Trójkąt to liczba geometryczna złożona z trzech odcinków łączących trzy punkty, które nie leżą na tej samej prostej. Punkty tworzące trójkąt nazywane są jego punktami, a odcinki leżą obok siebie.

W zależności od rodzaju trójkąta (prostokątny, monochromatyczny itp.) bok trójkąta można obliczyć na różne sposoby, w zależności od danych wejściowych i warunków zadania.

Szybka nawigacja po artykule

Do obliczenia boków trójkąta prostokątnego stosuje się twierdzenie Pitagorasa, zgodnie z którym kwadrat przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów nogi.

Jeśli oznaczymy nogi literami „a” i „b”, a przeciwprostokątną literą „c”, wówczas można znaleźć strony z następującymi wzorami:

Jeśli znane są kąty ostre trójkąta prostokątnego (a i b), jego boki można wyznaczyć za pomocą następujących wzorów:

przycięty trójkąt

Trójkąt nazywa się trójkątem równobocznym, w którym obie strony są takie same.

Jak znaleźć przeciwprostokątną w dwóch nogach

Jeżeli litera „a” jest identyczna z tą samą stroną, „b” jest podstawą, „b” jest narożnikiem naprzeciwko podstawy, „a” jest rogiem sąsiednim, do obliczenia stron można zastosować następujące wzory:

Dwa rogi i bok

Jeśli znana jest jedna strona (c) i dwa kąty (a i b) dowolnego trójkąta, do obliczenia pozostałych stron stosuje się wzór sinus:

Musisz znaleźć trzecią wartość y = 180 - (a + b), ponieważ

suma wszystkich kątów trójkąta wynosi 180°;

Dwa boki i kąt

Jeśli znane są dwa boki trójkąta (a i b) oraz kąt między nimi (y), to twierdzenie cosinus można zastosować do obliczenia trzeciego boku.

Jak określić obwód trójkąta prostokątnego

Trójkąt trójkątny to trójkąt, z których jeden ma 90 stopni, a pozostałe dwa są ostre. obliczenie obwód taki trójkąt w zależności od ilości znanych informacji na jego temat.

Będziesz tego potrzebował

• W zależności od okazji umiejętności 2 z trzech boków trójkąta, a także jednego z jego ostrych narożników.

instrukcje

Pierwszy Metoda 1. Jeśli znane są wszystkie trzy strony trójkąt Następnie, niezależnie od tego, czy jest to prostopadły, czy nie trójkątny, obwód oblicza się w następujący sposób: P = A + B + C, jeśli to możliwe, c jest przeciwprostokątną; a i b to nogi.

drugi Metoda 2.

Jeśli prostokąt ma tylko dwa boki, to korzystając z twierdzenia Pitagorasa, trójkąt można obliczyć ze wzoru: P = v (a2 + b2) + a + b lub P = v (c2 - b2) + b + c.

trzeci Metoda 3. Niech przeciwprostokątna będzie c i kątem ostrym? Biorąc pod uwagę trójkąt prostokątny, obwód będzie można znaleźć w ten sposób: P = (1 + grzech?

czwarty Metoda 4. Mówią, że w trójkącie prostokątnym długość jednej nogi jest równa a, a wręcz przeciwnie, ma kąt ostry. Następnie oblicz obwód Ten trójkąt zostanie wykonane według wzoru: P = a * (1 / tg?

1 / syn? + 1)

piąty Metoda 5.

Obliczenia online trójkąta

Niech nasza noga prowadzi i zostanie w niej uwzględniona, wtedy zasięg zostanie obliczony jako: P = A * (1 / CTG + 1 / + 1 cos?)

Podobne filmy

Twierdzenie Pitagorasa jest podstawą każdej matematyki. Określa relację między bokami prawdziwego trójkąta. Obecnie istnieje 367 dowodów tego twierdzenia.

instrukcje

Pierwszy Klasyczne szkolne sformułowanie twierdzenia Pitagorasa brzmi następująco: kwadrat przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów nóg.

Aby znaleźć przeciwprostokątną w trójkącie prostokątnym dwóch Catetów, należy skręcić do kwadratu długość nóg, złożyć je i wyciągnąć pierwiastek kwadratowy z sumy. W pierwotnym sformułowaniu jego stwierdzenia rynek opiera się na przeciwprostokątnej, równej sumie kwadratów 2 kwadratów wyprodukowanych przez Catete. Jednak współczesne sformułowanie algebraiczne nie wymaga wprowadzenia reprezentacji dziedzinowej.

drugi Na przykład trójkąt prostokątny, którego nogi mają 7 cm i 8 cm.

