Funktsioonide ulatus eksami ülesannetes. Tüüpiliste ülesannete lahendamine Leidke 4 x 2 funktsiooni väärtuste kogum
Paljud ülesanded viivad meid otsima funktsiooni väärtuste komplekti teatud segmendis või kogu määratluspiirkonnas. Selliste ülesannete hulka kuuluvad mitmesugused avaldiste hindamised, ebavõrdsuse lahendamine.
Selles artiklis määratleme funktsiooni vahemiku, kaalume selle leidmise meetodeid ja analüüsime üksikasjalikult näidete lahendust lihtsatest keerukamateni. Kogu materjal on selguse huvides varustatud graafiliste illustratsioonidega. Seega on see artikkel üksikasjalik vastus küsimusele, kuidas funktsiooni ulatust leida.
Definitsioon.
Funktsiooni y = f(x) väärtuste kogum intervallil X nimetatakse funktsiooni kõigi väärtuste kogumiks, mis kulub kõigi itereerimisel.
Definitsioon.
Funktsiooni y = f(x) vahemik nimetatakse funktsiooni kõigi väärtuste kogumiks, mis kulub definitsioonipiirkonnast üle kogu x itereerimisel.
Funktsiooni vahemik on tähistatud kui E(f) .
Funktsiooni vahemik ja funktsiooni väärtuste hulk ei ole sama asi. Neid mõisteid peetakse samaväärseteks, kui funktsiooni y = f(x) väärtuste hulga leidmisel intervall X langeb kokku funktsiooni domeeniga.
Samuti ärge ajage funktsiooni vahemikku segi võrrandi y=f(x) paremal küljel oleva avaldise muutujaga x. Muutuja x lubatud väärtuste ala avaldise f(x) jaoks on funktsiooni y=f(x) definitsiooni ala.
Joonisel on mõned näited.
Funktsioonigraafikud on näidatud paksu siniste joontega, peenikesed punased jooned on asümptoodid, punased punktid ja jooned Oy teljel näitavad vastava funktsiooni ulatust.
Nagu näete, saadakse funktsiooni vahemik, projitseerides funktsiooni graafiku y-teljele. See võib olla üks arv (esimene juhtum), arvude kogum (teine juhtum), segment (kolmas juhtum), intervall (neljas juhtum), avatud kiir (viies juhtum), liit (kuues juhtum) jne .
Mida peate funktsiooni ulatuse leidmiseks tegema.
Alustame kõige lihtsamast juhtumist: näitame, kuidas määrata pideva funktsiooni y = f(x) väärtuste kogum intervallil .
On teada, et segmendi pidev funktsioon saavutab sellel oma maksimaalse ja minimaalse väärtuse. Seega on segmendi algse funktsiooni väärtuste komplekt segment 
. Seetõttu on meie ülesanne taandatud funktsiooni suurima ja väikseima väärtuse leidmisele intervallilt.
Näiteks leiame arsinusfunktsiooni vahemiku.
Näide.
Määrake funktsiooni y = arcsinx vahemik.
Lahendus.
Arsiinuse määratluspiirkond on lõik [-1; 1] . Leidke sellel segmendil funktsiooni suurim ja väikseim väärtus. 
Tuletis on positiivne kõigi x vahemikust (-1; 1) , see tähendab, et arcsinusfunktsioon suureneb kogu definitsioonipiirkonna ulatuses. Seetõttu võtab see väikseima väärtuse x = -1 ja suurima väärtuse x = 1 korral. 
Saime arcsiini funktsiooni vahemiku 
.
Näide.
Leia funktsiooni väärtuste hulk 
segmendil.
Lahendus.
Leia antud segmendi funktsiooni suurim ja väikseim väärtus.
Määratleme lõigu kuuluvad äärmuspunktid: 
Arvutame algfunktsiooni väärtused segmendi otstes ja punktides 
:
Seetõttu on segmendi funktsiooni väärtuste komplekt segment 
.
Nüüd näitame, kuidas leida pideva funktsiooni y = f(x) väärtuste kogum intervallides (a; b) , .
Esiteks määrame kindlaks äärmuspunktid, funktsiooni ekstreemumid, funktsiooni suurenemise ja vähenemise intervallid antud intervallil. Järgmiseks arvutame intervalli otstes ja (või) piirid lõpmatuses (see tähendab, et uurime funktsiooni käitumist intervalli piiridel või lõpmatuses). Sellest teabest piisab funktsiooniväärtuste komplekti leidmiseks sellistel intervallidel.
Näide.
Määrake funktsiooni väärtuste kogum intervallil (-2; 2) .
Lahendus.
Leiame funktsiooni äärmuspunktid, mis langevad intervallile (-2; 2) : 
Punkt x = 0 on maksimumpunkt, kuna tuletis muudab selle läbimisel märgi plussist miinusesse ja funktsiooni graafik läheb kasvavast kahanevasse. 
on funktsiooni vastav maksimum.
Uurime funktsiooni käitumist, kui x kaldub paremale -2-le ja kui x kaldub vasakule 2-le, ehk leiame ühepoolsed piirid: 
Mida me saime: kui argument muutub väärtuselt -2 nulliks, suurenevad funktsiooni väärtused miinus lõpmatusest miinus ühe neljandikuni (funktsiooni maksimum x = 0 juures), kui argument muutub nullist 2-ks, siis funktsioon väärtused vähenevad miinus lõpmatuseni. Seega on funktsiooni väärtuste kogum intervallil (-2; 2) .
Näide.
Määrake intervalli puutujafunktsiooni y = tgx väärtuste kogum.
Lahendus.
Intervalli puutujafunktsiooni tuletis on positiivne 
, mis näitab funktsiooni suurenemist. Uurime funktsiooni käitumist intervalli piiridel: 
Seega, kui argument muutub väärtuselt kuni, suurenevad funktsiooni väärtused miinus lõpmatusest pluss lõpmatuseni, see tähendab, et selle intervalli puutujaväärtuste kogum on kõigi reaalarvude kogum.
Näide.
Leia naturaallogaritmfunktsiooni y = lnx vahemik.
Lahendus.
Naturaallogaritmi funktsioon on määratletud argumendi positiivsete väärtuste jaoks 
. Sellel intervallil on tuletis positiivne 
, see näitab selle funktsiooni suurenemist. Leiame funktsiooni ühepoolse piiri, kuna argument kaldub paremalt nulli ja piir kui x kipub pluss lõpmatus: 
Näeme, et kui x muutub nullist plusslõpmatuseni, suurenevad funktsiooni väärtused miinuslõpmatusest plusslõpmatuseni. Seetõttu on naturaallogaritmi funktsiooni vahemik terve reaalarvude komplekt.
Näide.
Lahendus.
See funktsioon on defineeritud kõigi reaalsete x väärtuste jaoks. Määrame äärmuspunktid, samuti funktsiooni suurenemise ja kahanemise intervallid. 
Seetõttu funktsioon väheneb , suureneb , x = 0 on maksimumpunkt, 
funktsiooni vastav maksimum.
