Tiesinė regresija. Naudojant mažiausių kvadratų metodą (LSM). Eksperimentinių duomenų aproksimacija. Mažiausių kvadratų metodas Mažiausių kvadratų metodas esant 3 kintamiesiems

Kuris randa plačiausią pritaikymą įvairiose mokslo ir praktikos srityse. Tai gali būti fizika, chemija, biologija, ekonomika, sociologija, psichologija ir t. t. ir taip toliau. Likimo valia man dažnai tenka susidurti su ekonomika, todėl šiandien pasirūpinsiu jums bilietu į nuostabią šalį, vadinamą Ekonometrija=) ... Kaip tu to nenori?! Ten labai gerai – tereikia apsispręsti! …Tačiau tikriausiai tikrai norite išmokti spręsti problemas mažiausių kvadratų. O ypač stropūs skaitytojai išmoks juos išspręsti ne tik tiksliai, bet ir LABAI GREITAI ;-) Bet pirmiausia bendras problemos išdėstymas+ susijęs pavyzdys:

Tegul rodikliai tiriami kokioje nors dalykinėje srityje, kuri turi kiekybinę išraišką. Tuo pačiu yra pagrindo manyti, kad rodiklis priklauso nuo rodiklio. Ši prielaida gali būti ir mokslinė hipotezė, ir pagrįsta elementariu sveiku protu. Tačiau palikime mokslą nuošalyje ir tyrinėkime patrauklesnes sritis – būtent bakalėjos parduotuves. Pažymėti taip:

– maisto prekių parduotuvės prekybos plotas, kv.m,
- maisto prekių parduotuvės metinė apyvarta, milijonai rublių.

Visiškai aišku, kad kuo didesnis parduotuvės plotas, tuo daugeliu atvejų didesnė jos apyvarta.

Tarkime, atlikę stebėjimus / eksperimentus / skaičiavimus / šokius su tamburinu, turime skaitinius duomenis:

Su bakalėjos parduotuvėmis, manau, viskas aišku: - tai 1-os parduotuvės plotas, - jos metinė apyvarta, - 2-osios parduotuvės plotas, - jos metinė apyvarta ir t.t. Beje, prieiti prie įslaptintos medžiagos visai nebūtina – gana tikslų apyvartos įvertinimą galima gauti naudojant matematinė statistika. Tačiau nesiblaškykite, komercinio šnipinėjimo kursas jau mokamas =)

Lentelinius duomenis taip pat galima rašyti taškų forma ir pavaizduoti mums įprastu būdu. Dekarto sistema .

Atsakykime į svarbų klausimą: kiek balų reikia kokybiniam tyrimui?

Kuo didesnis, tuo geriau. Minimalus leistinas rinkinys susideda iš 5-6 balų. Be to, esant nedideliam duomenų kiekiui, „nenormalūs“ rezultatai neturėtų būti įtraukti į imtį. Taigi, pavyzdžiui, maža elitinė parduotuvė gali padėti daug daugiau nei „jų kolegos“ ir taip iškreipti bendrą modelį, kurį reikia rasti!

Jei tai gana paprasta, turime pasirinkti funkciją, tvarkaraštį kuri eina kuo arčiau taškų . Tokia funkcija vadinama apytikslis (apytikslis - apytikslis) arba teorinė funkcija . Paprastai tariant, čia iš karto atsiranda akivaizdus „apsimetiklis“ - aukšto laipsnio daugianario, kurio grafikas eina per VISUS taškus. Tačiau ši parinktis yra sudėtinga ir dažnai tiesiog neteisinga. (nes diagrama visą laiką „vėjo“ ir prastai atspindės pagrindinę tendenciją).

Taigi norima funkcija turi būti pakankamai paprasta ir tuo pačiu adekvačiai atspindėti priklausomybę. Kaip jau galima spėti, vienas iš būdų rasti tokias funkcijas vadinamas mažiausių kvadratų. Pirmiausia bendrai panagrinėkime jo esmę. Tegul kuri nors funkcija apytiksliai atitinka eksperimentinius duomenis:


Kaip įvertinti šio aproksimavimo tikslumą? Taip pat apskaičiuokime skirtumus (nukrypimus) tarp eksperimentinių ir funkcinių verčių (mes studijuojame piešinį). Pirma mintis, kuri ateina į galvą, yra įvertinti, kokia suma yra didelė, tačiau problema ta, kad skirtumai gali būti neigiami. (Pavyzdžiui, ) ir nukrypimai dėl tokio sumavimo panaikins vienas kitą. Todėl, kaip aproksimacijos tikslumo įvertinimą, ji siūlo paimti sumą moduliai nukrypimai:

arba sulankstyta forma: (staiga, kas nežino: yra sumos piktograma ir yra pagalbinis kintamasis - "skaitiklis", kuris užima reikšmes nuo 1 iki ).

Aproksimuodami eksperimentinius taškus su skirtingomis funkcijomis, gausime skirtingas reikšmes ir akivaizdu, kad kur ši suma mažesnė, ta funkcija tikslesnė.

Toks metodas egzistuoja ir vadinamas mažiausio modulio metodas. Tačiau praktikoje jis tapo daug plačiau paplitęs. mažiausių kvadratų metodas, kuriame galimos neigiamos reikšmės pašalinamos ne pagal modulį, o padalijus nuokrypius kvadratu:

, po kurio pastangos nukreipiamos į tokios funkcijos parinkimą, kad kvadratinių nuokrypių suma buvo kuo mažesnis. Tiesą sakant, iš čia ir kilo metodo pavadinimas.

Ir dabar grįžtame prie kito svarbaus dalyko: kaip minėta aukščiau, pasirinkta funkcija turėtų būti gana paprasta, tačiau tokių funkcijų taip pat yra daug: linijinis , hiperbolinis, eksponentinis, logaritminis, kvadratinis ir tt Ir, žinoma, čia iš karto norėčiau „sumažinti veiklos sritį“. Kokią funkcijų klasę pasirinkti tyrimui? Primityvi, bet efektyvi technika:

- Lengviausias būdas traukti taškus brėžinyje ir išanalizuokite jų vietą. Jei jie linkę būti tiesia linija, tuomet turėtumėte ieškoti tiesios linijos lygtis su optimaliomis reikšmėmis ir . Kitaip tariant, užduotis yra rasti TOKIUS koeficientus – kad kvadratinių nuokrypių suma būtų mažiausia.

Jei taškai yra, pavyzdžiui, išilgai hiperbolė, tada aišku, kad tiesinė funkcija duos prastą aproksimaciją. Šiuo atveju mes ieškome „palankiausių“ hiperbolės lygties koeficientų - tie, kurie duoda mažiausią kvadratų sumą .

Dabar atkreipkite dėmesį, kad abiem atvejais kalbame apie dviejų kintamųjų funkcijos, kurio argumentai yra ieškojo priklausomybės parinkčių:

O iš esmės reikia išspręsti standartinę problemą – surasti mažiausiai dviejų kintamųjų funkcijos.

Prisiminkite mūsų pavyzdį: tarkime, kad „parduotuvės“ taškai paprastai yra tiesioje linijoje ir yra pagrindo manyti, kad yra tiesinė priklausomybė apyvartos iš prekybos zonos. Raskime TOKIUS koeficientus "a" ir "būti", kad kvadratinių nuokrypių suma buvo mažiausias. Viskas kaip įprasta – pirma I eilės daliniai vediniai. Pagal tiesiškumo taisyklė galite atskirti tiesiai po sumos piktograma:

Jei norite šią informaciją panaudoti rašiniui ar kursiniam darbui, būsiu labai dėkingas už nuorodą šaltinių sąraše, tokių detalių skaičiavimų niekur nerasite:

Sukurkime standartinę sistemą:

Kiekvieną lygtį sumažiname „dviem“ ir, be to, „išskaidome“ sumas:

Pastaba : savarankiškai analizuokite, kodėl „a“ ir „be“ galima išimti iš sumos piktogramos. Beje, formaliai tai galima padaryti su suma

Perrašykime sistemą „taikoma“ forma:

po kurio pradedamas brėžti mūsų problemos sprendimo algoritmas:

Ar žinome taškų koordinates? Mes žinome. Sumos ar galime rasti? Lengvai. Mes sudarome paprasčiausią dviejų tiesinių lygčių su dviem nežinomaisiais sistema(„a“ ir „beh“). Mes išsprendžiame sistemą, pvz. Cramerio metodas, todėl susidaro stacionarus taškas . Tikrinama pakankama sąlyga ekstremumui, galime patikrinti, ar šiuo metu funkcija pasiekia tiksliai minimumas. Patikrinimas yra susijęs su papildomais skaičiavimais, todėl paliksime jį užkulisiuose. (jei reikia, trūkstamą kadrą galima peržiūrėti). Padarome galutinę išvadą:

Funkcija geriausias būdas (bent jau lyginant su bet kuria kita tiesine funkcija) priartina eksperimentinius taškus . Grubiai tariant, jo grafikas eina kuo arčiau šių taškų. Pagal tradiciją ekonometrija taip pat vadinama gauta aproksimacinė funkcija suporuota tiesinės regresijos lygtis .

Nagrinėjama problema turi didelę praktinę reikšmę. Mūsų pavyzdyje – lygtis leidžia numatyti, kokia apyvarta ("yig") bus parduotuvėje su vienokia ar kitokia pardavimo ploto verte (viena ar kita "x" reikšmė). Taip, gauta prognozė bus tik prognozė, tačiau daugeliu atvejų ji pasirodys gana tiksli.

