متوازي الأضلاع ومساحته. نحسب مجموع الزوايا ومساحة متوازي الأضلاع: الخصائص والعلامات. ملامح الزوايا المجاورة

منطقة متوازي الأضلاع

نظرية 1

تُعرَّف مساحة متوازي الأضلاع بأنها حاصل ضرب طول ضلعها في الارتفاع المرسوم عليه.

حيث $ a $ هو جانب متوازي الأضلاع ، و $ h $ هو الارتفاع المرسوم على هذا الجانب.

دليل.

لنحصل على متوازي الأضلاع $ ABCD $ مع $ AD = BC = a $. لنرسم الارتفاعات $ DF $ و $ AE $ (الشكل 1).

الصورة 1.

من الواضح أن الرقم $ FDAE $ عبارة عن مستطيل.

\ [\ زاوية BAE = (90) ^ 0- \ زاوية أ ، \ \] \ [\ زاوية CDF = \ زاوية د- (90) ^ 0 = (180) ^ 0- \ زاوية أ- (90) ^ 0 = (90) ^ 0- \ زاوية أ = \ زاوية BAE \]

لذلك ، بما أن $ CD = AB ، \ DF = AE = h $ ، $ \ triangle BAE = \ triangle CDF $ ، بمقدار $ I $ اختبار مساواة المثلث. ثم

لذلك وفقًا لنظرية منطقة المستطيل:

لقد تم إثبات النظرية.

نظرية 2

يتم تعريف مساحة متوازي الأضلاع على أنها حاصل ضرب طول أضلاعه المجاورة في جيب الزاوية بين هذين الجانبين.

رياضيا ، يمكن كتابة هذا على النحو التالي

حيث $ a ، \ b $ هي ضلعي متوازي الأضلاع ، و $ \ alpha $ هي الزاوية بينهما.

دليل.

لنحصل على متوازي الأضلاع $ ABCD $ مع $ BC = a ، \ CD = b ، \ \ angle C = \ alpha $. ارسم الارتفاع $ DF = h $ (الشكل 2).

الشكل 2.

من خلال تعريف الجيب ، نحصل عليه

لذلك

ومن ثم ، من خلال Theorem $ 1 $:

لقد تم إثبات النظرية.

مساحة المثلث

نظرية 3

تُعرَّف مساحة المثلث بأنها نصف حاصل ضرب طول ضلعه والارتفاع المرسوم عليه.

رياضيا ، يمكن كتابة هذا على النحو التالي

حيث $ a $ هو ضلع المثلث ، و $ h $ هو الارتفاع المرسوم على هذا الجانب.

دليل.

الشكل 3

لذلك من خلال Theorem $ 1 $:

لقد تم إثبات النظرية.

نظرية 4

تُعرّف مساحة المثلث على أنها نصف حاصل ضرب طول أضلاعه المجاورة في جيب الزاوية بين هذين الجانبين.

رياضيا ، يمكن كتابة هذا على النحو التالي

حيث $ a ، \ b $ هي ضلعي المثلث ، و $ \ alpha $ هي الزاوية بينهما.

دليل.

لنحصل على مثلث $ ABC $ مع $ AB = a $. ارسم الارتفاع $ CH = h $. لنقم ببنائه حتى متوازي الأضلاع $ ABCD $ (الشكل 3).

من الواضح أن $ \ triangle ACB = \ triangle CDB $ by $ I $. ثم

لذلك من خلال Theorem $ 1 $:

لقد تم إثبات النظرية.

منطقة شبه منحرف

نظرية 5

تُعرَّف مساحة شبه المنحرف على أنها نصف حاصل ضرب مجموع أطوال قواعده مضروبًا في ارتفاعه.

رياضيا ، يمكن كتابة هذا على النحو التالي

دليل.

لنحصل على شبه منحرف $ ABCK $ ، حيث $ AK = a ، \ BC = b $. لنرسم ارتفاعات $ BM = h $ و $ KP = h $ ، وكذلك القطر $ BK $ (الشكل 4).

الشكل 4

بواسطة Theorem $ 3 دولار ، نحصل عليه

لقد تم إثبات النظرية.

مثال المهمة

مثال 1

أوجد مساحة مثلث متساوي الأضلاع إذا كان طول ضلعه $ a. $

حل.