Vaatame funktsiooni käitumist lõpmatuses: 
Seega lähenevad funktsiooni väärtused lõpmatuses asümptootiliselt nullile.
Saime teada, et kui argument muutub miinus lõpmatusest nulliks (maksimaalne punkt), suurenevad funktsiooni väärtused nullist üheksani (kuni funktsiooni maksimumini) ja kui x muutub nullist pluss lõpmatuseni, funktsiooni väärtused vähenevad üheksalt nullini.
Vaadake skemaatilist joonist.
Nüüd on selgelt näha, et funktsiooni vahemik on .
Funktsiooni y = f(x) väärtuste hulga leidmine intervallidel nõuab sarnaseid uuringuid. Nendel juhtumitel me nüüd üksikasjalikumalt ei peatu. Näeme neid allolevates näidetes.
Olgu funktsiooni y = f(x) domeen mitme intervalli liit. Sellise funktsiooni vahemiku leidmisel määratakse iga intervalli väärtuste komplektid ja võetakse nende liit.
Näide.
Leia funktsiooni vahemik.
Lahendus.
Meie funktsiooni nimetaja ei tohiks minna nulli, see tähendab .
Esmalt leiame avatud kiirguse funktsiooni väärtuste komplekti.
Funktsiooni tuletis 
on sellel intervallil negatiivne, see tähendab, et funktsioon sellel väheneb. 
Leidsime, et kuna argument kaldub miinus lõpmatuseni, lähenevad funktsiooni väärtused asümptootiliselt ühtsusele. Kui x muutub miinus lõpmatusest kaheks, vähenevad funktsiooni väärtused ühest miinus lõpmatuseni, st vaadeldaval intervallil võtab funktsioon väärtuste komplekti. Me ei hõlma ühtsust, kuna funktsiooni väärtused ei jõua selleni, vaid kalduvad sellele ainult asümptootiliselt miinus lõpmatuse juures.
Samamoodi toimime avatud tala puhul.
Funktsioon väheneb ka sellel intervallil. 
Selle intervalli funktsiooni väärtuste komplekt on komplekt .
Seega on soovitud funktsiooni väärtuste vahemik komplektide liit ja .
Graafiline illustratsioon.
Eraldi peaksime peatuma perioodilistel funktsioonidel. Perioodiliste funktsioonide vahemik langeb kokku selle funktsiooni perioodile vastava intervalli väärtuste komplektiga.
Näide.
Leia siinusfunktsiooni y = sinx vahemik.
Lahendus.
See funktsioon on perioodiline perioodiga kaks pi. Võtame segmendi ja määratleme selle väärtuste komplekti. 
Segment sisaldab kahte äärmuspunkti ja .
Arvutame funktsiooni väärtused nendes punktides ja segmendi piiridel, valime väikseima ja suurima väärtuse: 
Seega 
.
Näide.
Leia funktsiooni vahemik 
.
Lahendus.
Teame, et arkosiini vahemik on segment nullist pii-ni, st 
või mõnes teises postituses. Funktsioon 
saab arccosxist piki x-telge nihutades ja venitades. Sellised teisendused ei mõjuta vahemikku, seetõttu 
. Funktsioon 
pärineb venitades kolm korda mööda Oy telge, st 
. Ja teisenduste viimane etapp on nihe nelja ühiku võrra allapoole piki y-telge. See viib meid kahekordse ebavõrdsuseni 
Seega on soovitud väärtuste vahemik 
.
Anname lahenduse teisele näitele, kuid ilma selgitusteta (neid pole vaja, kuna need on täiesti sarnased).
Näide.
Määratlege funktsioonide vahemik 
.
Lahendus.
Kirjutame vormile algse funktsiooni 
. Eksponentfunktsiooni vahemik on intervall . See on, . Siis 
Seega 
.
Pildi täiendamiseks peaksime rääkima funktsiooni vahemiku leidmisest, mis ei ole definitsioonipiirkonnas pidev. Sel juhul jagatakse määratluspiirkond murdepunktide kaupa intervallideks ja leiame neist igaühe väärtuste komplektid. Kombineerides saadud väärtuste komplektid, saame algfunktsiooni väärtuste vahemiku. Soovitame meeles pidada 3 vasakul, funktsiooni väärtused kipuvad olema miinus üks ja kui x kaldub paremale 3, siis funktsiooni väärtused kipuvad pluss lõpmatus.
Seega on funktsiooni määratluspiirkond jagatud kolmeks intervalliks.
Intervallil on meil funktsioon 
. Sellest ajast 
Seega on algfunktsiooni väärtuste kogum intervallil [-6;2] .
Poolintervallil on meil konstantne funktsioon y = -1 . See tähendab, et intervalli algfunktsiooni väärtuste komplekt koosneb ühest elemendist .
Funktsioon on defineeritud kõigi argumendi kehtivate väärtuste jaoks. Leia funktsiooni suurendamise ja vähenemise intervallid.
Tuletis kaob x=-1 ja x=3 juures. Märgime need punktid reaalteljele ja määrame saadud intervallidel tuletise märgid. 
Funktsioon väheneb võrra 
, suureneb [-1; 3] , x=-1 miinimumpunkt, x=3 maksimumpunkti.
Arvutame vastavad miinimum- ja maksimumfunktsioonid: 
Kontrollime funktsiooni käitumist lõpmatuses: 
Teine piirmäär arvutati alates .
Teeme skemaatilise joonise.
Kui argument muutub miinus lõpmatusest väärtusele -1, vähenevad funktsiooni väärtused pluss lõpmatusest -2e, kui argumendi väärtus muutub -1 väärtuselt 3, suurenevad funktsiooni väärtused -2e väärtuselt , kui argument muutub väärtuseks -2e. 3 pluss lõpmatuseni, funktsiooni väärtused vähenevad nullist, kuid need ei jõua nullini.
Funktsioon on mudel. Määratleme X sõltumatu muutuja väärtuste kogumina // sõltumatu tähendab mis tahes.
Funktsioon on reegel, mille järgi saab hulga X sõltumatu muutuja iga väärtuse kohta leida sõltuva muutuja ainsa väärtuse. // st. iga x kohta on üks y.
Definitsioonist tuleneb, et on kaks mõistet - sõltumatu muutuja (mida tähistame x-ga ja see võib võtta mis tahes väärtuse) ja sõltuv muutuja (mida tähistame y või f (x) abil ja see arvutatakse funktsioonist, kui asendame x).
NÄITEKS y=5+x
1. Sõltumatu on x, seega võtame suvalise väärtuse, olgu x = 3
2. ja nüüd arvutame y, seega y \u003d 5 + x \u003d 5 + 3 \u003d 8. (y sõltub x-st, sest millise x-i me asendame, saame sellise y)
Ütleme, et muutuja y on funktsionaalselt sõltuv muutujast x ja seda tähistatakse järgmiselt: y = f (x).
NÄITEKS.
1.y=1/x. (nimetatakse hüperbooliks)
2. y=x^2. (nimetatakse parabooliks)
3.y=3x+7. (nimetatakse sirgjooneks)
4. y \u003d √ x. (nimetatakse parabooli haruks)
Sõltumatut muutujat (mida tähistame x-ga) nimetatakse funktsiooni argumendiks.
