المثلث هو رقم هندسي يتكون من ثلاثة أجزاء تربط بين ثلاث نقاط لا تقع على نفس الخط. تسمى النقاط التي تشكل المثلث نقاطه، وتكون قطعه متجاورة.

اعتمادا على نوع المثلث (مستطيل، أحادي اللون، وما إلى ذلك)، يمكنك حساب جانب المثلث بطرق مختلفة، اعتمادا على البيانات المدخلة وظروف المشكلة.

التنقل السريع لمقالة

لحساب أضلاع المثلث القائم الزاوية، يتم استخدام نظرية فيثاغورس، التي تنص على أن مربع الوتر يساوي مجموع مربعي الأضلاع.

إذا قمنا بتسمية الأرجل بـ "a" و"b" والوتر بـ "c"، فيمكن العثور على الصفحات بالصيغ التالية:

إذا كانت الزوايا الحادة للمثلث القائم (أ، ب) معروفة، فيمكن إيجاد أضلاعها بالصيغة التالية:

مثلث مقطوع

يسمى المثلث مثلث متساوي الأضلاع حيث يكون كلا الجانبين متماثلين.

كيفية العثور على الوتر في قدمين

إذا كان الحرف "a" مطابقًا لنفس الصفحة، فإن "b" هي القاعدة، و"b" هي الزاوية المقابلة للقاعدة، و"a" هي الزاوية المجاورة لحساب الصفحات، يمكنك استخدام الصيغ التالية:

زاويتان وجانب

إذا كانت هناك صفحة واحدة (ج) وزاويتان (أ و ب) لأي مثلث معروفة، يتم استخدام صيغة الجيب لحساب الصفحات المتبقية:

يجب أن تجد القيمة الثالثة y = 180 - (a + b) لأن

مجموع زوايا المثلث هو 180 درجة؛

وجهان وزاوية

إذا كان ضلعا المثلث (a وb) والزاوية بينهما (y) معروفين، فيمكن استخدام نظرية جيب التمام لحساب الضلع الثالث.

كيفية تحديد محيط المثلث الأيمن

المثلث الثلاثي هو مثلث زاوية أحدها 90 درجة والآخران حادان. عملية حسابية محيطهذه مثلثاعتمادا على كمية المعلومات المعروفة عنها.

ستحتاج إليها

• اعتمادًا على الحالة، قم بمهارات 2 ثلاثة أضلاع للمثلث، بالإضافة إلى إحدى زواياه الحادة.

تعليمات

أولاًالطريقة الأولى: إذا كانت الصفحات الثلاث معروفة مثلثبعد ذلك، سواء كان متعامدًا أو غير مثلثي، يتم حساب المحيط على النحو التالي: P = A + B + C، حيثما أمكن، c هو الوتر؛ أ و ب هي الساقين.

ثانيةالطريقة 2.

إذا كان للمستطيل وجهان فقط، فاستخدم نظرية فيثاغورس، مثلثيمكن حسابها باستخدام الصيغة: P = v (a2 + b2) + a + b أو P = v (c2 - b2) + b + c.

ثالثالطريقة الثالثة. دع الوتر يكون c وزاوية حادة؟ إذا كان لدينا مثلث قائم الزاوية، سيكون من الممكن إيجاد المحيط بهذه الطريقة: P = (1 + sin؟

الرابعالطريقة الرابعة: يقولون أن طول ساق واحدة في المثلث الأيمن يساوي أ، وعلى العكس من ذلك، له زاوية حادة. ثم احسب محيطهذا مثلثسيتم تنفيذها وفقًا للصيغة: P = a * (1 / tg؟

1/الابن؟ + 1)

أخماسالطريقة الخامسة.

حساب المثلث على الانترنت

دع ساقنا تتقدم ويتم تضمينها فيه، ثم سيتم حساب النطاق على النحو التالي: P = A * (1 / CTG + 1 / + 1 cos؟)

فيديوهات ذات علاقة

نظرية فيثاغورس هي أساس كل الرياضيات. تحديد العلاقة بين جوانب المثلث الحقيقي. يوجد الآن 367 دليلاً على هذه النظرية.

تعليمات

أولاًتبدو الصيغة المدرسية الكلاسيكية لنظرية فيثاغورس كما يلي: مربع الوتر يساوي مجموع مربعات الساقين.

للعثور على الوتر في مثلث قائم الزاوية من قطتين، يجب عليك اللجوء إلى تربيع أطوال الأرجل، وجمعها وأخذ الجذر التربيعي للمجموع. في الصياغة الأصلية لبيانه، يعتمد السوق على الوتر، وهو ما يساوي مجموع مربعي مربعين ينتجهما كاتيتي. ومع ذلك، فإن الصياغة الجبرية الحديثة لا تتطلب إدخال تمثيل المجال.