Następnie, zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa, przeciwprostokątna kwadratowa wynosi R + S = 49 + 64 = 113 cm Przeciwprostokątna jest równa pierwiastkowi kwadratowemu ze 113.

Kąty trójkąta prostokątnego

Rezultatem była nieuzasadniona liczba.

trzeci Jeśli trójkąty mają nogi 3 i 4, to przeciwprostokątna = 25 = 5. Gdy weźmiemy pierwiastek kwadratowy, otrzymamy liczbę naturalną. Liczby 3, 4, 5 tworzą trójkę pigagorejską, ponieważ spełniają relację x? +T? = Z, co jest naturalne.

Inne przykłady trójki pitagorejskiej to: 6, 8, 10; 5, 12, 13; 15, 20, 25; 9, 40, 41.

czwarty W takim przypadku, jeśli nogi są identyczne, twierdzenie Pitagorasa zamienia się w bardziej prymitywne równanie. Niech na przykład taka ręka będzie równa liczbie A i zdefiniowana zostanie przeciwprostokątna dla C, a następnie c? = Ap + Ap, C = 2A2, C = A? 2. W tym przypadku nie potrzebujesz A.

piąty Twierdzenie Pitagorasa jest szczególnym przypadkiem, który jest większy niż ogólne twierdzenie o cosinusie, które ustala relację między trzema bokami trójkąta dla dowolnego kąta między dwoma z nich.

Wskazówka 2: Jak określić przeciwprostokątną nóg i kątów

Przeciwprostokątna nazywana jest bokiem trójkąta prostokątnego, który leży naprzeciwko kąta 90 stopni.

instrukcje

Pierwszy W przypadku znanych cewników, a także kąta ostrego trójkąta prostokątnego, przeciwprostokątna może mieć rozmiar równy stosunkowi nogi do cosinus/sinus tego kąta, jeśli kąt był przeciwny/e obejmują : H = C1 (lub C2) / sin, H = C1 (lub С2?) / cos?. Przykład: Niech ABC otrzyma trójkąt nieregularny z przeciwprostokątną AB i kątem prostym C.

Niech B będzie wynosić 60 stopni, a A 30 stopni. Długość trzonu BC wynosi 8 cm, należy znaleźć długość przeciwprostokątnej AB. Aby to zrobić, możesz zastosować jedną z powyższych metod: AB = BC / cos60 = 8 cm AB = BC / sin30 = 8 cm.

Przeciwprostokątna to najdłuższy bok prostokąta trójkąt. Znajduje się pod kątem prostym. Metoda znajdowania przeciwprostokątnej prostokąta trójkąt w zależności od danych źródłowych.

instrukcje

Pierwszy Jeśli twoje nogi są prostopadłe trójkąt, a następnie długość przeciwprostokątnej prostokąta trójkąt można znaleźć za pomocą analogu pitagorasa - kwadrat długości przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów długości nóg: c2 = a2 + b2, gdzie a i b są długościami nóg prawej trójkąt .

drugi Jeśli jest to znane i jedna z nóg znajduje się pod ostrym kątem, wzór na znalezienie przeciwprostokątnej będzie zależał od obecności lub nieobecności pod pewnym kątem w stosunku do znanej nogi - sąsiadującej (noga znajduje się blisko) lub odwrotnie odwrotnie (przypadek przeciwny jest zlokalizowany nego.V określonego kąta jest równe ułamkowi przeciwprostokątnej nogi w kącie cosinus: a = a / cos; E, natomiast przeciwprostokątna jest taka sama jak stosunek kątów sinusoidalnych: da = a / grzech.

Podobne filmy

Pomocne wskazówki
Trójkąt kątowy, którego boki są połączone w stosunku 3:4:5, zwany deltą egipską, ponieważ figury te były szeroko stosowane przez architektów starożytnego Egiptu.

Jest to także najprostszy przykład trójkątów Jerona, w którym strony i obszar są reprezentowane jako liczby całkowite.

Trójkąt nazywa się prostokątem, którego kąt wynosi 90°. Strona przeciwna do prawego rogu nazywana jest przeciwprostokątną, druga strona nazywana jest nogami.

