Նվազագույն քառակուսիների մեթոդը ամենատարածվածներից է և ամենազարգացածներից է դրա շնորհիվ գծային պարամետրերի գնահատման մեթոդների պարզությունն ու արդյունավետությունը. Միևնույն ժամանակ, այն օգտագործելիս պետք է որոշակի զգուշություն ցուցաբերել, քանի որ դրա օգտագործմամբ կառուցված մոդելները կարող են չբավարարել իրենց պարամետրերի որակի մի շարք պահանջներ և, որպես հետևանք, «լավ» չարտացոլեն գործընթացի զարգացման օրինաչափությունները:

Եկեք ավելի մանրամասն քննարկենք գծային էկոնոմետրիկ մոդելի պարամետրերի գնահատման կարգը՝ օգտագործելով նվազագույն քառակուսիների մեթոդը: Նման մոդելը ընդհանուր ձևով կարող է ներկայացվել (1.2) հավասարմամբ.

y t = a 0 + a 1 x 1 t +...+ a n x nt + ε t .

Նախնական տվյալները a 0, a 1,..., a n պարամետրերը գնահատելիս կախված փոփոխականի արժեքների վեկտորն է: y= (y 1, y 2, ..., y T)» և անկախ փոփոխականների արժեքների մատրիցը

որում սյունակներից բաղկացած առաջին սյունակը համապատասխանում է մոդելի գործակցին:

Նվազագույն քառակուսիների մեթոդը ստացել է իր անվանումը՝ հիմնված այն հիմնական սկզբունքի վրա, որ դրա հիման վրա ստացված պարամետրերի գնահատումները պետք է բավարարեն. մոդելի սխալի քառակուսիների գումարը պետք է լինի նվազագույն:

Նվազագույն քառակուսիների մեթոդով խնդիրների լուծման օրինակներ

Օրինակ 2.1.Առևտրային ձեռնարկությունն ունի 12 խանութներից բաղկացած ցանց, որոնց գործունեության մասին տեղեկատվությունը ներկայացված է Աղյուսակում: 2.1.

Ընկերության ղեկավարությունը կցանկանար իմանալ, թե ինչպես է տարեկանի չափը կախված խանութի վաճառքի տարածքից:

Աղյուսակ 2.1

Խանութի համարը	Տարեկան շրջանառություն, միլիոն ռուբլի	Առևտրի տարածք, հզ մ 2

Նվազագույն քառակուսիների լուծում.Եկեք նշանակենք --րդ խանութի տարեկան շրջանառությունը, միլիոն ռուբլի; --րդ խանութի վաճառվող տարածք, հազար մ 2.

Նկ.2.1. Scatterplot օրինակ 2.1

Փոփոխականների միջև ֆունկցիոնալ կապի ձևը որոշելու և ցրված գծապատկերի կառուցման համար (նկ. 2.1):

Ելնելով ցրված դիագրամից՝ մենք կարող ենք եզրակացնել, որ տարեկան շրջանառությունը դրականորեն կախված է վաճառքի տարածքից (այսինքն՝ y-ը կաճի՝ աճի հետ միասին): Ֆունկցիոնալ կապի ամենահարմար ձևը − է գծային.

Հետագա հաշվարկների համար տեղեկատվությունը ներկայացված է Աղյուսակում: 2.2. Օգտագործելով նվազագույն քառակուսիների մեթոդը, մենք գնահատում ենք գծային մեկ գործոնով էկոնոմետրիկ մոդելի պարամետրերը

Աղյուսակ 2.2

Այսպիսով,

Հետևաբար, առևտրի տարածքի 1 հազար մ 2-ով աճով, այլ հավասար պայմաններով, միջին տարեկան շրջանառությունն ավելանում է 67,8871 միլիոն ռուբլով:

Օրինակ 2.2.Ձեռնարկության ղեկավարությունը նկատել է, որ տարեկան շրջանառությունը կախված է ոչ միայն խանութի վաճառքի տարածքից (տես օրինակ 2.1), այլև այցելուների միջին թվից: Համապատասխան տեղեկատվությունը ներկայացված է աղյուսակում: 2.3.

Աղյուսակ 2.3

Լուծում.Նշել - օրական խանութի այցելուների միջին թիվը, հազար մարդ:

Փոփոխականների միջև ֆունկցիոնալ կապի ձևը որոշելու և ցրված գծապատկեր կառուցելու համար (նկ. 2.2):

Ելնելով ցրված գծապատկերից՝ կարող ենք եզրակացնել, որ տարեկան շրջանառությունը դրականորեն կապված է օրական այցելուների միջին թվի հետ (այսինքն՝ y-ն կավելանա ի աճով): Ֆունկցիոնալ կախվածության ձևը գծային է:

Բրինձ. 2.2. Scatterplot օրինակ 2.2

Աղյուսակ 2.4

Ընդհանուր առմամբ, անհրաժեշտ է որոշել երկու գործոնային էկոնոմետրիկ մոդելի պարամետրերը

y t \u003d a 0 + a 1 x 1 t + a 2 x 2 t + ε t

Հետագա հաշվարկների համար անհրաժեշտ տեղեկատվությունը ներկայացված է Աղյուսակում: 2.4.

Եկեք գնահատենք գծային երկգործոն էկոնոմետրիկ մոդելի պարամետրերը՝ օգտագործելով նվազագույն քառակուսիների մեթոդը:

Այսպիսով,

Գործակիցի գնահատումը = 61,6583 ցույց է տալիս, որ այլ հավասար պայմաններով, առևտրի տարածքի 1 հազար մ 2-ով աճի դեպքում տարեկան շրջանառությունը կաճի միջինը 61,6583 միլիոն ռուբլով:

Օրինակ.

Փոփոխականների արժեքների վերաբերյալ փորձարարական տվյալներ XԵվ ժամըտրված են աղյուսակում:

Դրանց հավասարեցման արդյունքում ֆունկցիան

Օգտագործելով նվազագույն քառակուսի մեթոդ, մոտավորեք այս տվյալները գծային կախվածությամբ y=ax+b(գտնել պարամետրերը ԱԵվ բ) Պարզեք, թե երկու տողերից որն է ավելի լավ (նվազագույն քառակուսիների մեթոդի իմաստով) հավասարեցնում է փորձարարական տվյալները: Կատարեք նկարչություն:

Նվազագույն քառակուսիների մեթոդի էությունը (LSM).

Խնդիրը գծային կախվածության գործակիցները գտնելն է, որոնց համար գործում է երկու փոփոխականի ֆունկցիա ԱԵվ բ վերցնում է ամենափոքր արժեքը: Այսինքն՝ հաշվի առնելով տվյալները ԱԵվ բԳտնված ուղիղ գծից փորձարարական տվյալների քառակուսի շեղումների գումարը կլինի ամենափոքրը: Սա նվազագույն քառակուսիների մեթոդի ամբողջ իմաստն է:

Այսպիսով, օրինակի լուծումը կրճատվում է երկու փոփոխականների ֆունկցիայի ծայրահեղությունը գտնելով։

Գործակիցներ գտնելու բանաձևերի ստացում.

