Opseg funkcija u zadacima ispita. Rješavanje tipičnih problema Pronađite skup vrijednosti funkcije 4 x 2
Mnogi zadaci nas navode na traženje skupa vrijednosti funkcije na određenom segmentu ili na cijeloj domeni definiranja. Takvi zadaci uključuju razna vrednovanja izraza, rješavanje nejednadžbi.
U ovom ćemo članku definirati raspon funkcije, razmotriti metode za njezino pronalaženje i detaljno analizirati rješenje primjera od jednostavnijih do složenijih. Sav će materijal biti opremljen grafičkim ilustracijama radi jasnoće. Stoga je ovaj članak detaljan odgovor na pitanje kako pronaći raspon funkcije.
Definicija.
Skup vrijednosti funkcije y = f(x) na intervalu X zove se skup svih vrijednosti funkcije koje uzima kada ponavlja sve.
Definicija.
Raspon funkcije y = f(x) naziva se skup svih vrijednosti funkcije koje ona poprima iteracijom preko svih x iz domene definicije.
Raspon funkcije je označen kao E(f) .
Raspon funkcije i skup vrijednosti funkcije nisu ista stvar. Ovi koncepti će se smatrati ekvivalentnim ako se interval X pri pronalaženju skupa vrijednosti funkcije y = f(x) podudara s domenom funkcije.
Također, nemojte brkati raspon funkcije s varijablom x za izraz na desnoj strani jednadžbe y=f(x) . Područje dopuštenih vrijednosti varijable x za izraz f(x) je područje definicije funkcije y=f(x).
Na slici je prikazano nekoliko primjera.
Grafikoni funkcija prikazani su podebljanim plavim linijama, tanke crvene linije su asimptote, crvene točke i linije na osi Oy pokazuju raspon odgovarajuće funkcije.
Kao što vidite, raspon funkcije se dobiva projiciranjem grafa funkcije na y-os. To može biti jedan broj (prvi slučaj), skup brojeva (drugi slučaj), segment (treći slučaj), interval (četvrti slučaj), otvorena zraka (peti slučaj), unija (šesti slučaj), itd. .
Dakle, što trebate učiniti da pronađete raspon funkcije.
Počnimo s najjednostavnijim slučajem: pokazat ćemo kako odrediti skup vrijednosti kontinuirane funkcije y = f(x) na intervalu .
Poznato je da funkcija kontinuirana na segmentu na njemu postiže svoje maksimalne i minimalne vrijednosti. Dakle, skup vrijednosti izvorne funkcije na segmentu bit će segment 
. Stoga se naš zadatak svodi na pronalaženje najveće i najmanje vrijednosti funkcije na intervalu .
Na primjer, pronađimo raspon funkcije arkusina.
Primjer.
Odredite raspon funkcije y = arcsinx .
Riješenje.
Područje definiranja arkusina je segment [-1; 1] . Odredi najveću i najmanju vrijednost funkcije na ovom segmentu. 
Derivacija je pozitivna za sve x iz intervala (-1; 1) , odnosno arkus sinusna funkcija raste u cijeloj domeni definicije. Stoga najmanju vrijednost poprima pri x = -1, a najveću pri x = 1. 
Dobili smo raspon funkcije arksinusa 
.
Primjer.
Pronađite skup vrijednosti funkcije 
na segmentu.
Riješenje.
Odredi najveću i najmanju vrijednost funkcije na zadanom segmentu.
Definirajmo točke ekstrema koje pripadaju segmentu: 
Izračunavamo vrijednosti izvorne funkcije na krajevima segmenta iu točkama 
:
Dakle, skup vrijednosti funkcije na segmentu je segment 
.
Sada ćemo pokazati kako pronaći skup vrijednosti kontinuirane funkcije y = f(x) u intervalima (a; b) , .
