ಪೀನ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತ ಎಷ್ಟು. ತ್ರಿಕೋನದ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತದ ಮೇಲಿನ ಪ್ರಮೇಯ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತ ಏನು

8 ನೇ ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ, ಶಾಲೆಯಲ್ಲಿ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಪಾಠಗಳಲ್ಲಿ, ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ ಪೀನ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯೊಂದಿಗೆ ಪರಿಚಯವಾಗುತ್ತಾರೆ. ಈ ಅಂಕಿ ಅಂಶವು ಬಹಳ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಅವರು ಶೀಘ್ರದಲ್ಲೇ ಕಲಿಯುತ್ತಾರೆ. ಅದು ಎಷ್ಟೇ ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿದ್ದರೂ, ಪೀನ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಎಲ್ಲಾ ಆಂತರಿಕ ಮತ್ತು ಬಾಹ್ಯ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ, ಗಣಿತ ಮತ್ತು ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದ ಬೋಧಕನು ಪೀನ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕುರಿತು ಮಾತನಾಡುತ್ತಾನೆ.

ಪೀನ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಆಂತರಿಕ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತ

ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಹೇಗೆ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವುದು?

ಈ ಹೇಳಿಕೆಯ ಪುರಾವೆಗೆ ಮುಂದುವರಿಯುವ ಮೊದಲು, ಯಾವ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯನ್ನು ಪೀನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯು ಅದರ ಯಾವುದೇ ಬದಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ರೇಖೆಯ ಒಂದು ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಇದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಪೀನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಈ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವುದು:

ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯು ಸೂಚಿಸಿದ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸದಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ಪೀನವಲ್ಲದ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಈ ರೀತಿ:

ಪೀನ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಆಂತರಿಕ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವು ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಬದಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ.

ಈ ಸತ್ಯದ ಪುರಾವೆಯು ಎಲ್ಲಾ ಶಾಲಾ ಮಕ್ಕಳಿಗೆ ತಿಳಿದಿರುವ ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿನ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತದ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ. ಈ ಪ್ರಮೇಯ ನಿಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ ಎಂದು ನನಗೆ ಖಾತ್ರಿಯಿದೆ. ತ್ರಿಕೋನದ ಆಂತರಿಕ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವು .

ಒಂದು ಪೀನ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯನ್ನು ಬಹು ತ್ರಿಕೋನಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುವುದು ಇದರ ಉದ್ದೇಶವಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು ವಿವಿಧ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ. ನಾವು ಯಾವ ವಿಧಾನವನ್ನು ಆರಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಎಂಬುದರ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ಸಾಕ್ಷ್ಯವು ಸ್ವಲ್ಪ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

1. ಪೀನ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯನ್ನು ಕೆಲವು ಶೃಂಗದಿಂದ ಎಳೆಯಲಾದ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭಾವ್ಯ ಕರ್ಣಗಳಿಂದ ತ್ರಿಕೋನಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಿ. ಆಗ ನಮ್ಮ n-gon ಅನ್ನು ತ್ರಿಕೋನಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಸುಲಭ:

ಇದಲ್ಲದೆ, ಎಲ್ಲಾ ಫಲಿತಾಂಶದ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವು ನಮ್ಮ n-gon ನ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಎಲ್ಲಾ ನಂತರ, ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ತ್ರಿಕೋನಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಕೋನವು ನಮ್ಮ ಪೀನ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯಲ್ಲಿ ಭಾಗಶಃ ಕೋನವಾಗಿದೆ. ಅಂದರೆ, ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಮೊತ್ತವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

2. ನೀವು ಪೀನ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯೊಳಗೆ ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಎಲ್ಲಾ ಶೃಂಗಗಳಿಗೆ ಸಂಪರ್ಕಿಸಬಹುದು. ನಂತರ ನಮ್ಮ n-gon ಅನ್ನು ತ್ರಿಕೋನಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ:

ಇದಲ್ಲದೆ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ನಮ್ಮ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವು ಈ ಎಲ್ಲಾ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದು ಕೇಂದ್ರ ಕೋನವನ್ನು ಮೈನಸ್ ಮಾಡುತ್ತದೆ, ಅದು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ, ಬಯಸಿದ ಮೊತ್ತವು ಮತ್ತೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಪೀನ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಬಾಹ್ಯ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತ

ಈಗ ನಾವು ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು ಕೇಳಿಕೊಳ್ಳೋಣ: "ಪೀನ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಬಾಹ್ಯ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತ ಎಷ್ಟು?" ಈ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಉತ್ತರಿಸಬಹುದು. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಹೊರಗಿನ ಮೂಲೆಯು ಅನುಗುಣವಾದ ಆಂತರಿಕ ಮೂಲೆಯ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ನಂತರ ಎಲ್ಲಾ ಬಾಹ್ಯ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವು . ಅಂದರೆ, ಇದು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಇದು ತುಂಬಾ ತಮಾಷೆಯ ಫಲಿತಾಂಶವಾಗಿದೆ. ನಾವು ಯಾವುದೇ ಪೀನ n-gon ನ ಎಲ್ಲಾ ಬಾಹ್ಯ ಮೂಲೆಗಳನ್ನು ಒಂದರ ನಂತರ ಒಂದರಂತೆ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಪಕ್ಕಕ್ಕೆ ಹಾಕಿದರೆ, ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ನಿಖರವಾಗಿ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಮತಲವು ತುಂಬುತ್ತದೆ.

