دامنه وظایف در وظایف امتحان. حل مسائل معمولی مجموعه مقادیر یک تابع 4×2 را پیدا کنید

y = ایکس 3

y=| ایکس|

y=

E( y) = [- 1, 1]

E( y) = (– ∞, + ∞)

E( y) = (– ∞, + ∞)

E( y) = (– ∞, + ∞)

E( y) = (0, + ∞)

معرفی الگوریتمی برای حل مسائل برای یافتن مجموعه مقادیر توابع مثلثاتی.

بیایید ببینیم چگونه می‌توانیم تجربیات خود را در وظایف مختلف موجود در گزینه‌های یک امتحان به کار ببریم.

1. یافتن مقادیر توابع برای مقدار معین آرگومان.

مثال.مقدار تابع y = 2 را بیابید cos(π/2+ π/4 ) – 1, اگر x = -π/2.

راه حل.

= –
– 1.

2. یافتن محدوده توابع مثلثاتی


راه حل.

1≤ گناهایکس≤ 1

2 ≤ 2 گناهایکس≤ 2

9 ≤ 11+2گناهایکس≤ 13

3 ≤
+2∙ گناه x ≤
، یعنی E (y) = .

اجازه دهید مقادیر صحیح تابع را در بازه بنویسیم. این عدد 3 است.

جواب: 3.

• 
  مجموعه مقادیر تابع را پیدا کنید در= گناه 2 ایکس+6sin ایکس + 10.

• 
  مجموعه مقادیر تابع را بیابید: در = گناه 2 ایکس - 6 گناه x + 8 . (بدون کمک دیگری)

در= گناه 2 ایکس- 2 3 گناهx + 3 2 - 3 2 + 8,

در= (گناهایکس- 3) 2 -1.

E ( گناهایکس) = [-1;1];

E ( گناهایکس -3) = [-4;-2];

E ( گناهایکس -3) 2 = ;

E ( در) = .

پاسخ: .

• 
  کوچکترین مقدار یک تابع را پیدا کنید در= cos 2 ایکس+2سین ایکس – 2.

آیا می توانیم مجموعه ای از مقادیر را برای این تابع پیدا کنیم؟ (خیر)

آنچه باید انجام شود؟ (به یک تابع کاهش یافت.)

چگونه انجامش بدهیم؟ (از فرمول cos 2 استفاده کنید ایکس= 1-سین 2 ایکس.)

بنابراین، در= 1-سین 2 ایکس+2سین ایکس –2,

y= -سین 2 ایکس+2سین ایکس –1,

در= -(گناه ایکس –1) 2 .

خوب، اکنون می توانیم مجموعه ای از مقادیر را پیدا کرده و کوچکترین آنها را انتخاب کنیم.

1≤ گناه ایکس ≤ 1,

2 ≤ گناه ایکس – 1 ≤ 0,

0 ≤ (گناه ایکس – 1) 2 ≤ 4,

4 ≤ -(گناه ایکس -1) 2 ≤ 0.

بنابراین کوچکترین مقدار تابع در استخدام= -4. پاسخ: -4.

• 
  حاصل ضرب بزرگترین و کوچکترین مقدار یک تابع را بیابید

راه حل.

در= 1-cos 2 ایکس+ cos ایکس + 1,5,

در= -cos 2 ایکس+ 2∙0.5∙cos ایکس - 0,25 + 2,75,

در= -(cos ایکس- 0,5) 2 + 2,75.

E(cos ایکس) = [-1;1],

E(cos ایکس – 0,5) = [-1,5;0,5],

E(cos ایکس – 0,5) 2 = ,

E(-(cos ایکس-0,5) 2) = [-2,25;0],

E( در) = .

بزرگترین مقدار تابع در نایب= 2.75; کوچکترین ارزش در استخدام= 0.5. بیایید حاصل ضرب بزرگترین و کوچکترین مقدار تابع را پیدا کنیم:

در نایب ∙در استخدام = 0,5∙2,75 = 1,375.

جواب: 1.375.

بیایید تابع را در فرم بازنویسی کنیم در =,

در =
,

اکنون مجموعه مقادیر تابع را پیدا می کنیم.

E(گناه ایکس) = [-1, 1],

E(6sin ایکس) = [-6, 6],

E(6sin ایکس + 1) = [-5, 7],

E((6sin ایکس + 1) 2) = ,

E(- (6sin ایکس + 1) 2) = [-49, 0],

E(- (6sin ایکس + 1) 2 + 64) = ,

E( y) = [
, 8].