Najprije se određuju točke ekstrema, ekstremi funkcije, intervali rasta i opadanja funkcije na zadanom intervalu. Zatim izračunavamo krajeve intervala i (ili) granice u beskonačnosti (to jest, proučavamo ponašanje funkcije na granicama intervala ili u beskonačnosti). Ova informacija je dovoljna da se pronađe skup vrijednosti funkcije na takvim intervalima.
Primjer.
Odredite skup vrijednosti funkcije na intervalu (-2; 2) .
Riješenje.
Nađimo točke ekstrema funkcije koje padaju na interval (-2; 2): 
Točka x = 0 je maksimalna točka, budući da derivacija prolaskom kroz nju mijenja predznak iz plusa u minus, a graf funkcije ide od rastućeg prema padajućem. 
je odgovarajući maksimum funkcije.
Otkrijmo ponašanje funkcije kada x teži -2 s desne strane i kada x teži 2 s lijeve strane, odnosno nalazimo jednostrane granice: 
Što smo dobili: kada se argument promijeni s -2 na nulu, vrijednosti funkcije rastu od minus beskonačnosti do minus jedne četvrtine (maksimum funkcije pri x = 0), kada se argument promijeni s nule na 2, funkcija vrijednosti se smanjuju do minus beskonačnosti. Dakle, skup vrijednosti funkcije na intervalu (-2; 2) je .
Primjer.
Navedite skup vrijednosti funkcije tangente y = tgx na intervalu.
Riješenje.
Derivacija funkcije tangente na intervalu je pozitivna 
, što ukazuje na povećanje funkcije. Proučavamo ponašanje funkcije na granicama intervala: 
Dakle, kada se argument promijeni s na, vrijednosti funkcije rastu od minus beskonačnosti do plus beskonačnosti, odnosno skup vrijednosti tangente u ovom intervalu je skup svih realnih brojeva.
Primjer.
Nađite raspon funkcije prirodnog logaritma y = lnx.
Riješenje.
Funkcija prirodnog logaritma definirana je za pozitivne vrijednosti argumenta 
. Na tom intervalu derivacija je pozitivna 
, to ukazuje na povećanje funkcije na njemu. Nađimo jednostranu granicu funkcije dok argument teži nuli s desne strane, i granicu kada x teži plus beskonačnosti: 
Vidimo da kada se x mijenja od nule do plus beskonačno, vrijednosti funkcije rastu od minus beskonačno do plus beskonačno. Stoga je raspon funkcije prirodnog logaritma cijeli skup realnih brojeva.
Primjer.
Riješenje.
Ova je funkcija definirana za sve realne x vrijednosti. Odredimo točke ekstrema, kao i intervale rasta i opadanja funkcije. 
Dakle, funkcija opada na , raste na , x = 0 je maksimalna točka, 
odgovarajući maksimum funkcije.
Pogledajmo ponašanje funkcije u beskonačnosti: 
Dakle, u beskonačnosti, vrijednosti funkcije asimptotski se približavaju nuli.
Saznali smo da kada se argument promijeni od minus beskonačno do nule (maksimalna točka), vrijednosti funkcije rastu od nule do devet (do maksimuma funkcije), a kada se x promijeni od nule do plus beskonačno, vrijednosti funkcije se smanjuju od devet do nule.
Pogledajte shematski crtež.
Sada se jasno vidi da je raspon funkcije .
Pronalaženje skupa vrijednosti funkcije y = f(x) na intervalima zahtijeva slične studije. Nećemo se sada detaljnije zadržavati na ovim slučajevima. Vidjet ćemo ih u primjerima u nastavku.
Neka je domena funkcije y = f(x) unija nekoliko intervala. Pri pronalaženju raspona takve funkcije određuju se skupovi vrijednosti na svakom intervalu i uzima njihova unija.
Primjer.
Pronađite raspon funkcije.
Riješenje.
Nazivnik naše funkcije ne smije ići na nulu, tj.
Prvo, pronađimo skup vrijednosti funkcije na otvorenoj zraci.
Derivacija funkcije 
negativan na tom intervalu, odnosno funkcija na njemu opada. 
