AED = ∠BEC، و AE+CE=AC BE+DE=BD، پس ∆AED = ∆BEC (با اولین علامت تساوی مثلث ها). یعنی ∠EAD = ∠ECB. آنها همچنین زوایای عبور داخلی مقطع AC برای خطوط AD و BC هستند. بنابراین، با تعریف موازی - AD || قبل از میلاد مسیح. ویژگی مشابهی از خطوط BC و CD نیز مشتق شده است. قضیه ثابت شده است.

محاسبه مساحت یک شکل

مساحت این شکل به روش های مختلفی یافت می شودیکی از ساده ترین ها: ضرب ارتفاع و پایه ای که به آن کشیده شده است.

اثبات: عمودهای BE و CF را از رئوس B و C رسم کنید. ∆ABE و ∆DCF برابر هستند زیرا AB = CD و BE = CF. ABCD برابر با مستطیل EBCF است، زیرا آنها همچنین از ارقام متناسب تشکیل شده اند: S ABE و S EBCD، و همچنین S DCF و S EBCD. نتیجه این است که مساحت این شکل هندسی با مساحت یک مستطیل یکسان است:

S ABCD = S EBCF = BE×BC=BE×AD.

برای تعیین فرمول کلی مساحت متوازی الاضلاع، ارتفاع را به صورت مشخص می کنیم hb، و کنار ب. به ترتیب:

راه های دیگر برای یافتن منطقه

محاسبات مساحت از طریق اضلاع متوازی الاضلاع و زاویه، که آنها تشکیل می دهند، دومین روش شناخته شده است.

,

Spr-ma - منطقه؛

a و b اضلاع آن هستند

α - زاویه بین قطعات a و b.

این روش عملاً بر اساس روش اول است، اما در صورت ناشناخته بودن. همیشه یک مثلث قائم الزاویه را قطع می کند که پارامترهای آن با هویت های مثلثاتی پیدا می شوند، یعنی . با تبدیل نسبت، دریافت می کنیم. در معادله روش اول، ارتفاع را با این حاصلضرب جایگزین می کنیم و دلیلی بر صحت این فرمول به دست می آوریم.

از طریق قطرهای متوازی الاضلاع و یک زاویه،که آنها هنگام تقاطع ایجاد می کنند، شما همچنین می توانید منطقه را پیدا کنید.

اثبات: AC و BD متقاطع چهار مثلث را تشکیل می دهند: ABE، BEC، CDE و AED. مجموع آنها برابر است با مساحت این چهارضلعی.

مساحت هر یک از این ∆ را می‌توان از عبارت : a=BE، b=AE، ∠γ =∠AEB پیدا کرد. از آنجایی که پس از آن یک مقدار سینوس در محاسبات استفاده می شود. به این معنا که . از آنجایی که AE+CE=AC=d1 و BE+DE=BD=d2، فرمول مساحت به زیر کاهش می یابد:

.

کاربرد در جبر برداری

ویژگی های اجزای تشکیل دهنده این چهار ضلعی در جبر برداری کاربرد پیدا کرده است، یعنی: جمع دو بردار. قانون متوازی الاضلاع بیان می کند که اگر بردارها داده شودونهخطی هستند، سپس مجموع آنها برابر با قطر این شکل خواهد بود که پایه های آن با این بردارها مطابقت دارد.

اثبات: از آغازی که خودسرانه انتخاب شده است - یعنی. - بردارها و . بعد، یک متوازی الاضلاع OASV می سازیم، که در آن بخش های OA و OB اضلاع هستند. بنابراین، سیستم عامل بر روی بردار یا جمع قرار دارد.

فرمول های محاسبه پارامترهای متوازی الاضلاع

هویت تحت شرایط زیر ارائه می شود:

1. a و b، α - اضلاع و زاویه بین آنها.
2. d 1 و d 2 ، γ - مورب ها و در نقطه تقاطع آنها.
3. h a و h b - ارتفاعات به دو طرف a و b کاهش یافته است.