بیایید مجموع مقادیر صحیح تابع را پیدا کنیم: 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 30.

پاسخ: 30.

1)
به این معنا که ایکسمتعلق به سه ماهه اول است.

2)

بنابراین، 2 ایکسمتعلق به سه ماهه دوم است.

3) در ربع دوم تابع سینوس کاهش یافته و پیوسته است. بنابراین این تابع
تمام مقادیر را از
قبل از

4) این مقادیر را محاسبه کنید:

پاسخ :
.

1) از آنجایی که یک سینوس مقادیری از 1- تا 1 می گیرد، پس مجموعه مقادیر تفاوت
. وقتی ضرب شود
این بخش به بخش خواهد رفت
.

2) آرکوزین یک تابع یکنواخت کاهشی و پیوسته است. از این رو، مجموعه مقادیر عبارت یک بخش است
.

3) هنگام ضرب این بخش در ما گرفتیم
.

پاسخ:
.

از آنجایی که مماس قوس یک تابع افزایشی است، پس
.

2) هنگام افزایش ایکساز جانب
قبل از استدلال 2 ایکسافزایش می یابد از
قبل از . از آنجایی که سینوس در چنین بازه ای افزایش می یابد، تابع
ارزش ها را از
تا 1.

3) هنگام افزایش از قبل از
استدلال 2 ایکسافزایش می یابد از قبل از
. از آنجایی که سینوس در چنین بازه ای کاهش می یابد، تابع
ارزش ها را از
تا 1.

4) با استفاده از فرمول بیان کننده سینوس بر حسب مماس نیم زاویه متوجه می شویم که

.

از این رو، مجموعه مقادیر مورد نظر، اتحاد بخش ها است
و
، یعنی بخش
.

پاسخ:
.
این تکنیک (معرفی زاویه کمکی) برای یافتن مجموعه مقادیر توابع فرم استفاده می شود.

در= یک گناه x + b cos xیا در= گناه (آرx) + bcos (آرایکس).

• 
  مجموعه مقادیر تابع را پیدا کنید

راه حل.

بیایید ارزش را پیدا کنیم
=
= 25.

بیایید بیان را تغییر دهیم

15 گناه 2x + 20 cos 2x = 25 (
) = 25 () =

25 گناه (2x + ، جایی که cos = ، گناه =.

مجموعه مقادیر تابع y \u003d sin (2x + ): -1 گناه (2x + ) 1.

سپس مجموعه مقادیر تابع اصلی -25 است 25 گناه (2x + ) 25.

پاسخ: [-25; 25].
3. وظایف برای یافتن بزرگترین و کوچکترین مقادیر تابع در بازه.

• 
  بزرگترین و کوچکترین مقدار یک تابع را پیدا کنید در= ctg ایکسدر بخش [π/4; π/2].

تابع در= ctg ایکسدر بخش [π/4; π/2]، بنابراین، تابع کمترین مقدار را در x =π/2 یعنی در(π/2) = сtg π/2 = 0; و بزرگترین مقدار در است x=π/4، یعنی در(π/4) = сtg π/4 = 1.

پاسخ: 1، 0.

در برابری از هم جدا شوند
کل قسمت: .

نتیجه این است که نمودار تابع f(x) یا هذلولی (а≠ 0) یا یک خط مستقیم بدون نقطه است.

علاوه بر این، اگر a; 2a) و (2a;
) و اگر a > 0 باشد، در این پرتوها به طور یکنواخت افزایش می یابد.

اگر a \u003d 0، سپس f (x) \u003d -2 در کل دامنه تعریف x ≠ 0. بنابراین، بدیهی است که مقادیر مورد نظر پارامتر برابر با صفر نیست.

از آنجایی که ما فقط به مقادیر تابع در بخش [-1; 1]، سپس طبقه بندی موقعیت ها با این واقعیت تعیین می شود که مجانب x = 2a هذلولی (a≠0) نسبت به این بخش قرار دارد.

مورد 1. تمام نقاط بازه [-1; 1] در سمت راست مجانب عمودی x = 2a هستند، یعنی زمانی که 2a باشد

حالت 2. مجانب عمودی بازه [-1; 1]، و تابع کاهش می یابد (مانند مورد 1)، یعنی زمانی که

حالت 3. مجانب عمودی بازه [-1; 1] و تابع در حال افزایش است، یعنی -1

.