Funktsiooni ulatus
Funktsiooni argumendi kõigi väärtuste komplekti nimetatakse funktsiooni domeeniks ja seda tähistatakse D(f) või D(y).
Vaatleme D(y) 1.,2.,3.,4 jaoks.
1. D (y)= (∞; 0) ja (0;+∞) //kogu reaalarvude hulk, välja arvatud null.
2. D (y) \u003d (∞; +∞) / / kõik paljud reaalarvud
3. D (y) \u003d (∞; +∞) / / kõik paljud reaalarvud
4. D (y) \u003d
Näited
Leidke funktsiooni väärtuste komplekt:
Tuletise kasutamine
Leia definitsioonipiirkond: D(f)=[-3;3], sest $9-x^(2)\geq 0$
Leidke tuletis: $f"(x)=-\frac(x)(\sqrt(9-x^(2)))$
f"(x) = 0, kui x = 0. f"(x) ei eksisteeri, kui $\sqrt(9-x^(2))=0$, st kui x = ±3. Saame kolm kriitilist punkti: x 1 \u003d -3, x 2 \u003d 0, x 3 = 3, millest kaks langevad kokku segmendi otstega. Arvutage: f(–3) = 0, f(0) = 3, f(3) = 0. Seega on f(x) väikseim väärtus 0, suurim väärtus on 3.
Vastus: E(f) = .
EI kasuta tuletist
Leia funktsiooni suurimad ja väikseimad väärtused:
Alates $
f(x) = 1-\cos^(2)(x)+\cos(x)-\frac(1)(2) =
= 1-\frac(1)(2)+\frac(1)(4)-(\cos^(2)(x)-2\cdot\cos(x)\cdot\frac(1)(2) +(\frac(1)(2))^2) =
= \frac(3)(4)-(\cos(x)-\frac(1)(2))^(2) $ , siis:
$f(x)\leq \frac(3)(4)$ kõigi x;
$f(x)\geq \frac(3)(4)-(\frac(3)(2))^(2)=-\frac(3)(2)$ kõigi x(kuna $|\cos (x)|\leq 1$);
$f(\frac(\pi)(3))= \frac(3)(4)-(\cos(\frac(\pi)(3))-\frac(1)(2))^(2 )=\frac(3)(4)$;
$f(\pi)= \frac(3)(4)-(\cos(\pi)-\frac(1)(2))^(2)=-\frac(3)(2)$;
Vastus: $\frac(3)(4)$ ja $-\frac(3)(2)$
Kui lahendate selle probleemi tuletiste abil, peate ületama takistused, mis on seotud asjaoluga, et funktsioon f (x) on määratletud mitte lõigul, vaid kogu reaaljoonel.
Kasutades piiride/hinnangute meetodit
Siinuse definitsioonist järeldub, et $-1\leq\sin(x)\leq 1$. Järgmisena kasutame arvuliste võrratuste omadusi.
$-4\leq - 4\sin(x)\leq 4$, (korrutage kõik kolm topeltvõrratuse osa -4-ga);
$1\leq 5 - 4\sin(x)\leq 9$ (liidetakse topeltvõrratuse 5 kolmele osale);
Sest antud funktsioon on pidev kogu määratluspiirkonnas, siis jääb selle väärtuste kogum selle väikseima ja suurima väärtuse vahele kogu määratluspiirkonnas, kui see on olemas.
Sel juhul on funktsiooni $y = 5 - 4\sin(x)$ väärtuste hulk komplekt .
Võrratustest $$ \\ -1\leq\cos(7x)\leq 1 \\ -5\leq 5\cos(x)\leq 5 $$ saame hinnangu $$\\ -6\leq y\ leq 6 $ $
Kui x = p ja x = 0, võtab funktsioon väärtused -6 ja 6, s.o. jõuab alumise ja ülemise piirini. Pidevate funktsioonide cos(7x) ja cos(x) lineaarse kombinatsioonina on funktsioon y pidev piki täisarvu telge, seetõttu võtab see pideva funktsiooni omaduse järgi kõik väärtused vahemikus -6 kuni 6 (kaasa arvatud). , ja ainult neid, kuna ebavõrdsuse tõttu $- 6\leq y\leq 6$ on muud väärtused selle jaoks võimatud.
Seetõttu E(y) = [-6;6].
$$ \\ -1\leq\sin(x)\leq 1 \\ 0\leq\sin^(2)(x)\leq 1 \\ 0\leq2\sin^(2)(x)\leq 2 \\ 1\leq1+2\sin^(2)(x)\leq 3 $$ Vastus: E(f) = .
$$ \\ -\infty< {\rm tg}\, x < +\infty \\ 0 \leq {\rm tg}^{2}\, x < +\infty \\ 3 \leq 3+{\rm tg}^{2}\, x < +\infty \\ 2^{3} \leq 2^{3+{\rm tg}^{2}\, x} < +\infty \\ -\infty < -2^{3+{\rm tg}^{2}\, x} \leq -8 \\ -\infty < 3-2^{3+{\rm tg}^{2}\, x} \leq -5 $$ Ответ: E(f) = (–∞; -5].
$$ \\ -\infty< \lg{x} < +\infty \\ 0 \leq \lg^{2}{x} < +\infty \\ -\infty < -\lg^{2}{x} \leq 0 \\ -\infty < 16-\lg^{2}{x} \leq 16 \\ 0 \leq \sqrt{16-\lg^{2}{x}} \leq 4 \\ 2 \leq 2+\sqrt{16-\lg^{2}{x}} \leq 6 $$ Ответ: E(f) = .
Teisendame avaldise $$ \\ \sin(x) + \cos(x) = \sin(x) + \sin(\frac(\pi)(2) - x) = \\ 2\sin\left ((\ frac(x + \frac(\pi)(2) - x)(2)) \right)\cos\left ((\frac(x + \frac(\pi)(2) + x)( 2)) \right) \\ = 2\sin(\frac(\pi)(4))cos(x +\frac(\pi)(4)) = \sqrt(2)cos(x +\frac( \pi) (4)) $$.
Koosinuse definitsioon eeldab $$ \\ -1\leq\cos(x)\leq 1; \\ -1\leq \cos((x + \frac(\pi)(4)))\leq 1; \\ -\sqrt(2)\leq \sqrt(2)\cos((x +\frac(\pi)(4)))\leq\sqrt(2); $$
Kuna see funktsioon on pidev kogu määratluspiirkonnas, siis on selle väärtuste hulk selle väikseima ja suurima väärtuse, kui see on olemas, funktsiooni $y =\sqrt(2)\ väärtuste komplekti vahel. cos((x +\frac(\pi)(4 )))$ on hulk $[-\sqrt(2);\sqrt(2)]$.
$$\\ E(3^(x)) = (0;+∞), \\ E(3^(x)+ 1) = (1;+∞), \\ E(-(3^(x) )+ 1)^(2) = (-∞;-1), \\ E(5 – (3^(x)+1)^(2)) = (-∞;4) $$
Tähistage $t = 5 – (3^(x)+1)^(2)$, kus -∞≤t≤4. Seega taandub probleem funktsiooni $y = \log_(0,5)(t)$ väärtuste hulga leidmisele kiirelt (-∞;4). Kuna funktsioon $y = \log_(0,5)(t)$ on defineeritud ainult t > 0 korral, siis kattub selle väärtuste hulk kiirel (-∞;4) funktsioon intervallil (0;4), mis kujutab endast kiire (-∞;4) ja logaritmilise funktsiooni määratluspiirkonna (0;+∞) lõikepunkti. Intervallil (0;4) on see funktsioon pidev ja kahanev. Kui t > 0, kipub see olema +∞ ja t = 4 korral võtab see väärtuse -2, seega E(y) = (-2, +∞).