ಈ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ವಾಸ್ತವಕೆಳಗಿನಂತೆ ವಿವರಿಸಬಹುದು. ಒಂದು ಬಿಂದುವಾಗಿ ವಿಲೀನಗೊಳ್ಳುವವರೆಗೆ ಕೆಲವು ಪೀನ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಎಲ್ಲಾ ಬದಿಗಳನ್ನು ಪ್ರಮಾಣಾನುಗುಣವಾಗಿ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡೋಣ. ಇದು ಸಂಭವಿಸಿದ ನಂತರ, ಎಲ್ಲಾ ಹೊರಗಿನ ಮೂಲೆಗಳನ್ನು ಒಂದರಿಂದ ಒಂದರಿಂದ ಪಕ್ಕಕ್ಕೆ ಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಹೀಗಾಗಿ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಮತಲವನ್ನು ತುಂಬಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಕುತೂಹಲಕಾರಿ ಸಂಗತಿ, ಅಲ್ಲವೇ? ಮತ್ತು ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಅಂತಹ ಬಹಳಷ್ಟು ಸಂಗತಿಗಳಿವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯನ್ನು ಕಲಿಯಿರಿ, ಆತ್ಮೀಯ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳೇ!

ಪೀನ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವು ಎಷ್ಟು ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬ ವಸ್ತುವನ್ನು ಸೆರ್ಗೆ ವ್ಯಾಲೆರಿವಿಚ್ ತಯಾರಿಸಿದ್ದಾರೆ

ತ್ರಿಕೋನದ ಆಂತರಿಕ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವು 180 0 ಆಗಿದೆ. ಇದು ಯೂಕ್ಲಿಡ್‌ನ ರೇಖಾಗಣಿತದ ಮೂಲಭೂತ ಮೂಲತತ್ವಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ಈ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯನ್ನು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತಾರೆ. ಜ್ಯಾಮಿತಿಯನ್ನು ನೈಜ ಪ್ರಪಂಚದ ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ರೂಪಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ವಿಜ್ಞಾನ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಪ್ರಾಚೀನ ಗ್ರೀಕರು ಜ್ಯಾಮಿತಿಯನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲು ಯಾವುದು ಪ್ರೇರೇಪಿಸಿತು? ಜಾಗ, ಹುಲ್ಲುಗಾವಲುಗಳನ್ನು ಅಳೆಯುವ ಅವಶ್ಯಕತೆ - ಭೂಮಿಯ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಪ್ರದೇಶಗಳು. ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಪ್ರಾಚೀನ ಗ್ರೀಕರು ಭೂಮಿಯ ಮೇಲ್ಮೈ ಸಮತಲ, ಸಮತಟ್ಟಾಗಿದೆ ಎಂದು ಒಪ್ಪಿಕೊಂಡರು. ಈ ಊಹೆಯನ್ನು ಮನಸ್ಸಿನಲ್ಲಿಟ್ಟುಕೊಂಡು, 180 0 ನಲ್ಲಿ ತ್ರಿಕೋನದ ಆಂತರಿಕ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ಯೂಕ್ಲಿಡ್‌ನ ಮೂಲತತ್ವಗಳನ್ನು ರಚಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಒಂದು ಮೂಲತತ್ವವು ಪುರಾವೆ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲದ ಹೇಳಿಕೆಯಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಹೇಗೆ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು? ಒಬ್ಬ ವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಸೂಕ್ತವಾದ ಆಶಯವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಅದನ್ನು ಚಿತ್ರಣಗಳಿಂದ ದೃಢೀಕರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಸಾಬೀತಾಗದ ಎಲ್ಲವೂ ಕಾಲ್ಪನಿಕ, ವಾಸ್ತವದಲ್ಲಿಲ್ಲ.

ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತಿದೆ ಭೂಮಿಯ ಮೇಲ್ಮೈಸಮತಲ, ಪುರಾತನ ಗ್ರೀಕರು ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತವಾಗಿ ಭೂಮಿಯ ಆಕಾರವನ್ನು ಸಮತಟ್ಟಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿದರು, ಆದರೆ ಅದು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ - ಗೋಳಾಕಾರದ. ಪ್ರಕೃತಿಯಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಸಮತಲ ಸಮತಲಗಳು ಮತ್ತು ನೇರ ರೇಖೆಗಳಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯು ಜಾಗವನ್ನು ಬಾಗುತ್ತದೆ. ನೇರ ರೇಖೆಗಳು ಮತ್ತು ಸಮತಲವಾದ ವಿಮಾನಗಳು ಮಾನವ ತಲೆಯ ಮೆದುಳಿನಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಪ್ರಪಂಚದ ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ರೂಪಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಯೂಕ್ಲಿಡ್‌ನ ರೇಖಾಗಣಿತವು ಸಿಮ್ಯುಲಾಕ್ರಮ್ ಆಗಿದೆ - ಇದು ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿರದ ನಕಲು.

ಯೂಕ್ಲಿಡ್‌ನ ಮೂಲತತ್ವಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ತ್ರಿಕೋನದ ಆಂತರಿಕ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವು 180 0 ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ನಿಜವಾದ ಬಾಗಿದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ಭೂಮಿಯ ಗೋಳಾಕಾರದ ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ, ತ್ರಿಕೋನದ ಆಂತರಿಕ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವು ಯಾವಾಗಲೂ 180 0 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ನಾವು ಹೀಗೆ ತರ್ಕಿಸುತ್ತೇವೆ. ಭೂಗೋಳದ ಯಾವುದೇ ಮೆರಿಡಿಯನ್ ಸಮಭಾಜಕದೊಂದಿಗೆ 90 0 ಕೋನದಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ. ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ನೀವು ಮೆರಿಡಿಯನ್‌ನಿಂದ ಮತ್ತೊಂದು ಮೆರಿಡಿಯನ್ ಅನ್ನು ಚಲಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಮೆರಿಡಿಯನ್ಸ್ ಮತ್ತು ಸಮಭಾಜಕದ ಬದಿಯ ನಡುವಿನ ತ್ರಿಕೋನದ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವು 180 0 ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಧ್ರುವದಲ್ಲಿ ಇನ್ನೂ ಒಂದು ಕೋನ ಇರುತ್ತದೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಎಲ್ಲಾ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು 180 0 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಇರುತ್ತದೆ.