مورد 4. تمام نقاط بازه [-1; 1] در سمت چپ مجانب عمودی هستند، یعنی 1 a > . و دوم
پذیرایی 4 . بیان x بر حسب y. (یافتن دامنه تابع معکوس)

پذیرایی 5.ساده سازی فرمول تعریف یک تابع گویا کسری

پذیرایی 6.یافتن مجموعه مقادیر توابع درجه دوم (با یافتن راس سهمی و تعیین ماهیت رفتار شاخه های آن).

پذیرایی 7.معرفی یک زاویه کمکی برای یافتن مجموعه مقادیر برخی از توابع مثلثاتی.

صفحه 1

اغلب، در چارچوب حل مسائل، باید به دنبال مجموعه ای از مقادیر یک تابع در حوزه تعریف یا در یک بخش باشیم. به عنوان مثال، این باید در هنگام حل انجام شود انواع متفاوتنابرابری ها، ارزیابی بیان و غیره

به عنوان بخشی از این مطالب، ما به شما می گوییم که محدوده یک تابع چقدر است، روش های اصلی را که می توان آن را محاسبه کرد و مسائل با درجات مختلف پیچیدگی را تجزیه و تحلیل کرد. برای وضوح، موقعیت های فردی توسط نمودارها نشان داده شده است. پس از مطالعه این مقاله، درک جامعی از محدوده یک تابع خواهید داشت.

بیایید با تعاریف اولیه شروع کنیم.

تعریف 1

مجموعه مقادیر تابع y = f (x) در یک بازه x مجموعه تمام مقادیری است که این تابع هنگام تکرار روی همه مقادیر x ∈ X می گیرد.

تعریف 2

محدوده یک تابع y = f (x) مجموعه ای از تمام مقادیر آن است که می تواند هنگام تکرار بر روی مقادیر x از محدوده x ∈ (f) بگیرد.

محدوده برخی از تابع ها معمولا با E (f) نشان داده می شود.

لطفاً توجه داشته باشید که مفهوم مجموعه مقادیر یک تابع همیشه با مساحت مقادیر آن یکسان نیست. این مفاهیم تنها در صورتی معادل خواهند بود که محدوده مقادیر x هنگام یافتن مجموعه مقادیر با دامنه تابع مطابقت داشته باشد.

همچنین مهم است که بین دامنه و محدوده متغیر x برای عبارت سمت راست y = f (x) تمایز قائل شویم. ناحیه مقادیر قابل قبول x برای عبارت f (x) ناحیه تعریف این تابع خواهد بود.

در زیر یک تصویر نشان داده شده است که چند نمونه را نشان می دهد. خطوط آبی نمودار توابع، خطوط قرمز مجانبی، نقاط قرمز و خطوط روی محور y محدوده تابع هستند.

بدیهی است که محدوده تابع را می توان با طرح نمودار تابع بر روی محور O y بدست آورد. در عین حال، می تواند یک عدد واحد یا مجموعه ای از اعداد، یک قطعه، یک بازه، یک پرتو باز، یک اتحادیه از فواصل عددی و غیره باشد.

راه های اصلی برای یافتن محدوده یک تابع را در نظر بگیرید.

بیایید با تعریف مجموعه مقادیر تابع پیوسته y = f (x) در یک بخش خاص شروع کنیم که [a ; ب]. می دانیم که تابعی که در یک بازه معین پیوسته است به حداقل و حداکثر خود در آن می رسد، یعنی حداکثر m a x x ∈ a ; b f (x) و کوچکترین مقدار m i n x ∈ a ; b f (x) . بنابراین، یک قطعه m i n x ∈ a ; bf(x) ; m a x x ∈ a ; b f (x) که شامل مجموعه مقادیر تابع اصلی است. سپس تنها کاری که باید انجام دهیم این است که حداقل و حداکثر نقاط مشخص شده در این بخش را پیدا کنیم.

بیایید مسئله ای را در نظر بگیریم که در آن لازم است محدوده مقادیر آرکسین را تعیین کنیم.

مثال 1

وضعیت:محدوده y = a r c sin x را پیدا کنید.

راه حل

در حالت کلی، دامنه تعریف آرکسین در بازه [ - 1 ; 1 ] . باید بزرگترین و کوچکترین مقدار تابع مشخص شده را روی آن تعیین کنیم.

y "= a r c sin x" = 1 1 - x 2

ما می دانیم که مشتق تابع برای تمام مقادیر x واقع در بازه [ - 1 ; 1 ]، یعنی در کل دامنه تعریف، تابع آرکسین افزایش می یابد. این به این معنی است که وقتی x برابر با - 1 باشد، کوچکترین مقدار و زمانی که x برابر با 1 باشد، بزرگترین مقدار را خواهد گرفت.

m i n x ∈ - 1 ; 1 a r c sin x = a r c sin - 1 = - π 2 m a x x ∈ - 1 ; 1 a r c sin x \u003d a r c sin 1 \u003d π 2

بنابراین، محدوده تابع آرکسین برابر با E (a rc sin x) = - π 2 خواهد بود. π 2 .