ثانيةعلى سبيل المثال، مثلث قائم الزاوية طول أرجله 7 سم و8 سم.

إذن، وفقًا لنظرية فيثاغورس، فإن مربع الوتر يساوي R + S = 49 + 64 = 113 سم، والوتر يساوي الجذر التربيعي للرقم 113.

زوايا المثلث القائم

وكانت النتيجة رقم لا أساس له من الصحة.

ثالثإذا كان المثلثان عبارة عن أرجل 3 و4، فإن الوتر = 25 = 5. عندما تأخذ الجذر التربيعي، تحصل على عدد طبيعي. الأرقام 3، 4، 5 تشكل ثلاثية بيغاغورية، لأنها تحقق العلاقة x؟ +ص؟ = Z، وهو أمر طبيعي.

من الأمثلة الأخرى على ثلاثية فيثاغورس: 6، 8، 10؛ 5، 12، 13؛ 15، 20، 25؛ 9، 40، 41.

الرابعفي هذه الحالة، إذا كانت الأرجل متطابقة مع بعضها البعض، فإن نظرية فيثاغورس تتحول إلى معادلة أكثر بدائية. على سبيل المثال، لنفترض أن هذه اليد تساوي الرقم A وتم تعريف الوتر لـ C، ثم c؟ = Ap + Ap، C = 2A2، C = A؟ 2. في هذه الحالة لا تحتاج إلى أ.

أخماسونظرية فيثاغورس هي حالة خاصة، أكبر من نظرية جيب التمام العامة، تحدد العلاقة بين أضلاع المثلث الثلاثة لأي زاوية بين ضلعين منها.

نصيحة 2: كيفية تحديد الوتر للأرجل والزوايا

الوتر هو الضلع الموجود في المثلث القائم المقابل للزاوية التي قياسها 90 درجة.

تعليمات

أولاًفي حالة القسطرة المعروفة، وكذلك الزاوية الحادة للمثلث القائم الزاوية، يمكن أن يكون للوتر حجم يساوي نسبة الساق إلى جيب التمام/جيب هذه الزاوية، إذا كانت الزاوية معاكسة/ه تشمل: H = C1 (أو C2) / الخطيئة، H = C1 (أو C2؟) / جتا؟. مثال: افترض أن ABC مثلث غير منتظم به الوتر AB والزاوية القائمة C.

لتكن B 60 درجة و A 30 درجة. طول الجذع BC هو 8 سم ويجب إيجاد طول الوتر AB. للقيام بذلك يمكنك استخدام إحدى الطرق المذكورة أعلاه: AB = BC / cos60 = 8 سم AB = BC / sin30 = 8 سم.

الوتر هو أطول ضلع في المستطيل مثلث. وهي تقع في الزاوية اليمنى. طريقة إيجاد الوتر في المستطيل مثلثاعتمادا على البيانات المصدر.

تعليمات

أولاًإذا كانت ساقيك متعامدة مثلث، ثم طول الوتر في المستطيل مثلثيمكن اكتشافه عن طريق نظير فيثاغورس - مربع طول الوتر يساوي مجموع مربعات أطوال الساقين: c2 = a2 + b2، حيث a و b هما طول ساقي اليمين مثلث .

ثانيةإذا كان أحد الساقين معروفًا وبزاوية حادة، فإن صيغة العثور على الوتر ستعتمد على وجود أو غياب عند زاوية معينة بالنسبة للساق المعروفة - المجاورة (الساق تقع قريبة)، أو العكس ( الحالة المعاكسة تقع nego.V للزاوية المحددة يساوي كسر الوتر للساق في زاوية جيب التمام: a = a/cos;E، من ناحية أخرى، الوتر هو نفس نسبة زوايا الجيب: دا = أ/الخطيئة.

فيديوهات ذات علاقة

نصائح مفيدة
المثلث الزاوي الذي ترتبط أضلاعه بنسبة 3:4:5، يُسمى بالدلتا المصرية نظرًا لأن هذه الأشكال كانت تستخدم على نطاق واسع من قبل المهندسين المعماريين في مصر القديمة.

وهذا أيضًا أبسط مثال لمثلثات جيرو، حيث يتم تمثيل الصفحات والمساحة بأعداد صحيحة.

يسمى المثلث مستطيلاً زاويته 90 درجة. الجانب المقابل للزاوية اليمنى يسمى الوتر، والآخر يسمى الساقين.

إذا كنت تريد معرفة كيفية تشكيل المثلث القائم من خلال بعض خصائص المثلثات المنتظمة، وهي حقيقة أن مجموع الزوايا الحادة هو 90 درجة، وهو ما يستخدم، وحقيقة أن طول الساق المقابلة هو نصف الوتر هو 30 درجة.