ಬದಿಗಳು 90 0 ಕೋನದಲ್ಲಿ ಧ್ರುವದಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸಿದರೆ, ಅಂತಹ ತ್ರಿಕೋನದ ಆಂತರಿಕ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವು 270 0 ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ ಲಂಬಕೋನದಲ್ಲಿ ಸಮಭಾಜಕದೊಂದಿಗೆ ಛೇದಿಸುವ ಎರಡು ಮೆರಿಡಿಯನ್‌ಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಧ್ರುವದಲ್ಲಿ, 90 0 ಕೋನದಲ್ಲಿ ಪರಸ್ಪರ ಛೇದಿಸುವಾಗ, ಅವು ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಒಂದೇ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳು ಛೇದಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಧ್ರುವದಲ್ಲಿ ಲಂಬವಾಗಿರಬಹುದು ಎಂದು ಅದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ.

ಸಹಜವಾಗಿ, ಅಂತಹ ತ್ರಿಕೋನದ ಬದಿಗಳು ನೇರ ರೇಖೆಗಳಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಪೀನವಾಗಿದ್ದು, ಗೋಳದ ಗೋಳಾಕಾರದ ಆಕಾರವನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ. ಆದರೆ, ಅದರಂತೆಯೇ ನಿಜ ಪ್ರಪಂಚಜಾಗ.

ನೈಜ ಜಾಗದ ಜ್ಯಾಮಿತಿ, XIX ಶತಮಾನದ ಮಧ್ಯದಲ್ಲಿ ಅದರ ವಕ್ರತೆಯನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಜರ್ಮನ್ ಗಣಿತಜ್ಞ ಬಿ. ರೀಮನ್ (1820-1866) ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದರು. ಆದರೆ ಈ ಬಗ್ಗೆ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ತಿಳಿಸಿಲ್ಲ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ರೇಖಾಗಣಿತವು ಸಮತಲ ಮೇಲ್ಮೈಯೊಂದಿಗೆ ಸಮತಟ್ಟಾದ ಭೂಮಿಯ ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಅದು ನಿಜವಾಗಿ ಅಲ್ಲ, ಇದು ಸಿಮ್ಯುಲಾಕ್ರಮ್ ಆಗಿದೆ. ನೂಟಿಕ್ - ರಿಮ್ಯಾನಿಯನ್ ರೇಖಾಗಣಿತವು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದ ವಕ್ರತೆಯನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಅದರಲ್ಲಿರುವ ತ್ರಿಕೋನದ ಆಂತರಿಕ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವು 180 0 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ನಿನ್ನೆಯನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿ:

ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಕಥೆಗಾಗಿ ನಾವು ಮೊಸಾಯಿಕ್ನೊಂದಿಗೆ ಆಡುತ್ತೇವೆ:

ತ್ರಿಕೋನಗಳಿದ್ದವು. ಎಷ್ಟು ಹೋಲುತ್ತವೆ ಎಂದರೆ ಅವು ಕೇವಲ ಒಂದರ ನಕಲುಗಳಾಗಿವೆ.
ಅವರು ನೇರ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಅಕ್ಕಪಕ್ಕದಲ್ಲಿ ನಿಂತರು. ಮತ್ತು ಅವರೆಲ್ಲರೂ ಒಂದೇ ಎತ್ತರವಾಗಿರುವುದರಿಂದ -
ನಂತರ ಅವರ ಮೇಲ್ಭಾಗಗಳು ಆಡಳಿತಗಾರನ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿದ್ದವು:

ತ್ರಿಕೋನಗಳು ತಮ್ಮ ತಲೆಯ ಮೇಲೆ ಉರುಳಲು ಮತ್ತು ನಿಲ್ಲಲು ಇಷ್ಟಪಟ್ಟವು. ಅವರು ಮೇಲಿನ ಸಾಲಿಗೆ ಹತ್ತಿದರು ಮತ್ತು ಚಮತ್ಕಾರಿಕಗಳಂತೆ ಮೂಲೆಯಲ್ಲಿ ನಿಂತರು.
ಮತ್ತು ನಮಗೆ ಈಗಾಗಲೇ ತಿಳಿದಿದೆ - ಅವರು ತಮ್ಮ ಮೇಲ್ಭಾಗಗಳೊಂದಿಗೆ ನಿಖರವಾಗಿ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ನಿಂತಾಗ,
ನಂತರ ಅವರ ಅಡಿಭಾಗವನ್ನು ಸಹ ಜೋಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ - ಏಕೆಂದರೆ ಯಾರಾದರೂ ಒಂದೇ ಎತ್ತರದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ಅವನು ಅದೇ ಎತ್ತರದಲ್ಲಿ ತಲೆಕೆಳಗಾಗಿರುತ್ತಾನೆ!

ಎಲ್ಲದರಲ್ಲೂ ಅವು ಒಂದೇ ಆಗಿದ್ದವು - ಮತ್ತು ಎತ್ತರವು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅಡಿಭಾಗಗಳು ಒಂದರಿಂದ ಒಂದಾಗಿದ್ದವು,
ಮತ್ತು ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ಸ್ಲೈಡ್ಗಳು - ಒಂದು ಕಡಿದಾದ, ಇತರ ಹೆಚ್ಚು ಶಾಂತ - ಅದೇ ಉದ್ದ
ಮತ್ತು ಅವು ಒಂದೇ ಇಳಿಜಾರನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಸರಿ, ಕೇವಲ ಅವಳಿ! (ವಿಭಿನ್ನ ಬಟ್ಟೆಗಳಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ತನ್ನದೇ ಆದ ಒಗಟುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ).