پاسخ: E (a r c sin x) \u003d - π 2; π 2

مثال 2

وضعیت:محدوده y = x 4 - 5 x 3 + 6 x 2 را در بازه داده شده محاسبه کنید [ 1 ; 4 ] .

راه حل

تنها کاری که باید انجام دهیم این است که بزرگترین و کوچکترین مقدار تابع را در بازه داده شده محاسبه کنیم.

برای تعیین نقاط انتهایی باید محاسبات زیر را انجام داد:

y "= x 4 - 5 x 3 + 6 x 2" = 4 x 3 + 15 x 2 + 12 x = x 4 x 2 - 15 x + 12 y " = 0 ⇔ x (4 x 2 - 15 x + 12 ) = 0 x 1 = 0 ∉ 1؛ 4 و l و 4 x 2 - 15 x + 12 = 0 D = - 15 2 - 4 4 12 = 33 x 2 = 15 - 33 8 ≈ 1. 16 ∈ 1 ;4 ;x3 = 15 + 338 ≈ 2.59 ∈ 1;4

حالا بیایید مقادیر تابع داده شده را در انتهای بخش و نقاط x 2 = 15 - 33 8 پیدا کنیم. x 3 \u003d 15 + 33 8:

y (1) = 1 4 - 5 1 3 + 6 1 2 = 2 y 15 - 33 8 = 15 - 33 8 4 - 5 15 - 33 8 3 + 6 15 - 33 8 2 = = 117 + 165 33 512 2 . 08 y 15 + 33 8 = 15 + 33 8 4 - 5 15 + 33 8 3 + 6 15 + 33 8 2 = = 117 - 165 33 512 ≈ - 1 . 62 سال (4) = 4 4 - 5 4 3 + 6 4 2 = 32

این بدان معنی است که مجموعه مقادیر تابع توسط بخش 117 - 165 33 512 تعیین می شود. 32 .

پاسخ: 117 - 165 33 512 ; 32 .

بیایید به یافتن مجموعه مقادیر تابع پیوسته y = f (x) در فواصل (a ; b) و a ; + ∞ , - ∞ ; b , -∞ ; +∞ .

بیایید با تعیین بزرگترین و کوچکترین نقاط و همچنین فواصل افزایش و کاهش در یک بازه معین شروع کنیم. پس از آن، ما باید حدهای یک طرفه را در انتهای بازه و/یا حدود در بی نهایت محاسبه کنیم. به عبارت دیگر، ما باید رفتار تابع را در شرایط معین تعیین کنیم. برای این ما تمام داده های لازم را داریم.

مثال 3

وضعیت:محدوده تابع y = 1 x 2 - 4 را در بازه (- 2 ; 2) محاسبه کنید.

راه حل

بزرگترین و کوچکترین مقدار تابع را در یک بازه معین تعیین کنید

y "= 1 x 2 - 4" = - 2 x (x 2 - 4) 2 y " = 0 ⇔ - 2 x (x 2 - 4) 2 = 0 ⇔ x = 0 ∈ (- 2 ; 2)

ما حداکثر مقدار را برابر با 0 دریافت کردیم، زیرا در این نقطه است که علامت تابع تغییر می کند و نمودار شروع به کاهش می کند. تصویر را ببینید:

یعنی y (0) = 1 0 2 - 4 = - 1 4 حداکثر مقدار تابع خواهد بود.

حالا بیایید رفتار تابع را برای x که به - 2 در سمت راست و + 2 در سمت چپ تمایل دارد تعریف کنیم. به عبارت دیگر، محدودیت های یک طرفه را می یابیم:

lim x → - 2 + 0 1 x 2 - 4 = lim x → - 2 + 0 1 (x - 2) (x + 2) = = 1 - 2 + 0 - 2 - 2 + 0 + 2 = - 1 4 1 + 0 = - ∞ lim x → 2 + 0 1 x 2 - 4 = lim x → 2 + 0 1 (x - 2) (x + 2) = = 1 2 - 0 - 2 2 - 0 + 2 = 1 4 1 - 0 = -∞

دریافتیم که وقتی آرگومان از -2 به 0 تغییر می کند، مقادیر تابع از منهای بی نهایت به - 1 4 افزایش می یابد. و هنگامی که آرگومان از 0 به 2 تغییر می کند، مقادیر تابع به سمت منهای بی نهایت کاهش می یابد. بنابراین، مجموعه مقادیر تابع داده شده در بازه زمانی مورد نیاز ما خواهد بود (- ∞ ; - 1 4 ] .