Otkrili smo da, kako argument teži minus beskonačnosti, vrijednosti funkcije asimptotski se približavaju jedinici. Kada se x promijeni od minus beskonačnosti do dva, vrijednosti funkcije se smanjuju od jedan do minus beskonačnosti, odnosno na razmatranom intervalu funkcija poprima skup vrijednosti. Ne uključujemo jedinicu, budući da je vrijednosti funkcije ne dosežu, već joj samo asimptotski teže na minus beskonačnosti.
Slično postupamo za otvorenu gredu.
Funkcija također opada u tom intervalu. 
Skup vrijednosti funkcije na ovom intervalu je skup.
Dakle, željeni raspon vrijednosti funkcije je unija skupova i .
Grafička ilustracija.
Zasebno, trebali bismo se zadržati na periodičnim funkcijama. Raspon periodičnih funkcija podudara se sa skupom vrijednosti na intervalu koji odgovara razdoblju ove funkcije.
Primjer.
Nađite raspon sinusne funkcije y = sinx.
Riješenje.
Ova funkcija je periodična s periodom od dva pi. Uzmimo segment i definirajmo skup vrijednosti na njemu. 
Segment sadrži dvije ekstremne točke i .
Izračunavamo vrijednosti funkcije u tim točkama i na granicama segmenta odabiremo najmanju i najveću vrijednost: 
Stoga, 
.
Primjer.
Pronađite raspon funkcije 
.
Riješenje.
Znamo da je raspon arkosinusa segment od nule do pi, tj. 
ili u drugom postu. Funkcija 
može se dobiti iz arccosx pomicanjem i istezanjem duž x-osi. Takve transformacije ne utječu na raspon, stoga, 
. Funkcija 
dolazi od protežući se tri puta duž osi Oy, tj. 
. I posljednja faza transformacija je pomak za četiri jedinice prema dolje duž y-osi. To nas dovodi do dvostruke nejednakosti 
Dakle, željeni raspon vrijednosti je 
.
Navedimo rješenje još jednog primjera, ali bez objašnjenja (nisu potrebna jer su potpuno slična).
Primjer.
Definirajte raspon funkcija 
.
Riješenje.
Zapisujemo izvornu funkciju u obliku 
. Raspon eksponencijalne funkcije je interval . To je, . Zatim 
Stoga, 
.
Da bismo dovršili sliku, trebali bismo govoriti o pronalaženju raspona funkcije koja nije kontinuirana na domeni definicije. U ovom slučaju, domena definicije je podijeljena prijelomnim točkama na intervale, a na svakom od njih nalazimo skupove vrijednosti. Kombinirajući dobivene skupove vrijednosti, dobivamo raspon vrijednosti izvorne funkcije. Preporučamo zapamtiti 3 s lijeve strane, vrijednosti funkcije teže minus jedan, a kada x teži 3 s desne strane, vrijednosti funkcije teže plus beskonačno.
Dakle, područje definicije funkcije podijeljeno je na tri intervala.
Na intervalu imamo funkciju 
. Od tad 
Dakle, skup vrijednosti izvorne funkcije na intervalu je [-6;2] .
Na poluintervalu imamo konstantnu funkciju y = -1 . To jest, skup vrijednosti izvorne funkcije na intervalu sastoji se od jednog elementa.
Funkcija je definirana za sve važeće vrijednosti argumenta. Odredite intervale porasta i opadanja funkcije.
Derivacija nestaje pri x=-1 i x=3 . Te točke označimo na realnoj osi i na dobivenim intervalima odredimo predznake derivacije. 
Funkcija se smanjuje za 
, povećava se za [-1; 3] , x=-1 minimalni bod, x=3 maksimalni bod.
Izračunavamo odgovarajuće minimalne i maksimalne funkcije: 
Provjerimo ponašanje funkcije u beskonačnosti: 
Druga granica je izračunata iz .
Napravimo shematski crtež.