ತ್ರಿಕೋನಗಳು ಒಂದೇ ಬದಿಗಳನ್ನು ಎಲ್ಲಿ ಹೊಂದಿವೆ? ಮೂಲೆಗಳು ಎಲ್ಲಿವೆ?

ತ್ರಿಕೋನಗಳು ತಲೆಯ ಮೇಲೆ ನಿಂತವು, ನಿಂತವು ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಜಾರಿಬೀಳಲು ಮತ್ತು ಮಲಗಲು ನಿರ್ಧರಿಸಿದವು.
ಬೆಟ್ಟದಂತೆ ಜಾರಿ ಕೆಳಗೆ ಜಾರಿತು; ಮತ್ತು ಸ್ಲೈಡ್‌ಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತವೆ!
ಆದ್ದರಿಂದ ಅವರು ಕಡಿಮೆ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ನಡುವೆ ನಿಖರವಾಗಿ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ, ಅಂತರವಿಲ್ಲದೆ, ಮತ್ತು ಯಾರೂ ಯಾರನ್ನೂ ಒತ್ತಲಿಲ್ಲ.

ನಾವು ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಸುತ್ತಲೂ ನೋಡಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯವನ್ನು ಗಮನಿಸಿದ್ದೇವೆ.
ಅವರ ಮೂಲೆಗಳು ಒಟ್ಟಿಗೆ ಭೇಟಿಯಾದಲ್ಲೆಲ್ಲಾ, ಎಲ್ಲಾ ಮೂರು ಮೂಲೆಗಳು ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ ಭೇಟಿಯಾಗುತ್ತವೆ:
ದೊಡ್ಡದು "ಕೋನ-ತಲೆ", ತೀಕ್ಷ್ಣವಾದ ಕೋನ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ, ಸರಾಸರಿ ಕೋನ.
ಅವರು ಬಣ್ಣದ ರಿಬ್ಬನ್‌ಗಳನ್ನು ಸಹ ಕಟ್ಟಿದರು, ಇದರಿಂದ ಅದು ಎಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ತಕ್ಷಣವೇ ಗಮನಿಸಬಹುದು.

ಮತ್ತು ತ್ರಿಕೋನದ ಮೂರು ಮೂಲೆಗಳು, ನೀವು ಅವುಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸಿದರೆ -
ಒಂದು ದೊಡ್ಡ ಮೂಲೆಯನ್ನು ಮಾಡಿ, "ತೆರೆದ ಮೂಲೆ" - ತೆರೆದ ಪುಸ್ತಕದ ಮುಖಪುಟದಂತೆ,

________________________O _____________________

ಅದನ್ನೇ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ: ತಿರುಚಿದ ಕೋನ.

ಯಾವುದೇ ತ್ರಿಕೋನವು ಪಾಸ್‌ಪೋರ್ಟ್‌ನಂತಿದೆ: ಮೂರು ಕೋನಗಳು ಒಟ್ಟಿಗೆ ನೇರ ಕೋನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಯಾರೋ ನಿಮ್ಮನ್ನು ತಟ್ಟುತ್ತಾರೆ: - ನಾಕ್-ನಾಕ್, ನಾನು ತ್ರಿಕೋನ, ನನಗೆ ರಾತ್ರಿ ಕಳೆಯಲು ಅವಕಾಶ ಮಾಡಿಕೊಡಿ!
ಮತ್ತು ನೀವು ಅವನಿಗೆ - ವಿಸ್ತರಿತ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ನನಗೆ ತೋರಿಸಿ!
ಮತ್ತು ಇದು ನಿಜವಾದ ತ್ರಿಕೋನವೇ ಅಥವಾ ವಂಚಕರೇ ಎಂಬುದು ತಕ್ಷಣವೇ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ.
ವಿಫಲ ಪರಿಶೀಲನೆ - ನೂರ ಎಂಭತ್ತು ಡಿಗ್ರಿ ತಿರುಗಿ ಮನೆಗೆ ಹೋಗು!

ಅವರು "180 ° ತಿರುಗಿ" ಎಂದು ಹೇಳಿದಾಗ ಅದು ಹಿಂದಕ್ಕೆ ತಿರುಗುವುದು ಎಂದರ್ಥ
ವಿರುದ್ಧ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಹೋಗಿ.

ಹೆಚ್ಚು ಪರಿಚಿತ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳಲ್ಲಿ ಅದೇ, "ಅವರು ವಾಸಿಸುತ್ತಿದ್ದರು" ಇಲ್ಲದೆ:

OX ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ABC ತ್ರಿಕೋನದ ಸಮಾನಾಂತರ ಅನುವಾದವನ್ನು ಮಾಡೋಣ
ಪ್ರತಿ ವೆಕ್ಟರ್ ಎಬಿಬೇಸ್ AB ನ ಉದ್ದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ತ್ರಿಕೋನಗಳ C ಮತ್ತು C 1 ಶೃಂಗಗಳ ಮೂಲಕ ಲೈನ್ DF ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ
OX ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ, OX ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ
ವಿಭಾಗಗಳು h ಮತ್ತು h 1 (ಸಮಾನ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಎತ್ತರ) ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಹೀಗಾಗಿ, A 2 B 2 C 2 ತ್ರಿಕೋನದ ತಳವು ಬೇಸ್ AB ಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ
ಮತ್ತು ಅದರ ಉದ್ದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಏಕೆಂದರೆ ಅಗ್ರ C 1 ಅನ್ನು C ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ AB ಪ್ರಮಾಣದಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ).
ತ್ರಿಕೋನಗಳು A 2 B 2 C 2 ಮತ್ತು ABC ಮೂರು ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಕೋನಗಳು ∠A 1 ∠B ∠C 2 , ಅಭಿವೃದ್ಧಿ ಹೊಂದಿದ ಕೋನವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ, ABC ಯ ಕೋನಗಳಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
=> ತ್ರಿಕೋನದ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವು 180° ಆಗಿದೆ

ಚಲನೆಗಳೊಂದಿಗೆ - "ಪ್ರಸಾರಗಳು" ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಪುರಾವೆ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿರುತ್ತದೆ,
ಪಝಲ್ನ ತುಣುಕುಗಳ ಮೇಲೆ, ಒಂದು ಮಗು ಸಹ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು.