التنقل السريع لمقالة

مثلث مقطوع

من خصائص المثلث المتساوي أن زاويته متساوية.

لحساب زاوية مثلث متطابق قائم، عليك أن تعرف ما يلي:

• وهذا ليس أسوأ من 90 درجة.
• يتم تحديد قيم الزوايا الحادة بالصيغة: (180 درجة -90 درجة) / 2 = 45 درجة، أي.

  الزوايا α و β تساوي 45 درجة.

إذا كانت القيمة المعروفة لإحدى الزوايا الحادة معروفة، فيمكن إيجاد الأخرى باستخدام الصيغة: β = 180°-90°-α أو α = 180°-90°-β.

تُستخدم هذه النسبة غالبًا إذا كانت إحدى الزوايا 60 درجة أو 30 درجة.

المفاهيم الرئيسية

مجموع الزوايا الداخلية للمثلث هو 180 درجة.

لأنه مستوى واحد، يبقى اثنان حادين.

حساب المثلث على الانترنت

إذا أردت العثور عليهم، عليك أن تعرف ما يلي:

أساليب أخرى

يمكن حساب قيم الزوايا الحادة للمثلث القائم من المتوسط ​​- بخط من نقطة على الضلع المقابل للمثلث، والارتفاع - الخط المتعامد المرسوم من الوتر بزاوية قائمة .

دع الوسيط يمتد من الزاوية اليمنى إلى منتصف الوتر، وليكن h هو الارتفاع. في هذه الحالة يتبين أن:

• الخطيئة α = ب / (2 * ق)؛ الخطيئة β = أ / (2 * ق).
• كوس α = أ / (2 * ق)؛ كوس β = ب / (2 * ق).
• الخطيئة α = ح / ب؛ الخطيئة β = ح/أ.

صفحتين

إذا كانت أطوال الوتر وأحد الأضلاع معروفة في مثلث قائم الزاوية أو على كلا الجانبين، يتم استخدام المتطابقات المثلثية لتحديد قيم الزوايا الحادة:

• α = أركسين (أ/ج)، β = أركسين (ب/ج).
• α = أركوس (ب/ج)، β = أركوس (أ/ج).
• α = القطب الشمالي (أ / ب)، β = القطب الشمالي (ب / أ).

طول المثلث القائم

مساحة ومساحة المثلث

محيط

محيط أي مثلث يساوي مجموع أطوال أضلاعه الثلاثة. الصيغة العامة لإيجاد المثلث الثلاثي هي:

حيث P هو محيط المثلث، a، b، c من أضلاعه.

محيط مثلث متساوييمكن العثور عليه من خلال دمج أطوال أضلاعه على التوالي أو ضرب طول الضلع في 2 وإضافة طول القاعدة إلى المنتج.

تبدو الصيغة العامة لإيجاد مثلث التوازن كما يلي:

حيث P هو محيط مثلث متساوي، ولكن إما b، b هي القاعدة.

محيط مثلث متساوي الأضلاعيمكن العثور عليها عن طريق الجمع بين أطوال جوانبها بالتسلسل أو عن طريق ضرب طول أي صفحة في 3.

الصيغة العامة لإيجاد حافة المثلثات متساوية الأضلاع ستبدو كما يلي:

حيث P هو محيط مثلث متساوي الأضلاع، وa هو أي من أضلاعه.

منطقة

إذا كنت تريد قياس مساحة مثلث، فيمكنك مقارنتها بمتوازي الأضلاع. النظر في المثلث ABC:

إذا أخذنا نفس المثلث وقمنا بتثبيته بحيث نحصل على متوازي أضلاع، فسنحصل على متوازي أضلاع له نفس الارتفاع والقاعدة مثل هذا المثلث:

في هذه الحالة، يتم طي الجانب المشترك للمثلثات معًا على طول قطري متوازي الأضلاع المصبوب.

من خصائص متوازي الأضلاع. ومن المعروف أن أقطار متوازي الأضلاع تنقسم دائمًا إلى مثلثين متساويين، ويكون سطح كل مثلث مساويًا لنصف مدى متوازي الأضلاع.

وبما أن مساحة متوازي الأضلاع هي نفس منتج ارتفاع قاعدته، فإن مساحة المثلث ستكون مساوية لنصف هذا المنتج. وبالتالي، بالنسبة إلى ΔABC، ستكون المساحة هي نفسها

الآن فكر في المثلث الأيمن:

يمكن ثني مثلثين قائمين متطابقين ليشكلا مستطيلًا إذا كان يميل عليهما، وهو ما يمثل كل منهما وترًا للآخر.

بما أن سطح المستطيل يتطابق مع سطح الأضلاع المجاورة فإن مساحة هذا المثلث هي نفسها:

من هذا يمكننا أن نستنتج أن سطح أي مثلث قائم الزاوية يساوي حاصل ضرب أضلاعه مقسومًا على 2.