Կազմվում և լուծվում է երկու անհայտ ունեցող երկու հավասարումների համակարգ: Փոփոխականների նկատմամբ ֆունկցիայի մասնակի ածանցյալների հայտնաբերում ԱԵվ բ, այս ածանցյալները հավասարեցնում ենք զրոյի։

Ստացված հավասարումների համակարգը լուծում ենք ցանկացած մեթոդով (օրինակ փոխարինման մեթոդկամ ) և ստացեք գործակիցները գտնելու բանաձևեր՝ օգտագործելով նվազագույն քառակուսիների մեթոդը (LSM):

Տվյալներով ԱԵվ բֆունկցիան վերցնում է ամենափոքր արժեքը: Այս փաստի ապացույցը տրված է.

Դա նվազագույն քառակուսիների ամբողջ մեթոդն է: Պարամետրը գտնելու բանաձևը ապարունակում է , , , և պարամետր գումարները n- փորձարարական տվյալների քանակը. Այս գումարների արժեքները խորհուրդ է տրվում հաշվարկել առանձին: Գործակից բհայտնաբերվել է հաշվարկից հետո ա.

Ժամանակն է հիշել բնօրինակ օրինակը:

Լուծում.

Մեր օրինակում n=5. Մենք լրացնում ենք աղյուսակը այն գումարների հաշվարկման հարմարության համար, որոնք ներառված են պահանջվող գործակիցների բանաձևերում:

Աղյուսակի չորրորդ շարքի արժեքները ստացվում են յուրաքանչյուր թվի համար 2-րդ շարքի արժեքները 3-րդ շարքի արժեքներով բազմապատկելով։ ես.

Աղյուսակի հինգերորդ շարքի արժեքները ստացվում են յուրաքանչյուր թվի համար 2-րդ շարքի արժեքները քառակուսելով. ես.

Աղյուսակի վերջին սյունակի արժեքները տողերի միջև եղած արժեքների գումարներն են:

Գործակիցները գտնելու համար օգտագործում ենք նվազագույն քառակուսիների մեթոդի բանաձևերը ԱԵվ բ. Մենք դրանցում փոխարինում ենք աղյուսակի վերջին սյունակից համապատասխան արժեքները.

Հետևաբար, y=0.165x+2.184ցանկալի մոտավոր ուղիղ գիծն է:

Մնում է պարզել, թե տողերից որն է y=0.165x+2.184կամ ավելի լավ է մոտենում սկզբնական տվյալներին, այսինքն՝ կատարել գնահատական՝ օգտագործելով նվազագույն քառակուսիների մեթոդը:

Նվազագույն քառակուսիների մեթոդի սխալի գնահատում.

Դա անելու համար դուք պետք է հաշվարկեք այս տողերից սկզբնական տվյալների քառակուսի շեղումների գումարները Եվ , ավելի փոքր արժեքը համապատասխանում է մի տողի, որն ավելի լավ է մոտենում սկզբնական տվյալներին նվազագույն քառակուսիների մեթոդով:

Քանի որ, ապա գիծը y=0.165x+2.184ավելի լավ է մոտեցնում սկզբնական տվյալներին:

Նվազագույն քառակուսիների մեթոդի գրաֆիկական նկարազարդում (LSM):

Ամեն ինչ հիանալի է թվում աղյուսակներում: Կարմիր գիծը գտնված գիծն է y=0.165x+2.184, կապույտ գիծն է , վարդագույն կետերը սկզբնական տվյալներն են։

Ինչի՞ համար է դա, ինչի՞ համար են այս բոլոր մոտարկումները։

Ես անձամբ օգտագործում եմ տվյալների հարթեցման, ինտերպոլացիայի և էքստրապոլացիայի խնդիրները լուծելու համար (բնօրինակ օրինակում ձեզ կարող են խնդրել գտնել դիտարկվող արժեքի արժեքը yժամը x=3կամ երբ x=6 MNC մեթոդի համաձայն): Բայց այս մասին ավելի ուշ կխոսենք կայքի մեկ այլ բաժնում:

Ապացույց.

Այնպես որ, երբ գտնվի ԱԵվ բֆունկցիան վերցնում է ամենափոքր արժեքը, անհրաժեշտ է, որ այս պահին ֆունկցիայի համար երկրորդ կարգի դիֆերենցիալի քառակուսի ձևի մատրիցը միանշանակ դրական էր. Եկեք ցույց տանք:

Ընտրելով ռեգրեսիոն ֆունկցիայի տեսակը, այսինքն. Y-ի X-ից (կամ X-ից Y-ից) կախվածության դիտարկված մոդելի տեսակը, օրինակ, գծային մոդել y x = a + bx, անհրաժեշտ է որոշել մոդելի գործակիցների հատուկ արժեքները:

a-ի և b-ի տարբեր արժեքների համար հնարավոր է կառուցել y x =a+bx ձևի անսահման թվով կախվածություն, այսինքն՝ կոորդինատային հարթության վրա կան անսահման թվով գծեր, բայց մեզ անհրաժեշտ է այնպիսի կախվածություն, որ լավագույն կերպով համապատասխանում է դիտարկված արժեքներին։ Այսպիսով, խնդիրը կրճատվում է լավագույն գործակիցների ընտրության վրա։

Մենք փնտրում ենք a + bx գծային ֆունկցիա՝ հիմնված միայն որոշակի թվով առկա դիտարկումների վրա։ Դիտարկված արժեքներին լավագույնս համապատասխանող ֆունկցիան գտնելու համար մենք օգտագործում ենք նվազագույն քառակուսիների մեթոդը:

Նշեք՝ Y i - արժեքը, որը հաշվարկվում է Y i =a+bx i հավասարմամբ: y i - չափված արժեք, ε i =y i -Y i - տարբերություն չափված և հաշվարկված արժեքների միջև, ε i =y i -a-bx i:

Նվազագույն քառակուսիների մեթոդը պահանջում է, որ ε i-ը՝ չափված y i-ի և հավասարումից հաշվարկված Y i արժեքների միջև եղած տարբերությունը լինի նվազագույն: Հետևաբար, մենք գտնում ենք a և b գործակիցները, որպեսզի դիտարկված արժեքների քառակուսի շեղումների գումարը ուղիղ ռեգրեսիոն գծի արժեքներից ամենափոքրն է.

Ուսումնասիրելով a փաստարկների այս ֆունկցիան և ծայրահեղության ածանցյալների օգնությամբ՝ կարող ենք ապացուցել, որ ֆունկցիան ստանում է նվազագույն արժեք, եթե a և b գործակիցները համակարգի լուծումներն են.

(2)

Եթե ​​նորմալ հավասարումների երկու կողմերը բաժանենք n-ի, ապա կստանանք.

Հաշվի առնելով, որ (3)

Ստացեք , այստեղից, փոխարինելով a-ի արժեքը առաջին հավասարման մեջ, ստանում ենք.

Այս դեպքում b-ն կոչվում է ռեգրեսիայի գործակից; a կոչվում է ռեգրեսիայի հավասարման ազատ անդամ և հաշվարկվում է բանաձևով.