ಆದರೆ ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕ ಶಾಲೆ:

ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳ ಮೇಲೆ ಕತ್ತರಿಸಿದ ಆಂತರಿಕ ಅಡ್ಡ-ಸುಳ್ಳು ಕೋನಗಳ ಸಮಾನತೆಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ

ಮೌಲ್ಯಯುತವಾದದ್ದು, ಇದು ಏಕೆ ಹೀಗಿದೆ ಎಂಬ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ,
ಏಕೆತ್ರಿಕೋನದ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವು ಕೋನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ?

ಏಕೆಂದರೆ ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳು ನಮ್ಮ ಜಗತ್ತಿಗೆ ತಿಳಿದಿರುವ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ.

ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಎರಡೂ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತವೆ. ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳ ಮೂಲತತ್ವದಿಂದ ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ
ಅಡ್ಡಲಾಗಿ ಸುಳ್ಳು ಮತ್ತು ಲಂಬ ಕೋನಗಳ ಸಮಾನತೆ, ಮತ್ತು ಅವುಗಳಲ್ಲಿ - ತ್ರಿಕೋನದ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತ.

ಆದರೆ ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವೂ ನಿಜ: ತ್ರಿಕೋನದ ಕೋನಗಳು 180 ° ಆಗಿರುವವರೆಗೆ - ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳಿವೆ
(ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಒಂದು ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಮಲಗದೆ ಒಂದು ಅನನ್ಯ ರೇಖೆಯನ್ನು ಸೆಳೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ || ನೀಡಲಾಗಿದೆ).
ಒಂದು ದಿನ ಜಗತ್ತಿನಲ್ಲಿ ಒಂದು ತ್ರಿಕೋನ ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡರೆ, ಅದರಲ್ಲಿ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವು ನೇರ ಕೋನಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ -
ನಂತರ ಸಮಾನಾಂತರವಾದವುಗಳು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗುವುದನ್ನು ನಿಲ್ಲಿಸುತ್ತವೆ, ಇಡೀ ಪ್ರಪಂಚವು ತಿರುಚಿದ ಮತ್ತು ಓರೆಯಾಗುತ್ತದೆ.

ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಆಭರಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪಟ್ಟೆಗಳನ್ನು ಒಂದರ ಮೇಲೊಂದರಂತೆ ಇರಿಸಿದರೆ -
ಅಂಚುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ನೆಲದಂತೆ ನೀವು ಸಂಪೂರ್ಣ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಮಾದರಿಯೊಂದಿಗೆ ಮುಚ್ಚಬಹುದು:

ಅಂತಹ ಗ್ರಿಡ್ನಲ್ಲಿ ನೀವು ವಿವಿಧ ಆಕಾರಗಳನ್ನು ಪತ್ತೆಹಚ್ಚಬಹುದು - ಷಡ್ಭುಜಗಳು, ರೋಂಬಸ್ಗಳು,
ನಕ್ಷತ್ರ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳು ಮತ್ತು ವಿವಿಧ ಪ್ಯಾರ್ಕ್ವೆಟ್‌ಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಿರಿ

ಪ್ಯಾರ್ಕ್ವೆಟ್ನೊಂದಿಗೆ ವಿಮಾನವನ್ನು ಟೈಲಿಂಗ್ ಮಾಡುವುದು ಕೇವಲ ಮನರಂಜನೆಯ ಆಟವಲ್ಲ, ಆದರೆ ನಿಜವಾದ ಗಣಿತದ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿದೆ:

________________________________________ _______________________-------__________ ________________________________________ ______________
/\__||_/\__||_/\__||_/\__||_/\__|)0(|_/\__||_/\__||_/\__||_/\__||_/\=/\__||_/ \__||_/\__||_/\__||_/\__|)0(|_/\__||_/\__||_/\__||_/\__||_/\

ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಚತುರ್ಭುಜವು ಒಂದು ಆಯತ, ಚೌಕ, ರೋಂಬಸ್, ಇತ್ಯಾದಿ.
ಎರಡು ತ್ರಿಕೋನಗಳಿಂದ ಮಾಡಬಹುದಾಗಿದೆ,
ಕ್ರಮವಾಗಿ, ಚತುರ್ಭುಜದ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತ: 180° + 180°= 360°

ಒಂದೇ ಸಮದ್ವಿಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು ವಿವಿಧ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಚೌಕಗಳಾಗಿ ಮಡಚಲಾಗುತ್ತದೆ.
2 ಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ಸಣ್ಣ ಚೌಕ. 4 ರ ಮಧ್ಯಮ. ಮತ್ತು 8 ರಲ್ಲಿ ದೊಡ್ಡದು.
6 ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಎಷ್ಟು ಅಂಕಿಗಳಿವೆ?

ತ್ರಿಕೋನ . ತೀಕ್ಷ್ಣವಾದ, ಚೂಪಾದ ಮತ್ತು ಬಲ ತ್ರಿಕೋನಗಳು.

ಕಾಲುಗಳು ಮತ್ತು ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್. ಐಸೊಸೆಲ್ಸ್ ಮತ್ತು ಸಮಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನ.