Išanalizuosiu tik vieną problemą su „tikraisiais“ skaičiais, nes joje nėra jokių sunkumų - visi skaičiavimai yra 7-8 klasių mokyklos programos lygiu. 95 procentais atvejų jūsų bus paprašyta rasti tiesiog tiesinę funkciją, tačiau pačioje straipsnio pabaigoje parodysiu, kad optimalios hiperbolės, eksponento ir kai kurių kitų funkcijų lygtis nėra sunkiau rasti.

Tiesą sakant, belieka išdalinti žadėtas gėrybes – kad išmoktumėte tokius pavyzdžius išspręsti ne tik tiksliai, bet ir greitai. Atidžiai studijuojame standartą:

Užduotis

Ištyrus ryšį tarp dviejų rodiklių, gautos šios skaičių poros:

Naudodami mažiausių kvadratų metodą, raskite tiesinę funkciją, kuri geriausiai atitinka empirinę funkciją (Patyręs) duomenis. Padarykite brėžinį, kuriame Dekarto stačiakampėje koordinačių sistemoje nubraižykite eksperimentinius taškus ir aproksimacinės funkcijos grafiką . Raskite kvadratinių nuokrypių tarp empirinių ir teorinių verčių sumą. Sužinokite, ar funkcija geresnė (pagal mažiausiųjų kvadratų metodą) apytiksliai eksperimentiniai taškai.

Atkreipkite dėmesį, kad „x“ reikšmės yra natūralios vertybės, ir tai turi būdingą prasmingą reikšmę, apie kurią pakalbėsiu šiek tiek vėliau; bet jie, žinoma, gali būti trupmeniniai. Be to, atsižvelgiant į konkrečios užduoties turinį, „X“ ir „G“ reikšmės gali būti visiškai arba iš dalies neigiamos. Na, mes gavome „beveidę“ užduotį, ir mes ją pradedame sprendimas:

Kaip sistemos sprendimą randame optimalios funkcijos koeficientus:

Siekiant kompaktiškesnio žymėjimo, kintamojo „skaitiklis“ galima praleisti, nes jau aišku, kad sumavimas atliekamas nuo 1 iki .

Patogiau reikiamas sumas apskaičiuoti lentelės forma:


Skaičiavimai gali būti atliekami naudojant mikroskaičiuotuvą, tačiau daug geriau naudoti „Excel“ - tiek greičiau, tiek be klaidų; žiūrėkite trumpą vaizdo įrašą:

Taigi gauname štai ką sistema:

Čia galite padauginti antrą lygtį iš 3 ir iš 1-osios lygties atimkite 2-ąjį dėmenį. Bet tai yra sėkmė – praktikoje sistemos dažnai nėra padovanotos, ir tokiais atvejais tai gelbsti Cramerio metodas:
, todėl sistema turi unikalų sprendimą.

Patikrinkime. Suprantu, kad nenoriu, bet kam praleisti klaidas ten, kur jų tikrai negalima praleisti? Rastą sprendimą pakeiskite kiekvienos sistemos lygties kairėje pusėje:

Gaunamos tinkamos atitinkamų lygčių dalys, o tai reiškia, kad sistema išspręsta teisingai.

Taigi norima aproksimacinė funkcija: – nuo visos tiesinės funkcijos eksperimentinius duomenis geriausiai atitinka jis.

Skirtingai nei tiesiai parduotuvės apyvartos priklausomybė nuo jos ploto, nustatyta priklausomybė yra atvirkščiai (principas "kuo daugiau - tuo mažiau"), ir šį faktą iš karto atskleidžia neigiamas kampo koeficientas. Funkcija informuoja, kad padidėjus tam tikram rodikliui 1 vienetu, priklausomo rodiklio reikšmė mažėja vidutinis 0,65 vnt. Kaip sakoma, kuo didesnė grikių kaina, tuo mažiau parduodama.

Norėdami nubraižyti apytikslę funkciją, randame dvi jos reikšmes:

ir atlikite piešinį:


Sukonstruota linija vadinama tendencijų linija (būtent linijinė tendencijos linija, t. y. bendruoju atveju tendencija nebūtinai yra tiesi linija). Visi žino posakį „būti tendencijoje“, ir manau, kad šiam terminui papildomų komentarų nereikia.

Apskaičiuokite kvadratinių nuokrypių sumą tarp empirinių ir teorinių vertybių. Geometriškai tai yra „raudonųjų“ atkarpų ilgių kvadratų suma (iš kurių du tokie maži, kad net nesimatote).

Apibendrinkime skaičiavimus lentelėje:


Jie vėl gali būti atliekami rankiniu būdu, tik tuo atveju, jei pateiksiu 1 punkto pavyzdį:

bet daug efektyviau daryti jau žinomu būdu:

Pakartokime: kokia rezultato prasmė? Iš visos tiesinės funkcijos funkcija eksponentas yra mažiausias, tai yra, jis yra geriausias aproksimacija savo šeimoje. Ir čia, beje, galutinis problemos klausimas neatsitiktinis: o jeigu siūloma eksponentinė funkcija ar bus geriau apytiksliai eksperimento taškus?

Raskime atitinkamą kvadratinių nuokrypių sumą – kad juos atskirčiau, pažymėsiu raide „epsilon“. Technika lygiai tokia pati:


Ir dar kartą kiekvienam gaisro skaičiavimui 1 taškui:

Programoje „Excel“ naudojame standartinę funkciją EXP (Sintaksę galite rasti „Excel“ žinyne).

Išvada: , todėl eksponentinė funkcija eksperimentinius taškus aproksimuoja blogiau nei tiesė .

Bet čia reikia pažymėti, kad „blogiau“ yra dar nereiškia, kas blogai. Dabar sukūriau šios eksponentinės funkcijos grafiką – ji taip pat praeina arti taškų - tiek, kad be analitinio tyrimo sunku pasakyti, kuri funkcija tikslesnė.

Tai užbaigia sprendimą, ir aš grįžtu prie ginčo gamtinių vertybių klausimo. Įvairiuose tyrimuose, kaip taisyklė, ekonominiai ar sociologiniai mėnesiai, metai ar kiti vienodi laiko intervalai numeruojami natūraliu „X“. Apsvarstykite, pavyzdžiui, tokią problemą.

Pavyzdys.

Eksperimentiniai duomenys apie kintamųjų reikšmes X Ir adresu pateikiami lentelėje.

Dėl jų išlyginimo funkcija

Naudojant mažiausių kvadratų metodas, apytiksliai apskaičiuokite šiuos duomenis tiesine priklausomybe y=kirvis+b(raskite parametrus A Ir b). Sužinokite, kuri iš dviejų eilučių yra geresnė (mažiausių kvadratų metodo prasme) sulygina eksperimentinius duomenis. Padarykite piešinį.

Mažiausių kvadratų metodo (LSM) esmė.

Užduotis yra rasti tiesinės priklausomybės koeficientus, kuriems yra dviejų kintamųjų funkcija A Ir b užima mažiausią vertę. Tai yra, atsižvelgiant į duomenis A Ir b eksperimentinių duomenų nuokrypių kvadratu suma nuo rastos tiesės bus mažiausia. Tai yra mažiausių kvadratų metodo esmė.

Taigi pavyzdžio sprendimas sumažinamas iki dviejų kintamųjų funkcijos ekstremumo radimo.

Koeficientų radimo formulių išvedimas.

Sudaroma ir išsprendžiama dviejų lygčių su dviem nežinomaisiais sistema. Funkcijų dalinių išvestinių radimas pagal kintamuosius A Ir b, šias išvestines prilyginsime nuliui.

Gautą lygčių sistemą išsprendžiame bet kokiu metodu (pvz pakeitimo metodas arba Cramerio metodas) ir gauti koeficientų radimo formules naudojant mažiausių kvadratų metodą (LSM).

Su duomenimis A Ir b funkcija užima mažiausią vertę. Pateikiamas šio fakto įrodymas po tekstu puslapio pabaigoje.

Tai visas mažiausių kvadratų metodas. Parametrų radimo formulė a yra sumos ,, ir parametras n- eksperimentinių duomenų kiekis. Šių sumų vertes rekomenduojama skaičiuoti atskirai. Koeficientas b rasta po skaičiavimo a.

Atėjo laikas prisiminti originalų pavyzdį.

Sprendimas.

Mūsų pavyzdyje n=5. Lentelę užpildome, kad būtų patogiau apskaičiuoti sumas, kurios yra įtrauktos į reikalingų koeficientų formules.

Ketvirtoje lentelės eilutėje esančios reikšmės gaunamos 2-os eilutės reikšmes padauginus iš 3-osios kiekvieno skaičiaus reikšmių i.

Penktosios lentelės eilutės reikšmės gaunamos 2-os eilutės reikšmes padalijus į kvadratą kiekvienam skaičiui i.

Paskutinio lentelės stulpelio reikšmės yra reikšmių visose eilutėse sumos.

Koeficientams rasti naudojame mažiausių kvadratų metodo formules A Ir b. Juose pakeičiame atitinkamas vertes iš paskutinio lentelės stulpelio:

Vadinasi, y=0,165x+2,184 yra norima apytikslė tiesi linija.

Belieka išsiaiškinti, kuri iš eilučių y=0,165x+2,184 arba geriau apytiksliai atitinka pirminius duomenis, t. y. atlikti įvertinimą naudojant mažiausių kvadratų metodą.

Mažiausių kvadratų metodo paklaidos įvertinimas.

Norėdami tai padaryti, turite apskaičiuoti pirminių duomenų kvadratinių nuokrypių nuo šių eilučių sumas Ir , mažesnė reikšmė atitinka liniją, kuri geriau apytiksliai atitinka pradinius duomenis mažiausiųjų kvadratų metodu.