Kasutame tehnikat, mis põhineb funktsiooni graafilisel kujutamisel.
Pärast funktsiooni teisendusi saame: y 2 + x 2 = 25 ja y ≥ 0, |x| ≤ 5.
Tuleks meelde tuletada, et $x^(2)+y^(2)=r^(2)$ on raadiusega r ringi võrrand.
Nende piirangute korral on selle võrrandi graafik ülemine poolring, mille keskpunkt on lähtepunktis ja raadius on 5. On ilmne, et E(y) = .
Vastus: E(y) = .
Viited
Funktsioonide ulatus ühtse riigieksami probleemides, Minyuk Irina Borisovna
Näpunäiteid funktsiooni väärtuste komplekti leidmiseks, Beljajeva I., Fedorova S.
Funktsiooni väärtuste hulga leidmine
Kuidas lahendada matemaatika ülesandeid sisseastumiskatsetel, I. I. Melnikov, I. N. Sergeev
1. lehekülg
3. õppetund
"funktsioonide vahemik"
Eesmärgid: - rakendada väärtusvahemiku kontseptsiooni konkreetse probleemi lahendamisel;
lahendus tüüpilised ülesanded.
Juba mitu aastat on eksamitel regulaarselt ilmnenud probleeme, mille käigus tuleb antud funktsioonide perekonnast valida need, mille väärtuste komplektid vastavad deklareeritud tingimustele.
Vaatleme selliseid ülesandeid.
Teadmiste värskendus.
Mida me mõtleme funktsiooni väärtuste hulga all?
Mis on funktsiooni väärtuste hulk?
Millistest andmetest leiame funktsiooni väärtuste hulga? (Vastavalt funktsiooni või selle graafiku analüütilisele tähistusele)
(cm KASUTADA ülesandeid, osa A)
Milliseid funktsiooniväärtusi me teame? (Põhifunktsioonid on loetletud koos nende kirjutamisega tahvlile; iga funktsiooni jaoks on selle väärtuste kogum üles kirjutatud). Selle tulemusena tahvlil ja õpilaste vihikutes
|
Funktsioon |
Paljud väärtused |
|
y = x 2 y = x 3 y=| x| y=
|
E( y) = E( y) = [- 1, 1] E( y) = (– ∞, + ∞) E( y) = (– ∞, + ∞) E( y) = (– ∞, + ∞) E( y) = (0, + ∞) |
Kas me saame neid teadmisi kasutades kohe leida tahvlile kirjutatud funktsioonide väärtuste komplektid? (vt tabel 2).
Mis aitab sellele küsimusele vastata? (Nende funktsioonide graafikud).
Kuidas joonistada esimene funktsioon? (Landage parabool 4 ühikut allapoole).
|
Funktsioon |
Paljud väärtused |
|
y = x 2 – 4 |
E( y) = [-4, + ∞) |
|
y = + 5 |
E( y) = |
|
y = - 5 cos x |
E( y) = [- 5, 5] |
|
y= tg( x + / 6) – 1 |
E( y) = (– ∞, + ∞) |
|
y= patt ( x + / 3) – 2 |
E( y) = [- 3, - 1] |
|
y=| x – 1 | + 3 |
E( y) = |
|
y=| ctg x| |
E( y) = |
|
y =  = | cos(x + /4) | |
E( y) = |
|
y=(x- 5) 2 + 3 |
E( y) = . Leidke funktsiooni väärtuste komplekt:   . 
Algoritmi sissejuhatus trigonomeetriliste funktsioonide väärtuste kogumi leidmiseks ülesannete lahendamiseks. Vaatame, kuidas saame oma kogemusi rakendada ühe eksami valikutes sisalduvate erinevate ülesannete puhul. 1. Argumendi antud väärtuse jaoks funktsioonide väärtuste leidmine. Näide. Leidke funktsiooni y = 2 väärtus cos(π/2+ π/4 ) – 1, Kui x = -π/2. Lahendus. y(-π/2) = 2 cos(- π/2 – π/4 )- 1= 2 cos(π/2 + π/4 )- 1 = - 2 pattπ/4 – 1 = – 2  – 1 =
= – 2. Trigonomeetriliste funktsioonide ulatuse leidmine
1≤ pattX≤ 1 2 ≤ 2 pattX≤ 2 9 ≤ 11+2pattX≤ 13 3 ≤ Kirjutame intervallile välja funktsiooni täisarvulised väärtused. See arv on 3. Vastus: 3.
juures= patt 2 X- 2 3 pattx + 3 2 - 3 2 + 8, juures= (pattX- 3) 2 -1. E ( pattX) = [-1;1]; E ( pattX -3) = [-4;-2]; E ( pattX -3) 2 = ; E ( juures) = . Vastus:.
Kas leiame selle funktsiooni jaoks väärtuste komplekti? (Ei) Mida tuleks teha? (Vähendatud ühele funktsioonile.) Kuidas seda teha? (Kasutage valemit cos 2 x= 1-patt 2 x.) Niisiis, juures= 1-patt 2 x+2sin x –2, y= -patt 2 x+2sin x –1, juures= -(patt x –1) 2 . Noh, nüüd saame leida väärtuste komplekti ja valida neist väikseima. 1 ≤ patt x ≤ 1, 2 ≤ patt x – 1 ≤ 0, 0 ≤ (patt x – 1) 2 ≤ 4, 4 ≤ -(sin x -1) 2 ≤ 0. Seega funktsiooni väikseim väärtus juures palgata= -4. Vastus: -4.