من هذه الأمثلة يمكن أن نستنتج أن سطح كل مثلث هو نفس حاصل ضرب الطول، ويتم تقليل الارتفاع إلى الركيزة مقسومة على 2.

تبدو الصيغة العامة لإيجاد مساحة المثلث كما يلي:

حيث S هي مساحة المثلث ولكن قاعدته ولكن الارتفاع ينخفض ​​إلى الأسفل أ.

بناء أي سقف ليس بالأمر السهل كما يبدو. وإذا كنت تريد أن تكون موثوقة ودائمة وغير خائفة من الأحمال المختلفة، أولا، في مرحلة التصميم، تحتاج إلى إجراء الكثير من الحسابات. وسوف تشمل ليس فقط كمية المواد المستخدمة للتركيب، ولكن أيضا تحديد زوايا المنحدر، ومناطق المنحدرات، وما إلى ذلك. كيفية حساب زاوية ميل السقف بشكل صحيح؟ وعلى هذه القيمة ستعتمد المعلمات المتبقية لهذا التصميم إلى حد كبير.

يعد تصميم وبناء أي سقف دائمًا أمرًا مهمًا ومسؤولًا للغاية. خاصة عندما يتعلق الأمر بسطح مبنى سكني أو سقف ذو شكل معقد. ولكن حتى المسطح العادي المثبت على سقيفة أو مرآب غير موصوف يحتاج أيضًا إلى حسابات أولية.

إذا لم تحدد مسبقًا زاوية ميل السقف، ولم تكتشف الارتفاع الأمثل للتلال، فهناك خطر كبير في بناء سقف سينهار بعد تساقط الثلوج الأول، أو كل شيء سيتم تمزيق الطلاء النهائي حتى بفعل الرياح المعتدلة.

كما أن زاوية السقف ستؤثر بشكل كبير على ارتفاع التلال ومساحة المنحدرات وأبعادها. اعتمادا على ذلك، سيكون من الممكن حساب كمية المواد المطلوبة لإنشاء نظام الجمالون ومواد التشطيب بشكل أكثر دقة.

أسعار أنواع مختلفة من تلال التسقيف

حافة التسقيف

الوحدات

تذكر الهندسة التي درسها الجميع في المدرسة، فمن الآمن أن نقول إن زاوية السقف تقاس بالدرجات. ومع ذلك، في كتب البناء، وكذلك في الرسومات المختلفة، يمكنك العثور على خيار آخر - تتم الإشارة إلى الزاوية كنسبة مئوية (هنا نعني نسبة العرض إلى الارتفاع).

عمومًا، زاوية الميل هي الزاوية التي تشكلها طائرتان متقاطعتان- السقف ومنحدر السقف نفسه. يمكن أن تكون حادة فقط، أي تقع في حدود 0-90 درجة.

في مذكرة! المنحدرات شديدة الانحدار، التي تزيد زاوية ميلها عن 50 درجة، نادرة للغاية في شكلها النقي. عادة ما يتم استخدامها فقط للتصميم الزخرفي للأسطح، ويمكن أن تكون موجودة في العلية.

أما بالنسبة لقياس زوايا السقف بالدرجات، فكل شيء بسيط - كل من درس الهندسة في المدرسة لديه هذه المعرفة. يكفي رسم مخطط للسقف على الورق واستخدام المنقلة لتحديد الزاوية.

أما بالنسبة للنسب المئوية، فأنت بحاجة إلى معرفة ارتفاع التلال وعرض المبنى. يتم تقسيم المؤشر الأول على الثاني، ويتم ضرب القيمة الناتجة في 100%. وبهذه الطريقة يمكن حساب النسبة المئوية.

في مذكرة! عند نسبة 1، تكون درجة الميل النموذجية 2.22%. أي أن الميل بزاوية 45 درجة عادية يساوي 100٪. و1 بالمائة يساوي 27 دقيقة قوسية.

جدول القيم - الدرجات والدقائق والنسب المئوية

ما هي العوامل التي تؤثر على زاوية الميل؟

تتأثر زاوية ميل أي سقف بعدد كبير جدًا من العوامل، بدءًا من رغبات مالك المنزل المستقبلي وانتهاء بالمنطقة التي سيقع فيها المنزل. عند الحساب، من المهم أن تأخذ في الاعتبار جميع التفاصيل الدقيقة، حتى تلك التي تبدو للوهلة الأولى غير ذات أهمية. في يوم من الأيام قد يلعبون دورهم. تحديد زاوية السقف المناسبة من خلال معرفة:

• أنواع المواد التي سيتم بناء فطيرة السقف منها، بدءاً من النظام الخشبي وانتهاءً بالزخرفة الخارجية؛
• الظروف المناخية في منطقة معينة (حمل الرياح، واتجاه الرياح السائدة، وكمية الأمطار، وما إلى ذلك)؛
• شكل المبنى المستقبلي وارتفاعه وتصميمه.
• الغرض من المبنى وخيارات استخدام مساحة العلية.