Ստացված ուղիղ գիծը տեսական ռեգրեսիոն գծի գնահատումն է: Մենք ունենք:

Այսպիսով, գծային ռեգրեսիոն հավասարում է։

Ռեգրեսիան կարող է լինել ուղղակի (b>0) և հակադարձ (b Օրինակ 1: X և Y արժեքների չափման արդյունքները տրված են աղյուսակում.

x i	-2	0	1	2	4
y i	0.5	1	1.5	2	3

Ենթադրելով, որ X-ի և Y-ի միջև կա գծային հարաբերություն y=a+bx, որոշեք a և b գործակիցները՝ օգտագործելով նվազագույն քառակուսիների մեթոդը:

Լուծում. Այստեղ n=5
x i =-2+0+1+2+4=5;
x i 2 =4+0+1+4+16=25
x i y i =-2 0,5+0 1+1 1,5+2 2+4 3=16,5
y i =0.5+1+1.5+2+3=8

իսկ նորմալ համակարգը (2) ունի ձևը

Լուծելով այս համակարգը՝ ստանում ենք՝ b=0.425, a=1.175։ Հետեւաբար y=1,175+0,425x.

Օրինակ 2. Տնտեսական ցուցանիշների (X) և (Y) 10 դիտարկումների նմուշ կա:

x i	180	172	173	169	175	170	179	170	167	174
y i	186	180	176	171	182	166	182	172	169	177

Պահանջվում է X-ի վրա գտնել Y ռեգրեսիոն հավասարման նմուշ: X-ի վրա կառուցեք Y ռեգրեսիոն գիծ:

Լուծում. 1. Տեսակավորենք տվյալները ըստ x i և y i արժեքների: Մենք ստանում ենք նոր աղյուսակ.

x i	167	169	170	170	172	173	174	175	179	180
y i	169	171	166	172	180	176	177	182	182	186

Հաշվարկները պարզեցնելու համար մենք կկազմենք հաշվարկային աղյուսակ, որտեղ մուտքագրելու ենք անհրաժեշտ թվային արժեքները։

x i	y i	x i 2	x i y i
167	169	27889	28223
169	171	28561	28899
170	166	28900	28220
170	172	28900	29240
172	180	29584	30960
173	176	29929	30448
174	177	30276	30798
175	182	30625	31850
179	182	32041	32578
180	186	32400	33480
∑x i =1729	∑y i =1761	∑x i 2 299105	∑x i y i =304696
x=172,9	y=176.1	x i 2 =29910.5	xy=30469.6

Համաձայն (4) բանաձևի, մենք հաշվարկում ենք ռեգրեսիայի գործակիցը

և ըստ բանաձևի (5)

Այսպիսով, օրինակելի ռեգրեսիոն հավասարումը նման է y=-59.34+1.3804x:
Եկեք կոորդինատային հարթության վրա գծենք կետերը (x i ; y i) և նշենք ռեգրեսիոն ուղիղը:

Նկար 4

Նկար 4-ը ցույց է տալիս, թե ինչպես են դիտարկված արժեքները գտնվում ռեգրեսիոն գծի համեմատ: Y i-ի շեղումները Y i-ից թվային գնահատելու համար, որտեղ y i-ն դիտվող արժեքներն են, իսկ Y i-ը ռեգրեսիայով որոշված ​​արժեքներ են, մենք կկազմենք աղյուսակ.

x i	y i	Y i	Y i -y i
167	169	168.055	-0.945
169	171	170.778	-0.222
170	166	172.140	6.140
170	172	172.140	0.140
172	180	174.863	-5.137
173	176	176.225	0.225
174	177	177.587	0.587
175	182	178.949	-3.051
179	182	184.395	2.395
180	186	185.757	-0.243

Y i արժեքները հաշվարկվում են ըստ ռեգրեսիայի հավասարման:

Որոշ դիտարկվող արժեքների նկատելի շեղումը ռեգրեսիայի գծից բացատրվում է փոքր թվով դիտարկումներով: Y-ի X-ից գծային կախվածության աստիճանն ուսումնասիրելիս հաշվի է առնվում դիտումների քանակը։ Կախվածության ուժը որոշվում է հարաբերակցության գործակցի արժեքով։

Ես համակարգչային ծրագրավորող եմ։ Ես կատարեցի իմ կարիերայի ամենամեծ թռիչքը, երբ սովորեցի ասել. "Ես ոչինչ չեմ հասկանում!"Հիմա ես չեմ ամաչում գիտության լուսատուին ասել, որ նա ինձ դասախոսություն է կարդում, որ ես չեմ հասկանում, թե ինչ է ինձ հետ խոսում այն՝ լուսատուը։ Եվ դա շատ դժվար է: Այո, դժվար է և ամոթալի է խոստովանել, որ չգիտես: Ով սիրում է խոստովանել, որ չգիտի ինչ-որ բանի հիմունքները։ Մասնագիտությանս ուժով ստիպված եմ լինում մեծ թվով զեկուցումների ու դասախոսությունների հաճախել, որտեղ, խոստովանում եմ, ճնշող մեծամասնությունում ես քնկոտ եմ զգում, քանի որ ոչինչ չեմ հասկանում։ Եվ ես չեմ հասկանում, քանի որ գիտության ներկայիս իրավիճակի հսկայական խնդիրը մաթեմատիկայի մեջ է: Այն ենթադրում է, որ բոլոր ուսանողները ծանոթ են մաթեմատիկայի բացարձակապես բոլոր ոլորտներին (ինչն աբսուրդ է): Ընդունել, որ չգիտես, թե ինչ է ածանցյալը (որ սա մի փոքր ուշ է) ամոթ է։

Բայց ես սովորեցի ասել, որ չգիտեմ, թե ինչ է բազմապատկումը: Այո, ես չգիտեմ, թե ինչ է ենթահաշիվը ստի հանրահաշիվից: Այո, ես չգիտեմ, թե ինչու են կյանքում անհրաժեշտ քառակուսի հավասարումներ։ Ի դեպ, եթե վստահ եք, որ գիտեք, ուրեմն խոսելու բան ունենք։ Մաթեմատիկան հնարքների շարք է։ Մաթեմատիկոսները փորձում են շփոթեցնել և վախեցնել հանրությանը. որտեղ չկա շփոթություն, հեղինակություն, հեղինակություն: Այո, հեղինակավոր է խոսել հնարավորինս վերացական լեզվով, որն ինքնին կատարյալ անհեթեթություն է։

Գիտե՞ք ինչ է ածանցյալը: Ամենայն հավանականությամբ, դուք ինձ կպատմեք տարբերությունների հարաբերության սահմանի մասին։ Սանկտ Պետերբուրգի պետական ​​համալսարանի մաթեմատիկայի առաջին կուրսում Վիկտոր Պետրովիչ Խավին ինձ սահմանված էածանցյալ՝ որպես ֆունկցիայի Թեյլորի շարքի առաջին անդամի գործակիցը կետում (առանձին մարմնամարզություն էր՝ առանց ածանցյալների Թեյլորի շարքը որոշելու համար)։ Ես երկար ծիծաղեցի այս սահմանման վրա, մինչև վերջապես հասկացա, թե ինչի մասին է խոսքը։ Ածանցյալը ոչ այլ ինչ է, քան պարզապես չափում, թե որքանով է մեր տարբերակած ֆունկցիան նման y=x, y=x^2, y=x^3 ֆունկցիային:

Ես հիմա պատիվ ունեմ դասախոսել ուսանողների, ովքեր վախեցածՄաթեմատիկա. Եթե ​​դուք վախենում եք մաթեմատիկայից, մենք ճանապարհին ենք: Հենց փորձում ես ինչ-որ տեքստ կարդալ ու քեզ թվում է, որ այն չափազանց բարդ է, ուրեմն իմացիր, որ այն վատ է գրված։ Ես պնդում եմ, որ մաթեմատիկայի ոչ մի ոլորտ չկա, որի մասին չի կարելի խոսել «մատների վրա»՝ չկորցնելով ճշգրտությունը։

Մոտ ապագայի մարտահրավերը. Ես հանձնարարեցի իմ ուսանողներին հասկանալ, թե ինչ է գծային քառակուսի կարգավորիչը: Մի ամաչեք, վատնեք ձեր կյանքի երեք րոպեն, հետևեք հղմանը. Եթե ​​ոչինչ չես հասկանում, ուրեմն մենք ճանապարհին ենք։ Ես (պրոֆեսիոնալ մաթեմատիկոս-ծրագրավորող) նույնպես ոչինչ չհասկացա։ Եվ ես ձեզ վստահեցնում եմ, որ սա կարելի է դասավորել «մատների վրա»: Այս պահին ես չգիտեմ, թե դա ինչ է, բայց վստահեցնում եմ, որ մենք կկարողանանք դա պարզել։

Այսպիսով, առաջին դասախոսությունը, որը ես պատրաստվում եմ կարդալ իմ ուսանողներին այն բանից հետո, երբ նրանք սարսափած վազում են ինձ մոտ այն խոսքերով, որ գծային քառակուսի կարգավորիչը սարսափելի սխալ է, որը դուք երբեք չեք տիրապետի ձեր կյանքում. նվազագույն քառակուսիների մեթոդներ. Կարող եք լուծել գծային հավասարումներ: Եթե ​​դուք կարդում եք այս տեքստը, ապա, ամենայն հավանականությամբ, ոչ:

Այսպիսով, հաշվի առնելով երկու կետերը (x0, y0), (x1, y1), օրինակ, (1,1) և (3,2), խնդիրն է գտնել այս երկու կետերով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը.

նկարազարդում

Այս ուղիղ գիծը պետք է ունենա հետևյալ հավասարումը.

Այստեղ ալֆան և բետա-ն մեզ անհայտ են, բայց այս գծի երկու կետերը հայտնի են.

Դուք կարող եք գրել այս հավասարումը մատրիցային ձևով.

Այստեղ պետք է լիրիկական շեղում անել. ի՞նչ է մատրիցան։ Մատրիցը ոչ այլ ինչ է, քան երկչափ զանգված: Սա տվյալների պահպանման միջոց է, որին այլ արժեքներ չպետք է տրվեն: Մեզնից է կախված, թե կոնկրետ ինչպես մեկնաբանել որոշակի մատրիցա: Պարբերաբար ես այն կմեկնաբանեմ որպես գծային քարտեզագրում, պարբերաբար որպես քառակուսի ձև և երբեմն պարզապես որպես վեկտորների մի շարք: Այս ամենը կպարզվի համատեքստում։

Եկեք փոխարինենք կոնկրետ մատրիցները իրենց խորհրդանշական ներկայացմամբ.

Այնուհետև (ալֆա, բետա) կարելի է հեշտությամբ գտնել.

Ավելի կոնկրետ մեր նախորդ տվյալների համար.

Որը հանգեցնում է (1,1) և (3,2) կետերով անցնող ուղիղ գծի հետևյալ հավասարմանը.

Լավ, այստեղ ամեն ինչ պարզ է: Եվ եկեք գտնենք միջով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը երեքմիավորներ՝ (x0,y0), (x1,y1) և (x2,y2):

Oh-oh-oh, բայց մենք ունենք երեք հավասարումներ երկու անհայտների համար: Ստանդարտ մաթեմատիկոսը կասի, որ լուծում չկա։ Ի՞նչ կասի ծրագրավորողը. Եվ նա նախ կվերագրի նախորդ հավասարումների համակարգը հետևյալ ձևով.

Մեր դեպքում i, j, b վեկտորները եռաչափ են, հետևաբար (ընդհանուր դեպքում) այս համակարգը լուծում չունի։ Ցանկացած վեկտոր (ալֆա\*i + բետա\*j) գտնվում է վեկտորների (i, j) տարածված հարթության մեջ։ Եթե ​​b-ն այս հարթությանը չի պատկանում, ապա լուծում չկա (հավասարության մեջ չի կարելի հասնել): Ինչ անել? Եկեք փոխզիջում փնտրենք: Նշենք ըստ e (ալֆա, բետա)ինչպես ճիշտ մենք չհասանք հավասարության.

Եվ մենք կփորձենք նվազագույնի հասցնել այս սխալը.

Ինչու՞ քառակուսի:

Մենք փնտրում ենք ոչ միայն նորմայի նվազագույնը, այլ նորմայի քառակուսու նվազագույնը։ Ինչո՞ւ։ Նվազագույն կետն ինքնին համընկնում է, և քառակուսին տալիս է հարթ ֆունկցիա (արգումենտների քառակուսային ֆունկցիա (ալֆա, բետա)), մինչդեռ միայն երկարությունը տալիս է ֆունկցիա կոնի տեսքով, որը չի տարբերվում նվազագույն կետում։ Brr. Քառակուսին ավելի հարմար է։

Ակնհայտ է, որ սխալը նվազագույնի է հասցվում, երբ վեկտորը եուղղանկյուն հարթության վրա, որը տարածվում է վեկտորներով եսԵվ ժ.

Նկարազարդում

Այլ կերպ ասած՝ մենք փնտրում ենք այնպիսի գիծ, ​​որ բոլոր կետերից մինչև այս ուղիղ հեռավորությունների քառակուսի երկարությունների գումարը նվազագույն լինի.

ԹԱՐՄԱՑՈՒՄ. այստեղ ես ունեմ խցիկ, գծի հեռավորությունը պետք է չափվի ուղղահայաց, ոչ թե ուղղագրական պրոյեկցիան: մեկնաբանողը ճիշտ է.

Նկարազարդում

Բոլորովին այլ բառերով (զգույշ, վատ ձևակերպված, բայց դա պետք է պարզ լինի մատների վրա). մենք վերցնում ենք բոլոր հնարավոր գծերը բոլոր զույգ կետերի միջև և փնտրում ենք միջին գիծ բոլորի միջև.

Նկարազարդում

Մեկ այլ բացատրություն մատների վրա. մենք զսպանակ ենք կապում տվյալների բոլոր կետերի միջև (այստեղ մենք ունենք երեք) և այն գծի, որը մենք փնտրում ենք, և հավասարակշռության վիճակի գիծը հենց այն է, ինչ մենք փնտրում ենք:

Քառակուսի ձևի նվազագույնը

Այսպիսով, հաշվի առնելով վեկտորը բև հարթությունը, որը տարածվում է մատրիցայի սյուներ-վեկտորներով Ա(այս դեպքում (x0,x1,x2) և (1,1,1)), մենք փնտրում ենք վեկտոր ենվազագույն քառակուսի երկարությամբ: Ակնհայտ է, որ նվազագույնը հասանելի է միայն վեկտորի համար ե, ուղղանկյուն հարթության վրա, որը տարածվում է մատրիցայի սյունակ-վեկտորներով Ա:

Այլ կերպ ասած, մենք փնտրում ենք վեկտոր x=(ալֆա, բետա) այնպիսին, որ.