Nuo tada linija y=0,165x+2,184 geriau apytiksliai atitinka pradinius duomenis.

Mažiausių kvadratų metodo (LSM) grafinė iliustracija.

Viskas puikiai atrodo diagramose. Raudona linija yra rasta linija y=0,165x+2,184, mėlyna linija yra , rožiniai taškai yra pirminiai duomenys.

Praktikoje modeliuojant įvairius procesus – ypač ekonominius, fizinius, techninius, socialinius – plačiai naudojamas vienas ar kitas apytikslių funkcijų verčių apskaičiavimo iš jų žinomų verčių tam tikruose fiksuotuose taškuose metodas.

Dažnai iškyla tokio pobūdžio funkcijų suderinimo problemos:

sudarant apytiksles formules, skirtas apskaičiuoti tiriamo proceso būdingų dydžių vertes pagal lentelės duomenis, gautus eksperimento metu;

skaitiniame integravime, diferencijavime, sprendžiant diferencialines lygtis ir kt.;

jei reikia apskaičiuoti funkcijų reikšmes nagrinėjamo intervalo tarpiniuose taškuose;

nustatant būdingų proceso dydžių vertes už nagrinėjamo intervalo ribų, ypač prognozuojant.

Jei, norint sumodeliuoti tam tikrą procesą, nurodytą lentelėje, sukonstruojama funkcija, kuri apytiksliai apibūdina šį procesą remiantis mažiausių kvadratų metodu, ji bus vadinama aproksimuojančia funkcija (regresija), o pati aproksimuojamųjų funkcijų konstravimo užduotis. būti apytikslė problema.

Šiame straipsnyje aptariamos MS Excel paketo galimybės tokioms problemoms spręsti, be to, pateikiami lentelėje pateiktų funkcijų (kurios yra regresinės analizės pagrindas) regresijų konstravimo (sukūrimo) metodai.

Yra dvi regresijų kūrimo „Excel“ parinktys.

Pasirinktų regresijų (tendencijų linijų) įtraukimas į diagramą, sudarytą remiantis tiriamos proceso charakteristikos duomenų lentele (galima tik tuo atveju, jei diagrama yra sudaryta);

Naudojant įmontuotas statistines Excel darbalapio funkcijas, kurios leidžia gauti regresijas (tendencijos linijas) tiesiai iš šaltinio duomenų lentelės.

Tendencijų linijų įtraukimas į diagramą

Duomenų, apibūdinančių tam tikrą procesą ir pavaizduotą diagrama, lentelei „Excel“ yra veiksmingas regresinės analizės įrankis, leidžiantis:

sukurti remdamiesi mažiausių kvadratų metodu ir pridėti prie diagramos penkių tipų regresijas, kurios skirtingu tikslumu modeliuoja tiriamą procesą;

į diagramą įtraukti sudarytos regresijos lygtį;

nustatyti pasirinktos regresijos atitikties diagramoje rodomiems duomenims laipsnį.

Remiantis diagramos duomenimis, „Excel“ leidžia gauti tiesinės, daugianario, logaritminės, eksponentinės, eksponentinės regresijos tipus, kurie pateikiami pagal lygtį:

y = y(x)

kur x yra nepriklausomas kintamasis, kuris dažnai paima natūraliųjų skaičių sekos reikšmes (1; 2; 3; ...) ir sukuria, pavyzdžiui, tiriamo proceso laiko atgalinį skaičiavimą (charakteristikos) .

1 . Tiesinė regresija puikiai tinka modeliuojant ypatybes, kurios didėja arba mažėja pastoviu greičiu. Tai paprasčiausias tiriamo proceso modelis. Jis pastatytas pagal lygtį:

y=mx+b

čia m yra tiesinės regresijos nuolydžio x ašies liestinė; b - tiesinės regresijos susikirtimo su y ašimi taško koordinatė.

2 . Polinominė tendencijų linija yra naudinga apibūdinant charakteristikas, turinčias keletą skirtingų kraštutinumų (aukštų ir žemiausių). Dauginamo laipsnio pasirinkimą lemia tiriamos charakteristikos ekstremalių skaičius. Taigi antrojo laipsnio daugianario gali gerai apibūdinti procesą, kuris turi tik vieną maksimumą arba minimumą; trečiojo laipsnio daugianario - ne daugiau kaip du ekstremumai; ketvirtojo laipsnio daugianario – ne daugiau kaip trys ekstremumai ir kt.

Šiuo atveju tendencijos linija sudaroma pagal lygtį:

y = c0 + c1x + c2x2 + c3x3 + c4x4 + c5x5 + c6x6

kur koeficientai c0, c1, c2,...c6 yra konstantos, kurių reikšmės nustatomos statybos metu.

3 . Logaritminė tendencijos linija sėkmingai naudojama modeliuojant charakteristikas, kurių reikšmės iš pradžių greitai keičiasi, o vėliau palaipsniui stabilizuojasi.

y = c ln(x) + b

4 . Galios tendencijos linija duoda gerų rezultatų, jei tiriamos priklausomybės reikšmės pasižymi nuolatiniu augimo greičio pokyčiu. Tokios priklausomybės pavyzdys gali būti tolygiai pagreitinto automobilio judėjimo grafikas. Jei duomenyse yra nulio arba neigiamos reikšmės, negalite naudoti galios tendencijos linijos.

Jis pastatytas pagal lygtį:

y = cxb

kur koeficientai b, c yra konstantos.

5 . Eksponentinė tendencijos linija turėtų būti naudojama, jei duomenų kitimo greitis nuolat didėja. Duomenims, kuriuose yra nulio arba neigiamos reikšmės, toks apytikslis nustatymas taip pat netaikomas.

Jis pastatytas pagal lygtį:

y=cebx

kur koeficientai b, c yra konstantos.

Pasirinkus tendencijos liniją, Excel automatiškai apskaičiuoja R2 reikšmę, kuri apibūdina aproksimacijos tikslumą: kuo R2 reikšmė arčiau vienos, tuo tendencijos linija patikimiau aproksimuoja tiriamą procesą. Jei reikia, diagramoje visada gali būti rodoma R2 reikšmė.

Nustatoma pagal formulę:

Norėdami pridėti tendencijų liniją prie duomenų sekos:

suaktyvinkite diagramą, sukurtą remiantis duomenų serijomis, t. y. spustelėkite diagramos srityje. Diagramos elementas atsiras pagrindiniame meniu;

spustelėjus šį elementą, ekrane pasirodys meniu, kuriame reikia pasirinkti komandą Add trend line.

Tie patys veiksmai lengvai atliekami, jei užveskite pelės žymeklį virš grafiko, atitinkančio vieną iš duomenų eilučių, ir spustelėsite dešinįjį pelės klavišą; pasirodžiusiame kontekstiniame meniu pasirinkite komandą Pridėti tendencijos liniją. Ekrane atsidarys dialogo langas Trendline, atidarius skirtuką Tipas (1 pav.).

Po to jums reikia:

Skirtuke Tipas pasirinkite reikiamą tendencijos linijos tipą (pagal numatytuosius nustatymus pasirinkta linijinė). Polinomo tipui lauke Laipsnis nurodykite pasirinkto daugianario laipsnį.

1 . Lauke Built on Series pateikiamos visos atitinkamos diagramos duomenų serijos. Norėdami pridėti tendencijų liniją prie konkrečios duomenų sekos, pasirinkite jos pavadinimą lauke Sukurta serija.

Jei reikia, eidami į skirtuką Parametrai (2 pav.), galite nustatyti šiuos tendencijos linijos parametrus:

pakeiskite tendencijos linijos pavadinimą lauke Apytikslės (išlygintos) kreivės pavadinimas.

lauke Prognozė nustatykite prognozei skirtų laikotarpių skaičių (pirmyn arba atgal);

diagramos srityje rodyti tendencijos linijos lygtį, kuriai reikia įjungti žymės langelį rodyti lygtį diagramoje;

diagramos srityje parodykite aproksimacijos patikimumo R2 reikšmę, kuriai reikia įjungti žymimąjį laukelį, į diagramą įdėkite aproksimacijos patikimumo reikšmę (R^2);

nustatykite tendencijos linijos susikirtimo su Y ašimi tašką, kuriame turėtumėte įjungti žymės langelį Kreivės susikirtimas su Y ašimi taške;

spustelėkite mygtuką Gerai, kad uždarytumėte dialogo langą.

Yra trys būdai, kaip pradėti redaguoti jau sukurtą tendencijų liniją:

naudokite komandą Selected trend line iš meniu Formatas, pasirinkę tendencijos liniją;

kontekstiniame meniu pasirinkite komandą Format Trendline, kuri iškviečiama dešiniuoju pelės klavišu spustelėjus tendencijos liniją;

dukart spustelėdami tendencijos liniją.

Ekrane pasirodys dialogo langas Format Trendline (3 pav.), kuriame yra trys skirtukai: View, Type, Parameters, o paskutinių dviejų turinys visiškai sutampa su panašiais Trendline dialogo lango skirtukais (1-2 pav.). ). Skirtuke Rodinys galite nustatyti linijos tipą, spalvą ir storį.

Norėdami ištrinti jau sukurtą tendencijos liniją, pasirinkite norimą ištrinti tendencijos liniją ir paspauskite klavišą Delete.

Svarstomos regresinės analizės priemonės pranašumai yra šie:

santykinis tendencijų linijos braižymo diagramose paprastumas nesukuriant jai duomenų lentelės;

gana platus siūlomų tendencijų linijų tipų sąrašas, o šis sąrašas apima dažniausiai naudojamus regresijos tipus;

galimybė numatyti tiriamo proceso elgesį savavališkam (sveiko proto) žingsnių skaičiui pirmyn, taip pat atgal;

galimybė gauti tendencijos linijos lygtį analitine forma;

galimybė, jei reikia, gauti aproksimacijos patikimumo įvertinimą.