پاسخ: (- ∞ ; - 1 4 ] .

مثال 4

وضعیت: مجموعه مقادیر y = t g x را در بازه داده شده نشان می دهد - π 2 . π 2 .

راه حل

ما می دانیم که، به طور کلی، مشتق مماس در - π 2; π 2 مثبت خواهد بود، یعنی تابع افزایش می یابد. حالا بیایید تعریف کنیم که تابع در مرزهای داده شده چگونه رفتار می کند:

lim x → π 2 + 0 t g x = t g - π 2 + 0 = - ∞ lim x → π 2 - 0 t g x = t g π 2 - 0 = + ∞

هنگامی که آرگومان از - π 2 به π 2 تغییر می کند، مقدار تابع را از منهای بی نهایت به بعلاوه بی نهایت افزایش می دهیم و می توان گفت که مجموعه راه حل های این تابع مجموعه تمام واقعی خواهد بود. شماره.

پاسخ: - ∞ ; + ∞ .

مثال 5

وضعیت:محدوده تابع لگاریتم طبیعی y = ln x را تعیین کنید.

راه حل

می دانیم که این تابع برای مقادیر مثبت آرگومان D (y) = 0 تعریف شده است. +∞ . مشتق در بازه داده شده مثبت خواهد بود: y " = ln x " = 1 x . این بدان معنی است که عملکرد روی آن در حال افزایش است. در مرحله بعد، ما باید برای مواردی که آرگومان به 0 (در سمت راست) و زمانی که x به بی نهایت می رود، یک حد یک طرفه تعریف کنیم:

lim x → 0 + 0 ln x = ln (0 + 0) = - ∞ lim x → ∞ ln x = ln + ∞ = + ∞

ما متوجه شدیم که مقادیر تابع از منهای بی‌نهایت به مثبت بی‌نهایت افزایش می‌یابد زیرا مقادیر x از صفر به اضافه بی‌نهایت تغییر می‌کنند. این بدان معناست که مجموعه تمام اعداد حقیقی محدوده تابع لگاریتم طبیعی است.

پاسخ:مجموعه تمام اعداد حقیقی محدوده تابع لگاریتم طبیعی است.

مثال 6

وضعیت:محدوده تابع y = 9 x 2 + 1 را تعیین کنید.

راه حل

این تابع به شرطی تعریف می شود که x یک عدد واقعی باشد. بیایید بزرگترین و کوچکترین مقادیر تابع و همچنین فواصل افزایش و کاهش آن را محاسبه کنیم:

y " = 9 x 2 + 1 " = - 18 x (x 2 + 1) 2 y " = 0 ⇔ x = 0 y " ≤ 0 ⇔ x ≥ 0 y " ≥ 0 ⇔ x ≤ 0

در نتیجه، ما تعیین کرده‌ایم که اگر x ≥ 0 باشد، این تابع کاهش می‌یابد. افزایش اگر x ≤ 0 ; دارای حداکثر نقطه y (0) = 9 0 2 + 1 = 9 زمانی که متغیر 0 باشد.

بیایید ببینیم که تابع در بی نهایت چگونه رفتار می کند:

lim x → - ∞ 9 x 2 + 1 = 9 - ∞ 2 + 1 = 9 1 + ∞ = + 0 lim x → + ∞ 9 x 2 + 1 = 9 + ∞ 2 + 1 = 9 1 + ∞ = +0

از رکورد مشاهده می شود که مقادیر تابع در این مورد به طور مجانبی به 0 نزدیک می شود.

به طور خلاصه: هنگامی که آرگومان از منهای بی نهایت به صفر تغییر می کند، مقادیر تابع از 0 به 9 افزایش می یابد. با رفتن مقادیر آرگومان از 0 به اضافه بی نهایت، مقادیر تابع مربوطه از 9 به 0 کاهش می یابد. این را در شکل به تصویر کشیده ایم:

نشان می دهد که محدوده تابع بازه E (y) = (0 ; 9) خواهد بود.

پاسخ: E (y) = (0 ؛ 9 ]

اگر باید مجموعه مقادیر تابع y = f (x) را در فواصل [ a ; b) , (a ; b ] , [a ; + ∞) , (- ∞ ; b ] , سپس دقیقاً باید همان مطالعات را انجام دهیم. ما هنوز این موارد را تجزیه و تحلیل نخواهیم کرد: بعداً در مسائل با آنها روبرو خواهیم شد. .