Հիշեցնում եմ ձեզ, որ այս վեկտորը x=(ալֆա, բետա) քառակուսի ֆունկցիայի նվազագույնն է ||e(ալֆա, բետա)||^2:

Այստեղ օգտակար է հիշել, որ մատրիցը կարող է մեկնաբանվել, ինչպես նաև քառակուսի ձևը, օրինակ՝ նույնականության մատրիցը ((1,0),(0,1)) կարող է մեկնաբանվել որպես x^2 + y ֆունկցիա: ^2:

քառակուսի ձև

Այս ամբողջ մարմնամարզությունը հայտնի է որպես գծային ռեգրեսիա:

Լապլասի հավասարումը Դիրիխլեի սահմանային պայմանով

Այժմ ամենապարզ իրական խնդիրը՝ կա որոշակի եռանկյուն մակերես, անհրաժեշտ է այն հարթել։ Օրինակ, եկեք բեռնենք իմ դեմքի մոդելը.

Բնօրինակը հանձնառությունը հասանելի է: Արտաքին կախվածությունները նվազագույնի հասցնելու համար ես վերցրեցի իմ ծրագրաշարի մատուցման կոդը՝ արդեն Habré-ում: Գծային համակարգը լուծելու համար ես օգտագործում եմ OpenNL-ը, այն հիանալի լուծող է, բայց տեղադրումը շատ դժվար է. անհրաժեշտ է պատճենել երկու ֆայլ (.h + .c) ձեր նախագծի թղթապանակում: Բոլոր հարթեցումը կատարվում է հետևյալ կոդով.

Համար (int d=0; d<3; d++) { nlNewContext(); nlSolverParameteri(NL_NB_VARIABLES, verts.size()); nlSolverParameteri(NL_LEAST_SQUARES, NL_TRUE); nlBegin(NL_SYSTEM); nlBegin(NL_MATRIX); for (int i=0; i<(int)verts.size(); i++) { nlBegin(NL_ROW); nlCoefficient(i, 1); nlRightHandSide(verts[i][d]); nlEnd(NL_ROW); } for (unsigned int i=0; i&դեմք = դեմքեր[i]; համար (int j=0; j<3; j++) { nlBegin(NL_ROW); nlCoefficient(face[ j ], 1); nlCoefficient(face[(j+1)%3], -1); nlEnd(NL_ROW); } } nlEnd(NL_MATRIX); nlEnd(NL_SYSTEM); nlSolve(); for (int i=0; i<(int)verts.size(); i++) { verts[i][d] = nlGetVariable(i); } }

X, Y և Z կոորդինատները բաժանելի են, ես դրանք հարթեցնում եմ առանձին: Այսինքն՝ ես լուծում եմ գծային հավասարումների երեք համակարգ, որոնցից յուրաքանչյուրն ունի նույն թվով փոփոխականներ, որքան գագաթների թիվը իմ մոդելում։ A մատրիցի առաջին n տողերն ունեն միայն մեկ 1 տողում, իսկ b վեկտորի առաջին n տողերն ունեն սկզբնական մոդելի կոորդինատներ։ Այսինքն, ես կապում եմ նոր գագաթի դիրքի և հին գագաթի դիրքի միջև. նորերը չպետք է շատ հեռու լինեն հներից:

A մատրիցի բոլոր հաջորդ տողերը (faces.size()*3 = ցանցի բոլոր եռանկյունների եզրերի թիվը) ունեն 1-ի մեկ և -1-ի մեկ առաջացում, մինչդեռ b վեկտորն ունի զրոյական բաղադրիչ: Սա նշանակում է, որ ես զսպանակ եմ դնում մեր եռանկյուն ցանցի յուրաքանչյուր եզրին. բոլոր եզրերը փորձում են ստանալ նույն գագաթը, ինչ իրենց մեկնարկային և ավարտական ​​կետերը:

Եվս մեկ անգամ. բոլոր գագաթները փոփոխականներ են, և նրանք չեն կարող շեղվել իրենց սկզբնական դիրքից, բայց միևնույն ժամանակ փորձում են նմանվել միմյանց։

Ահա արդյունքը.

Ամեն ինչ լավ կլիներ, մոդելն իսկապես հարթեցված է, բայց այն հեռացավ իր սկզբնական եզրից: Եկեք մի փոքր փոխենք կոդը.

Համար (int i=0; i<(int)verts.size(); i++) { float scale = border[i] ? 1000: 1; nlBegin(NL_ROW); nlCoefficient(i, scale); nlRightHandSide(scale*verts[i][d]); nlEnd(NL_ROW); }

Մեր A մատրիցում, եզրին գտնվող գագաթների համար ես ավելացնում եմ ոչ թե տող v_i = verts[i][d] կատեգորիայից, այլ 1000*v_i = 1000*verts[i][d]: Ի՞նչ է դա փոխում։ Եվ սա փոխում է սխալի մեր քառակուսի ձևը: Այժմ վերևից մեկ շեղումը եզրին կարժենա ոչ թե մեկ միավոր, ինչպես նախկինում, այլ 1000 * 1000 միավոր: Այսինքն՝ մենք ավելի ամուր զսպանակ ենք կախել ծայրահեղ գագաթների վրա, լուծումը նախընտրում է ավելի ուժեղ ձգել մյուսներին։ Ահա արդյունքը.

Կրկնապատկենք գագաթների միջև եղած աղբյուրների ուժը.
nl Գործակից (դեմք[ j ], 2); nl Գործակից (դեմք[(j+1)%3], -2);

Տրամաբանական է, որ մակերեսը դարձել է ավելի հարթ.

Եվ հիմա նույնիսկ հարյուր անգամ ավելի ուժեղ.

Ինչ է սա? Պատկերացրեք, որ մենք մետաղական օղակ ենք թաթախել օճառի ջրի մեջ։ Արդյունքում ստացված օճառի թաղանթը կփորձի հնարավորինս նվազագույն կորություն ունենալ՝ դիպչելով նույն եզրագծին՝ մեր մետաղական օղակին: Սա հենց այն է, ինչ մենք ստացել ենք եզրագիծը ամրացնելով և ներսում հարթ մակերես խնդրելով։ Շնորհավորում ենք, մենք հենց նոր լուծեցինք Լապլասի հավասարումը Դիրիխլեի սահմանային պայմաններով: Թո՞ղ է հնչում: Բայց իրականում լուծելու է ընդամենը մեկ գծային հավասարումների համակարգ:

Պուասոնի հավասարումը

Եկեք մեկ այլ թույն անուն ունենանք:

Ենթադրենք, ես ունեմ այսպիսի պատկեր.

Բոլորը լավն են, բայց ես չեմ սիրում աթոռը։

Նկարը կիսով չափ կկտրեմ.

Եվ ես իմ ձեռքերով կընտրեմ աթոռ.

Այնուհետև ես կքաշեմ այն ​​ամենը, ինչ սպիտակ է դիմակի մեջ նկարի ձախ կողմում, և միևնույն ժամանակ ամբողջ նկարում կասեմ, որ երկու հարևան պիքսելների տարբերությունը պետք է հավասար լինի երկու հարևան պիքսելների տարբերությանը։ ճիշտ պատկեր.