Trūkumai apima šiuos dalykus:

tendencijos linijos konstravimas atliekamas tik tuo atveju, jei yra diagrama, sudaryta remiantis duomenų serija;

tiriamos charakteristikos duomenų eilučių generavimo procesas, remiantis jai gautomis tendencijų linijos lygtimis, yra šiek tiek netvarkingas: norimos regresijos lygtys atnaujinamos su kiekvienu pradinių duomenų sekos verčių pasikeitimu, bet tik diagramos srityje. , o duomenų eilutės, sudarytos remiantis senąja tiesių lygties tendencija, išlieka nepakitusios;

„PivotChart“ ataskaitose pakeitus diagramos rodinį arba susietą „PivotTable“ ataskaitą, esamos tendencijų linijos neišsaugomos, o tai reiškia, kad prieš braižydami tendencijų linijas ar kitaip formatuodami „PivotChart“ ataskaitą, turite įsitikinti, kad ataskaitos išdėstymas atitinka jūsų reikalavimus.

Tendencijos linijas galima pridėti prie duomenų serijų, pateiktų diagramose, tokiose kaip diagrama, histograma, plokščios nenormalizuotos srities diagramos, juostos, sklaidos, burbulinės ir akcijų diagramos.

Negalite pridėti tendencijų linijų prie 3D, standartinių, radarų, skritulinių ir spurgų diagramų duomenų serijų.

Integruotų „Excel“ funkcijų naudojimas

„Excel“ taip pat teikia regresinės analizės įrankį tendencijų linijoms braižyti už diagramos srities. Šiuo tikslu galima naudoti daugybę statistinių darbalapio funkcijų, tačiau visos jos leidžia kurti tik tiesinę arba eksponentinę regresiją.

„Excel“ turi keletą funkcijų, skirtų tiesinei regresijai kurti, visų pirma:

TENDENCIJA;

• ŠLAIDAS ir PJOVYTI.

Taip pat kelios funkcijos, skirtos eksponentinei tendencijų linijai sudaryti, ypač:

LGRFPapytiksliai.

Reikėtų pažymėti, kad regresijų konstravimo metodai naudojant TREND ir GROWTH funkcijas yra praktiškai vienodi. Tą patį galima pasakyti ir apie funkcijų porą LINEST ir LGRFPRIBL. Šioms keturioms funkcijoms, kuriant reikšmių lentelę, naudojamos „Excel“ funkcijos, tokios kaip masyvo formulės, kurios šiek tiek apsunkina regresijų kūrimo procesą. Taip pat pažymime, kad tiesinės regresijos konstravimą, mūsų nuomone, lengviausia įgyvendinti naudojant SLOPE ir INTERCEPT funkcijas, kur pirmoji iš jų nustato tiesinės regresijos nuolydį, o antroji – regresijos nupjautą atkarpą. y ašyje.

Integruoto funkcijų įrankio regresinei analizei pranašumai yra šie:

gana paprastas to paties tipo tiriamos charakteristikos duomenų eilučių formavimo procesas visoms integruotoms statistinėms funkcijoms, kurios nustato tendencijų linijas;

standartinė tendencijų linijų, pagrįstų sugeneruotomis duomenų eilutėmis, sudarymo technika;

gebėjimas numatyti tiriamo proceso elgseną reikiamam žingsnių skaičiui pirmyn arba atgal.

Trūkumai yra tai, kad „Excel“ neturi integruotų funkcijų, skirtų kurti kitų (išskyrus tiesines ir eksponencines) tendencijų linijas. Ši aplinkybė dažnai neleidžia pasirinkti pakankamai tikslaus tiriamo proceso modelio, taip pat gauti prognozes, artimas realybei. Be to, naudojant TREND ir GROW funkcijas, tendencijų linijų lygtys nėra žinomos.

Pažymėtina, kad autoriai nekėlė straipsnio tikslo regresinės analizės eigą pateikti įvairaus išsamumo. Jo pagrindinė užduotis – naudojant konkrečius pavyzdžius parodyti Excel paketo galimybes sprendžiant aproksimacijos uždavinius; parodyti, kokius veiksmingus įrankius „Excel“ turi regresijų kūrimui ir prognozavimui; iliustruoja, kaip gana lengvai tokias problemas gali išspręsti net vartotojas, neturintis gilių regresinės analizės žinių.

Konkrečių problemų sprendimo pavyzdžiai

Apsvarstykite konkrečių problemų sprendimą naudodami išvardytus „Excel“ paketo įrankius.

1 užduotis

Su automobilių transporto įmonės 1995-2002 metų pelno duomenų lentele. turite atlikti šiuos veiksmus.

Sukurkite diagramą.

Į diagramą įtraukite tiesines ir daugianario (kvadratinės ir kubinės) tendencijų linijas.

Naudodami tendencijų linijos lygtis, gaukite lentelės duomenis apie įmonės pelną kiekvienai tendencijų linijai 1995–2004 m.

Padarykite įmonės pelno prognozę 2003 ir 2004 metams.

Problemos sprendimas

„Excel“ darbalapio langelių diapazone A4:C11 įvedame darbalapį, parodytą pav. 4.

Pasirinkę langelių diapazoną B4:C11, sudarome diagramą.

Suaktyviname sukonstruotą diagramą ir aukščiau aprašytu būdu pasirinkę trendo linijos tipą dialogo lange Trend Line (žr. 1 pav.), į diagramą pakaitomis pridedame tiesines, kvadratines ir kubines tendencijų linijas. Tame pačiame dialogo lange atidarykite skirtuką Parametrai (žr. 2 pav.), laukelyje Apytikslės (išlygintos) kreivės pavadinimas įveskite pridėtinės tendencijos pavadinimą, o lauke Forecast forward for: periods nustatykite reikšmė 2, nes planuojama prognozuoti pelną dvejiems metams į priekį. Norėdami diagramos srityje rodyti regresijos lygtį ir aproksimacijos patikimumo R2 reikšmę, įjunkite žymės langelius Rodyti lygtį ekrane ir diagramoje įdėkite aproksimacijos patikimumo reikšmę (R^2). Siekiant geresnio vizualinio suvokimo, keičiame nubrėžtų tendencijų linijų tipą, spalvą ir storį, tam naudojame dialogo lango Trend Line Format skirtuką View (žr. 3 pav.). Gauta diagrama su pridėtomis tendencijų linijomis parodyta fig. 5.

Gauti lentelės duomenis apie įmonės pelną kiekvienai tendencijų linijai 1995-2004 m. Naudokime tendencijų linijų lygtis, pateiktas pav. 5. Norėdami tai padaryti, diapazono D3:F3 langeliuose įveskite tekstinę informaciją apie pasirinktos tendencijos linijos tipą: Linijinė tendencija, Kvadratinė tendencija, Kubinė tendencija. Tada langelyje D4 įveskite tiesinės regresijos formulę ir naudodami užpildymo žymeklį nukopijuokite šią formulę su santykinėmis nuorodomis į langelių diapazoną D5:D13. Reikėtų pažymėti, kad kiekvienas langelis su linijinės regresijos formule iš langelių diapazono D4:D13 turi atitinkamą langelį iš diapazono A4:A13 kaip argumentą. Panašiai kvadratinei regresijai užpildomas langelių diapazonas E4:E13, o kubinės regresijos atveju užpildomas ląstelių diapazonas F4:F13. Taigi buvo sudaryta įmonės pelno prognozė 2003 ir 2004 metams. su trimis tendencijomis. Gauta verčių lentelė parodyta fig. 6.

2 užduotis

Sukurkite diagramą.

Į diagramą įtraukite logaritmines, eksponentines ir eksponentines tendencijų linijas.

Išveskite gautų tendencijų linijų lygtis, taip pat kiekvienos iš jų aproksimavimo patikimumo R2 reikšmes.

Naudodami tendencijų linijos lygtis, gaukite lentelės duomenis apie įmonės pelną kiekvienai tendencijų linijai 1995–2002 m.

Naudodami šias tendencijų linijas, sudarykite verslo pelno prognozę 2003 ir 2004 m.

Problemos sprendimas

Vadovaudamiesi 1 uždavinio sprendimo metodika, gauname diagramą su pridėtomis logaritminėmis, eksponentinės ir eksponentinės tendencijų linijomis (7 pav.). Be to, naudodamiesi gautomis tendencijų linijos lygtimis, užpildome įmonės pelno verčių lentelę, įskaitant numatomas 2003 ir 2004 m. (8 pav.).

Ant pav. 5 ir pav. matyti, kad modelis su logaritmine tendencija atitinka mažiausią aproksimacijos patikimumo reikšmę

R2 = 0,8659

Didžiausios R2 reikšmės atitinka modelius su daugianario tendencija: kvadratinis (R2 = 0,9263) ir kubinis (R2 = 0,933).

3 užduotis

Turėdami 1 užduotyje pateiktą automobilių transporto įmonės 1995–2002 m. pelno duomenų lentelę, turite atlikti šiuos veiksmus.

Gaukite linijinių ir eksponentinių tendencijų linijų duomenų eilutes naudodami TREND ir GROW funkcijas.

Naudodamiesi TREND ir GROWTH funkcijomis, sudarykite įmonės pelno prognozę 2003 ir 2004 metams.

Pradiniams duomenims ir gautoms duomenų serijoms sukonstruoti diagramą.