ತ್ರಿಕೋನದ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತ.

ತ್ರಿಕೋನದ ಹೊರ ಮೂಲೆ. ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಸಮಾನತೆಯ ಚಿಹ್ನೆಗಳು.

ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ ಅದ್ಭುತವಾದ ರೇಖೆಗಳು ಮತ್ತು ಬಿಂದುಗಳು: ಎತ್ತರಗಳು, ಮಧ್ಯಗಳು,

ದ್ವಿಭಾಜಕಗಳು, ಮಧ್ಯಮಇ ಲಂಬವಾಗಿ, ಆರ್ಥೋಸೆಂಟರ್,

ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಕೇಂದ್ರ, ಸುತ್ತುವರಿದ ವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರ, ಕೆತ್ತಲಾದ ವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರ.

ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯ. ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ತ್ರಿಕೋನದ ಆಕಾರ ಅನುಪಾತ.

ತ್ರಿಕೋನ ಮೂರು ಬದಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯಾಗಿದೆ (ಅಥವಾ ಮೂರು ಮೂಲೆಗಳು). ತ್ರಿಕೋನದ ಬದಿಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಣ್ಣ ಅಕ್ಷರಗಳಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದು ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ ದೊಡ್ಡ ಅಕ್ಷರಗಳುವಿರುದ್ಧ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

ಎಲ್ಲಾ ಮೂರು ಕೋನಗಳು ತೀವ್ರವಾಗಿದ್ದರೆ ( ಅಂಜೂರ 20), ನಂತರ ಇದು ತೀವ್ರ ತ್ರಿಕೋನ . ಮೂಲೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸರಿಯಾಗಿದ್ದರೆ(ಸಿ, ಚಿತ್ರ.21), ಅದು ಬಲ ತ್ರಿಕೋನ; ಬದಿಗಳುa , bಲಂಬ ಕೋನವನ್ನು ರೂಪಿಸುವುದನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಕಾಲುಗಳು; ಬದಿಸಿಲಂಬ ಕೋನದ ಎದುರು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್. ಒಂದು ವೇಳೆಚೂಪಾದ ಕೋನಗಳು (B, fig.22), ಅದು ಚೂಪಾದ ತ್ರಿಕೋನ.


ತ್ರಿಕೋನ ABC (ಚಿತ್ರ 23) - ಸಮದ್ವಿಬಾಹುಗಳು, ವೇಳೆ ಎರಡುಅದರ ಬದಿಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆಎ= ಸಿ); ಈ ಸಮಾನ ಬದಿಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಪಾರ್ಶ್ವದ, ಮೂರನೇ ವ್ಯಕ್ತಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಆಧಾರದತ್ರಿಕೋನ. ತ್ರಿಕೋನ ABC (ಚಿತ್ರ 24) - ಸಮಬಾಹು, ಒಂದು ವೇಳೆ ಎಲ್ಲಾಅದರ ಬದಿಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆಎ = ಬಿ = ಸಿ) ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ( ಎ ≠ ಬಿ ≠ ಸಿ) ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಸ್ಕೇಲೆನ್ತ್ರಿಕೋನ .

ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಮೂಲ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು. ಯಾವುದೇ ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ:

1. ದೊಡ್ಡ ಬದಿಯ ಎದುರು ದೊಡ್ಡ ಕೋನವಿದೆ, ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ.

2. ಸಮಾನ ಕೋನಗಳು ಸಮಾನ ಬದಿಗಳಿಗೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ.

ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಎಲ್ಲಾ ಕೋನಗಳು ಸಮಬಾಹುತ್ರಿಕೋನ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

3. ತ್ರಿಕೋನದ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವು 180 ಆಗಿದೆ º .

ಕೊನೆಯ ಎರಡು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಂದ ಇದು ಪ್ರತಿ ಕೋನವು ಸಮಬಾಹುದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ

ತ್ರಿಕೋನವು 60 ಆಗಿದೆ º.

4. ತ್ರಿಕೋನದ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸುವುದು (AC, ಅಂಜೂರ 25), ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಬಾಹ್ಯ

ಕೋನ BCD . ತ್ರಿಕೋನದ ಬಾಹ್ಯ ಕೋನವು ಆಂತರಿಕ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ,

ಅದಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿಲ್ಲ :BCD=A+B.

5. ಯಾವುದಾದರು ತ್ರಿಕೋನದ ಬದಿಯು ಇತರ ಎರಡು ಬದಿಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚು

ಅವರ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು (ಎ < ಬಿ + ಸಿ, ಎ > ಬಿ – ಸಿ;ಬಿ < ಎ + ಸಿ, ಬಿ > ಎ – ಸಿ;ಸಿ < ಎ + ಬಿ,ಸಿ > ಎ – ಬಿ).

ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಸಮಾನತೆಯ ಚಿಹ್ನೆಗಳು.

ತ್ರಿಕೋನಗಳು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ ಅವು ಸರ್ವಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ:

ಎ ) ಎರಡು ಬದಿಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನ;

ಬಿ ) ಎರಡು ಮೂಲೆಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಪಕ್ಕದ ಬದಿ;

ಸಿ) ಮೂರು ಬದಿಗಳು.

ಬಲ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಸಮಾನತೆಯ ಚಿಹ್ನೆಗಳು.