Lahendus. juures= 1-cos 2 x+ cos x + 1,5, juures= -cos 2 x+ 2∙0,5∙cos x - 0,25 + 2,75, juures= -(cos x- 0,5) 2 + 2,75. E(cos x) = [-1;1], E(cos x – 0,5) = [-1,5;0,5], E(cos x – 0,5) 2 = , E(-(cos x-0,5) 2) = [-2,25;0], E( juures) = . Funktsiooni suurim väärtus juures naib= 2,75; väikseim väärtus juures palgata= 0,5. Leiame funktsiooni suurima ja väikseima väärtuse korrutise: juures naib ∙juures palgata = 0,5∙2,75 = 1,375. Vastus: 1.375. Lahendus. Kirjutame funktsiooni vormis ümber juures =, juures = Leiame nüüd funktsiooni väärtuste komplekti. E (sin x) = [-1, 1], E(6sin x) = [-6, 6], E(6sin x + 1) = [-5, 7], E((6sin x + 1) 2) = , E(– (6sin x + 1) 2) = [-49, 0], E(– (6sin x + 1) 2 + 64) = , E( y) = [ Leiame funktsiooni täisarvude väärtuste summa: 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 30. Vastus: 30.  Lahendus. 1) 2) Seetõttu 2 X kuuluvad teise veerandisse. 3) Teises kvartalis siinusfunktsioon väheneb ja on pidev. Nii et see funktsioon 4) Arvutage need väärtused:
Vastus :
 Lahendus. 1) Kuna siinus võtab väärtused vahemikus -1 kuni 1, siis erinevuste väärtuste komplekt 2) Arkosiin on monotoonselt kahanev ja pidev funktsioon. Seega on avaldise väärtuste komplekt segment 3) Selle lõigu korrutamisel arvuga Vastus:  Lahendus. Kuna kaartangens on kasvav funktsioon, siis 2) Suurendades X alates 3) Kui suurendate alates 4) Kasutades siinust poolnurga puutujana väljendavat valemit, leiame, et
Seega on soovitud väärtuste kogum segmentide liit Vastus: juures= a sin x + b cos x või juures= patt(Rx) + bcos(Rx).
Lahendus. Leiame väärtuse Teisendame väljendit 15 sin 2x + 20 cos 2x = 25 ( 25 sin (2x + Funktsiooni väärtuste komplekt y \u003d sin (2x + Seejärel algse funktsiooni väärtuste komplekt -25 Vastus:
[-25; 25].
Funktsioon juures= ctg X väheneb lõigul [π/4; π/2], seetõttu võtab funktsioon väikseima väärtuse at x =π/2, see tähendab juures(π/2) = сtg π/2 = 0; ja suurim väärtus on juures x=π/4, see tähendab juures(π/4) = сtg π/4 = 1. Vastus: 1, 0.  . Lahendus. Eraldi võrdsuses Sellest järeldub, et funktsiooni f(x) graafik on kas hüperbool (а≠ 0) või sirge ilma punktita. Veelgi enam, kui a; 2a) ja (2a; Kui a \u003d 0, siis f (x) \u003d -2 kogu definitsiooni domeenis x ≠ 0. Seetõttu on ilmne, et parameetri soovitud väärtused ei ole võrdsed nulliga. Kuna meid huvitavad ainult funktsiooni väärtused segmendil [-1; 1], siis määrab olukordade klassifikatsiooni asjaolu, et hüperbooli asümptoot x = 2a (a≠0) asub selle segmendi suhtes. Juhtum 1. Intervalli [-1; 1] on vertikaalsest asümptoodist x = 2a paremal, st kui 2a Juhtum 2. Vertikaalne asümptoot lõikub intervalliga [-1; 1] ja funktsioon väheneb (nagu juhul 1), st millal Juhtum 3. Vertikaalne asümptoot lõikub intervalliga [-1; 1] ja funktsioon kasvab, st -1 Juhtum 4. Intervalli [-1; 1] on vertikaalsest asümptoodist vasakul, st 1 a > . ja teiseks Vastuvõtt 5. Murdratsionaalfunktsiooni defineeriva valemi lihtsustamine Vastuvõtt 6. Ruutfunktsioonide väärtuste kogumi leidmine (parabooli tipu leidmine ja selle harude käitumise olemuse kindlakstegemine). Vastuvõtt 7. Abinurga kasutuselevõtt mõne trigonomeetrilise funktsiooni väärtuste kogumi leidmiseks. Sageli peame probleemide lahendamise raames otsima funktsiooni väärtuste komplekti definitsioonipiirkonnast või segmendist. Näiteks tuleks seda teha lahendamisel erinevad tüübid ebavõrdsused, väljendushinnangud jne. Selle materjali osana räägime teile, mis on funktsiooni vahemik, anname peamised meetodid, mille abil seda saab arvutada, ja analüüsime erineva keerukusega probleeme. Selguse huvides on üksikud positsioonid illustreeritud graafikutega. Pärast selle artikli lugemist saate igakülgselt mõista funktsiooni ulatust. Alustame põhimääratlustega. Definitsioon 1 Funktsiooni y = f (x) väärtuste kogum mingil intervallil x on kõigi väärtuste kogum, mille see funktsioon võtab, kui itereerib kõiki väärtusi x ∈ X . 2. definitsioon Funktsiooni y = f (x) vahemik on kõigi selle väärtuste hulk, mida see võib võtta, kui itereerib väärtusi x vahemikus x ∈ (f) . Mõne funktsiooni vahemikku tähistatakse tavaliselt tähega E (f) . Pange tähele, et funktsiooni väärtuste kogumi kontseptsioon ei ole alati identne selle väärtuste alaga. Need mõisted on samaväärsed ainult siis, kui x väärtuste vahemik väärtuste komplekti leidmisel langeb kokku funktsiooni domeeniga. Samuti on parempoolse avaldise y = f (x) jaoks oluline eristada muutuja x vahemikku ja vahemikku. Avaldise f (x) vastuvõetavate väärtuste x pindala on selle funktsiooni määratlusala. Allpool on illustratsioon, mis näitab mõningaid näiteid. Sinised jooned on funktsioonide graafikud, punased asümptoodid, punased punktid ja jooned y-teljel on funktsiooni vahemikud. Ilmselt saab funktsiooni vahemiku saada, kui projitseerida funktsiooni graafik teljele O y . Samal ajal võib see olla kas üksik arv või arvude kogum, segment, intervall, avatud kiir, numbriliste intervallide liit jne. Mõelge funktsiooni vahemiku leidmise peamistele viisidele. Alustuseks määratleme