Jeśli chcesz dowiedzieć się, jak powstaje trójkąt prostokątny na podstawie niektórych właściwości trójkątów foremnych, a mianowicie faktu, że suma kątów ostrych wynosi 90°, co się stosuje, oraz faktu, że długość przeciwnej nogi jest połową przeciwprostokątnej wynosi 30°.

Szybka nawigacja po artykule

przycięty trójkąt

Jedną z właściwości trójkąta równego jest to, że jego dwa kąty są takie same.

Aby obliczyć kąt prostokątnego trójkąta równobocznego, musisz wiedzieć, że:

• Nie jest gorzej niż 90°.
• Wartości kątów ostrych określa się ze wzoru: (180° -90°)/2 = 45°, tj.

  Kąty α i β mają miarę 45°.

Jeżeli znana jest wartość jednego z kątów ostrych, drugi można wyznaczyć ze wzoru: β = 180°-90°-α lub α = 180°-90°-β.

Stosunek ten jest najczęściej stosowany, jeśli jeden z kątów wynosi 60° lub 30°.

Kluczowe idee

Suma kątów wewnętrznych w trójkącie wynosi 180°.

Ponieważ jest to jeden poziom, dwa pozostają ostre.

Oblicz trójkąt online

Jeśli chcesz je znaleźć, musisz wiedzieć, że:

inne metody

Wartości kąta ostrego trójkąta prostokątnego można obliczyć ze średniej - z linią wychodzącą z punktu po przeciwnej stronie trójkąta, a wysokość - linia jest prostopadłą poprowadzoną z przeciwprostokątnej pod kątem prostym.

Niech środkowa rozciąga się od prawego rogu do środka przeciwprostokątnej, a h będzie wysokością. W tym przypadku okazuje się, że:

• sinα = b / (2 * s); grzech β = a / (2 * s).
• cosα = a / (2 * s); cos β = b / (2 * s).
• sinα = h / b; grzech β = godz./a.

Dwie strony

Jeżeli długości przeciwprostokątnej i jednej z nóg są znane w trójkącie prostokątnym lub z dwóch stron, wówczas do określenia wartości kątów ostrych stosuje się tożsamości trygonometryczne:

• α=arcsin(a/c), β=arcsin(b/c).
• α=arcos(b/c), β=arcos(a/c).
• α = arctan (a / b), β = arctan (b / a).

Długość trójkąta prostokątnego

Pole i pole trójkąta

obwód

Obwód dowolnego trójkąta jest równy sumie długości trzech boków. Ogólny wzór na znalezienie trójkąta trójkątnego to:

gdzie P to obwód trójkąta, a, b i c to jego boki.

Obwód równego trójkąta można znaleźć, łącząc kolejno długości jego boków lub mnożąc długość boku przez 2 i dodając do iloczynu długość podstawy.

Ogólny wzór na znalezienie trójkąta równowagi będzie wyglądał następująco:

gdzie P jest obwodem równego trójkąta, ale albo b, b są podstawą.

Obwód trójkąta równobocznego można znaleźć, łącząc kolejno długości jego boków lub mnożąc długość dowolnej strony przez 3.

Ogólny wzór na znalezienie krawędzi trójkąta równobocznego wygląda następująco:

gdzie P jest obwodem trójkąta równobocznego, a jest dowolnym z jego boków.

region

Jeśli chcesz zmierzyć pole trójkąta, możesz porównać je z równoległobokiem. Rozważmy trójkąt ABC:

Jeśli weźmiemy ten sam trójkąt i naprawimy go tak, aby otrzymać równoległobok, otrzymamy równoległobok o tej samej wysokości i podstawie co ten trójkąt:

W tym przypadku wspólny bok trójkątów jest złożony razem wzdłuż przekątnej uformowanego równoległoboku.

Z właściwości równoległoboku. Wiadomo, że przekątne równoległoboku zawsze dzieli się na dwa równe trójkąty, wówczas powierzchnia każdego trójkąta jest równa połowie zakresu równoległoboku.

Ponieważ powierzchnia równoległoboku jest iloczynem jego wysokości podstawy, powierzchnia trójkąta będzie o połowę mniejsza od tego iloczynu. Zatem dla ΔABC pole będzie takie samo

Rozważmy teraz trójkąt prostokątny:

Dwa identyczne trójkąty prostokątne można zgiąć w prostokąt, jeśli opiera się o nie, czyli co druga przeciwprostokątna.