Համար (int i=0; i

Ահա արդյունքը.

Իրական կյանքի օրինակ

Ես միտումնավոր չեմ արել լիզել արդյունքները, քանի որ. Ես պարզապես ուզում էի հստակ ցույց տալ, թե ինչպես կարելի է կիրառել նվազագույն քառակուսիների մեթոդները, սա ուսումնական ծածկագիր է: Հիմա բերեմ իրական կյանքի օրինակ.

Ես ունեմ մի շարք գործվածքների նմուշների լուսանկարներ, ինչպիսիք են այս մեկը.

Իմ խնդիրն է այս որակի լուսանկարներից անթերի հյուսվածքներ պատրաստել: Նախ, ես (ավտոմատ կերպով) փնտրում եմ կրկնվող օրինակ.

Եթե ​​ես կտրեմ այս քառանկյունը հենց այստեղ, ապա աղավաղումների պատճառով ծայրերը չեն համընկնի, ահա չորս անգամ կրկնվող օրինակի օրինակ.

Թաքնված տեքստ

Ահա մի հատված, որտեղ կարը հստակ երևում է.

Հետևաբար, ես չեմ կտրի ուղիղ գծի երկայնքով, ահա կտրված գիծը.

Թաքնված տեքստ

Եվ ահա չորս անգամ կրկնվող օրինակը.

Թաքնված տեքստ

Եվ դրա հատվածն ավելի պարզ դարձնելու համար.

Արդեն ավելի լավ է, որ կտրվածքը չի գնացել ուղիղ գծի վրա, շրջանցելով բոլոր տեսակի գանգուրները, բայց այնուամենայնիվ կարը տեսանելի է բնօրինակ լուսանկարում անհավասար լուսավորության պատճառով: Այստեղ է, որ օգնության է հասնում Պուասոնի հավասարման նվազագույն քառակուսիների մեթոդը: Ահա վերջնական արդյունքը լուսավորության հավասարեցումից հետո.

Հյուսվածքն անթերի ստացվեց, և այս ամենը ինքնաբերաբար շատ միջակ որակի լուսանկարից: Մի վախեցեք մաթեմատիկայից, փնտրեք պարզ բացատրություններ, և ձեզ բախտը կբերի ճարտարագիտության մեջ:

Խնդիրը գծային կախվածության գործակիցները գտնելն է, որոնց համար գործում է երկու փոփոխականի ֆունկցիա ԱԵվ բվերցնում է ամենափոքր արժեքը: Այսինքն՝ հաշվի առնելով տվյալները ԱԵվ բԳտնված ուղիղ գծից փորձարարական տվյալների քառակուսի շեղումների գումարը կլինի ամենափոքրը: Սա նվազագույն քառակուսիների մեթոդի ամբողջ իմաստն է:

Այսպիսով, օրինակի լուծումը կրճատվում է երկու փոփոխականների ֆունկցիայի ծայրահեղությունը գտնելով։

Գործակիցներ գտնելու բանաձևերի ստացում.Կազմվում և լուծվում է երկու անհայտ ունեցող երկու հավասարումների համակարգ: Գործառույթների մասնակի ածանցյալների հայտնաբերում ըստ փոփոխականների ԱԵվ բ, այս ածանցյալները հավասարեցնում ենք զրոյի։

Ստացված հավասարումների համակարգը լուծում ենք ցանկացած մեթոդով (օրինակ՝ փոխարինման մեթոդը կամ Կրամերի մեթոդը) և ստանում ենք գործակիցները գտնելու բանաձևեր՝ օգտագործելով նվազագույն քառակուսիների մեթոդը (LSM):

Տվյալներով ԱԵվ բֆունկցիան վերցնում է ամենափոքր արժեքը:

Դա նվազագույն քառակուսիների ամբողջ մեթոդն է: Պարամետրը գտնելու բանաձևը ապարունակում է , , , և պարամետր գումարները n- փորձարարական տվյալների քանակը. Այս գումարների արժեքները խորհուրդ է տրվում հաշվարկել առանձին: Գործակից բհայտնաբերվել է հաշվարկից հետո ա.

Նման բազմանդամների կիրառման հիմնական ոլորտը փորձարարական տվյալների մշակումն է (էմպիրիկ բանաձևերի կառուցումը): Փաստն այն է, որ փորձի օգնությամբ ստացված ֆունկցիայի արժեքներից կառուցված ինտերպոլացիայի բազմանդամը ուժեղ ազդեցություն կունենա «փորձարարական աղմուկի» վրա, ընդ որում, ինտերպոլացիայի ժամանակ ինտերպոլացիոն հանգույցները չեն կարող կրկնվել, այսինքն. դուք չեք կարող օգտագործել կրկնվող փորձերի արդյունքները նույն պայմաններում: Արմատ-միջին քառակուսի բազմանդամը հարթեցնում է աղմուկը և հնարավորություն է տալիս օգտագործել բազմաթիվ փորձերի արդյունքները:

Թվային ինտեգրում և տարբերակում: Օրինակ.

Թվային ինտեգրում- որոշակի ինտեգրալի արժեքի հաշվարկ (որպես կանոն, մոտավոր): Թվային ինտեգրումը հասկացվում է որպես որոշակի ինտեգրալի արժեքը գտնելու թվային մեթոդների մի շարք:

Թվային տարբերակում– Դիսկրետ տրված ֆունկցիայի ածանցյալի արժեքը հաշվարկելու մեթոդների մի շարք:

Ինտեգրում

Խնդրի ձևակերպում.Խնդրի մաթեմատիկական ձևակերպում. անհրաժեշտ է գտնել որոշակի ինտեգրալի արժեքը

որտեղ a, b-ը վերջավոր են, f(x) շարունակական է [а, b]-ում:

Գործնական խնդիրներ լուծելիս հաճախ է պատահում, որ ինտեգրալը անհարմար է կամ անհնար է վերլուծական ընդունել. այն չի կարող արտահայտվել տարրական ֆունկցիաներով, ինտեգրալը կարող է տրվել աղյուսակի տեսքով և այլն: Նման դեպքերում թվային ինտեգրման մեթոդներն են. օգտագործված. Թվային ինտեգրման մեթոդները օգտագործում են կորագիծ տրապիզոնի տարածքի փոխարինումը ավելի պարզ երկրաչափական ձևերի տարածքների վերջավոր գումարով, որը կարելի է ճշգրիտ հաշվարկել: Այս առումով խոսվում է քառակուսային բանաձևերի օգտագործման մասին։

Մեթոդների մեծ մասը օգտագործում է ինտեգրալի ներկայացումը որպես վերջավոր գումար (քառակուսի բանաձև).

Քառակուսային բանաձևերը հիմնված են ինտեգրման ինտերվալի վրա ինտեգրման գրաֆիկը ավելի պարզ ձևի գործառույթներով փոխարինելու գաղափարի վրա, որոնք հեշտությամբ կարող են ինտեգրվել վերլուծական և, հետևաբար, հեշտությամբ հաշվարկվել: Քառակուսային բանաձևերի կառուցման ամենապարզ խնդիրն իրականացվում է բազմանդամ մաթեմատիկական մոդելների համար:

Մեթոդների երեք խումբ կարելի է առանձնացնել.