Kada se argument promijeni s minus beskonačnosti na -1, vrijednosti funkcije smanjuju se s plus beskonačnosti na -2e , kada se argument promijeni s -1 na 3, vrijednosti funkcije rastu s -2e na , kada se argument promijeni s 3 do plus beskonačno, vrijednosti funkcije se smanjuju od nule, ali ne dosežu nulu.
Funkcija je model. Definirajmo X kao skup vrijednosti nezavisne varijable // neovisno znači bilo koje.
Funkcija je pravilo po kojem se za svaku vrijednost nezavisne varijable iz skupa X može pronaći jedina vrijednost zavisne varijable. // tj. za svaki x postoji jedan y.
Iz definicije proizlazi da postoje dva pojma - nezavisna varijabla (koju označavamo s x i može poprimiti bilo koju vrijednost) i zavisna varijabla (koju označavamo s y ili f (x) i izračunava se iz funkcije kada zamijenimo x).
NA PRIMJER y=5+x
1. Neovisno je x, pa uzimamo bilo koju vrijednost, neka je x = 3
2. a sada izračunavamo y, pa je y \u003d 5 + x \u003d 5 + 3 \u003d 8. (y je ovisan o x, jer ono što x zamijenimo, dobivamo takav y)
Kažemo da je varijabla y funkcionalno ovisna o varijabli x i to se označava na sljedeći način: y = f (x).
NA PRIMJER.
1.y=1/x. (naziva se hiperbola)
2. y=x^2. (naziva se parabola)
3.y=3x+7. (zvana ravna linija)
4. y \u003d √ x. (naziva se grana parabole)
Neovisna varijabla (koju označavamo s x) naziva se argument funkcije.
Opseg funkcije
Skup svih vrijednosti koje argument funkcije ima naziva se domena funkcije i označava se s D(f) ili D(y).
Uzmite u obzir D(y) za 1.,2.,3.,4.
1. D (y)= (∞; 0) i (0;+∞) //cijeli skup realnih brojeva osim nule.
2. D (y) \u003d (∞; +∞) / / svi mnogi realni brojevi
3. D (y) \u003d (∞; +∞) / / svi mnogi realni brojevi
4. D (y) \u003d
Primjeri
Pronađite skup vrijednosti funkcije:
Korištenje izvedenice
Nađi domenu definicije: D(f)=[-3;3], jer $9-x^(2)\geq 0$
Pronađite izvod: $f"(x)=-\frac(x)(\sqrt(9-x^(2)))$
f"(x) = 0 ako je x = 0. f"(x) ne postoji ako je $\sqrt(9-x^(2))=0$ tj. za x = ±3. Dobivamo tri kritične točke: x 1 \u003d -3, x 2 \u003d 0, x 3 \u003d 3, od kojih se dvije podudaraju s krajevima segmenta. Izračunajte: f(–3) = 0, f(0) = 3, f(3) = 0. Dakle, najmanja vrijednost f(x) je 0, najveća vrijednost je 3.
Odgovor: E(f) = .
NE koristi izvedenicu
Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije:
Od $
f(x) = 1-\cos^(2)(x)+\cos(x)-\frac(1)(2) =
= 1-\frac(1)(2)+\frac(1)(4)-(\cos^(2)(x)-2\cdot\cos(x)\cdot\frac(1)(2) +(\frac(1)(2))^2) =
= \frac(3)(4)-(\cos(x)-\frac(1)(2))^(2) $ , tada:
$f(x)\leq \frac(3)(4)$ za sve x;
$f(x)\geq \frac(3)(4)-(\frac(3)(2))^(2)=-\frac(3)(2)$ za sve x(jer $|\cos (x)|\leq 1$);
$f(\frac(\pi)(3))= \frac(3)(4)-(\cos(\frac(\pi)(3))-\frac(1)(2))^(2 )=\frac(3)(4)$;
$f(\pi)= \frac(3)(4)-(\cos(\pi)-\frac(1)(2))^(2)=-\frac(3)(2)$;
Odgovor: $\frac(3)(4)$ i $-\frac(3)(2)$
Ako riješite ovaj problem uz pomoć izvedenica, tada ćete morati prevladati prepreke povezane s činjenicom da je funkcija f (x) definirana ne na segmentu, već na cijeloj realnoj liniji.