Ponieważ powierzchnia prostokąta pokrywa się z powierzchnią sąsiednich boków, pole tego trójkąta jest takie samo:

Z tego możemy wywnioskować, że powierzchnia dowolnego trójkąta prostokątnego jest równa iloczynowi nóg podzielonemu przez 2.

Z tych przykładów możemy wywnioskować, że powierzchnia każdego trójkąta jest równa iloczynowi długości, a wysokość jest zredukowana do podstawy podzielonej przez 2.

Ogólny wzór na znalezienie pola trójkąta wyglądałby następująco:

gdzie S jest obszarem trójkąta, ale jego podstawą, ale wysokość spada na dół a.

Budowa dowolnego dachu nie jest tak prosta, jak się wydaje. A jeśli chcemy, żeby był niezawodny, trwały i niestraszny różnym obciążeniom, to wcześniej, już na etapie projektowania, trzeba dokonać wielu obliczeń. I będą obejmować nie tylko ilość materiałów użytych do montażu, ale także określenie kątów nachylenia, powierzchni stoków itp. Jak poprawnie obliczyć kąt dachu? Od tej wartości w dużej mierze będą zależeć pozostałe parametry tego projektu.

Projektowanie i budowa każdego dachu jest zawsze bardzo ważnym i odpowiedzialnym biznesem. Zwłaszcza jeśli chodzi o dach budynku mieszkalnego lub dach o skomplikowanym kształcie. Ale nawet zwykła szopa, zainstalowana na niepozornej szopie lub garażu, wymaga jedynie wstępnych obliczeń.

Jeśli nie określisz wcześniej kąta nachylenia dachu, nie dowiesz się, jaka optymalna wysokość powinna mieć kalenica, istnieje duże ryzyko zbudowania dachu, który zawali się po pierwszych opadach śniegu lub całej powłoce wykończeniowej zostanie z niego wyrwany nawet przez umiarkowany wiatr.

Również kąt nachylenia dachu będzie miał znaczący wpływ na wysokość kalenicy, powierzchnię i wymiary skarp. W zależności od tego możliwe będzie dokładniejsze obliczenie ilości materiałów potrzebnych do stworzenia systemu krokwi i wykończenia.

Ceny na różne rodzaje kalenic

Kalenica dachowa

Jednostki

Pamiętając o geometrii, której wszyscy nauczyli się w szkole, można śmiało powiedzieć, że kąt dachu mierzy się w stopniach. Jednak w książkach o budowie, a także na różnych rysunkach można również znaleźć inną opcję - kąt jest podawany w procentach (tutaj mamy na myśli współczynnik proporcji).

Ogólnie, kąt nachylenia to kąt utworzony przez dwie przecinające się płaszczyzny- zachodzenie na siebie i bezpośrednio nachylenie dachu. Może być tylko ostry, czyli mieścić się w przedziale 0-90 stopni.

Notatka! Bardzo strome zbocza, których kąt przekracza 50 stopni, są niezwykle rzadkie w czystej postaci. Zwykle służą wyłącznie do dekoracji dachów, mogą występować na poddaszach.

Jeśli chodzi o pomiar kątów dachu w stopniach, wszystko jest proste - tę wiedzę ma każdy, kto studiował geometrię w szkole. Wystarczy naszkicować na papierze schemat dachu i za pomocą kątomierza wyznaczyć kąt.

Jeśli chodzi o wartości procentowe, musisz znać wysokość kalenicy i szerokość budynku. Pierwszy wskaźnik dzieli się przez drugi, a otrzymaną wartość mnoży się przez 100%. W ten sposób można obliczyć procent.

Notatka! Przy procentie 1 typowy stopień nachylenia wynosi 2,22%. Oznacza to, że nachylenie o kącie 45 zwykłych stopni jest równe 100%. A 1 procent to 27 minut kątowych.

Tabela wartości - stopnie, minuty, procenty

Jakie czynniki wpływają na kąt nachylenia?

Na kąt nachylenia każdego dachu wpływa bardzo wiele czynników, począwszy od życzeń przyszłego właściciela domu po region, w którym będzie zlokalizowany dom. Podczas obliczeń ważne jest, aby wziąć pod uwagę wszystkie subtelności, nawet te, które na pierwszy rzut oka wydają się nieistotne. W pewnym momencie mogą odegrać swoją rolę. Określ odpowiedni kąt nachylenia dachu, wiedząc:

• rodzaje materiałów, z których zostanie zbudowany placek dachowy, zaczynając od systemu kratownicowego, a kończąc na wykończeniu zewnętrznym;
• warunki klimatyczne na danym obszarze (obciążenie wiatrem, dominujący kierunek wiatru, opady itp.);
• kształt przyszłego budynku, jego wysokość, projekt;
• przeznaczenie budynku, możliwości wykorzystania powierzchni poddasza.