Problemos sprendimas

Pasinaudokime 1 užduoties darbalapiu (žr. 4 pav.). Pradėkime nuo funkcijos TREND:

pasirinkite langelių diapazoną D4:D11, kuris turėtų būti užpildytas funkcijos TREND reikšmėmis, atitinkančiomis žinomus duomenis apie įmonės pelną;

iš meniu Įterpti iškvieskite komandą Funkcija. Pasirodžiusiame dialogo lange Funkcijų vedlys iš Statistikos kategorijos pasirinkite funkciją TREND, tada spustelėkite mygtuką Gerai. Tą pačią operaciją galima atlikti paspaudus standartinės įrankių juostos mygtuką (Funkcija Įterpti).

Pasirodžiusiame dialogo lange Funkcijos argumentai lauke Known_values_y įveskite langelių diapazoną C4:C11; lauke Known_values_x - langelių diapazonas B4:B11;

norėdami įvestą formulę paversti masyvo formule, naudokite klavišų kombinaciją + + .

Formulė, kurią įvedėme formulių juostoje, atrodys taip: =(TREND(C4:C11;B4:B11)).

Dėl to langelių diapazonas D4:D11 užpildomas atitinkamomis funkcijos TREND reikšmėmis (9 pav.).

Padaryti įmonės pelno prognozę 2003 ir 2004 metams. būtina:

pasirinkite langelių diapazoną D12:D13, kur bus įvedamos funkcijos TREND nuspėjamos reikšmės.

iškvieskite funkciją TREND ir pasirodžiusiame dialogo lange Function Arguments laukelyje Known_values_y įveskite langelių diapazoną C4:C11; lauke Known_values_x - langelių diapazonas B4:B11; o lauke Naujos_reikšmės_x – langelių diapazonas B12:B13.

paverskite šią formulę į masyvo formulę naudodami sparčiuosius klavišus Ctrl + Shift + Enter.

Įvesta formulė atrodys taip: =(TREND(C4:C11;B4:B11;B12:B13)), o langelių diapazonas D12:D13 bus užpildytas numatytomis funkcijos TREND reikšmėmis (žr. 9).

Panašiai duomenų eilutė užpildoma naudojant funkciją GROWTH, kuri naudojama netiesinių priklausomybių analizei ir veikia lygiai taip pat, kaip ir jos tiesinė atitikmuo TREND.

10 paveiksle pateikta lentelė formulės rodymo režimu.

Pradiniams duomenims ir gautoms duomenų serijoms diagrama parodyta pav. vienuolika.

4 užduotis

Turint automobilių transporto įmonės dispečerinės tarnybos paraiškų paslaugoms gavimo duomenų lentelę už laikotarpį nuo einamojo mėnesio 1 dienos iki 11 dienos, reikia atlikti šiuos veiksmus.

Gauti duomenų eilutes tiesinei regresijai: naudojant SLOPE ir INTERCEPT funkcijas; naudojant funkciją LINEST.

Išrinkite eksponentinės regresijos duomenų eilutes naudodami funkciją LYFFPRIB.

Naudodamiesi aukščiau nurodytomis funkcijomis, padarykite paraiškų į dispečerinę gavimo prognozę laikotarpiui nuo einamojo mėnesio 12 iki 14 dienos.

Sukurkite pradinių ir gautų duomenų serijų diagramą.

Problemos sprendimas

Atkreipkite dėmesį, kad, skirtingai nei funkcijos TREND ir GROW, nė viena iš aukščiau išvardytų funkcijų (SLOPE, INTERCEPTION, LINEST, LGRFPRIB) nėra regresija. Šios funkcijos atlieka tik pagalbinį vaidmenį, nustatydamos būtinus regresijos parametrus.

Tiesinės ir eksponentinės regresijos, sukurtos naudojant SLOPE, INTERCEPT, LINEST, LGRFINB funkcijas, jų lygčių išvaizda visada yra žinoma, priešingai nei tiesinės ir eksponentinės regresijos, atitinkančios funkcijas TREND ir GROWTH.

1 . Sukurkime tiesinę regresiją, kuri turi lygtį:

y=mx+b

naudojant SLOPE ir INTERCEPT funkcijas, kai regresijos nuolydis m nustatomas funkcija SLOPE, o pastovus narys b - funkcija INTERCEPT.

Norėdami tai padaryti, atliekame šiuos veiksmus:

įveskite šaltinio lentelę langelių diapazone A4:B14;

langelyje C19 bus nustatyta parametro m reikšmė. Iš statistikos kategorijos pasirinkite funkciją Slope; įveskite langelių diapazoną B4:B14 į žinomos_reikšmės_y lauką ir langelių diapazoną A4:A14 į lauką žinomos_reikšmės_x. Formulė bus įvesta į langelį C19: =SLOPE(B4:B14;A4:A14);

naudojant panašų metodą, nustatoma parametro b reikšmė langelyje D19. O jo turinys atrodys taip: = INTERCEPT(B4:B14;A4:A14). Taigi, parametrų m ir b reikšmės, reikalingos tiesinei regresijai sudaryti, bus saugomos atitinkamai langeliuose C19, D19;

tada C4 langelyje įvedame tiesinės regresijos formulę tokia forma: = $ C * A4 + $ D. Šioje formulėje langeliai C19 ir D19 rašomi su absoliučiomis nuorodomis (kopijuojant langelio adresas neturėtų keistis). Absoliučios nuorodos ženklą $ galima įvesti klaviatūra arba klavišu F4, užvedus žymeklį ant langelio adreso. Naudodami užpildymo rankenėlę, nukopijuokite šią formulę į langelių diapazoną C4:C17. Gauname norimas duomenų eilutes (12 pav.). Atsižvelgiant į tai, kad užklausų skaičius yra sveikasis skaičius, lango langelio formatas skirtuke Skaičius turėtumėte nustatyti skaičių formatą su skaitmenų po kablelio skaičiumi į 0.

2 . Dabar sukurkime tiesinę regresiją, pateiktą pagal lygtį:

y=mx+b

naudojant funkciją LINEST.

Už tai:

įveskite funkciją LINEST kaip masyvo formulę į langelių diapazoną C20:D20: =(LINEST(B4:B14;A4:A14)). Dėl to langelyje C20 gauname parametro m reikšmę, o langelyje D20 – parametro b reikšmę;

langelyje D4 įveskite formulę: =$C*A4+$D;

nukopijuokite šią formulę naudodami užpildymo žymeklį į langelių diapazoną D4:D17 ir gaukite norimas duomenų eilutes.

3 . Sudarome eksponentinę regresiją, kuri turi lygtį:

LGRFPRIBL funkcijos pagalba atliekama panašiai:

langelių diapazone C21:D21 kaip masyvo formulę įveskite funkciją LGRFPRIBL: =( LGRFPRIBL (B4:B14;A4:A14)). Šiuo atveju parametro m reikšmė bus nustatyta langelyje C21, o parametro b reikšmė – langelyje D21;

formulė įvedama į langelį E4: =$D*$C^A4;

naudojant užpildymo žymeklį, ši formulė nukopijuojama į langelių diapazoną E4:E17, kuriame bus eksponentinės regresijos duomenų eilutės (žr. 12 pav.).

Ant pav. 13 rodoma lentelė, kurioje galime pamatyti funkcijas, kurias naudojame su reikiamais langelių diapazonais, taip pat formules.

Vertė R 2 paskambino determinacijos koeficientas.

Regresijos priklausomybės konstravimo uždavinys – rasti modelio (1) koeficientų m vektorių, kuriam esant koeficientas R įgyja didžiausią reikšmę.

R reikšmingumui įvertinti naudojamas Fišerio F testas, apskaičiuojamas pagal formulę

Kur n- imties dydis (eksperimentų skaičius);

k – modelio koeficientų skaičius.

Jei F viršija tam tikrą kritinę duomenų vertę n Ir k ir priimtas pasikliovimo lygis, tada R reikšmė laikoma reikšminga. F kritinių verčių lentelės pateiktos matematinės statistikos žinynuose.

Taigi R reikšmę lemia ne tik jo reikšmė, bet ir santykis tarp eksperimentų skaičiaus ir modelio koeficientų (parametrų) skaičiaus. Iš tiesų, paprasto tiesinio modelio koreliacijos koeficientas n=2 yra 1 (per 2 taškus plokštumoje visada galite nubrėžti vieną tiesią liniją). Tačiau jei eksperimentiniai duomenys yra atsitiktiniai dydžiai, tokia R reikšme reikia pasitikėti labai atsargiai. Paprastai, norint gauti reikšmingą R ir patikimą regresiją, siekiama užtikrinti, kad eksperimentų skaičius gerokai viršytų modelio koeficientų skaičių (n>k).

Norėdami sukurti tiesinės regresijos modelį, turite:

1) parengti n eilučių ir m stulpelių sąrašą su eksperimentiniais duomenimis (stulpelis su išvesties verte Y turi būti pirmas arba paskutinis sąraše); pavyzdžiui, paimkime ankstesnės užduoties duomenis, pridėdami stulpelį pavadinimu „period number“, sunumeruodami periodų skaičius nuo 1 iki 12. (tai bus reikšmės X)

2) eikite į meniu Duomenys / Duomenų analizė / Regresija

Jei meniu „Įrankiai“ trūksta elemento „Duomenų analizė“, tuomet turėtumėte eiti į to paties meniu elementą „Priedai“ ir pažymėti langelį „Analytics Package“.

3) dialogo lange „Regresija“ nustatykite:

įvesties intervalas Y;

įvesties intervalas X;

išvesties intervalas - viršutinis kairysis intervalo langelis, kuriame bus dedami skaičiavimo rezultatai (rekomenduojama jį įdėti į naują darbalapį);

4) spustelėkite „Gerai“ ir analizuokite rezultatus.