في تلك المناطق التي يوجد بها حمل رياح قوي، يوصى ببناء سقف بمنحدر واحد وزاوية ميل طفيفة. ومن ثم، في حالة الرياح القوية، يكون للسقف فرصة أفضل للوقوف وعدم تمزقه. إذا كانت المنطقة تتميز بكمية كبيرة من الأمطار (الثلوج أو المطر)، فمن الأفضل جعل المنحدر أكثر انحدارًا - وهذا سيسمح لهطول الأمطار بالتدحرج/التصريف من السطح وعدم خلق حمل إضافي. يتراوح المنحدر الأمثل للسقف المائل في المناطق العاصفة بين 9-20 درجة، وحيثما يكون هناك الكثير من الأمطار - ما يصل إلى 60 درجة. ستسمح لك زاوية 45 درجة بتجاهل حمولة الثلج ككل، ولكن في هذه الحالة سيكون ضغط الرياح على السطح أكبر بخمس مرات من الضغط على السطح الذي يبلغ منحدره 11 درجة فقط.

في مذكرة! كلما زادت معلمات منحدر السقف، زادت كمية المواد المطلوبة لإنشائه. تزيد التكلفة بنسبة 20٪ على الأقل.

زوايا المنحدر ومواد التسقيف

ليس فقط الظروف المناخية سيكون لها تأثير كبير على شكل وزاوية المنحدرات. تلعب المواد المستخدمة في البناء، وخاصة أغطية السقف، دورًا مهمًا أيضًا.

طاولة. زوايا الانحدار المثلى للأسطح المصنوعة من مواد مختلفة.

في مذكرة! كلما انخفض منحدر السقف، كلما كانت المسافة المستخدمة عند إنشاء الغلاف أصغر.

أسعار البلاط المعدني

بلاط معدني

يعتمد ارتفاع التلال أيضًا على زاوية المنحدر

عند حساب أي سقف، يتم دائمًا أخذ مثلث قائم الزاوية كنقطة مرجعية، حيث تكون الأرجل هي ارتفاع المنحدر عند النقطة العلوية، أي عند التلال أو انتقال الجزء السفلي من نظام الجمالون بأكمله إلى الأعلى (في حالة أسطح العلية)، وكذلك إسقاط طول منحدر معين على المستوى الأفقي، والذي يمثله التداخلات. هناك قيمة ثابتة واحدة فقط هنا - وهذا هو طول السقف بين الجدارين، أي طول الامتداد. سيختلف ارتفاع جزء التلال اعتمادًا على زاوية الميل.

معرفة الصيغ من علم المثلثات سوف تساعدك على تصميم السقف: tgA = H/L، sinA = H/S، H = LxtgA، S = H/sinA، حيث A هي زاوية المنحدر، H هو ارتفاع السقف إلى منطقة التلال، L هو ½ طول السقف بالكامل (مع سقف الجملون) أو الطول بالكامل (في حالة السقف ذو النبرة الواحدة)، S هو طول المنحدر نفسه. على سبيل المثال، إذا كان الارتفاع الدقيق لجزء التلال معروفًا، فسيتم تحديد زاوية الميل باستخدام الصيغة الأولى. يمكنك العثور على الزاوية باستخدام جدول الظلال. إذا كانت الحسابات تعتمد على زاوية السقف، فيمكن العثور على معلمة ارتفاع التلال باستخدام الصيغة الثالثة. يمكن حساب طول العوارض الخشبية، التي لها قيمة زاوية الميل ومعلمات الأرجل، باستخدام الصيغة الرابعة.

في الرياضيات، عند النظر في مثلث، يتم إيلاء الكثير من الاهتمام لجوانبه. لأن هذه العناصر تشكل هذا الشكل الهندسي. تُستخدم أضلاع المثلث في حل العديد من المسائل الهندسية.

تعريف المفهوم

تسمى الأجزاء التي تربط ثلاث نقاط لا تقع على نفس الخط بأضلاع المثلث. العناصر قيد النظر تحد من جزء من المستوى، وهو ما يسمى الجزء الداخلي من هذا الشكل الهندسي.

يسمح علماء الرياضيات في حساباتهم بالتعميمات المتعلقة بجوانب الأشكال الهندسية. وهكذا، في المثلث المنحل، تقع ثلاثة من أجزائه على خط مستقيم واحد.

خصائص المفهوم

يتضمن حساب جوانب المثلث تحديد جميع المعلمات الأخرى للشكل. بمعرفة طول كل قطعة من هذه الأجزاء، يمكنك بسهولة حساب محيط المثلث ومساحته وحتى زواياه.