pideva funktsiooni y = f (x) väärtuste hulga teatud segmendil, mis on tähistatud [ a ; b] . Teame, et teatud intervallil pidev funktsioon saavutab sellel oma miinimumi ja maksimumi, st maksimumi m a x x ∈ a ; b f (x) ja väikseim väärtus m i n x ∈ a ; b f (x) . Seega saame lõigu m i n x ∈ a ; bf(x) ; m a x x ∈ a ; b f (x) , mis sisaldab algse funktsiooni väärtuste komplekte. Siis ei pea me tegema muud, kui leidma sellel lõigul määratud miinimum- ja maksimumpunktid. Võtame probleemi, mille puhul on vaja määrata arsiini väärtuste vahemik. Näide 1 Seisukord: leida vahemik y = a r c sin x . Lahendus Üldjuhul paikneb arsiini määratluspiirkond intervallil [ - 1 ; 1 ]. Peame määrama sellel määratud funktsiooni suurima ja väikseima väärtuse. y "= a r c sin x" = 1 1 - x 2 Teame, et funktsiooni tuletis on positiivne kõigi x väärtuste puhul, mis asuvad vahemikus [-1; 1 ] , see tähendab, et kogu definitsioonipiirkonna ulatuses suureneb arcsinusfunktsioon. See tähendab, et see võtab väikseima väärtuse, kui x on võrdne - 1 ja suurim - kui x on 1. m i n x ∈ - 1; 1 a r c sin x = a r c sin - 1 = - π 2 m a x x ∈ - 1 ; 1 a r c sin x \u003d a r c sin 1 \u003d π 2 Seega on arcsinusfunktsiooni vahemik võrdne E (a r c sin x) = - π 2 ; π 2 . Vastus: E (a r c sin x) \u003d - π 2; π 2 Näide 2 Seisukord: arvutada antud lõigul vahemik y = x 4 - 5 x 3 + 6 x 2 [ 1 ; 4 ]. Lahendus Peame vaid arvutama funktsiooni suurima ja väikseima väärtuse antud intervallis. Ekstreemumipunktide määramiseks on vaja teha järgmised arvutused: y "= x 4 - 5 x 3 + 6 x 2" = 4 x 3 + 15 x 2 + 12 x = x 4 x 2 - 15 x + 12 y " = 0 ⇔ x (4 x 2 - 15 x + 12 ) = 0 x 1 = 0 ∉ 1; 4 ja l ja 4 x 2 - 15 x + 12 = 0 D = - 15 2 - 4 4 12 = 33 x 2 = 15 - 33 8 ≈ 1. 16 ∈ 1 ;4 ;x3 = 15 + 338 ≈ 2,59 ∈ 1;4 Nüüd leiame antud funktsiooni väärtused segmendi ja punktide otstes x 2 = 15 - 33 8 ; x 3 \u003d 15 + 33 8: y (1) = 1 4 - 5 1 3 + 6 1 2 = 2 a 15 - 33 8 = 15 - 33 8 4 - 5 15 - 33 8 3 + 6 15 - 33 8 2 = = 117 ≉ + 165 33 512 2 . 08 a 15 + 33 8 = 15 + 33 8 4 - 5 15 + 33 8 3 + 6 15 + 33 8 2 = = 117 - 165 33 512 ≈ - 1 . 62 a (4) = 4 4 - 5 4 3 + 6 4 2 = 32 See tähendab, et funktsiooni väärtuste komplekti määrab segment 117-165 33 512; 32 . Vastus: 117 - 165 33 512 ; 32 . Liigume edasi pideva funktsiooni y = f (x) väärtuste hulga leidmisega intervallides (a ; b) ja a ; + ∞ , - ∞ ; b , -∞ ; +∞ . Alustuseks määrame kindlaks suurima ja väikseima punkti, samuti antud intervalli suurenemise ja kahanemise intervallid. Pärast seda peame arvutama ühepoolsed piirid intervalli otstes ja/või piirangud lõpmatuses. Teisisõnu peame kindlaks määrama funktsiooni käitumise antud tingimustes. Selleks on meil kõik vajalikud andmed. Näide 3 Seisukord: arvutage funktsioonivahemik y = 1 x 2 - 4 intervallil (- 2 ; 2) . Lahendus Määrake funktsiooni suurim ja väikseim väärtus antud intervallil y "= 1 x 2 - 4" = - 2 x (x 2 - 4) 2 y " = 0 ⇔ - 2 x (x 2 - 4) 2 = 0 ⇔ x = 0 ∈ (- 2 ; 2) Maksimaalse väärtuse saime 0 , kuna just selles punktis funktsiooni märk muutub ja graafik hakkab vähenema. Vaata illustratsiooni:
See tähendab, et y (0) = 1 0 2 - 4 = - 1 4 on funktsiooni maksimaalne väärtus. Nüüd määratleme funktsiooni käitumise x-i jaoks, mis kipub olema -2 paremal ja + 2 vasakul küljel. Teisisõnu leiame ühepoolsed piirangud: piir x → - 2 + 0 1 x 2 - 4 = piir x → - 2 + 0 1 (x - 2) (x + 2) = = 1 - 2 + 0 - 2 - 2 + 0 + 2 = - 1 4 1 + 0 = - ∞ lim x → 2 + 0 1 x 2 - 4 = piir x → 2 + 0 1 (x - 2) (x + 2) = = 1 2 - 0 - 2 2 - 0 + 2 = 1 4 1 - 0 = -∞ Saime, et funktsiooni väärtused suurenevad miinus lõpmatusest väärtuseni -1 4, kui argument muutub väärtuselt -2 väärtuseks 0. Ja kui argument muutub 0-lt 2-le, vähenevad funktsiooni väärtused miinus lõpmatuse suunas. Seetõttu on antud funktsiooni väärtuste hulk meile vajalikul intervallil (- ∞ ; - 1 4 ] . Vastus: (- ∞ ; - 1 4 ] . Näide 4 Seisund: näita väärtuste komplekti y = t g x antud intervallil - π 2 ; π 2 . Lahendus Teame, et üldiselt puutuja tuletis in - π 2; π 2 on positiivne, see tähendab, et funktsioon suureneb. Nüüd määratleme, kuidas funktsioon antud piirides käitub: lim x → π 2 + 0 t g x = t g - π 2 + 0 = - ∞ lim x → π 2 - 0 t g x = t g π 2 - 0 = + ∞ Oleme saanud funktsiooni väärtuste suurenemise miinus lõpmatusest pluss lõpmatuseni, kui argument muutub väärtuselt - π 2 väärtuseks π 2 ja võime öelda, et selle funktsiooni lahenduste hulk on kõigi reaalsete väärtuste hulk. numbrid. Vastus: - ∞ ; + ∞ . Näide 5 Seisukord: määrake, milline on naturaallogaritmfunktsiooni y = ln x vahemik. Lahendus Teame, et see funktsioon on defineeritud argumendi D (y) = 0 positiivsete väärtuste jaoks; +∞ . Antud intervalli tuletis on positiivne: y " = ln x " = 1 x . See tähendab, et selle funktsioon suureneb. Järgmisena peame määratlema ühepoolse piirangu juhuks, kui argument läheb 0-ni (paremal pool) ja kui x läheb lõpmatuseni: lim x → 0 + 0 ln x = ln (0 + 0) = - ∞ lim x → ∞ ln x = ln + ∞ = + ∞ Oleme leidnud, et funktsiooni väärtused suurenevad miinuslõpmatusest