Jei koks nors fizikinis dydis priklauso nuo kito dydžio, tai šią priklausomybę galima ištirti išmatuojant y esant skirtingoms x reikšmėms. Atlikus matavimus gaunama verčių serija:

x 1 , x 2 , ..., x i , ... , x n ;

y 1 , y 2 , ..., y i , ... , y n .

Remiantis tokio eksperimento duomenimis, galima nubraižyti priklausomybę y = ƒ(x). Gauta kreivė leidžia spręsti apie funkcijos ƒ(x) formą. Tačiau pastovūs koeficientai, kurie patenka į šią funkciją, lieka nežinomi. Juos galima nustatyti naudojant mažiausių kvadratų metodą. Eksperimentiniai taškai, kaip taisyklė, nėra tiksliai ant kreivės. Mažiausių kvadratų metodas reikalauja, kad eksperimentinių taškų nuokrypių nuo kreivės kvadratų suma, t.y. 2 buvo mažiausias.

Praktikoje šis metodas dažniausiai (ir paprasčiausiai) naudojamas tiesinio ryšio atveju, t.y. Kada

y=kx arba y = a + bx.

Tiesinė priklausomybė fizikoje yra labai paplitusi. Ir net kai priklausomybė yra netiesinė, jie dažniausiai bando sudaryti grafiką taip, kad gautų tiesią liniją. Pavyzdžiui, jei daroma prielaida, kad stiklo lūžio rodiklis n yra susijęs su šviesos bangos bangos ilgiu λ santykiu n = a + b/λ 2 , tai n priklausomybė nuo λ -2 vaizduojama grafike. .

Apsvarstykite priklausomybę y=kx(tiesi linija, einanti per pradžią). Sudarykime reikšmę φ mūsų taškų nuokrypių kvadratu suma nuo tiesės

φ reikšmė visada yra teigiama ir pasirodo, kad kuo mažesnė, tuo arčiau mūsų taškai yra tiesės. Mažiausių kvadratų metodas teigia, kad k reikia pasirinkti tokią reikšmę, kuriai esant φ turi minimumą

arba
(19)

Skaičiavimas rodo, kad vidutinė kvadratinė paklaida nustatant k reikšmę yra lygi

, (20)
kur n yra matmenų skaičius.

Dabar panagrinėkime kiek sunkesnį atvejį, kai taškai turi atitikti formulę y = a + bx(tiesi linija, nekertanti per pradžią).

Užduotis yra rasti geriausias a ir b reikšmes iš pateiktos reikšmių aibės x i , y i .

Vėlgi sudarome kvadratinę formą φ, lygią taškų x i , y i nuokrypių nuo tiesės kvadratų sumai.

ir raskite reikšmes a ir b, kurių φ turi minimumą

;

.

.

Bendras šių lygčių sprendimas duoda

(21)

A ir b nustatymo vidutinės kvadratinės paklaidos yra lygios

(23)

.  (24)

Šiuo metodu apdorojant matavimo rezultatus, patogu visus duomenis apibendrinti lentelėje, kurioje preliminariai suskaičiuotos visos sumos, įtrauktos į (19)(24) formules. Šių lentelių formos pateiktos toliau pateiktuose pavyzdžiuose.

1 pavyzdys Ištirta pagrindinė sukamojo judėjimo dinamikos lygtis ε = M/J (tiesė, einanti per pradžią). Esant įvairioms momento M reikšmėms, buvo išmatuotas tam tikro kūno kampinis pagreitis ε. Būtina nustatyti šio kūno inercijos momentą. Jėgos momento ir kampinio pagreičio matavimų rezultatai pateikiami antrame ir trečiame stulpeliuose 5 lentelės.

5 lentelė

n	M, N m	ε, s-1	M2	M ε	ε - kM	(ε – kM) 2
1	1.44	0.52	2.0736	0.7488	0.039432	0.001555
2	3.12	1.06	9.7344	3.3072	0.018768	0.000352
3	4.59	1.45	21.0681	6.6555	-0.08181	0.006693
4	5.90	1.92	34.81	11.328	-0.049	0.002401
5	7.45	2.56	55.5025	19.072	0.073725	0.005435
∑	–	–	123.1886	41.1115	–	0.016436

Pagal (19) formulę nustatome:

.

Norėdami nustatyti vidurkio kvadrato paklaidą, naudojame formulę (20)

0.005775kilogramas-1 · m -2 .

Pagal (18) formulę turime

; .

SJ = (2,996 0,005775) / 0,3337 = 0,05185 kg m2.

Atsižvelgiant į patikimumą P = 0,95, pagal Stjudento koeficientų lentelę, kai n = 5, randame t = 2,78 ir nustatome absoliučią paklaidą ΔJ = 2,78 0,05185 = 0,1441 ≈ 0,2 kg m2.

Rezultatus rašome tokia forma:

J = (3,0 ± 0,2) kg m2;

2 pavyzdys Apskaičiuojame metalo atsparumo temperatūros koeficientą mažiausių kvadratų metodu. Atsparumas priklauso nuo temperatūros pagal tiesinį dėsnį

R t \u003d R 0 (1 + α t °) \u003d R 0 + R 0 α t °.

Laisvasis terminas nustato varžą R 0 esant 0 ° C temperatūrai, o kampinis koeficientas yra temperatūros koeficiento α ir varžos R 0 sandauga.

Matavimų ir skaičiavimų rezultatai pateikti lentelėje ( žr. 6 lentelę).

6 lentelė

n	t°, s	r, Ohm	t-¯t	(t-¯t) 2	(t-¯t)r	r-bt-a	(r - bt - a) 2,10 -6
1	23	1.242	-62.8333	3948.028	-78.039	0.007673	58.8722
2	59	1.326	-26.8333	720.0278	-35.581	-0.00353	12.4959
3	84	1.386	-1.83333	3.361111	-2.541	-0.00965	93.1506
4	96	1.417	10.16667	103.3611	14.40617	-0.01039	107.898
5	120	1.512	34.16667	1167.361	51.66	0.021141	446.932
6	133	1.520	47.16667	2224.694	71.69333	-0.00524	27.4556
∑	515	8.403	–	8166.833	21.5985	–	746.804
∑/n	85.83333	1.4005	–	–	–	–	–

Pagal (21), (22) formules nustatome

R 0 = ¯ R- α R 0 ¯ t = 1,4005 - 0,002645 85,83333 = 1,1735 Om.

Raskime α apibrėžimo klaidą. Nuo tada pagal (18) formulę turime:

.

Naudodami (23), (24) formules turime

;

0.014126 Om.

Atsižvelgiant į patikimumą P = 0,95, pagal Stjudento koeficientų lentelę, kai n = 6, randame t = 2,57 ir nustatome absoliučią paklaidą Δα = 2,57 0,000132 = 0,000338 laipsnis -1.

α = (23 ± 4) 10 -4 kruša-1, kai P = 0,95.

3 pavyzdys Iš Niutono žiedų reikia nustatyti lęšio kreivio spindulį. Išmatuoti Niutono žiedų spinduliai r m ir nustatyti šių žiedų skaičiai m. Niutono žiedų spindulys yra susijęs su lęšio kreivio spinduliu R ir žiedo skaičiumi pagal lygtį

r 2 m = mλR - 2d 0 R,

kur d 0 tarpo tarp lęšio ir plokštumos lygiagrečios plokštės storis (arba lęšio deformacija),

λ yra krintančios šviesos bangos ilgis.

λ = (600 ± 6) nm;
r 2 m = y;
m = x;
λR = b;
-2d 0 R = a,

tada lygtis įgaus formą y = a + bx.

.

Įvedami matavimų ir skaičiavimų rezultatai 7 lentelė.

7 lentelė

n	x = m	y \u003d r 2, 10 -2 mm 2	m-¯m	(m–¯m) 2	(m-¯m)m	y-bx-a, 10-4	(y – bx – a) 2, 10 –6
1	1	6.101	-2.5	6.25	-0.152525	12.01	1.44229
2	2	11.834	-1.5	2.25	-0.17751	-9.6	0.930766
3	3	17.808	-0.5	0.25	-0.08904	-7.2	0.519086
4	4	23.814	0.5	0.25	0.11907	-1.6	0.0243955
5	5	29.812	1.5	2.25	0.44718	3.28	0.107646
6	6	35.760	2.5	6.25	0.894	3.12	0.0975819
∑	21	125.129	–	17.5	1.041175	–	3.12176
∑/n	3.5	20.8548333	–	–	–	–	–

Pasirinkus regresinės funkcijos tipą, t.y. nagrinėjamo Y priklausomybės nuo X (arba X nuo Y) modelio tipas, pavyzdžiui, tiesinis modelis y x = a + bx, būtina nustatyti konkrečias modelio koeficientų reikšmes.

Esant skirtingoms a ir b reikšmėms, galima sukurti begalinį skaičių y x =a+bx formos priklausomybių, t.y., koordinačių plokštumoje yra begalinis linijų skaičius, tačiau mums reikia tokios priklausomybės, kad geriausiai atitinka pastebėtas vertes. Taigi, problema sumažinama iki geriausių koeficientų parinkimo.

Mes ieškome tiesinės funkcijos a + bx, pagrįstos tik tam tikru turimų stebėjimų skaičiumi. Norėdami rasti funkciją, kuri geriausiai atitinka stebimas reikšmes, naudojame mažiausių kvadratų metodą.

Pažymėkite: Y i - reikšmė, apskaičiuota pagal lygtį Y i =a+bx i . y i - išmatuota vertė, ε i =y i -Y i - skirtumas tarp išmatuotų ir apskaičiuotų verčių, ε i =y i -a-bx i .