ಎರಡು ಆಯತಾಕಾರದಕೆಳಗಿನ ಷರತ್ತುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ನಿಜವಾಗಿದ್ದರೆ ತ್ರಿಕೋನಗಳು ಸರ್ವಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ:

1) ಅವರ ಕಾಲುಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆ;

2) ಒಂದು ತ್ರಿಕೋನದ ಲೆಗ್ ಮತ್ತು ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ ಇತರ ಲೆಗ್ ಮತ್ತು ಹೈಪೋಟೆನ್ಯೂಸ್ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ;

3) ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ ಮತ್ತು ಒಂದು ತ್ರಿಕೋನದ ತೀವ್ರ ಕೋನವು ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದರ ತೀವ್ರ ಕೋನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ;

4) ಕಾಲು ಮತ್ತು ಒಂದು ತ್ರಿಕೋನದ ಪಕ್ಕದ ತೀವ್ರ ಕೋನವು ಲೆಗ್ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದರ ಪಕ್ಕದ ತೀವ್ರ ಕೋನ;

5) ಕಾಲು ಮತ್ತು ಒಂದು ತ್ರಿಕೋನದ ವಿರುದ್ಧ ತೀವ್ರವಾದ ಕೋನವು ಲೆಗ್ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದರ ತೀವ್ರ ಕೋನದ ಎದುರು.

ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ ಅದ್ಭುತ ರೇಖೆಗಳು ಮತ್ತು ಚುಕ್ಕೆಗಳು.

ಎತ್ತರ ತ್ರಿಕೋನವಾಗಿದೆಲಂಬವಾಗಿ,ಯಾವುದೇ ಶೃಂಗದಿಂದ ಎದುರು ಭಾಗಕ್ಕೆ ಇಳಿಯಿತು ( ಅಥವಾ ಅದರ ಮುಂದುವರಿಕೆ). ಈ ಭಾಗವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆತ್ರಿಕೋನದ ಆಧಾರ . ತ್ರಿಕೋನದ ಮೂರು ಎತ್ತರಗಳು ಯಾವಾಗಲೂ ಛೇದಿಸುತ್ತವೆಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿಎಂದು ಕರೆದರು ಆರ್ಥೋಸೆಂಟರ್ತ್ರಿಕೋನ. ತೀವ್ರವಾದ ತ್ರಿಕೋನದ ಆರ್ಥೋಸೆಂಟರ್ (ಪಾಯಿಂಟ್ಓ , ಚಿತ್ರ 26) ತ್ರಿಕೋನದ ಒಳಗೆ ಇದೆ, ಮತ್ತುಚೂಪಾದ ತ್ರಿಕೋನದ ಆರ್ಥೋಸೆಂಟರ್ (ಪಾಯಿಂಟ್ಓ , ಚಿತ್ರ.27) – ಹೊರಗೆ; ಲಂಬ ತ್ರಿಕೋನದ ಆರ್ಥೋಸೆಂಟರ್ ಬಲ ಕೋನದ ಶೃಂಗದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ.

ಮಧ್ಯಮ - ಇದು ಸಾಲಿನ ವಿಭಾಗ , ತ್ರಿಕೋನದ ಯಾವುದೇ ಶೃಂಗವನ್ನು ಎದುರು ಭಾಗದ ಮಧ್ಯಬಿಂದುದೊಂದಿಗೆ ಸಂಪರ್ಕಿಸುವುದು. ತ್ರಿಕೋನದ ಮೂರು ಮಧ್ಯಭಾಗಗಳು (AD , BE , CF , fig.28) ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ ಓ , ಇದು ಯಾವಾಗಲೂ ತ್ರಿಕೋನದ ಒಳಗೆ ಇರುತ್ತದೆಮತ್ತು ಅವನಾಗಿರುವುದು ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಕೇಂದ್ರ. ಈ ಬಿಂದುವು ಪ್ರತಿ ಮಧ್ಯದ 2:1 ಅನ್ನು ಮೇಲಿನಿಂದ ಭಾಗಿಸುತ್ತದೆ.

ಬೈಸೆಕ್ಟರ್ - ಇದು ದ್ವಿಭಾಜಕ ವಿಭಾಗಮೇಲಿನಿಂದ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಮೂಲೆಯಲ್ಲಿ ಎದುರು ಭಾಗದೊಂದಿಗೆ ಛೇದಕ. ತ್ರಿಕೋನದ ಮೂರು ದ್ವಿಭಾಜಕಗಳು (AD , BE , CF , fig.29) ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ ಓಹ್, ಯಾವಾಗಲೂ ತ್ರಿಕೋನದೊಳಗೆ ಮಲಗಿರುತ್ತದೆಮತ್ತು ಇರುವುದು ಕೆತ್ತಲಾದ ವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರ(ವಿಭಾಗವನ್ನು ನೋಡಿ "ಕೆತ್ತಲಾಗಿದೆಮತ್ತು ಸುತ್ತುವರಿದ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳು).

ದ್ವಿಭಾಜಕವು ಎದುರು ಭಾಗವನ್ನು ಪಕ್ಕದ ಬದಿಗಳಿಗೆ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುತ್ತದೆ ; ಉದಾಹರಣೆಗೆ, Fig.29 ರಲ್ಲಿ AE: CE = AB: BC.

ಮಧ್ಯದ ಲಂಬ ಸರಾಸರಿಯಿಂದ ಎಳೆಯಲಾದ ಲಂಬವಾಗಿದೆವಿಭಾಗದ ಬಿಂದುಗಳು (ಬದಿಗಳು). ತ್ರಿಕೋನ ABC ಯ ಮೂರು ಲಂಬ ದ್ವಿಭಾಜಕಗಳು(KO , MO , NO , fig.30 ) O ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ, ಅದು ಕೇಂದ್ರ ಸುತ್ತುವರಿದ ವೃತ್ತ (ಅಂಕಗಳು ಕೆ, ಎಂ, ಎನ್ ತ್ರಿಕೋನದ ಬದಿಗಳ ಮಧ್ಯಬಿಂದುಗಳುಎಬಿಸಿ).