بما أن المثلث متساوي الأضلاع ، فإن كل زواياه تساوي $ (60) ^ 0 $.

ثم ، من خلال نظرية $ 4 ، لدينا

إجابة:$ \ frac (a ^ 2 \ sqrt (3)) (4) $.

لاحظ أنه يمكن استخدام نتيجة هذه المسألة لإيجاد مساحة أي مثلث متساوي الأضلاع مع ضلع معين.

كما هو الحال في الهندسة الإقليدية ، فإن النقطة والخط المستقيم هما العنصران الرئيسيان في نظرية المستويات ، لذا فإن متوازي الأضلاع هو أحد الأشكال الرئيسية للأشكال الرباعية المحدبة. منه ، مثل خيوط الكرة ، تتدفق مفاهيم "المستطيل" و "المربع" و "المعين" والكميات الهندسية الأخرى.

في تواصل مع

تعريف متوازي الأضلاع

رباعي محدبيتكون من مقاطع ، كل زوج منها متوازي ، يُعرف في الهندسة باسم متوازي الأضلاع.

شكل متوازي الأضلاع الكلاسيكي هو الشكل الرباعي ABCD. تسمى الأضلاع القواعد (AB و BC و CD و AD) ، والعمودي المرسوم من أي رأس إلى الجانب المقابل من هذا الرأس يسمى الارتفاع (BE و BF) ، والخطان AC و BD هما الأقطار.

انتباه!المربع والمعين والمستطيل هي حالات خاصة لمتوازي الأضلاع.

الجوانب والزوايا: ميزات النسبة

الخصائص الرئيسية ، بشكل عام ، محددة سلفا بالتسمية نفسها، تم إثباتها من خلال النظرية. هذه الخصائص هي كما يلي:

1. الجوانب المعاكسة متطابقة في أزواج.
2. الزوايا المقابلة لبعضها البعض متساوية في أزواج.

الإثبات: ضع في اعتبارك ∆ABC و ADC ، والتي يتم الحصول عليها بقسمة الرباعي ABCD على الخط AC. ∠BCA = ∠CAD و ∠BAC = ∠ACD ، نظرًا لأن AC مشترك بينهما (الزوايا الرأسية لـ BC || AD و AB || CD ، على التوالي). يتبع من هذا: ∆ABC = ∆ADC (المعيار الثاني لتساوي المثلثات).

تتوافق الأجزاء AB و BC في ∆ABC في أزواج مع الأسطر CD و AD في ADC ، مما يعني أنها متطابقة: AB = CD ، BC = AD. وبالتالي ، فإن ∠B يتوافق مع ∠D وهما متساويان. بما أن ∠A = ∠BAC + ∠CAD ، ∠C = ∠BCA + ∠ACD ، والتي هي أيضًا متطابقة في أزواج ، ثم ∠A = C. تم إثبات الملكية.

خصائص قطري الشكل

الميزة الأساسيةخطوط متوازي الأضلاع هذه: نقطة التقاطع تقسمها.

الإثبات: لنفترض أن m E هي نقطة تقاطع الأقطار AC و BD للشكل ABCD. إنهم يشكلون مثلثين متناسبين - ∆ABE و ∆CDE.

AB = CD لأنهما معاكسان. وفقًا للأسطر والقطع ، ∠ABE = ∠CDE و ∠BAE = ∠DCE.

وفقًا للعلامة الثانية للمساواة ، ∆ABE = ∆CDE. هذا يعني أن العناصر ∆ABE و ∆CDE هي: AE = CE ، BE = DE ، علاوة على ذلك ، فهي أجزاء متناسبة من AC و BD. تم إثبات الملكية.

ملامح الزوايا المجاورة

مجموع الزوايا في الجانبين المتجاورين 180 درجة، لأنها تقع على نفس الجانب من الخطوط المتوازية والقاطع. للرباعي ABCD:

∠A + ∠B = ∠C + ∠D = A + ∠D = ∠B + C = 180º

خصائص المنصف:

1. ، يتم إسقاطها على جانب واحد ، تكون متعامدة ؛
2. الرؤوس المتقابلة لها منصفات متوازية ؛
3. سيكون المثلث الناتج عن رسم المنصف متساوي الساقين.