Korištenje metode granica/procjena
Iz definicije sinusa slijedi da je $-1\leq\sin(x)\leq 1$. Zatim koristimo svojstva numeričkih nejednakosti.
$-4\leq - 4\sin(x)\leq 4$, (pomnožite sva tri dijela dvostruke nejednadžbe s -4);
$1\leq 5 - 4\sin(x)\leq 9$ (dodano trima dijelovima dvostruke nejednadžbe 5);
Jer dana funkcija kontinuiran na cijeloj domeni definicije, tada se skup njegovih vrijednosti nalazi između njegove najmanje i najveće vrijednosti na cijeloj domeni definicije, ako postoji.
U ovom slučaju, skup vrijednosti funkcije $y = 5 - 4\sin(x)$ je skup .
Iz nejednakosti $$ \\ -1\leq\cos(7x)\leq 1 \\ -5\leq 5\cos(x)\leq 5 $$ dobivamo procjenu $$\\ -6\leq y\ leq 6 $ $
Za x = p i x = 0, funkcija poprima vrijednosti -6 i 6, tj. dostiže donju i gornju granicu. Kao linearna kombinacija kontinuiranih funkcija cos(7x) i cos(x), funkcija y je kontinuirana duž cijele brojčane osi, pa po svojstvu kontinuirane funkcije poprima sve vrijednosti od -6 do uključivo 6, a samo njih, budući da su mu zbog nejednakosti $- 6\leq y\leq 6$ druge vrijednosti nemoguće.
Prema tome, E(y) = [-6;6].
$$ \\ -1\leq\sin(x)\leq 1 \\ 0\leq\sin^(2)(x)\leq 1 \\ 0\leq2\sin^(2)(x)\leq 2 \\ 1\leq1+2\sin^(2)(x)\leq 3 $$ Odgovor: E(f) = .
$$ \\ -\infty< {\rm tg}\, x < +\infty \\ 0 \leq {\rm tg}^{2}\, x < +\infty \\ 3 \leq 3+{\rm tg}^{2}\, x < +\infty \\ 2^{3} \leq 2^{3+{\rm tg}^{2}\, x} < +\infty \\ -\infty < -2^{3+{\rm tg}^{2}\, x} \leq -8 \\ -\infty < 3-2^{3+{\rm tg}^{2}\, x} \leq -5 $$ Ответ: E(f) = (–∞; -5].
$$ \\ -\infty< \lg{x} < +\infty \\ 0 \leq \lg^{2}{x} < +\infty \\ -\infty < -\lg^{2}{x} \leq 0 \\ -\infty < 16-\lg^{2}{x} \leq 16 \\ 0 \leq \sqrt{16-\lg^{2}{x}} \leq 4 \\ 2 \leq 2+\sqrt{16-\lg^{2}{x}} \leq 6 $$ Ответ: E(f) = .
Transformirajmo izraz $$ \\ \sin(x) + \cos(x) = \sin(x) + \sin(\frac(\pi)(2) - x) = \\ 2\sin\left ((\ frac(x + \frac(\pi)(2) - x)(2)) \desno)\cos\lijevo ((\frac(x + \frac(\pi)(2) + x)( 2)) \desno) \\ = 2\sin(\frac(\pi)(4))cos(x +\frac(\pi)(4)) = \sqrt(2)cos(x +\frac( \pi) (4)) $$.