W regionach, w których występuje duże obciążenie wiatrem, zaleca się budowę dachu o jednym nachyleniu i małym kącie nachylenia. Wtedy przy silnym wietrze dach ma większą szansę oprzeć się i nie zostać zerwany. Jeśli region charakteryzuje się dużą ilością opadów (śnieg lub deszcz), lepiej jest uczynić zbocze bardziej stromym - pozwoli to na spływanie / odprowadzanie opadów z dachu i nie spowoduje dodatkowego obciążenia. Optymalne nachylenie dachu szopowego w wietrznych regionach waha się w granicach 9-20 stopni, a tam, gdzie występuje dużo opadów - do 60 stopni. Kąt 45 stopni pozwoli w ogóle zignorować obciążenie śniegiem, ale w tym przypadku parcie wiatru na dach będzie 5 razy większe niż na dachu o nachyleniu zaledwie 11 stopni.

Notatka! Im większe parametry połaci dachu, tym więcej materiałów będzie potrzebnych do jego wykonania. Koszt wzrasta o co najmniej 20%.

Kąty nachylenia i materiały pokrycia dachowe

Nie tylko warunki klimatyczne będą miały istotny wpływ na kształt i nachylenie stoków. Ważną rolę odgrywają materiały użyte do budowy, w szczególności - pokrycia dachowe.

Tabela. Optymalne kąty nachylenia dla dachów z różnych materiałów.

Notatka! Im niższe nachylenie dachu, tym mniejszy nachylenie użyte do stworzenia skrzynki.

Ceny płytek metalowych

metalowa płytka

Wysokość łyżwy zależy również od kąta nachylenia.

Przy obliczaniu dowolnego dachu za wskazówkę zawsze przyjmuje się prostokątny trójkąt, w którym nogi stanowią wysokość nachylenia w najwyższym punkcie, to znaczy w kalenicy lub przejściu od dolnej części całego systemu krokwi do góry (w przypadku dachów mansardowych), a także rzut długości danego nachylenia na poziom, który jest reprezentowany przez zakładki. Jest tu tylko jedna stała wartość - jest to długość dachu pomiędzy dwiema ścianami, czyli długość przęsła. Wysokość części kalenicowej będzie się różnić w zależności od kąta nachylenia.

Znajomość wzorów z trygonometrii pomoże zaprojektować dach: tgA \u003d H / L, sinA \u003d H / S, H \u003d LхtgA, S \u003d H / sinA, gdzie A to kąt nachylenia, H to kąt nachylenia wysokość dachu do powierzchni kalenicy, L to ½ całej długości rozpiętości dachu (w przypadku dachu dwuspadowego) lub całej długości (w przypadku dachu jednospadowego), S - długość samego połaci. Na przykład, jeśli znana jest dokładna wartość wysokości części kalenicowej, wówczas kąt nachylenia określa się za pomocą pierwszego wzoru. Kąt można znaleźć, korzystając z tabeli stycznych. Jeśli obliczenia opierają się na kącie dachu, parametr wysokości kalenicy można znaleźć za pomocą trzeciego wzoru. Długość krokwi, mająca wartość kąta nachylenia i parametry nóg, można obliczyć za pomocą czwartego wzoru.

W matematyce, rozważając trójkąt, dużą uwagę należy zwrócić na jego boki. Ponieważ te elementy tworzą tę figurę geometryczną. Boki trójkąta służą do rozwiązywania wielu problemów geometrycznych.

Definicja pojęcia

Odcinki linii łączące trzy punkty, które nie leżą na tej samej linii prostej, nazywane są bokami trójkąta. Rozważane elementy ograniczają część płaszczyzny, którą nazywamy wnętrzem danej figury geometrycznej.

Matematycy w swoich obliczeniach dopuszczają uogólnienia dotyczące boków figur geometrycznych. Zatem w zdegenerowanym trójkącie trzy jego odcinki leżą na jednej linii prostej.

Charakterystyka koncepcji

Obliczenie boków trójkąta obejmuje określenie wszystkich innych parametrów figury. Znając długość każdego z tych odcinków, możesz łatwo obliczyć obwód, powierzchnię, a nawet kąty trójkąta.