أرز. 1. المثلث التعسفي.

من خلال جمع جوانب الشكل المعطى، يمكنك تحديد المحيط.

P=a+b+c، حيث a، b، c هي أضلاع المثلث

ولإيجاد مساحة المثلث، عليك استخدام صيغة هيرون.

$$S=\sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c))$$

حيث p هو نصف المحيط.

يتم حساب زوايا الشكل الهندسي المعطى باستخدام نظرية جيب التمام.

$$cos α=((b^2+c^2-a^2)\over(2bc))$$

معنى

يتم التعبير عن بعض خصائص هذا الشكل الهندسي من خلال نسبة أضلاع المثلث:

• مقابل أصغر ضلع في المثلث توجد أصغر زاوية فيه.
• يتم الحصول على الزاوية الخارجية للشكل الهندسي المعني عن طريق تمديد أحد الجوانب.
• الزوايا المتساوية في المثلث هي أضلاع متساوية.
• في أي مثلث، يكون أحد الأضلاع دائمًا أكبر من الفرق بين الجزأين الآخرين. ومجموع أي ضلعين من هذا الشكل أكبر من الثلث.

من علامات تساوي المثلثين هي نسبة مجموع جميع أضلاع الشكل الهندسي. إذا كانت هذه القيم هي نفسها، فإن المثلثات ستكون متساوية.

بعض خصائص المثلث تعتمد على نوعه. لذلك، يجب عليك أولاً أن تأخذ في الاعتبار حجم جوانب أو زوايا هذا الشكل.

تشكيل المثلثات

إذا كان ضلعا الشكل الهندسي المعني متماثلين، فإن هذا المثلث يسمى متساوي الساقين.

أرز. 2. مثلث متساوي الساقين.

عندما تكون جميع أجزاء المثلث متساوية، تحصل على مثلث متساوي الأضلاع.

أرز. 3. مثلث متساوي الأضلاع.

يكون إجراء أي عملية حسابية أكثر ملاءمة في الحالات التي يمكن فيها تصنيف المثلث التعسفي كنوع معين. لأنه بعد ذلك سيتم تبسيط عملية العثور على المعلمة المطلوبة لهذا الشكل الهندسي بشكل كبير.

على الرغم من أن المعادلة المثلثية المختارة بشكل صحيح تسمح لك بحل العديد من المشكلات التي يتم فيها النظر في مثلث عشوائي.

ماذا تعلمنا؟

ثلاثة أجزاء متصلة بنقاط ولا تنتمي إلى نفس الخط المستقيم تشكل مثلثًا. تشكل هذه الجوانب مستوى هندسيًا يستخدم لتحديد المساحة. باستخدام هذه القطع، يمكنك العثور على العديد من الخصائص المهمة للشكل، مثل المحيط والزوايا. تساعد نسبة العرض إلى الارتفاع للمثلث في العثور على نوعه. لا يمكن استخدام بعض خصائص شكل هندسي معين إلا إذا كانت أبعاد كل جانب من أضلاعه معروفة.

اختبار حول الموضوع

تصنيف المادة

متوسط ​​تقييم: 4.3. إجمالي التقييمات المستلمة: 142.

آلة حاسبة على الانترنت.
حل المثلثات.

حل المثلث هو إيجاد جميع عناصره الستة (أي ثلاثة جوانب وثلاث زوايا) من أي ثلاثة عناصر محددة تحدد المثلث.

يعثر هذا البرنامج الرياضي على الجانب \(\c\) والزوايا \(\alpha \) و\(\beta \) من الجوانب المحددة بواسطة المستخدم \(a, b\) والزاوية بينهما \(\gamma \)

لا يقدم البرنامج إجابة للمشكلة فحسب، بل يعرض أيضًا عملية البحث عن حل.

يمكن أن تكون هذه الآلة الحاسبة عبر الإنترنت مفيدة لطلاب المدارس الثانوية في المدارس الثانوية عند التحضير للاختبارات والامتحانات، عند اختبار المعرفة قبل امتحان الدولة الموحدة، وللآباء والأمهات للتحكم في حل العديد من المشكلات في الرياضيات والجبر. أو ربما يكون استئجار مدرس أو شراء كتب مدرسية جديدة مكلفًا للغاية؟ أم أنك ترغب فقط في إنجاز واجباتك المنزلية في الرياضيات أو الجبر في أسرع وقت ممكن؟ وفي هذه الحالة، يمكنك أيضًا استخدام برامجنا مع الحلول التفصيلية.

بهذه الطريقة، يمكنك إجراء التدريب الخاص بك و/أو تدريب إخوتك أو أخواتك الأصغر سنًا، بينما يرتفع مستوى التعليم في مجال حل المشكلات.