plusslõpmatuseni, kui x väärtused muutuvad nullist plusslõpmatuseni. See tähendab, et kõigi reaalarvude hulk on naturaallogaritmi funktsiooni vahemik. Vastus: kõigi reaalarvude hulk on naturaallogaritmfunktsiooni vahemik. Näide 6 Seisukord: määrake, milline on funktsiooni y = 9 x 2 + 1 vahemik. Lahendus See funktsioon on defineeritud tingimusel, et x on reaalarv. Arvutame funktsiooni suurimad ja väikseimad väärtused, samuti selle suurendamise ja vähenemise intervallid: y " = 9 x 2 + 1 " = - 18 x (x 2 + 1) 2 y " = 0 ⇔ x = 0 y " ≤ 0 ⇔ x ≥ 0 y " ≥ 0 ⇔ x ≤ 0 Selle tulemusena tegime kindlaks, et see funktsioon väheneb, kui x ≥ 0; suurendada, kui x ≤ 0 ; selle maksimaalne punkt y (0) = 9 0 2 + 1 = 9, kui muutuja on 0 . Vaatame, kuidas funktsioon lõpmatuses käitub: lim x → - ∞ 9 x 2 + 1 = 9 - ∞ 2 + 1 = 9 1 + ∞ = + 0 lim x → + ∞ 9 x 2 + 1 = 9 + ∞ 2 + 1 = 9 1 + ∞ = +0 Kirjest on näha, et funktsiooni väärtused lähenevad sel juhul asümptootiliselt 0-le. Kokkuvõtteks: kui argument muutub miinus lõpmatusest nulliks, suurenevad funktsiooni väärtused 0-lt 9-le. Kui argumendi väärtused lähevad 0-lt pluss lõpmatuseni, vähenevad vastavad funktsiooni väärtused 9-lt 0-le. Oleme seda kujutanud joonisel:
See näitab, et funktsiooni vahemik on intervall E (y) = (0 ; 9 ] Vastus: E (y) = (0 ; 9 ] Kui peame määrama funktsiooni y = f (x) väärtuste komplekti intervallidel [ a ; b) , (a ; b ] , [ a ; + ∞) , (- ∞ ; b ] , siis on meil vaja teha täpselt samad uuringud Neid juhtumeid me veel ei analüüsi: nendega kohtume hiljem probleemides . Aga mis siis, kui teatud funktsiooni valdkond on mitme intervalli liit? Seejärel peame arvutama iga intervalli väärtuste komplektid ja ühendama need. Näide 7 Seisukord: määrake, milline on y = x x - 2 vahemik. Lahendus Kuna funktsiooni nimetajat ei tohiks muuta 0-ks, siis D (y) = - ∞ ; 2 ∪ 2; +∞ . Alustuseks määratleme funktsiooni väärtuste komplekti esimesel segmendil - ∞ ; 2, mis on avatud tala. Teame, et sellel olev funktsioon väheneb, see tähendab, et selle funktsiooni tuletis on negatiivne. lim x → 2 - 0 x x - 2 = 2 - 0 2 - 0 - 2 = 2 - 0 = - ∞ lim x → - ∞ x x - 2 = lim x → - ∞ x - 2 + 2 x - 2 = lim x → - ∞ 1 + 2 x - 2 = 1 + 2 - ∞ - 2 = 1 - 0 Nendel juhtudel, kui argument muutub miinus lõpmatuse suunas, lähenevad funktsiooni väärtused asümptootiliselt 1-le. Kui x väärtused muutuvad miinus lõpmatusest 2-ks, siis väärtused vähenevad 1-lt miinus lõpmatuseni, s.o. selle segmendi funktsioon võtab väärtused vahemikust - ∞ ; 1 . Jätame oma arutluskäigust välja ühtsuse, kuna funktsiooni väärtused selleni ei jõua, vaid lähenevad sellele ainult asümptootiliselt. Lahtisele talale 2 ; + ∞ teeme täpselt samu toiminguid. Samuti väheneb selle funktsioon: lim x → 2 + 0 x x - 2 = 2 + 0 2 + 0 - 2 = 2 + 0 = + ∞ lim x → + ∞ x x - 2 = lim x → + ∞ x - 2 + 2 x - 2 = lim x → + ∞ 1 + 2 x - 2 = 1 + 2 + ∞ - 2 = 1 + 0 Funktsiooni väärtused sellel segmendil määratakse komplektiga 1 ; +∞ . See tähendab, et vajalikus tingimuses määratud funktsiooni väärtuste vahemik on hulkade liit - ∞; 1 ja 1; +∞ . Vastus: E (y) = -∞; 1 ∪ 1; +∞ . Seda on näha diagrammil:
Erijuhtum on perioodilised funktsioonid. Nende väärtusala langeb kokku väärtuste kogumiga intervallil, mis vastab selle funktsiooni perioodile. Näide 8 Seisukord: määrake siinuse y = sin x vahemik. Lahendus Siinus viitab perioodilisele funktsioonile ja selle periood on 2 pi. Võtame lõigu 0 ; 2 π ja vaadake, milline on selle väärtuste komplekt. y " = (sin x) " = cos x y " = 0 ⇔ cos x = 0 ⇔ x = π 2 + πk , k ∈ Z 0 piires; 2 π funktsioonil on äärmuslikud punktid π 2 ja x = 3 π 2 . Arvutame välja, millega funktsiooni väärtused nendes võrdub, samuti segmendi piiridel, mille järel valime suurima ja väikseima väärtuse. y (0) = sin 0 = 0 y π 2 = sin π 2 = 1 y 3 π 2 = sin 3 π 2 = - 1 y (2 π) = sin (2 π) = 0 ⇔ min x ∈ 0 ; 2 π sin x = sin 3 π 2 = - 1, max x ∈ 0; 2 π sinx \u003d sin π 2 \u003d 1 Vastus: E (sinx) = -1; 1 . Kui teil on vaja teada selliste funktsioonide vahemikke nagu eksponentsiaalne, eksponentsiaalne, logaritmiline, trigonomeetriline, pöördtrigonomeetriline, siis soovitame teil põhilisi elementaarfunktsioone käsitlev artikkel uuesti läbi lugeda. Siin esitatud teooria võimaldab meil testida seal täpsustatud väärtusi. Soovitav on neid õppida, kuna neid on sageli vaja probleemide lahendamisel. Kui teate põhifunktsioonide vahemikke, saate hõlpsalt leida geomeetrilise teisenduse abil elementaarfunktsioonide vahemikke. Näide 9 Seisukord: määrake vahemik y = 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 - 4 . Lahendus Teame, et segment 0 kuni pii on pöördkoosinuse vahemik. Teisisõnu, E (a r c cos x) = 0 ; π või 0 ≤ a r c cos x ≤ π . Funktsiooni a r c cos x 3 + 5 π 7 saame kaarekoosinusest piki O x telge nihutades ja venitades, kuid sellised teisendused ei anna meile midagi. Seega 0 ≤ a r c cos x 3 + 5 π 7 ≤ π . Funktsiooni 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 saab pöördkoosinusest a r c cos x 3 + 5 π 7 piki y-telge venitades, s.o. 0 ≤ 