Mažiausių kvadratų metodas reikalauja, kad ε i , skirtumas tarp išmatuotų y i ir Y i reikšmių, apskaičiuotų pagal lygtį, būtų minimalus. Todėl koeficientus a ir b randame taip, kad stebimų verčių kvadratinių nuokrypių suma nuo tiesiosios regresijos linijos verčių būtų mažiausia:

Ištyrę šią argumentų a funkciją ir pasitelkę išvestines iki ekstremumo, galime įrodyti, kad funkcija įgyja minimalią reikšmę, jei koeficientai a ir b yra sistemos sprendiniai:

(2)

Jei abi normaliųjų lygčių puses padalinsime iš n, gausime:

Turint omenyje (3)

Gauk , iš čia, pakeitę a reikšmę pirmoje lygtyje, gauname:

Šiuo atveju b vadinamas regresijos koeficientu; a vadinamas laisvuoju regresijos lygties nariu ir apskaičiuojamas pagal formulę:

Gauta tiesė yra teorinės regresijos linijos įvertis. Mes turime:

Taigi, yra tiesinės regresijos lygtis.

Regresija gali būti tiesioginė (b>0) ir atvirkštinė (b 1 pavyzdys. X ir Y reikšmių matavimo rezultatai pateikti lentelėje:

x i	-2	0	1	2	4
y i	0.5	1	1.5	2	3

Darant prielaidą, kad tarp X ir Y yra tiesinis ryšys y=a+bx, nustatykite koeficientus a ir b mažiausių kvadratų metodu.

Sprendimas. Čia n=5
x i =-2+0+1+2+4=5;
x i 2 =4+0+1+4+16=25
x i y i =-2 0,5+0 1+1 1,5+2 2+4 3=16,5
y i =0,5+1+1,5+2+3=8

o normali sistema (2) turi formą

Išspręsdami šią sistemą, gauname: b=0,425, a=1,175. Todėl y=1,175+0,425x.

2 pavyzdys. Yra 10 ekonominių rodiklių (X) ir (Y) stebėjimų imtis.

x i	180	172	173	169	175	170	179	170	167	174
y i	186	180	176	171	182	166	182	172	169	177

Reikia rasti imties regresijos lygtį Y ant X. Sukonstruoti imties regresijos tiesę Y ties X.

Sprendimas. 1. Surūšiuokime duomenis pagal reikšmes x i ir y i . Gauname naują lentelę:

x i	167	169	170	170	172	173	174	175	179	180
y i	169	171	166	172	180	176	177	182	182	186

Norėdami supaprastinti skaičiavimus, sudarysime skaičiavimo lentelę, kurioje įvesime reikiamas skaitines reikšmes.

x i	y i	x i 2	x i y i
167	169	27889	28223
169	171	28561	28899
170	166	28900	28220
170	172	28900	29240
172	180	29584	30960
173	176	29929	30448
174	177	30276	30798
175	182	30625	31850
179	182	32041	32578
180	186	32400	33480
∑x i =1729	∑y i =1761	∑x i 2 299105	∑x i y i =304696
x = 172,9	y = 176,1	x i 2 = 29910,5	xy=30469.6

Pagal (4) formulę apskaičiuojame regresijos koeficientą

ir pagal (5) formulę

Taigi imties regresijos lygtis atrodo taip: y=-59,34+1,3804x.
Nubraižykime taškus (x i ; y i) koordinačių plokštumoje ir pažymėkime regresijos tiesę.

4 pav

4 paveiksle parodyta, kaip stebimos reikšmės yra regresijos linijos atžvilgiu. Norėdami skaitiniu būdu įvertinti y i nuokrypius nuo Y i , kur y i yra stebimos reikšmės, o Y i yra regresijos būdu nustatytos reikšmės, sudarysime lentelę:

x i	y i	Y i	Y i - y i
167	169	168.055	-0.945
169	171	170.778	-0.222
170	166	172.140	6.140
170	172	172.140	0.140
172	180	174.863	-5.137
173	176	176.225	0.225
174	177	177.587	0.587
175	182	178.949	-3.051
179	182	184.395	2.395
180	186	185.757	-0.243

Y i reikšmės apskaičiuojamos pagal regresijos lygtį.

Pastebimas kai kurių pastebėtų verčių nukrypimas nuo regresijos linijos paaiškinamas nedideliu stebėjimų skaičiumi. Tiriant Y tiesinės priklausomybės nuo X laipsnį, atsižvelgiama į stebėjimų skaičių. Priklausomybės stiprumą lemia koreliacijos koeficiento reikšmė.

Užduotis yra rasti tiesinės priklausomybės koeficientus, kuriems yra dviejų kintamųjų funkcija A Ir b užima mažiausią vertę. Tai yra, atsižvelgiant į duomenis A Ir b eksperimentinių duomenų nuokrypių kvadratu suma nuo rastos tiesės bus mažiausia. Tai yra mažiausių kvadratų metodo esmė.

Taigi pavyzdžio sprendimas sumažinamas iki dviejų kintamųjų funkcijos ekstremumo radimo.

Koeficientų radimo formulių išvedimas. Sudaroma ir išsprendžiama dviejų lygčių su dviem nežinomaisiais sistema. Funkcijų dalinių išvestinių radimas pagal kintamuosius A Ir b, šias išvestines prilyginsime nuliui.

Gautą lygčių sistemą išsprendžiame bet kokiu metodu (pavyzdžiui, pakeitimo metodu arba Cramerio metodu) ir gauname koeficientų radimo formules naudojant mažiausių kvadratų metodą (LSM).

Su duomenimis A Ir b funkcija užima mažiausią vertę.

Tai visas mažiausių kvadratų metodas. Parametrų radimo formulė a yra sumos , , , ir parametras n- eksperimentinių duomenų kiekis. Šių sumų vertes rekomenduojama skaičiuoti atskirai. Koeficientas b rasta po skaičiavimo a.

Pagrindinė tokių polinomų taikymo sritis yra eksperimentinių duomenų apdorojimas (empirinių formulių kūrimas). Faktas yra tas, kad interpoliacijos polinomas, sukonstruotas iš eksperimento pagalba gautų funkcijos reikšmių, bus stipriai paveiktas „eksperimentinio triukšmo“, be to, interpoliacijos metu interpoliacijos mazgai negali būti kartojami, t.y. negalite naudoti pakartotinių eksperimentų rezultatų tomis pačiomis sąlygomis. Kvadratinės šaknies polinomas išlygina triukšmą ir leidžia panaudoti kelių eksperimentų rezultatus.

Skaitinis integravimas ir diferencijavimas. Pavyzdys.

Skaitmeninė integracija- apibrėžtojo integralo vertės apskaičiavimas (paprastai apytikslis). Skaitinė integracija suprantama kaip skaitinių metodų rinkinys tam tikro integralo reikšmei rasti.

Skaitmeninis diferencijavimas– diskretiškai duotos funkcijos išvestinės vertės apskaičiavimo metodų rinkinys.

Integracija

Problemos formulavimas. Matematinis uždavinio teiginys: reikia rasti tam tikro integralo reikšmę

kur a, b yra baigtiniai, f(x) yra tolydis [а, b].

Sprendžiant praktines problemas, dažnai nutinka taip, kad integralas yra nepatogus arba neįmanomas analitiškai: jis gali būti neišreiškiamas elementariomis funkcijomis, integralas gali būti pateiktas lentelės pavidalu ir pan. Tokiais atvejais naudojami skaitinio integravimo metodai. naudotas. Skaitmeninio integravimo metoduose naudojamas kreivinės trapecijos ploto pakeitimas baigtine paprastesnių geometrinių formų plotų suma, kurią galima tiksliai apskaičiuoti. Šia prasme kalbama apie kvadratinių formulių naudojimą.

Daugumoje metodų integralas pateikiamas kaip baigtinė suma (kvadratūrinė formulė):

Kvadratūrinės formulės yra pagrįstos idėja pakeisti integrando grafiką integravimo intervale paprastesnės formos funkcijomis, kurias galima lengvai integruoti analitiškai ir todėl lengvai apskaičiuoti. Paprasčiausias kvadratinių formulių konstravimo uždavinys realizuotas daugianariams matematiniams modeliams.

Galima išskirti tris metodų grupes:

1. Metodas su integravimo atkarpos padalijimu į vienodus intervalus. Skirstymas į intervalus atliekamas iš anksto, dažniausiai intervalai parenkami lygūs (kad būtų lengviau apskaičiuoti funkciją intervalų galuose). Apskaičiuokite plotus ir juos susukite (stačiakampių, trapecijos, Simpsono metodai).

2. Metodai su integravimo segmento skaidymu naudojant specialius taškus (Gausso metodas).

3. Integralų skaičiavimas naudojant atsitiktinius skaičius (Monte Karlo metodas).

Stačiakampio metodas. Tegul funkcija (brėžinys) skaitiniu būdu integruojama atkarpoje . Atkarpą padalijame į N vienodus intervalus. Kiekvienos iš kreivių trapecijos N plotą galima pakeisti stačiakampio plotu.

Visų stačiakampių plotis yra vienodas ir lygus:

Pasirinkę stačiakampių aukštį, galite pasirinkti funkcijos reikšmę kairėje kraštinėje. Tokiu atveju pirmojo stačiakampio aukštis bus f(a), antrojo – f(x 1),…, N-f(N-1).

Jei pasirinksime stačiakampio aukščio pasirinkimą dešinėje pusėje esančios funkcijos reikšmę, tai šiuo atveju pirmojo stačiakampio aukštis bus f (x 1), antrojo - f (x 2), . .., N - f (x N).