إذا لم تكن على دراية بقواعد إدخال الأرقام، فنوصيك بالتعرف عليها.

قواعد إدخال الأرقام

يمكن تحديد الأرقام ليس فقط كأرقام صحيحة، ولكن أيضًا ككسور.
يمكن فصل الأعداد الصحيحة والأجزاء الكسرية في الكسور العشرية إما بنقطة أو بفاصلة.
على سبيل المثال، يمكنك إدخال الكسور العشرية مثل 2.5 أو 2.5

أدخل الجانبين \(أ، ب\) والزاوية بينهما \(\جاما \) حل المثلث

تم اكتشاف أن بعض البرامج النصية اللازمة لحل هذه المشكلة لم يتم تحميلها، وقد لا يعمل البرنامج.
ربما قمت بتمكين AdBlock.
وفي هذه الحالة، قم بتعطيله وتحديث الصفحة.

تم تعطيل جافا سكريبت في المتصفح الخاص بك.
لكي يظهر الحل، تحتاج إلى تمكين JavaScript.
فيما يلي إرشادات حول كيفية تمكين JavaScript في متصفحك.

لأن هناك الكثير من الأشخاص الراغبين في حل المشكلة، وقد تم وضع طلبك في قائمة الانتظار.
في بضع ثوان سوف يظهر الحل أدناه.
انتظر من فضلك ثانية...

اذا أنت لاحظت خطأ في الحل، فيمكنك الكتابة عن هذا في نموذج الملاحظات.
لا تنسى تشير إلى المهمةعليك أن تقرر ما أدخل في الحقول.

ألعابنا وألغازنا ومحاكياتنا:

القليل من النظرية.

نظرية الجيب

نظرية

تتناسب أضلاع المثلث مع جيب الزوايا المتقابلة:
$$ \frac(a)(\sin A) = \frac(b)(\sin B) = \frac(c)(\sin C) $$

نظرية جيب التمام

نظرية
دع AB = ج، BC = أ، CA = ب في المثلث ABC. ثم
مربع أحد أضلاع المثلث يساوي مجموع مربعي الضلعين الآخرين مطروحًا منه ضعف ناتج هذين الجانبين مضروبًا في جيب تمام الزاوية بينهما.
$$ a^2 = b^2+c^2-2ba \cos A $$

حل المثلثات

حل المثلث يعني إيجاد جميع عناصره الستة (أي ثلاثة جوانب وثلاث زوايا) من أي ثلاثة عناصر محددة تحدد المثلث.

دعونا نلقي نظرة على ثلاث مسائل تتضمن حل مثلث. في هذه الحالة، سوف نستخدم الترميز التالي لأضلاع المثلث ABC: AB = c، BC = a، CA = b.

حل المثلث باستخدام ضلعين والزاوية بينهما

بالنظر إلى: \(أ، ب، \الزاوية ج\). ابحث عن \(ج، \الزاوية أ، \الزاوية ب\)

حل
1. باستخدام نظرية جيب التمام نجد \(c\):

$$ c = \sqrt( a^2+b^2-2ab \cos C ) $$ 2. باستخدام نظرية جيب التمام، لدينا:
$$ \cos A = \frac( b^2+c^2-a^2 )(2bc) $$

3. \(\الزاوية B = 180^\دائرة -\الزاوية A -\الزاوية C\)

حل مثلث بجانبه وزوايا متجاورة

بالنظر إلى: \(أ، \الزاوية ب، \الزاوية ج\). ابحث عن \(\الزاوية A، b، c\)

حل
1. \(\الزاوية A = 180^\circ -\الزاوية B -\الزاوية C\)

2. باستخدام نظرية الجيب، نحسب b وc:
$$ ب = أ \frac(\sin B)(\sin A)، \quad c = a \frac(\sin C)(\sin A) $$

حل المثلث باستخدام ثلاثة جوانب

المعطى: \(أ، ب، ج\). ابحث عن \(\الزاوية أ، \الزاوية ب، \الزاوية ج\)

حل
1. باستخدام نظرية جيب التمام نحصل على:
$$ \cos A = \frac(b^2+c^2-a^2)(2bc) $$

باستخدام \(\cos A\) نجد \(\angle A\) باستخدام حاسبة صغيرة أو باستخدام جدول.