1. Ինտեգրման հատվածի հավասար ընդմիջումների բաժանման մեթոդ: Ինտերվալների բաժանումը կատարվում է նախօրոք, սովորաբար ինտերվալներն ընտրվում են հավասար (ինտերվալների ծայրերում ֆունկցիայի հաշվարկը հեշտացնելու համար)։ Հաշվիր տարածքները և ամփոփիր դրանք (ուղղանկյունների, տրապիզոիդների, Սիմփսոնի մեթոդները):

2. Ինտեգրման հատվածի բաժանման մեթոդներ հատուկ կետերի միջոցով (Գաուսի մեթոդ):

3. Ինտեգրալների հաշվարկ պատահական թվերով (Մոնտե Կառլոյի մեթոդ):

Ուղղանկյունի մեթոդ.Թող ֆունկցիան (գծագիրը) թվային կերպով ինտեգրվի հատվածի վրա: Հատվածը բաժանում ենք N հավասար ընդմիջումներով։ N կորագծային տրապիզոիդներից յուրաքանչյուրի մակերեսը կարող է փոխարինվել ուղղանկյունի մակերեսով։

Բոլոր ուղղանկյունների լայնությունը նույնն է և հավասար է.

Որպես ուղղանկյունների բարձրության ընտրություն, կարող եք ընտրել ֆունկցիայի արժեքը ձախ եզրագծի վրա: Այս դեպքում առաջին ուղղանկյան բարձրությունը կլինի f(a), երկրորդը՝ f(x 1),…, N-f(N-1):

Եթե ​​որպես ուղղանկյան բարձրության ընտրություն վերցնենք աջ եզրագծի ֆունկցիայի արժեքը, ապա այս դեպքում առաջին ուղղանկյան բարձրությունը կլինի f (x 1), երկրորդը՝ f (x 2), ։ .., N - f (x N):

Ինչպես երևում է, այս դեպքում բանաձևերից մեկը ավելցուկով մոտավորություն է տալիս ինտեգրալին, իսկ երկրորդը՝ թերությամբ։ Կա ևս մեկ միջոց՝ ինտեգրման հատվածի միջնամասում ֆունկցիայի արժեքը օգտագործել մոտարկման համար.

Ուղղանկյունների մեթոդի բացարձակ սխալի գնահատում (միջին)

Ձախ և աջ ուղղանկյունների մեթոդների բացարձակ սխալի գնահատում.

Օրինակ.Հաշվեք ամբողջ ինտերվալի համար և ընդմիջումը բաժանելով չորս հատվածի

Լուծում.Այս ինտեգրալի վերլուծական հաշվարկը տալիս է I=arctg(1)–arctg(0)=0,7853981634: Մեր դեպքում.

1) h = 1; xo = 0; x1 = 1;

2) h = 0,25 (1/4); x0 = 0; x1 = 0,25; x2 = 0,5; x3 = 0,75; x4 = 1;

Մենք հաշվարկում ենք ձախ ուղղանկյունների մեթոդով.

Մենք հաշվարկում ենք ուղղանկյուն ուղղանկյունների մեթոդով.

Հաշվել միջին ուղղանկյունների մեթոդով.

Trapezoidal մեթոդ.Առաջին աստիճանի բազմանդամի օգտագործումը ինտերպոլացիայի համար (ուղիղ գիծ, ​​որը գծված է երկու կետերի միջով) հանգեցնում է trapezoid բանաձևին: Ինտեգրման հատվածի ծայրերը վերցվում են որպես ինտերպոլացիոն հանգույցներ։ Այսպիսով, կորագիծ trapezoid-ը փոխարինվում է սովորական trapezoid-ով, որի մակերեսը կարելի է գտնել որպես հիմքերի գումարի կեսի և բարձրության արտադրյալ:

Բոլոր հանգույցների համար ինտեգրման N հատվածների դեպքում, բացառությամբ հատվածի ծայրահեղ կետերի, ֆունկցիայի արժեքը երկու անգամ կներառվի ընդհանուր գումարի մեջ (քանի որ հարևան trapezoids ունեն մեկ ընդհանուր կողմ)

Trapezoid բանաձևը կարելի է ստանալ՝ վերցնելով հատվածի աջ և ձախ եզրերի երկայնքով ուղղանկյան բանաձևերի գումարի կեսը.

Լուծման կայունության ստուգում:Որպես կանոն, այնքան կարճ է յուրաքանչյուր ինտերվալի երկարությունը, այսինքն. որքան մեծ է այդ ինտերվալների թիվը, այնքան փոքր է տարբերությունը ինտեգրալի մոտավոր և ճշգրիտ արժեքների միջև: Սա ճիշտ է գործառույթների մեծ մասի համար: Trapezoid մեթոդում ϭ ինտեգրալը հաշվարկելիս սխալը մոտավորապես համաչափ է ինտեգրման քայլի քառակուսուն (ϭ ~ h 2): Այսպիսով, a, b սահմաններում որոշակի ֆունկցիայի ինտեգրալը հաշվարկելու համար անհրաժեշտ է. հատվածը բաժանել N 0 միջակայքերի և գտի՛ր տրապիզոնի մակերեսների գումարը: Այնուհետև անհրաժեշտ է ավելացնել N 1 միջակայքերի քանակը, կրկին հաշվարկել տրապիզոնի գումարը և ստացված արժեքը համեմատել նախորդ արդյունքի հետ: Սա պետք է կրկնվի մինչև (N i) մինչև արդյունքի նշված ճշգրտությունը (կոնվերգենցիայի չափանիշ) հասնելը:

Ուղղանկյունի և տրապիզոիդ մեթոդների համար, սովորաբար, կրկնման յուրաքանչյուր քայլում, միջակայքների թիվը մեծանում է 2 գործակցով (N i +1 =2N i):

Կոնվերգենցիայի չափանիշ.

Trapezoid կանոնի հիմնական առավելությունը նրա պարզությունն է: Այնուամենայնիվ, եթե ինտեգրումը պահանջում է բարձր ճշգրտություն, այս մեթոդը կարող է պահանջել չափազանց շատ կրկնություններ:

Trapezoidal մեթոդի բացարձակ սխալգնահատվել է որպես
.

Օրինակ.Հաշվեք մոտավորապես որոշակի ինտեգրալ՝ օգտագործելով trapezoid բանաձևը:

ա) Ինտեգրման հատվածը 3 մասի բաժանելը.
բ) Ինտեգրման հատվածի բաժանումը 5 մասի.

Լուծում:
ա) Ըստ պայմանի, ինտեգրացիոն հատվածը պետք է բաժանվի 3 մասի, այսինքն.
Հաշվեք բաժանման յուրաքանչյուր հատվածի երկարությունը. .

Այսպիսով, trapezoids- ի ընդհանուր բանաձևը կրճատվում է հաճելի չափի.

Վերջապես.

Հիշեցնում եմ, որ ստացված արժեքը տարածքի մոտավոր արժեքն է։

բ) Ինտեգրման հատվածը բաժանում ենք 5 հավասար մասերի, այսինքն՝ . ավելացնելով հատվածների քանակը՝ մենք մեծացնում ենք հաշվարկների ճշգրտությունը։

Եթե ​​, ապա trapezoid բանաձևը ստանում է հետևյալ ձևը.