اما اگر دامنه یک تابع معین اتحاد چند بازه باشد چه؟ سپس باید مجموعه مقادیر را در هر یک از این بازه ها محاسبه کنیم و آنها را با هم ترکیب کنیم.

مثال 7

وضعیت:محدوده y = x x - 2 را تعیین کنید.

راه حل

از آنجایی که مخرج تابع نباید به 0 تبدیل شود، D (y) = - ∞ ; 2 ∪ 2 ; +∞ .

بیایید با تعریف مجموعه مقادیر تابع در بخش اول شروع کنیم - ∞ ; 2 که تیر باز است. می دانیم که تابع روی آن کاهش می یابد، یعنی مشتق این تابع منفی می شود.

lim x → 2 - 0 x x - 2 = 2 - 0 2 - 0 - 2 = 2 - 0 = - ∞ lim x → - ∞ x x - 2 = lim x → - ∞ x - 2 + 2 x - 2 = lim x → - ∞ 1 + 2 x - 2 = 1 + 2 - ∞ - 2 = 1 - 0

سپس، در مواردی که آرگومان به سمت منهای بی نهایت تغییر می کند، مقادیر تابع به طور مجانبی به 1 نزدیک می شود. اگر مقادیر x از منهای بینهایت به 2 تغییر کند، مقادیر از 1 به منهای بی نهایت کاهش می یابد، یعنی. تابع در این بخش مقادیر را از بازه - ∞ می گیرد. 1 . ما وحدت را از استدلال خود حذف می کنیم، زیرا مقادیر تابع به آن نمی رسد، بلکه فقط به صورت مجانبی به آن نزدیک می شود.

برای تیر باز 2 ; + ∞ ما دقیقاً همان اقدامات را انجام می دهیم. عملکرد روی آن نیز در حال کاهش است:

lim x → 2 + 0 x x - 2 = 2 + 0 2 + 0 - 2 = 2 + 0 = + ∞ lim x → + ∞ x x - 2 = lim x → + ∞ x - 2 + 2 x - 2 = lim x → + ∞ 1 + 2 x - 2 = 1 + 2 + ∞ - 2 = 1 + 0

مقادیر تابع در این بخش با مجموعه 1 تعیین می شود. +∞ . این بدان معنی است که محدوده مقادیر تابع مشخص شده در شرایط مورد نیاز ما، اتحاد مجموعه ها خواهد بود - ∞؛ 1 و 1؛ +∞ .

پاسخ: E (y) = - ∞ ; 1 ∪ 1 ; +∞ .

این را می توان در نمودار مشاهده کرد:

یک مورد خاص توابع دوره ای است. منطقه ارزش آنها با مجموعه مقادیر در بازه ای که مربوط به دوره این تابع است منطبق است.

مثال 8

وضعیت:محدوده سینوس y = sin x را تعیین کنید.

راه حل

سینوس به یک تابع تناوبی اشاره دارد و دوره آن 2 پی است. قطعه 0 را می گیریم. 2 π و ببینید مجموعه مقادیر روی آن چه خواهد بود.

y " = (sin x) " = cos x y " = 0 ⇔ cos x = 0 ⇔ x = π 2 + πk , k ∈ Z

در 0؛ 2 π تابع نقاط افراطی π 2 و x = 3 π 2 خواهد داشت. بیایید محاسبه کنیم که مقادیر تابع در آنها و همچنین در مرزهای بخش برابر است و پس از آن بزرگترین و کوچکترین مقدار را انتخاب می کنیم.

y (0) = sin 0 = 0 y π 2 = sin π 2 = 1 y 3 π 2 = sin 3 π 2 = - 1 y (2 π) = sin (2 π) = 0 ⇔ min x ∈ 0 ; 2 π sin x = sin 3 π 2 = - 1 , max x ∈ 0 ; 2 π sinx \u003d sin π 2 \u003d 1

پاسخ: E (sinx) = - 1 ; 1 .

اگر نیاز به دانستن محدوده توابع مانند نمایی، نمایی، لگاریتمی، مثلثاتی، مثلثاتی معکوس دارید، به شما توصیه می کنیم مقاله توابع ابتدایی پایه را مجددا بخوانید. نظریه ای که در اینجا ارائه می کنیم به ما امکان می دهد مقادیر مشخص شده در آنجا را آزمایش کنیم. یادگیری آنها مطلوب است، زیرا اغلب در حل مسائل مورد نیاز هستند. اگر محدوده توابع اصلی را بدانید، می توانید به راحتی محدوده توابعی را که از توابع ابتدایی به دست می آیند با استفاده از تبدیل هندسی پیدا کنید.