Definicija kosinusa implicira $$ \\ -1\leq\cos(x)\leq 1; \\ -1\leq \cos((x + \frac(\pi)(4)))\leq 1; \\ -\sqrt(2)\leq \sqrt(2)\cos((x +\frac(\pi)(4)))\leq\sqrt(2); $$
Budući da je ova funkcija kontinuirana na cijeloj domeni definicije, tada je skup njezinih vrijednosti zatvoren između svoje najmanje i najveće vrijednosti, ako postoji, skup vrijednosti funkcije $y =\sqrt(2)\ cos((x +\frac(\pi)(4 )))$ je skup $[-\sqrt(2);\sqrt(2)]$.
$$\\ E(3^(x)) = (0;+∞), \\ E(3^(x)+ 1) = (1;+∞), \\ E(-(3^(x) )+ 1)^(2) = (-∞;-1), \\ E(5 – (3^(x)+1)^(2)) = (-∞;4) $$
Označite $t = 5 – (3^(x)+1)^(2)$, gdje je -∞≤t≤4. Dakle, problem se svodi na pronalaženje skupa vrijednosti funkcije $y = \log_(0,5)(t)$ na zraku (-∞;4). Budući da je funkcija $y = \log_(0,5)(t)$ definirana samo za t > 0 , njen skup vrijednosti na zraku (-∞;4) podudara se sa skupom vrijednosti funkcija na intervalu (0;4) koja predstavlja sjecište zrake (-∞;4) s domenom definicije (0;+∞) logaritamske funkcije. Na intervalu (0;4) ova funkcija je kontinuirana i padajuća. Za t > 0 teži +∞, a za t = 4 poprima vrijednost -2, pa je E(y) = (-2, +∞).
Koristimo tehniku koja se temelji na grafičkom prikazu funkcije.
Nakon transformacija funkcije imamo: y 2 + x 2 = 25, te y ≥ 0, |x| ≤ 5.
Treba podsjetiti da je $x^(2)+y^(2)=r^(2)$ jednadžba kruga polumjera r.
Pod ovim ograničenjima, graf ove jednadžbe je gornji polukrug sa središtem u ishodištu i polumjerom jednakim 5. Očito je da je E(y) = .
Odgovor: E(y) = .
Reference
Opseg funkcija u problemima Jedinstvenog državnog ispita, Minyuk Irina Borisovna
Savjeti za pronalaženje skupa vrijednosti funkcije, Belyaeva I., Fedorova S.
Pronalaženje skupa vrijednosti funkcije
Kako riješiti zadatke iz matematike na prijemnom ispitu, I.I. Melnikov, I.N. Sergeev
Stranica 1
Lekcija 3
"raspon funkcija"
Ciljevi: - Primijeniti koncept raspona vrijednosti na rješenje konkretnog problema;
riješenje tipični zadaci.
Već nekoliko godina redovito se pojavljuju problemi na ispitima u kojima se iz zadane obitelji funkcija moraju odabrati one čiji skupovi vrijednosti zadovoljavaju deklarirane uvjete.
Razmotrimo takve zadatke.
Ažuriranje znanja.
Što podrazumijevamo pod skupom vrijednosti funkcije?
Što je skup vrijednosti funkcije?
Iz kojih podataka možemo pronaći skup vrijednosti funkcije? (Prema analitičkom zapisu funkcije ili njezinom grafu)
(cm USE zadaci, dio A)
Koje vrijednosti funkcija znamo? (Glavne funkcije navedene su ispisanim na ploči; za svaku od funkcija zapisan je njezin skup vrijednosti). Kao rezultat toga, na ploči iu učeničkim bilježnicama
|
Funkcija |
Mnoge vrijednosti |
|
g = x 2 g = x 3 y=| x| y=
|
E( g) = E( g) = [- 1, 1] E( g) = (– ∞, + ∞) E( g) = (– ∞, + ∞) E( g) = (– ∞, + ∞) E( g) = (0, + ∞) |
Možemo li pomoću ovog znanja odmah pronaći skupove vrijednosti funkcija napisanih na ploči? (vidi tablicu 2).
Što može pomoći u odgovoru na ovo pitanje? (Grafovi ovih funkcija).