Ryż. 1. Dowolny trójkąt.

Sumując boki tej figury, możesz określić obwód.

P=a+b+c, gdzie a, b, c to boki trójkąta

Aby znaleźć obszar trójkąta, należy użyć wzoru Czapli.

$$S=\sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c))$$

Gdzie p jest półobwodem.

Kąty danej figury geometrycznej oblicza się za pomocą twierdzenia cosinus.

$$cos α=((b^2+c^2-a^2)\over(2bc))$$

Oznaczający

Poprzez stosunek boków trójkąta wyrażają się niektóre właściwości tej figury geometrycznej:

• Naprzeciw najmniejszego boku trójkąta znajduje się jego najmniejszy kąt.
• Kąt zewnętrzny rozważanej figury geometrycznej uzyskuje się poprzez przedłużenie jednego z boków.
• Przeciwległe równe kąty trójkąta są równymi bokami.
• W każdym trójkącie jeden z boków jest zawsze większy niż różnica pozostałych dwóch odcinków. A suma dowolnych dwóch stron tej liczby jest większa niż trzecia.

Jednym ze znaków równości dwóch trójkątów jest stosunek sumy wszystkich boków figury geometrycznej. Jeśli te wartości są takie same, wówczas trójkąty będą równe.

Niektóre właściwości trójkąta zależą od jego typu. Dlatego należy najpierw rozważyć rozmiar boków lub kątów tej figury.

Tworzenie trójkątów

Jeśli dwa boki rozważanej figury geometrycznej są takie same, wówczas trójkąt ten nazywa się równoramiennym.

Ryż. 2. Trójkąt równoramienny.

Gdy wszystkie odcinki trójkąta są równe, otrzymasz trójkąt równoboczny.

Ryż. 3. Trójkąt równoboczny.

Wszelkie obliczenia są wygodniejsze do przeprowadzenia w przypadkach, gdy dowolny trójkąt można przypisać do określonego typu. Od tego momentu znalezienie wymaganego parametru tej figury geometrycznej będzie znacznie uproszczone.

Chociaż poprawnie wybrane równanie trygonometryczne pozwala rozwiązać wiele problemów, w których rozważany jest dowolny trójkąt.

Czego się nauczyliśmy?

Trzy odcinki połączone punktami i nie należące do tej samej linii prostej tworzą trójkąt. Boki te tworzą płaszczyznę geometryczną, która służy do wyznaczania pola. Za pomocą tych segmentów można znaleźć wiele ważnych cech figury, takich jak obwód i kąty. Proporcje trójkąta pomagają znaleźć jego typ. Niektóre właściwości danej figury geometrycznej można wykorzystać tylko wtedy, gdy znane są wymiary każdego z jej boków.

Quiz tematyczny

Ocena artykułu

Średnia ocena: 4.3. Łączna liczba otrzymanych ocen: 142.

Kalkulator internetowy.
Rozwiązanie trójkątów.

Rozwiązaniem trójkąta jest znalezienie wszystkich jego sześciu elementów (tj. trzech boków i trzech kątów) przez dowolne trzy dane elementy definiujące trójkąt.

Ten program matematyczny znajduje bok \(c \), kąty \(\alpha \) i \(\beta \) biorąc pod uwagę boki określone przez użytkownika \(a, b \) i kąt między nimi \(\gamma \)

Program nie tylko daje odpowiedź na problem, ale także wyświetla proces poszukiwania rozwiązania.

Ten kalkulator online może być przydatny dla uczniów szkół średnich w przygotowaniach do sprawdzianów i egzaminów, podczas sprawdzania wiedzy przed jednolitym egzaminem państwowym, a także dla rodziców do kontrolowania rozwiązania wielu problemów z matematyki i algebry. A może zatrudnienie korepetytora lub zakup nowych podręczników jest dla Ciebie zbyt kosztowne? A może po prostu chcesz jak najszybciej odrobić zadanie domowe z matematyki lub algebry? W tym przypadku możesz także skorzystać z naszych programów ze szczegółowym rozwiązaniem.

W ten sposób możesz przeprowadzić szkolenie własne i/lub szkolenie swoich młodszych braci i sióstr, jednocześnie podnosząc poziom edukacji w zakresie zadań do rozwiązania.

Jeśli nie znasz zasad wpisywania liczb, zalecamy zapoznanie się z nimi.