مثال 9

وضعیت:محدوده y = 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 - 4 را تعیین کنید.

راه حل

می دانیم که قطعه از 0 تا pi محدوده کسینوس معکوس است. به عبارت دیگر، E (a r c cos x) = 0 ; π یا 0 ≤ a r c cos x ≤ π . ما می توانیم تابع a r c cos x 3 + 5 π 7 را از کسینوس قوس با جابجایی و کشش آن در امتداد محور Ox بدست آوریم، اما چنین تبدیل هایی چیزی به ما نمی دهد. بنابراین، 0 ≤ a r c cos x 3 + 5 π 7 ≤ π .

تابع 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 را می توان از کسینوس معکوس a r c cos x 3 + 5 π 7 با کشش در امتداد محور y به دست آورد، یعنی. 0 ≤ 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 ≤ 3 π . تبدیل نهایی یک جابجایی در امتداد محور O y با 4 مقدار است. در نتیجه، یک نابرابری مضاعف دریافت می کنیم:

0 - 4 ≤ 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 - 4 ≤ 3 π - 4 ⇔ - 4 ≤ 3 arccos x 3 + 5 π 7 - 4 ≤ 3 π - 4

دریافتیم که محدوده مورد نیاز برابر با E (y) = - 4 خواهد بود. 3 پی - 4.

پاسخ: E (y) = - 4 ; 3 پی - 4.

بیایید یک مثال دیگر بدون توضیح بنویسیم، زیرا کاملا شبیه قبلی است

مثال 10

وضعیت:محدوده تابع y = 2 2 x - 1 + 3 را محاسبه کنید.

راه حل

بیایید تابع داده شده در شرط را به صورت y = 2 · (2 ​​x - 1) - 1 2 + 3 بازنویسی کنیم. برای تابع توان y = x - 1 2 محدوده در بازه 0 تعریف می شود. + ∞، یعنی x - 1 2 > 0 . در این مورد:

2 x - 1 - 1 2 > 0 ⇒ 2 (2 x - 1) - 1 2 > 0 ⇒ 2 (2 x - 1) - 1 2 + 3 > 3

بنابراین E (y) = 3 ; +∞ .

پاسخ: E (y) = 3 ; +∞ .

حالا بیایید ببینیم که چگونه محدوده تابعی را که پیوسته نیست پیدا کنیم. برای انجام این کار، باید کل منطقه را به فواصل تقسیم کنیم و مجموعه مقادیر را در هر یک از آنها پیدا کنیم و سپس آنچه را که داریم ترکیب کنیم. برای درک بهتر این موضوع، به شما توصیه می کنیم انواع اصلی نقاط شکست تابع را مرور کنید.

مثال 11

وضعیت:تابع y = 2 sin x 2 - 4 , x ≤ - 3 - 1 , - 3 داده می شود< x ≤ 3 1 x - 3 , x >3 . محدوده آن را محاسبه کنید.

راه حل

این تابع برای تمام مقادیر x تعریف شده است. بیایید آن را برای تداوم با مقادیر آرگومان برابر با - 3 و 3 تجزیه و تحلیل کنیم:

lim x → - 3 - 0 f (x) = lim x → - 3 2 sin x 2 - 4 = 2 sin - 3 2 - 4 = - 2 sin 3 2 - 4 lim x → - 3 + 0 f (x) = lim x → - 3 (1) = - 1 ⇒ lim x → - 3 - 0 f (x) ≠ lim x → - 3 + 0 f (x)

ما یک ناپیوستگی غیرقابل بازیابی از نوع اول با مقدار استدلال - 3 داریم. همانطور که به آن نزدیک می شوید، مقادیر تابع به - 2 sin 3 2 - 4 تمایل دارند و وقتی x در سمت راست به - 3 تمایل دارد، مقادیر به - 1 تمایل پیدا می کنند.

lim x → 3 - 0 f(x) = lim x → 3 - 0 (- 1) = 1 lim x → 3 + 0 f(x) = lim x → 3 + 0 1 x - 3 = + ∞

ما یک ناپیوستگی غیر قابل حذف از نوع دوم در نقطه 3 داریم. هنگامی که تابع به آن تمایل دارد، مقادیر آن به - 1 نزدیک می شود، در حالی که به همان نقطه در سمت راست تمایل دارد - به منهای بی نهایت.