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 ≤ 3 π . Lõplik teisendus on nihe piki O y telge 4 väärtuse võrra. Selle tulemusena saame kahekordse ebavõrdsuse: 0 - 4 ≤ 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 - 4 ≤ 3 π - 4 ⇔ - 4 ≤ 3 kaaret x 3 + 5 π 7 - 4 ≤ 3 π - 4 Saime, et vajalik vahemik on võrdne E (y) = - 4 ; 3 pi - 4 . Vastus: E (y) = -4; 3 pi - 4 . Kirjutame veel ühe näite ilma selgitusteta, sest see on täiesti sarnane eelmisele. Näide 10 Seisukord: arvuta, milline saab olema funktsiooni y = 2 2 x - 1 + 3 vahemik. Lahendus Kirjutame tingimuses antud funktsiooni ümber järgmiselt: y = 2 · (2 × - 1) - 1 2 + 3 . Positiivse funktsiooni y = x - 1 2 korral määratakse vahemik intervallil 0; + ∞ , st. x - 1 2 > 0 . Sel juhul: 2 x - 1 - 1 2 > 0 ⇒ 2 (2 x - 1) - 1 2 > 0 ⇒ 2 (2 x - 1) - 1 2 + 3 > 3 Seega E (y) = 3; +∞ . Vastus: E (y) = 3; +∞ . Nüüd vaatame, kuidas leida funktsiooni vahemik, mis ei ole pidev. Selleks peame jagama kogu ala intervallideks ja leidma neist igaühe väärtuste komplektid ning seejärel ühendama olemasoleva. Selle paremaks mõistmiseks soovitame teil üle vaadata funktsioonide murdepunktide peamised tüübid. Näide 11 Seisukord: antud funktsioon y = 2 sin x 2 - 4 , x ≤ - 3 - 1 , - 3< x ≤ 3 1 x - 3 , x >3 . Arvutage selle ulatus. Lahendus See funktsioon on määratletud kõigi x väärtuste jaoks. Analüüsime seda järjepidevuse osas argumendi väärtustega, mis on võrdsed - 3 ja 3: lim x → - 3 - 0 f (x) = piir x → - 3 2 sin x 2 - 4 = 2 sin - 3 2 - 4 = - 2 sin 3 2 - 4 lim x → - 3 + 0 f (x) = lim x → - 3 (1) = - 1 ⇒ lim x → - 3 - 0 f (x) ≠ lim x → - 3 + 0 f (x) Meil on esimest tüüpi taastamatu katkestus argumendi väärtusega - 3 . Sellele lähenedes kipuvad funktsiooni väärtused olema -2 sin 3 2 - 4 ja kui x paremal küljel kipub olema -3, kipuvad väärtused olema -1. lim x → 3 - 0 f(x) = piir x → 3 - 0 (- 1) = 1 lim x → 3 + 0 f(x) = piir x → 3 + 0 1 x - 3 = + ∞ Punktis 3 on teist tüüpi eemaldamatu katkestus. Kui funktsioon kaldub sellele, lähenevad selle väärtused - 1, samal ajal kaldudes samasse punkti paremale - miinus lõpmatuseni. See tähendab, et kogu selle funktsiooni definitsioonipiirkond on jagatud 3 intervalli (- ∞ ; - 3 ] , (- 3 ; 3 ] , (3 ; + ∞) ). Esimesel neist saime funktsiooni y \u003d 2 sin x 2 - 4. Kuna - 1 ≤ sin x ≤ 1 , saame: 1 ≤ sin x 2< 1 ⇒ - 2 ≤ 2 sin x 2 ≤ 2 ⇒ - 6 ≤ 2 sin x 2 - 4 ≤ - 2 See tähendab, et sellel intervallil (- ∞ ; - 3 ] on funktsiooni väärtuste hulk [ - 6 ; 2 ] . Poolintervallil (- 3 ; 3 ] saame konstantse funktsiooni y = - 1 . Järelikult taandatakse kogu selle väärtuste hulk sel juhul üheks arvuks - 1 . Teisel intervallil 3 ; + ∞ meil on funktsioon y = 1 x - 3 . See väheneb, kuna y " = - 1 (x - 3) 2< 0 . Она будет убывать от плюс бесконечности до 0 , но самого 0 не достигнет, потому что: lim x → 3 + 0 1 x - 3 = 1 3 + 0 - 3 = 1 + 0 = + ∞ lim x → + ∞ 1 x - 3 = 1 + ∞ - 3 = 1 + ∞ + 0 Seega on algfunktsiooni väärtuste kogum x > 3 jaoks komplekt 0 ; +∞ . Nüüd ühendame tulemused: E (y) = - 6 ; - 2 ∪ - 1 ∪ 0; +∞ . Vastus: E (y) = -6; - 2 ∪ - 1 ∪ 0; +∞ . Lahendus on näidatud graafikul:
Näide 12 Tingimus: on olemas funktsioon y = x 2 - 3 e x . Määrake selle väärtuste kogum. Lahendus See on määratletud kõigi argumentide väärtuste jaoks, mis on reaalarvud. Teeme kindlaks, milliste ajavahemike järel see funktsioon suureneb ja millal väheneb: y "= x 2 - 3 e x" = 2 x e x - e x (x 2 - 3) e 2 x = - x 2 + 2 x + 3 e x = - (x + 1) (x - 3) e x Teame, et tuletis on 0, kui x = - 1 ja x = 3 . Asetame need kaks punkti teljele ja selgitame välja, millised märgid on tuletisel saadud intervallidel.
Funktsioon väheneb (- ∞ ; - 1 ] ∪ [ 3 ; + ∞) ja suureneb [ - 1 ; 3]. Minimaalne punkt on -1, maksimaalne -3. Nüüd leiame vastavad funktsiooni väärtused: y (- 1) = - 1 2 - 3 e - 1 = - 2 e y (3) = 3 2 - 3 e 3 = 6 e - 3 Vaatame funktsiooni käitumist lõpmatuses: lim x → - ∞ x 2 - 3 e x = - ∞ 2 - 3 e - ∞ = + ∞ + 0 = + ∞ lim x → + ∞ x 2 - 3 e x = + ∞ 2 - 3 e + ∞ = + ∞ + ∞ = = lim x → + ∞ x 2 - 3 "e x" = lim x → + ∞ 2 x e x = + ∞ + ∞ = = lim x → + ∞ 2 x "(e x)" = 2 lim x → + ∞ 1 e x = 2 1 + ∞ = + 0 Teise piiri arvutamiseks kasutati L'Hopitali reeglit. Joonistame oma lahenduse graafikule.
See näitab, et funktsiooni väärtused vähenevad plusslõpmatusest väärtuseni -2 e, kui argument muutub miinus lõpmatusest väärtuseks -1. Kui see muutub 3-lt pluss lõpmatuseni, vähenevad väärtused 6 e - 3-lt 0-ni, kuid 0-ni ei jõuta. Seega E (y) = [-2 e; +∞) . Vastus: E(y) = [-2e; +∞) Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter |
– 1.
, st. E (y) = .
,
, 8].
see on X kuulub esimesse kvartalisse.
enne 
.
. Kui korrutada 
see segment läheb segmendiks 
.
.
saame 
.
.
.
enne 
argument 2 X suureneb alates 
enne 
. Kuna siinus sellisel intervallil suureneb, siis funktsioon 
kuni 1.
argument 2 X suureneb alates 
. Kuna siinus sellisel intervallil väheneb, siis funktsioon 
kuni 1.
.
Ja 
, st segment 
= 
= 25.
) = 25 () =
), kus cos 
sin (2x + 
) ja kui a > 0, suureneb nendel kiirtel monotoonselt.
.