Zasady wprowadzania liczb

Liczby można ustawiać nie tylko w całości, ale także ułamkowo.
Części całkowite i ułamkowe w ułamkach dziesiętnych można oddzielić kropką lub przecinkiem.
Na przykład możesz wprowadzić liczby dziesiętne, takie jak 2,5 lub 2,5

Podaj boki \(a, b \) i kąt między nimi \(\gamma \) Rozwiąż trójkąt

Stwierdzono, że niektóre skrypty potrzebne do rozwiązania tego zadania nie zostały załadowane i program może nie działać.
Być może masz włączonego AdBlocka.
W takim przypadku wyłącz ją i odśwież stronę.

Masz wyłączoną obsługę JavaScript w swojej przeglądarce.
Aby rozwiązanie mogło się pojawić, musi być włączona obsługa JavaScript.
Poniżej znajdują się instrukcje dotyczące włączania JavaScript w Twojej przeglądarce.

Ponieważ Jest wiele osób, które chcą rozwiązać problem, Twoja prośba znajduje się w kolejce.
Po kilku sekundach rozwiązanie pojawi się poniżej.
Proszę czekać sekunda...

Jeśli ty zauważył błąd w rozwiązaniu, to możesz napisać o tym w Formularzu Opinii .
Nie zapomnij wskaż, które zadanie ty decydujesz co wpisz w pola.

Nasze gry, puzzle, emulatory:

Trochę teorii.

Twierdzenie sinus

Twierdzenie

Boki trójkąta są proporcjonalne do sinusów przeciwległych kątów:
$$ \frac(a)(\sin A) = \frac(b)(\sin B) = \frac(c)(\sin C) $$

Twierdzenie cosinus

Twierdzenie
Niech w trójkącie ABC AB = c, BC = a, CA = b. Następnie
Kwadrat boku trójkąta jest równy sumie kwadratów pozostałych dwóch boków minus dwukrotny iloczyn tych boków razy cosinus kąta między nimi.
$$ a^2 = b^2+c^2-2ba \cos A $$

Rozwiązywanie trójkątów

Rozwiązaniem trójkąta jest znalezienie wszystkich jego sześciu elementów (tj. trzech boków i trzech kątów) przez dowolne trzy dane elementy definiujące trójkąt.

Rozważ trzy problemy związane z rozwiązaniem trójkąta. W tym przypadku zastosujemy następujące oznaczenie boków trójkąta ABC: AB = c, BC = a, CA = b.

Rozwiązanie trójkąta, mając dane dwa boki i kąt między nimi

Biorąc pod uwagę: \(a, b, \angle C \). Znajdź \(c, \angle A, \angle B \)

Rozwiązanie
1. Z prawa cosinusów znajdujemy \(c\):

$$ c = \sqrt( a^2+b^2-2ab \cos C ) $$ 2. Korzystając z twierdzenia o cosinusie mamy:
$$ \cos A = \frac( b^2+c^2-a^2 )(2bc) $$

3. \(\kąt B = 180^\circ -\kąt A -\kąt C \)

Rozwiązanie trójkąta, mając dany bok i przyległe kąty

Dane: \(a, \angle B, \angle C \). Znajdź \(\kąt A, b, c \)

Rozwiązanie
1. \(\kąt A = 180^\circ -\kąt B -\kąt C \)

2. Korzystając z twierdzenia o sinusie, obliczamy b i c:
$$ b = a \frac(\sin B)(\sin A), \quad c = a \frac(\sin C)(\sin A) $$

Rozwiązywanie trójkąta o trzech bokach

Biorąc pod uwagę: \(a, b, c\). Znajdź \(\kąt A, \kąt B, \kąt C \)

Rozwiązanie
1. Zgodnie z twierdzeniem cosinus otrzymujemy:
$$ \cos A = \frac(b^2+c^2-a^2)(2bc) $$

Przez \(\cos A \) znajdujemy \(\kąt A \) za pomocą mikrokalkulatora lub z tabeli.