این بدان معنی است که کل دامنه تعریف این تابع به 3 بازه تقسیم می شود (-∞ ; - 3 ] , (- 3 ; 3 ] , (3 ; + ∞) .

در اولین آنها، تابع y \u003d 2 sin x 2 - 4 را دریافت کردیم. از آنجایی که - 1 ≤ sin x ≤ 1 , دریافت می کنیم:

1 ≤ sin x 2< 1 ⇒ - 2 ≤ 2 sin x 2 ≤ 2 ⇒ - 6 ≤ 2 sin x 2 - 4 ≤ - 2

این بدان معنی است که در این بازه (-∞ ; -3) مجموعه مقادیر تابع [-6; 2] است.

در نیمه بازه (- 3 ؛ 3 ] یک تابع ثابت y = - 1 دریافت می کنیم. در نتیجه، کل مجموعه مقادیر آن در این مورد به یک عدد - 1 کاهش می یابد.

در بازه دوم 3 ; + ∞ یک تابع y = 1 x - 3 داریم. در حال کاهش است زیرا y" = - 1 (x - 3) 2< 0 . Она будет убывать от плюс бесконечности до 0 , но самого 0 не достигнет, потому что:

lim x → 3 + 0 1 x - 3 = 1 3 + 0 - 3 = 1 + 0 = + ∞ lim x → + ∞ 1 x - 3 = 1 + ∞ - 3 = 1 + ∞ + 0

بنابراین، مجموعه مقادیر تابع اصلی برای x > 3، مجموعه 0 است. +∞ . حالا بیایید نتایج را با هم ترکیب کنیم: E (y) = - 6 ; - 2 ∪ - 1 ∪ 0 ; +∞ .

پاسخ: E (y) = - 6 ; - 2 ∪ - 1 ∪ 0 ; +∞ .

راه حل در نمودار نشان داده شده است:

مثال 12

شرط: یک تابع y = x 2 - 3 e x وجود دارد. مجموعه مقادیر آن را تعیین کنید.

راه حل

برای تمام مقادیر آرگومان که اعداد واقعی هستند تعریف شده است. اجازه دهید تعیین کنیم که این تابع در چه بازه هایی افزایش می یابد و در کدام یک کاهش می یابد:

y "= x 2 - 3 e x" = 2 x e x - e x (x 2 - 3) e 2 x = - x 2 + 2 x + 3 e x = - (x + 1) (x - 3) e x

می دانیم که اگر x = - 1 و x = 3 باشد، مشتق 0 می شود. این دو نقطه را روی محور قرار می دهیم و متوجه می شویم که مشتق در فواصل حاصل چه علائمی خواهد داشت.

تابع با (-∞ ; - 1 ] ∪ [ 3 ; + ∞) کاهش می یابد و [ - 1 ; 3]. حداقل امتیاز - 1 و حداکثر - 3 خواهد بود.

حالا بیایید مقادیر تابع مربوطه را پیدا کنیم:

y (- 1) = - 1 2 - 3 e - 1 = - 2 e y (3) = 3 2 - 3 e 3 = 6 e - 3

بیایید به رفتار تابع در بی نهایت نگاه کنیم:

lim x → - ∞ x 2 - 3 e x = - ∞ 2 - 3 e - ∞ = + ∞ + 0 = + ∞ lim x → + ∞ x 2 - 3 e x = + ∞ 2 - 3 e + ∞ = + ∞ + ∞ = = lim x → + ∞ x 2 - 3 "e x" = lim x → + ∞ 2 x e x = + ∞ + ∞ = = lim x → + ∞ 2 x "(e x)" = 2 lim x → + ∞ 1 e x = 2 1 + ∞ = + 0

برای محاسبه حد دوم از قانون L'Hopital استفاده شد. بیایید راه حل خود را روی یک نمودار رسم کنیم.

این نشان می دهد که مقادیر تابع از به علاوه بی نهایت به - 2 e کاهش می یابد زمانی که آرگومان از منهای بی نهایت به - 1 تغییر می کند. اگر از 3 به اضافه بی نهایت تغییر کند، مقادیر از 6 e - 3 به 0 کاهش می یابد، اما به 0 نمی رسد.

بنابراین، E (y) = [ - 2 e ; +∞).

پاسخ: E (y) = [ - 2 e ; +∞)

اگر متوجه اشتباهی در متن شدید، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید

همچنین بخوانید:

شاه توت باغی: مراقبت در فصول مختلف سال از جمله سال اول پس از کاشت

کانا به عنوان یک گیاه آپارتمانی