ತೀವ್ರವಾದ ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ, ಈ ಬಿಂದುವು ತ್ರಿಕೋನದ ಒಳಗೆ ಇರುತ್ತದೆ; ಮಬ್ಬಾಗಿ - ಹೊರಗೆ; ಒಂದು ಆಯತಾಕಾರದಲ್ಲಿ - ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ ಮಧ್ಯದಲ್ಲಿ. ಆರ್ಥೋಸೆಂಟರ್, ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಕೇಂದ್ರ, ಸುತ್ತುವರಿದ ಕೇಂದ್ರ ಮತ್ತು ಕೆತ್ತಲಾದ ವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರ ಸಮಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಸೇರಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.

ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯ. ಲಂಬ ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ, ಉದ್ದದ ಚೌಕಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ ಕಾಲುಗಳ ಉದ್ದದ ಚೌಕಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಪುರಾವೆಯು ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ Fig.31 ರಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಬಲ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿಕಾಲುಗಳೊಂದಿಗೆ ಎಬಿಸಿ a , bಮತ್ತು ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ ಸಿ.

ಚೌಕವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸೋಣಎಕೆಎಂಬಿ ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ ಅನ್ನು ಬಳಸುವುದುಎಬಿ ಒಂದು ಕಡೆಯಾಗಿ. ನಂತರಬಲ ತ್ರಿಕೋನದ ಬದಿಗಳನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಿಎಬಿಸಿ ಆದ್ದರಿಂದ ಒಂದು ಚೌಕವನ್ನು ಪಡೆಯಲು CDEF , ಯಾರ ಬದಿಯು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆa + b.ಚೌಕದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ ಎಂಬುದು ಈಗ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ CDEF ಆಗಿದೆ ( a+b) 2 . ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಇದು ಪ್ರದೇಶವು ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆಪ್ರದೇಶಗಳು ನಾಲ್ಕು ಬಲ ತ್ರಿಕೋನಗಳುಮತ್ತು ಚದರ AKMB , ಅಂದರೆ

ಸಿ 2 + 4 (ab / 2) = ಸಿ 2 + 2 ab,

ಇಲ್ಲಿಂದ,

ಸಿ 2 + 2 ab= (a+b) 2 ,

ಮತ್ತು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:

ಸಿ 2 =ಎ 2 +b 2 .

ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ತ್ರಿಕೋನದ ಆಕಾರ ಅನುಪಾತ.

ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ (ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ತ್ರಿಕೋನಕ್ಕಾಗಿ) ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:

ಸಿ 2 =ಎ 2 +b 2 – 2ab· cos ಸಿ,

ಅಲ್ಲಿ ಸಿ - ಬದಿಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನಎಮತ್ತು ಬಿ .

ಪುರಾವೆ:

• ತ್ರಿಕೋನ ABC ನೀಡಲಾಗಿದೆ.
• ಬೇಸ್ AC ಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ B ಶೃಂಗದ ಮೂಲಕ DK ರೇಖೆಯನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ.
• \angle CBK= \angle C ಸಮಾನಾಂತರ DK ಮತ್ತು AC ನೊಂದಿಗೆ ಆಂತರಿಕ ಅಡ್ಡಲಾಗಿ ಇರುವಂತೆ ಮತ್ತು ಸೆಕೆಂಟ್ BC.
• \angle DBA = \angle DK \ ಸಮಾನಾಂತರ AC ಮತ್ತು ಸೆಕೆಂಟ್ AB ಯಲ್ಲಿ ಆಂತರಿಕ ಅಡ್ಡಲಾಗಿ ಮಲಗಿರುತ್ತದೆ. ಕೋನ DBK ನೇರ ಮತ್ತು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ
• \angle DBK = \angle DBA + \angle B + \angle CBK
• ನೇರ ಕೋನವು 180 ^\circ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ ಮತ್ತು \angle CBK = \angle C ಮತ್ತು \angle DBA = \angle A , ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ 180 ^\circ = \angle A + \angle B + \angle C.

ಪ್ರಮೇಯ ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ

ತ್ರಿಕೋನದ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತದ ಮೇಲೆ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ಪರಿಣಾಮಗಳು:

1. ಲಂಬ ತ್ರಿಕೋನದ ತೀವ್ರ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತ 90°.
2. ಸಮದ್ವಿಬಾಹು ಬಲ ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ, ಪ್ರತಿ ತೀವ್ರ ಕೋನವು ಇರುತ್ತದೆ 45°.
3. ಸಮಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ, ಪ್ರತಿ ಕೋನವು 60°.
4. ಯಾವುದೇ ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ, ಎಲ್ಲಾ ಕೋನಗಳು ತೀಕ್ಷ್ಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಅಥವಾ ಎರಡು ಕೋನಗಳು ತೀಕ್ಷ್ಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಮೂರನೆಯದು ಚೂಪಾದ ಅಥವಾ ಬಲವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
5. ತ್ರಿಕೋನದ ಬಾಹ್ಯ ಕೋನವು ಅದರ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿಲ್ಲದ ಎರಡು ಆಂತರಿಕ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ತ್ರಿಕೋನ ಬಾಹ್ಯ ಕೋನ ಪ್ರಮೇಯ

ತ್ರಿಕೋನದ ಬಾಹ್ಯ ಕೋನವು ಆ ಬಾಹ್ಯ ಕೋನದ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿಲ್ಲದ ತ್ರಿಕೋನದ ಉಳಿದಿರುವ ಎರಡು ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಪುರಾವೆ:

• ತ್ರಿಕೋನ ABC ನೀಡಲಾಗಿದೆ, ಇಲ್ಲಿ BCD ಬಾಹ್ಯ ಕೋನವಾಗಿದೆ.
• \angle BAC + \angle ABC +\angle BCA = 180^0
• ಸಮಾನತೆಗಳಿಂದ, ಕೋನ \angle BCD + \angle BCA = 180^0
• ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ \angle BCD = \angle BAC+\angle ABC.