2. Podobnie znajdujemy kąt B.
3. \(\kąt C = 180^\circ -\kąt A -\kąt B \)

Rozwiązywanie trójkąta, mając dane dwa boki i kąt leżący naprzeciwko znanego boku

Biorąc pod uwagę: \(a, b, \angle A \). Znajdź \(c, \angle B, \angle C \)

Rozwiązanie
1. Z twierdzenia sinusoidalnego znajdujemy \(\sin B \) otrzymujemy:
$$ \frac(a)(\sin A) = \frac(b)(\sin B) \Rightarrow \sin B = \frac(b)(a) \cdot \sin A $$

Wprowadźmy zapis: \(D = \frac(b)(a) \cdot \sin A \). W zależności od liczby D możliwe są następujące przypadki:
Jeśli D > 1, taki trójkąt nie istnieje, ponieważ \(\sin B \) nie może być większe niż 1
Jeśli D = 1, istnieje unikalny \(\angle B: \quad \sin B = 1 \Rightarrow \angle B = 90^\circ \)
Jeśli D Jeśli D 2. \(\kąt C = 180^\circ -\kąt A -\kąt B \)

3. Korzystając z twierdzenia sinusoidalnego, obliczamy bok c:
$$ c = a \frac(\sin C)(\sin A) $$

Książki (podręczniki) Streszczenia jednolitego egzaminu państwowego i testów OGE online Gry, łamigłówki Wykresy funkcji Słownik pisowni języka rosyjskiego Słownik slangu młodzieżowego Katalog szkół rosyjskich Katalog szkół średnich w Rosji Katalog rosyjskich uniwersytetów Lista zadań

W geometrii często pojawiają się problemy związane z bokami trójkątów. Na przykład często konieczne jest znalezienie boku trójkąta, jeśli znane są pozostałe dwa.

Trójkąty są równoramienne, równoboczne i równoboczne. Ze wszystkich odmian na pierwszy przykład wybierzemy prostokątny (w takim trójkącie jeden z kątów wynosi 90 °, sąsiadujące z nim boki nazywane są nogami, a trzecia to przeciwprostokątna).

Szybka nawigacja po artykułach

Długość boków trójkąta prostokątnego

Rozwiązanie problemu wynika z twierdzenia wielkiego matematyka Pitagorasa. Mówi, że suma kwadratów przyprostokątnych trójkąta prostokątnego jest równa kwadratowi jego przeciwprostokątnej: a²+b²=c²

• Znajdź kwadrat długości nogi a;
• Znajdź kwadrat nogi b;
• Składamy je razem;
• Z uzyskanego wyniku wyodrębniamy pierwiastek drugiego stopnia.

Przykład: a=4, b=3, c=?

• a²=4²=16;
• b²=3²=9;
• 16+9=25;
• √25=5. Oznacza to, że długość przeciwprostokątnej tego trójkąta wynosi 5.

Jeśli trójkąt nie ma kąta prostego, długości obu boków nie są wystarczające. Wymaga to trzeciego parametru: może to być kąt, wysokość, powierzchnia trójkąta, promień wpisanego w niego koła itp.

Jeśli obwód jest znany

W tym przypadku zadanie jest jeszcze łatwiejsze. Obwód (P) jest sumą wszystkich boków trójkąta: P=a+b+c. Zatem rozwiązując proste równanie matematyczne, otrzymujemy wynik.

Przykład: P=18, a=7, b=6, c=?

1) Rozwiązujemy równanie, przenosząc wszystkie znane parametry na jedną stronę znaku równości:

2) Zastąp zamiast nich wartości i oblicz trzeci bok:

c=18-7-6=5, łącznie: trzeci bok trójkąta wynosi 5.

Jeśli kąt jest znany

Aby obliczyć trzeci bok trójkąta, biorąc pod uwagę kąt i pozostałe dwa boki, rozwiązanie sprowadza się do obliczenia równania trygonometrycznego. Znając związek boków trójkąta i sinus kąta, łatwo jest obliczyć trzeci bok. Aby to zrobić, musisz podnieść obie strony do kwadratu i dodać ich wyniki do siebie. Następnie odejmij od otrzymanego iloczynu boków pomnożony przez cosinus kąta: C=√(a²+b²-a*b*cosα)

Jeśli okolica jest znana

W tym przypadku jedna formuła nie wystarczy.

1) Najpierw obliczamy sin γ, wyrażając go ze wzoru na pole trójkąta:

grzech γ= 2S/(a*b)

2) Korzystając z poniższego wzoru, obliczamy cosinus tego samego kąta:

sin² α + cos² α=1

cos α=√(1 - sin² α)=√(1- (2S/(a*b))²)

3) I znowu używamy twierdzenia o sinusie:

C=√((a²+b²)-a*b*cosα)

C=√((a²+b²)-a*b*√(1- (S/(a*b))²))

Podstawiając wartości zmiennych do tego równania, otrzymujemy odpowiedź na zadanie.