Եկեք գտնենք բաժանման քայլը.
, այսինքն՝ յուրաքանչյուր միջանկյալ հատվածի երկարությունը 0,6 է։

Առաջադրանքն ավարտելիս հարմար է բոլոր հաշվարկները կազմել հաշվարկային աղյուսակով.

Առաջին տողում գրում ենք «հաշվիչը»

Որպես արդյունք:

Դե պարզաբանում իսկապես կա, այն էլ լուրջ։
Եթե ​​բաժանման 3 հատվածի համար, ապա 5 հատվածի համար: Եթե ​​վերցնեք ավելի շատ հատված => կլինի ավելի ճշգրիտ:

Սիմփսոնի բանաձեւ. Trapezoid բանաձևը տալիս է արդյունք, որը մեծապես կախված է քայլի չափից h, որն ազդում է որոշակի ինտեգրալի հաշվարկի ճշգրտության վրա, հատկապես այն դեպքերում, երբ ֆունկցիան ոչ միապաղաղ է: Կարելի է ենթադրել հաշվարկների ճշգրտության աճ, եթե f(x ֆունկցիայի գրաֆիկի կորագիծ հատվածները փոխարինող ուղիղ գծերի հատվածների փոխարեն օգտագործենք, օրինակ, պարաբոլների բեկորներ, որոնք տրված են գրաֆիկի երեք հարևան կետերով։ . Նմանատիպ երկրաչափական մեկնաբանության հիմքում ընկած է Սիմփսոնի մեթոդը՝ որոշակի ինտեգրալը հաշվարկելու համար։ Ամբողջ ինտեգրման միջակայքը a,b բաժանված է N հատվածների, հատվածի երկարությունը նույնպես հավասար կլինի h=(b-a)/N-ի։

Սիմփսոնի բանաձևը հետևյալն է.

մնացորդային ժամկետ

Սեգմենտների երկարության աճով բանաձևի ճշգրտությունը նվազում է, հետևաբար, ճշգրտությունը մեծացնելու համար օգտագործվում է կոմպոզիտային Simpson բանաձևը: Ամբողջ ինտեգրման միջակայքը բաժանված է զույգ թվով նույնական հատվածների N, հատվածի երկարությունը նույնպես հավասար կլինի h=(b-a)/N-ի։ Սիմփսոնի կոմպոզիտային բանաձևը հետևյալն է.

Բանաձևում փակագծերում արտահայտությունները ինտեգրանի արժեքների գումարներն են, համապատասխանաբար, կենտ և զույգ ներքին հատվածների ծայրերում:

Սիմփսոնի բանաձևի մնացած անդամն արդեն համաչափ է քայլի չորրորդ ուժին.

Օրինակ:Հաշվիր ինտեգրալը՝ օգտագործելով Սիմփսոնի կանոնը։ (Ճշգրիտ լուծում - 0.2)

Գաուսի մեթոդ

Գաուսի քառակուսային բանաձևը. Երկրորդ սորտի քառակուսային բանաձևերի հիմնական սկզբունքը տեսանելի է Նկար 1.12-ից. անհրաժեշտ է կետերը տեղադրել այնպես. X 0 և X 1 հատվածի ներսում [ ա;բ] այնպես, որ «եռանկյունների» մակերեսներն ընդհանուր առմամբ հավասար լինեն «հատվածի» մակերեսներին։ Գաուսի բանաձևն օգտագործելիս սկզբնական հատվածը [ ա;բ]-ը կրճատվում է մինչև [-1;1] միջակայքը՝ փոխելով փոփոխականը Xվրա

0.5∙(բ– ա)∙տ+ 0.5∙(բ + ա).

Հետո , Որտեղ .

Այս փոխարինումը հնարավոր է, եթե աԵվ բվերջավոր են, իսկ ֆունկցիան զ(x) շարունակական է [ ա;բ]։ Գաուսի բանաձևը nմիավորներ x i, ես=0,1,..,n-1 հատվածի ներսում [ ա;բ]:

, (1.27)

Որտեղ t iԵվ A iզանազանության համար nտրված են տեղեկատու գրքերում: Օրինակ, երբ n=2 Ա 0 =Ա 1=1; ժամը n=3: տ 0 =t 2" 0.775, տ 1 =0, Ա 0 =Ա 2" 0.555, Ա 1" 0,889.

Գաուսի քառակուսային բանաձևը

ստացված մեկին հավասար քաշի ֆունկցիայով p(x)= 1 և հանգույցներ x i, որոնք Լեժանդրի բազմանդամների արմատներն են

Հնարավորություններ A iհեշտությամբ հաշվարկվում է բանաձևերով

ես=0,1,2,...n.

Հանգույցների և գործակիցների արժեքները n=2,3,4,5-ի համար տրված են աղյուսակում.

Պատվեր	Հանգույցներ	Հնարավորություններ
n=2	x 1=0 x 0 =-x2=0.7745966692	Ա 1=8/9 A 0 = A 2=5/9
n=3	x 2 =-x 1=0.3399810436 x 3 =-x0=0.8611363116	A 1 = A 2=0.6521451549 A 0 = A 3=0.6521451549
n=4	x 2 = 0 x 3 = -x 1 = 0.5384693101 x 4 =-x 0 =0.9061798459	Ա 0 =0.568888899 Ա 3 =Ա 1 =0.4786286705 Ա 0 =Ա 4 =0.2869268851
n=5	x 5 = -x 0 =0.9324695142 x 4 = -x 1 =0.6612093865 x 3 = -x 2 =0.2386191861	Ա 5 =Ա 0 =0.1713244924 Ա 4 =Ա 1 =0.3607615730 Ա 3 =Ա 2 =0.4679139346

Օրինակ.Հաշվեք արժեքը՝ օգտագործելով Գաուսի բանաձևը n=2:

Ճշգրիտ արժեք: .

Գաուսի բանաձևով ինտեգրալը հաշվարկելու ալգորիթմը նախատեսում է ոչ թե կրկնապատկել միկրոսեգմենտների քանակը, այլ օրդինատների քանակը 1-ով ավելացնել և համեմատել ինտեգրալի ստացված արժեքները: Գաուսի բանաձեւի առավելությունը բարձր ճշգրտությունն է՝ համեմատաբար փոքր թվով օրդինատներով։ Թերությունները՝ անհարմար է ձեռքով հաշվարկների համար; պետք է պահվի համակարգչի հիշողության մեջ t i, A iզանազանության համար n.

Գաուսի քառակուսային բանաձևի սխալը հատվածի վրա կլինի միևնույն ժամանակ: Մնացած անդամի բանաձևը կլինի այնտեղ, որտեղ α գործակիցը Նաճի հետ արագ նվազում է Ն. Այստեղ

Գաուսի բանաձևերը բարձր ճշգրտություն են ապահովում արդեն փոքր թվով հանգույցների դեպքում (4-ից մինչև 10):Այս դեպքում գործնական հաշվարկներում հանգույցների թիվը տատանվում է մի քանի հարյուրից մինչև մի քանի հազար: Մենք նաև նշում ենք, որ Գաուսի քառակուսիների կշիռները միշտ դրական են, ինչը ապահովում է գումարների հաշվարկման ալգորիթմի կայունությունը.