تحديد السمات المميزة لمتوازي الأضلاع بواسطة النظرية

تتبع ملامح هذا الشكل من نظريته الرئيسية ، والتي تنص على ما يلي: يعتبر الرباعي متوازي الأضلاعفي حالة تقاطع أقطارها ، وهذه النقطة تقسمهم إلى أجزاء متساوية.

إثبات: دع الخطين AC و BD للرباع ABCD يتقاطعان في t. E. بما أن ∠AED = ∠BEC و AE + CE = AC BE + DE = BD ، إذن ∆AED = ∆BEC (من خلال العلامة الأولى للمساواة بين المثلثات). وهذا هو ، ∠EAD = ∠ECB. وهي أيضًا زوايا العبور الداخلية للقاطع AC للخطين AD و BC. وهكذا ، من خلال تعريف التوازي - AD || قبل الميلاد. يتم أيضًا اشتقاق خاصية مماثلة للخطين BC و CD. لقد تم إثبات النظرية.

حساب مساحة الشكل

مساحة هذا الرقم وجدت بعدة طرقواحدة من أبسطها: ضرب الارتفاع والقاعدة التي رسمها.

الإثبات: ارسم العمودين BE و CF من الرؤوس B و C. ∆ABE و ∆DCF متساويان منذ AB = CD و BE = CF. ABCD تساوي المستطيل EBCF ، لأنها تتكون أيضًا من أرقام متناسبة: S ABE و S EBCD ، وكذلك S DCF و S EBCD. ويترتب على ذلك أن مساحة هذا الشكل الهندسي هي نفسها مساحة المستطيل:

S ABCD = S EBCF = BE × BC = BE × AD.

لتحديد الصيغة العامة لمساحة متوازي الأضلاع ، نشير إلى الارتفاع كـ هبوالجانب ب. على التوالى:

طرق أخرى للعثور على المنطقة

حسابات المنطقة من خلال جانبي متوازي الأضلاع والزاوية، التي يشكلونها ، هي الطريقة الثانية المعروفة.

,

Spr-ma - المنطقة ؛

أ و ب هي جوانبها

α - الزاوية بين الجزأين أ و ب.

تعتمد هذه الطريقة عمليًا على الطريقة الأولى ، ولكن في حالة عدم معرفتها. يقطع دائمًا مثلثًا قائمًا يتم العثور على معلماته من خلال المتطابقات المثلثية ، أي. نحصل على تحويل النسبة. في معادلة الطريقة الأولى ، نستبدل الارتفاع بهذا المنتج ونحصل على دليل على صحة هذه الصيغة.

من خلال أقطار متوازي الأضلاع والزاوية ،التي قاموا بإنشائها عند تقاطعها ، يمكنك أيضًا العثور على المنطقة.

إثبات: يتقاطع AC و BD من أربعة مثلثات: ABE و BEC و CDE و AED. مجموعهم يساوي مساحة هذا الرباعي.

يمكن العثور على مساحة كل من هذه من التعبير ، حيث أ = BE ، ب = AE ، ∠γ = AEB. منذ ذلك الحين ، يتم استخدام قيمة واحدة للجيب في الحسابات. إنه . نظرًا لأن AE + CE = AC = d 1 و BE + DE = BD = d 2 ، فإن صيغة المنطقة تقلل إلى:

.

التطبيق في الجبر المتجه

وجدت سمات الأجزاء المكونة لهذا الرباعي تطبيقًا في الجبر المتجه ، وهي: إضافة متجهين. تنص قاعدة متوازي الأضلاع على ذلك إذا أعطيت نواقلولاتكون خطية متداخلة ، فإن مجموعها سيكون مساويًا لقطر هذا الشكل ، الذي تتوافق قواعده مع هذه المتجهات.

الدليل: من بداية تم اختيارها عشوائيًا - أي حوالي. - نبني نواقل و. بعد ذلك ، نقوم ببناء متوازي الأضلاع OASV ، حيث يكون المقطعان OA و OB من الجانبين. وبالتالي ، فإن نظام التشغيل يقع على المتجه أو المجموع.