پارامتر	فرمول
پیدا کردن طرفین
در امتداد مورب ها و کسینوس زاویه بین آنها
به صورت مورب و جانبی
از طریق ارتفاع و راس مخالف
پیدا کردن طول قطرها
در طرفین و اندازه بالای بین آنها
در امتداد اضلاع و یکی از مورب ها	 نتیجه متوازی الاضلاع، به عنوان یکی از چهره های کلیدی هندسه، در زندگی استفاده می شود، به عنوان مثال، در ساخت و ساز هنگام محاسبه مساحت سایت یا اندازه گیری های دیگر. بنابراین، دانش در مورد ویژگی های متمایز و روش های محاسبه پارامترهای مختلف آن می تواند در هر زمان از زندگی مفید باشد.

هنگام حل مشکلات در مورد این موضوع، علاوه بر خواص اساسی متوازی الاضلاعو فرمول های مربوطه را می توانید به خاطر بسپارید و موارد زیر را اعمال کنید:

1. نیمساز زاویه داخلی متوازی الاضلاع یک مثلث متساوی الساقین را از آن جدا می کند
2. نیمسازهای زوایای داخلی مجاور یکی از اضلاع متوازی الاضلاع بر یکدیگر عمود هستند.
3. نیمسازهایی که از زوایای داخلی متوازی الاضلاع، موازی یکدیگر یا روی یک خط مستقیم قرار دارند.
4. مجموع مربع های مورب متوازی الاضلاع برابر است با مجموع مربعات اضلاع آن
5. مساحت متوازی الاضلاع نصف حاصلضرب قطرها ضربدر سینوس زاویه بین آنهاست.

بیایید وظایفی را در نظر بگیریم که در حل آنها از این ویژگی ها استفاده می شود.

وظیفه 1.

نیمساز زاویه C متوازی الاضلاع ABCD ضلع AD را در نقطه M و ادامه ضلع AB را فراتر از نقطه A در نقطه E قطع می کند. محیط متوازی الاضلاع را در صورت AE \u003d 4، DM \u003d 3 بیابید.

راه حل.

1. مثلث متساوی الساقین CMD. (ملاک 1). بنابراین CD = MD = 3 سانتی متر.

2. مثلث EAM متساوی الساقین است.
بنابراین، AE = AM = 4 سانتی متر.

3. AD = AM + MD = 7 سانتی متر.

4. محیط ABCD = 20 سانتی متر.

پاسخ. 20 سانتی متر

وظیفه 2.

مورب ها در یک چهار ضلعی محدب ABCD رسم می شوند. مشخص است که مساحت مثلث های ABD، ACD، BCD برابر است. ثابت کنید که چهارضلعی داده شده متوازی الاضلاع است.

راه حل.

1. اجازه دهید BE ارتفاع مثلث ABD، CF ارتفاع مثلث ACD باشد. از آنجایی که با توجه به شرط مسئله مساحت مثلث ها مساوی است و پایه مشترک AD دارند، پس ارتفاع این مثلث ها برابر است. BE = CF.

2. BE، CF عمود بر AD هستند. نقاط B و C در یک سمت خط AD قرار دارند. BE = CF. بنابراین، خط BC || آگهی. (*)

3. بگذارید AL ارتفاع مثلث ACD باشد، BK ارتفاع مثلث BCD باشد. از آنجایی که با توجه به شرط مسئله مساحت مثلث ها مساوی و دارای یک سی دی پایه مشترک می باشد، پس ارتفاع این مثلث ها برابر است. AL = BK.

4. AL و BK بر CD عمود هستند. نقاط B و A در یک سمت CD خط مستقیم قرار دارند. AL = BK. بنابراین خط AB || سی دی (**)

5. شرایط (*)، (**) بیانگر این است که ABCD متوازی الاضلاع است.

پاسخ. اثبات شده است. ABCD متوازی الاضلاع است.

وظیفه 3.

در اضلاع BC و CD متوازی الاضلاع ABCD، نقاط M و H به ترتیب مشخص شده اند، به طوری که بخش های BM و HD در نقطه O قطع می شوند.<ВМD = 95 о,