Kaip matyti, šiuo atveju viena iš formulių pateikia integralo aproksimaciją su pertekliumi, o antroji - su trūkumu. Yra ir kitas būdas – aproksimavimui naudoti funkcijos reikšmę integravimo segmento viduryje:

Stačiakampių metodo absoliučios paklaidos įvertinimas (vidurinis)

Kairiojo ir dešiniojo stačiakampių metodų absoliučios paklaidos įvertinimas.

Pavyzdys. Apskaičiuokite visą intervalą ir padalykite intervalą į keturias dalis

Sprendimas. Analitiškai apskaičiavus šį integralą gaunama I=arctg(1)–arctg(0)=0,7853981634. Mūsų atveju:

1) h = 1; xo = 0; x1 = 1;

2) h = 0,25 (1/4); x0 = 0; x1 = 0,25; x2 = 0,5; x3 = 0,75; x4 = 1;

Skaičiuojame kairiųjų stačiakampių metodu:

Skaičiuojame stačiakampių metodu:

Apskaičiuokite vidutinių stačiakampių metodu:

Trapecijos metodas. Naudojant pirmojo laipsnio daugianarį interpoliacijai (tiesė, nubrėžta per du taškus), gaunama trapecijos formulė. Integravimo segmento galai laikomi interpoliacijos mazgais. Taigi kreivinė trapecija pakeičiama įprasta trapecija, kurios plotą galima rasti kaip pusės pagrindų sumos ir aukščio sandaugą.

N integracijos segmentų visuose mazguose, išskyrus kraštutinius segmento taškus, funkcijos reikšmė bus įtraukta į bendrą sumą du kartus (nes kaimyninės trapecijos turi vieną bendrą pusę)

Trapecijos formulę galima gauti paėmus pusę stačiakampių formulių sumos išilgai dešiniojo ir kairiojo segmento kraštų:

Tirpalo stabilumo tikrinimas. Kaip taisyklė, kuo trumpesnis kiekvieno intervalo ilgis, t.y. kuo didesnis šių intervalų skaičius, tuo mažesnis skirtumas tarp apytikslių ir tikslių integralo verčių. Tai galioja daugumai funkcijų. Taikant trapecijos metodą integralo ϭ skaičiavimo paklaida yra maždaug proporcinga integravimo žingsnio kvadratui (ϭ ~ h 2) Taigi, norint apskaičiuoti tam tikros funkcijos integralą ribose a, b, reikia padalinkite atkarpą į N 0 intervalus ir raskite trapecijos plotų sumą. Tada reikia padidinti intervalų skaičių N 1, dar kartą apskaičiuoti trapecijos sumą ir palyginti gautą reikšmę su ankstesniu rezultatu. Tai turėtų būti kartojama iki (N i), kol pasiekiamas nurodytas rezultato tikslumas (konvergencijos kriterijus).

Taikant stačiakampio ir trapecijos metodus, paprastai kiekviename iteracijos etape intervalų skaičius padidėja 2 kartus (N i +1 =2N i).

Konvergencijos kriterijus:

Pagrindinis trapecijos taisyklės pranašumas yra jos paprastumas. Tačiau jei integracija reikalauja didelio tikslumo, šis metodas gali reikalauti per daug iteracijų.

Absoliuti trapecijos metodo paklaidaįvertintas kaip
.

Pavyzdys. Apskaičiuokite apytikslį apibrėžtąjį integralą naudodami trapecijos formulę.

a) Integravimo segmento padalijimas į 3 dalis.
b) Integracijos segmento padalijimas į 5 dalis.

Sprendimas:
a) Pagal sąlygą integravimo segmentas turi būti padalintas į 3 dalis, t.
Apskaičiuokite kiekvieno pertvaros segmento ilgį: .

Taigi bendra trapecijos formulė sumažinama iki malonaus dydžio:

Pagaliau:

Primenu, kad gauta vertė yra apytikslė ploto vertė.

b) Integravimo atkarpą padaliname į 5 lygias dalis, tai yra, . didindami segmentų skaičių, padidiname skaičiavimų tikslumą.

Jei , tada trapecijos formulė yra tokia:

Raskime skaidymo veiksmą:
, tai yra, kiekvieno tarpinio segmento ilgis yra 0,6.

Baigiant užduotį patogu sudaryti visus skaičiavimus su skaičiavimo lentele:

Pirmoje eilutėje rašome "skaitiklis"

Kaip rezultatas:

Na, išaiškinimas tikrai yra ir rimtas!
Jei 3 skirsnio segmentams, tai 5 segmentams. Jei paimsite dar daugiau segmento => bus dar tikslesnis.

Simpsono formulė. Trapecijos formulė duoda rezultatą, kuris labai priklauso nuo žingsnio dydžio h, o tai turi įtakos apibrėžtojo integralo skaičiavimo tikslumui, ypač tais atvejais, kai funkcija nemonotoninė. Galima daryti prielaidą, kad skaičiavimų tikslumas padidės, jei vietoj tiesių atkarpų, pakeičiančių kreivinius funkcijos f(x) grafiko fragmentus, naudosime, pavyzdžiui, parabolių fragmentus, pateiktus per tris gretimus grafiko taškus. . Panaši geometrinė interpretacija remiasi Simpsono apibrėžtojo integralo skaičiavimo metodu. Visas integravimo intervalas a,b padalintas į N atkarpas, atkarpos ilgis taip pat bus lygus h=(b-a)/N.

Simpsono formulė yra tokia:

likęs terminas

Didėjant segmentų ilgiui, formulės tikslumas mažėja, todėl tikslumui padidinti naudojama sudėtinė Simpsono formulė. Visas integravimo intervalas padalintas į lyginį skaičių identiškų atkarpų N, atkarpos ilgis taip pat bus lygus h=(b-a)/N. Sudėtinė Simpsono formulė yra tokia:

Formulėje skliausteliuose pateiktos išraiškos yra atitinkamai nelyginių ir lyginių vidinių segmentų galuose esančio integrando reikšmių sumos.

Likusi Simpsono formulės dalis jau yra proporcinga ketvirtajai žingsnio laipsniai:

Pavyzdys: Apskaičiuokite integralą naudodami Simpsono taisyklę. (Tikslus sprendimas – 0,2)

Gauso metodas

Gauso kvadratinė formulė. Pagrindinis antrosios atmainos kvadratūros formulių principas matomas 1.12 pav.: reikia taip išdėstyti taškus. X 0 ir X 1 segmento viduje [ a;b], kad iš viso „trikampių“ plotai būtų lygūs „segmento“ plotams. Naudojant Gauso formulę, pradinis segmentas [ a;b] sumažinamas iki intervalo [-1;1] keičiant kintamąjį Xįjungta

0.5∙(b– a)∙t+ 0.5∙(b + a).

Tada , Kur .

Šis pakeitimas įmanomas, jei a Ir b yra baigtiniai, ir funkcija f(x) tęsiasi [ a;b]. Gauso formulė n taškų x i, i=0,1,..,n-1 segmento viduje [ a;b]:

, (1.27)

Kur t i Ir Aiįvairiems n yra pateiktos žinynuose. Pavyzdžiui, kada n=2 A 0 =A 1=1; adresu n=3: t 0 =t 2" 0,775, t 1 =0, A 0 =A 2" 0,555, A 1" 0,889.

Gauso kvadratinė formulė

gautas su svorio funkcija lygi vienetui p(x)= 1 ir mazgai x i, kurios yra Legendre daugianario šaknys

Šansai Ai nesunkiai apskaičiuojamas pagal formules

i=0,1,2,...n.

Mazgų ir koeficientų reikšmės n=2,3,4,5 pateiktos lentelėje

Įsakymas	Mazgai	Šansai
n=2	x 1=0 x 0 =-x2=0.7745966692	A 1=8/9 A 0 = A 2=5/9
n=3	x 2 =-x 1=0.3399810436 x 3 =-x0=0.8611363116	A 1 = A 2=0.6521451549 A 0 = A 3=0.6521451549
n=4	x 2 = 0 x 3 = -x 1 = 0.5384693101 x 4 =-x 0 =0.9061798459	A 0 =0.568888899 A 3 =A 1 =0.4786286705 A 0 =A 4 =0.2869268851
n=5	x 5 = -x 0 =0.9324695142 x 4 = -x 1 =0.6612093865 x 3 = -x 2 =0.2386191861	A 5 =A 0 =0.1713244924 A 4 =A 1 =0.3607615730 A 3 =A 2 =0.4679139346

Pavyzdys. Apskaičiuokite vertę naudodami Gauso formulę n=2:

Tiksli vertė: .

Integralo skaičiavimo algoritmas pagal Gauso formulę numato ne padvigubinti mikrosegmentų skaičių, o padidinti ordinačių skaičių 1 ir palyginti gautas integralo vertes. Gauso formulės privalumas yra didelis tikslumas su palyginti nedideliu ordinačių skaičiumi. Trūkumai: nepatogu atlikti skaičiavimus rankiniu būdu; turi būti saugomi kompiuterio atmintyje t i, Aiįvairiems n.

Gauso kvadratūros formulės paklaida atkarpoje bus tuo pačiu metu Likusios dalies formulė bus kur koeficientas α N sparčiai mažėja augant N. Čia

Gauso formulės užtikrina didelį tikslumą jau esant nedideliam mazgų skaičiui (nuo 4 iki 10) Šiuo atveju praktiniais skaičiavimais mazgų skaičius svyruoja nuo kelių šimtų iki kelių tūkstančių. Taip pat pažymime, kad Gauso kvadratų svoriai visada yra teigiami, o tai užtikrina sumų skaičiavimo algoritmo stabilumą