صيغ لحساب معلمات متوازي الأضلاع

يتم تقديم الهويات وفقًا للشروط التالية:

1. أ و ب ، α - الجانبين والزاوية بينهما ؛
2. د 1 و د 2 ، γ - أقطار وعند نقطة تقاطعهم ؛
3. h a و h b - الارتفاعات المنخفضة إلى الجانبين a و b ؛

معامل	معادلة
إيجاد الجانبين
على طول الأقطار وجيب الزاوية بينهما
قطريا وجانبية
من خلال الارتفاع والرأس المعاكس
إيجاد أطوال الأقطار
على الجانبين وحجم القمة بينهما
على طول الجانبين وأحد الأقطار	 خاتمة يتم استخدام متوازي الأضلاع ، باعتباره أحد الأشكال الرئيسية للهندسة ، في الحياة ، على سبيل المثال ، في البناء عند حساب مساحة الموقع أو القياسات الأخرى. لذلك ، يمكن أن تكون المعرفة حول السمات المميزة وطرق حساب المعلمات المختلفة مفيدة في أي وقت في الحياة.

عند حل المشكلات المتعلقة بهذا الموضوع ، بالإضافة إلى الخصائص الأساسية متوازي الاضلاعوالصيغ المقابلة ، يمكنك تذكر وتطبيق ما يلي:

1. منصف الزاوية الداخلية لمتوازي أضلاع يقطع منه مثلث متساوي الساقين
2. منصفات الزوايا الداخلية المتاخمة لأحد جانبي متوازي الأضلاع متعامدة بشكل متبادل
3. تأتي المنصفات من زوايا داخلية متقابلة في متوازي الأضلاع ، موازية لبعضها البعض أو تقع على خط مستقيم واحد
4. مجموع مربعات قطري متوازي الأضلاع يساوي مجموع مربعات أضلاعه
5. مساحة متوازي الأضلاع هي نصف حاصل ضرب الأقطار في جيب الزاوية بينهما.

دعنا نفكر في المهام في الحل التي تُستخدم فيها هذه الخصائص.

مهمة 1.

منصف الزاوية C من متوازي الأضلاع ABCD يتقاطع مع الجانب AD عند النقطة M واستمرار الجانب AB بعد النقطة A عند النقطة E. أوجد محيط متوازي الأضلاع إذا كان AE = 4، DM \ u003d 3.

حل.

1. مثلث CMD متساوي الساقين. (خاصية 1). لذلك ، CD = MD = 3 سم.

2. مثلث EAM متساوي الساقين.
لذلك ، AE = AM = 4 سم.

3. AD = AM + MD = 7 سم.

4. محيط ABCD = 20 سم.

إجابة. 20 سم

المهمة 2.

يتم رسم الأقطار في شكل رباعي محدب ABCD. من المعروف أن مساحات المثلثات ABD و ACD و BCD متساوية. إثبات أن الشكل الرباعي المعطى متوازي أضلاع.

حل.

1. لنفترض أن يكون ارتفاع المثلث ABD و CF هو ارتفاع المثلث ACD. بما أن مناطق المثلثات متساوية وفقًا لظروف المشكلة ولديها قاعدة مشتركة AD ، فإن ارتفاعات هذه المثلثات متساوية. BE = CF.

2. تكون BE ، CF متعامدة مع AD. تقع النقطتان B و C على نفس الجانب من الخط AD. BE = CF. لذلك ، الخط BC || إعلان. (*)

3. دع AL يكون ارتفاع المثلث ACD ، BK ارتفاع المثلث BCD. نظرًا لأنه وفقًا لظروف المشكلة ، فإن مناطق المثلثات متساوية ولديها قرص مضغوط مشترك أساسي ، فإن ارتفاعات هذه المثلثات متساوية. AL = BK.

4. AL و BK عموديان على القرص المضغوط. النقطتان B و A تقعان على نفس الجانب من القرص المضغوط للخط المستقيم. AL = BK. لذلك ، الخط AB || قرص مضغوط (**)

5. تشير الشروط (*) ، (**) إلى أن ABCD هو متوازي أضلاع.

إجابة. مثبت. ABCD متوازي أضلاع.

المهمة 3.

على الجانبين BC و CD من متوازي الأضلاع ABCD ، يتم تمييز النقطتين M و H ، على التوالي ، بحيث يتقاطع المقطعان BM و HD عند النقطة O ؛<ВМD = 95 о,