2. وبالمثل، نجد الزاوية B.
3. \(\الزاوية C = 180^\circ -\الزاوية A -\الزاوية B\)

حل مثلث باستخدام ضلعين وزاوية مقابلة لضلع معلوم

بالنظر إلى: \(أ، ب، \الزاوية أ\). ابحث عن \(ج، \الزاوية ب، \الزاوية ج\)

حل
1. باستخدام نظرية الجيب نجد \(\sin B\) فنحصل على:
$$ \frac(a)(\sin A) = \frac(b)(\sin B) \Rightarrow \sin B = \frac(b)(a) \cdot \sin A $$

دعونا نقدم الترميز: \(D = \frac(b)(a) \cdot \sin A \). اعتمادًا على الرقم D، من الممكن حدوث الحالات التالية:
إذا كان D > 1، فهذا المثلث غير موجود، لأن لا يمكن أن يكون \(\sin B\) أكبر من 1
إذا كانت D = 1، فهناك \(\angle B: \quad \sin B = 1 \Rightarrow \angle B = 90^\circ \)
إذا كان D إذا كان D 2. \(\الزاوية C = 180^\دائرة -\الزاوية A -\الزاوية B\)

3. باستخدام نظرية الجيب، نحسب الضلع ج:
$$ ج = أ \frac(\sin C)(\sin A) $$

كتب (كتب مدرسية) ملخصات امتحان الدولة الموحدة واختبارات امتحان الدولة الموحدة الألعاب عبر الإنترنت والألغاز رسم الرسوم البيانية للوظائف قاموس إملائي للغة الروسية قاموس الشباب العامية كتالوج المدارس الروسية كتالوج المؤسسات التعليمية الثانوية في روسيا كتالوج الجامعات الروسية قائمة من المهام

في الهندسة غالبًا ما تكون هناك مشاكل تتعلق بأضلاع المثلثات. على سبيل المثال، غالبًا ما يكون من الضروري العثور على أحد أضلاع المثلث إذا كان الجانبان الآخران معروفين.

المثلثات هي متساوي الساقين ومتساوية الأضلاع وغير متساوية. من بين جميع الأنواع، في المثال الأول سنختار مستطيلًا (في مثل هذا المثلث، إحدى الزوايا 90 درجة، والجوانب المجاورة لها تسمى الأرجل، والثالث هو الوتر).

التنقل السريع من خلال المادة

طول أضلاع المثلث القائم الزاوية

يأتي حل المشكلة من نظرية عالم الرياضيات العظيم فيثاغورس. تنص على أن مجموع مربعي أضلاع المثلث القائم الزاوية يساوي مربع الوتر: a²+b²=c²

• أوجد مربع طول الساق أ؛
• أوجد مربع الساق ب؛
• نحن نجمعهم معًا.
• من النتيجة التي تم الحصول عليها نستخرج الجذر الثاني.

مثال: أ=4، ب=3، ج=؟

• أ²=4²=16;
• ب² =3²=9؛
• 16+9=25;
• √25=5. أي أن طول الوتر في هذا المثلث هو 5.

إذا لم يكن للمثلث زاوية قائمة، فإن طولي ضلعيه غير كافية. لهذا، هناك حاجة إلى معلمة ثالثة: يمكن أن تكون الزاوية، وارتفاع المثلث، ونصف قطر الدائرة المدرج فيه، وما إلى ذلك.

إذا كان المحيط معروفا

وفي هذه الحالة، المهمة أبسط. المحيط (P) هو مجموع أضلاع المثلث: P=a+b+c. وهكذا، من خلال حل معادلة رياضية بسيطة نحصل على النتيجة.

مثال: ع=18، أ=7، ب=6، ج=؟

1) نحل المعادلة عن طريق نقل جميع المعلمات المعروفة إلى جانب واحد من علامة المساواة:

2) نعوض بالقيم بدلا منها ونحسب الضلع الثالث:

ج=18-7-6=5، المجموع: الضلع الثالث للمثلث هو 5.

إذا كانت الزاوية معروفة

لحساب الضلع الثالث لمثلث بمعلومية زاوية وضلعين آخرين، يتمثل الحل في حساب المعادلة المثلثية. بمعرفة العلاقة بين أضلاع المثلث وجيب الزاوية، يسهل حساب الضلع الثالث. للقيام بذلك، تحتاج إلى تربيع كلا الجانبين وإضافة نتائجهما معًا. ثم اطرح من الناتج الناتج حاصل ضرب الجوانب مضروبًا في جيب تمام الزاوية: C=√(a²+b²-a*b*cosα)

إذا كانت المنطقة معروفة

في هذه الحالة، صيغة واحدة لن تفعل.

1) أولاً، احسب sin γ، معبرًا عنها من صيغة مساحة المثلث:

الخطيئة γ= 2S/(أ*ب)

2) باستخدام الصيغة التالية، نحسب جيب تمام الزاوية نفسها:

sin² α + cos² α=1

cos α=√(1 — sin² α)=√(1- (2S/(a*b))²)

3) ومرة ​​أخرى نستخدم نظرية الجيب:

C=√((a²+b²)-a*b*cosα)

C=√((a²+b²)-a*b*√(1- (S/(a*b))²))

باستبدال قيم المتغيرات في هذه المعادلة نحصل على إجابة المشكلة.