Kako nacrtati prvu funkciju? (Spustite parabolu 4 jedinice prema dolje).
|
Funkcija |
Mnoge vrijednosti |
|
g = x 2 – 4 |
E( g) = [-4, + ∞) |
|
g = + 5 |
E( g) = |
|
g = – 5 cos x |
E( g) = [- 5, 5] |
|
y= tg( x + / 6) – 1 |
E( g) = (– ∞, + ∞) |
|
y= grijeh( x + / 3) – 2 |
E( g) = [- 3, - 1] |
|
y=| x – 1 | + 3 |
E( g) = |
|
y=| ctg x| |
E( g) = |
|
g =  = | cos(x + /4) | |
E( g) = |
|
y=(x- 5) 2 + 3 |
E( g) = . Pronađite skup vrijednosti funkcije:   . 
Uvođenje algoritma za rješavanje problema pronalaženja skupa vrijednosti trigonometrijskih funkcija. Pogledajmo kako možemo primijeniti naše iskustvo na razne zadatke uključene u opcije za jedan ispit. 1. Pronalaženje vrijednosti funkcija za zadanu vrijednost argumenta. Primjer. Odredite vrijednost funkcije y = 2 cos(π/2+ π/4 ) – 1, Ako x = -π/2. Riješenje. g(-π/2) = 2 cos(- π/2 – π/4 )- 1= 2 cos(π/2 + π/4 )- 1 = - 2 grijehπ/4 – 1 = - 2  – 1 =
= – 2. Određivanje raspona trigonometrijskih funkcija
1≤ grijehx≤ 1 2 ≤ 2 grijehx≤ 2 9 ≤ 11+2grijehx≤ 13 3 ≤ Ispišimo cjelobrojne vrijednosti funkcije na intervalu. Ovaj broj je 3. Odgovor: 3.
na= grijeh 2 X- 2 3 grijehx + 3 2 - 3 2 + 8, na= (grijehX- 3) 2 -1. E ( grijehx) = [-1;1]; E ( grijehx -3) = [-4;-2]; E ( grijehx -3) 2 = ; E ( na) = . Odgovor: .
Možemo li pronaći skup vrijednosti za ovu funkciju? (Ne.) Što treba učiniti? (Svedeno na jednu funkciju.) Kako to učiniti? (Koristite formulu cos 2 x= 1-grijeh 2 x.) Tako, na= 1-grijeh 2 x+2sin x –2, g= -grijeh 2 x+2sin x –1, na= -(grijeh x –1) 2 . Pa, sada možemo pronaći skup vrijednosti i odabrati najmanju od njih. 1 ≤ grijeh x ≤ 1, 2 ≤ grijeh x – 1 ≤ 0, 0 ≤ (sin x – 1) 2 ≤ 4, 4 ≤ -(sin x -1) 2 ≤ 0. Dakle, najmanja vrijednost funkcije na najam= -4. Odgovor: -4.
Riješenje. na= 1-cos 2 x+ cos x + 1,5, na= -cos 2 x+ 2∙0,5∙cos x - 0,25 + 2,75, na= -(cos x- 0,5) 2 + 2,75. E(cos x) = [-1;1], E(cos x – 0,5) = [-1,5;0,5], E(cos x – 0,5) 2 = , E(-(cos x-0,5) 2) = [-2,25;0], E( na) = . Najveća vrijednost funkcije na naib= 2,75; najmanja vrijednost na najam= 0,5. Nađimo umnožak najveće i najmanje vrijednosti funkcije: na naib ∙na najam = 0,5∙2,75 = 1,375. Odgovor: 1.375. Riješenje. Prepišimo funkciju u obliku na =, na = Pronađimo sada skup vrijednosti funkcije. E(grijeh x) = [-1, 1], E(6 sin x) = [-6, 6], E(6 sin x + 1) = [-5, 7], E((6sin x + 1) 2) = , E(– (6sin x + 1) 2) = [-49, 0], E(– (6sin x + 1) 2 + 64) = , E( g) = [ Nađimo zbroj cjelobrojnih vrijednosti funkcije: 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 30. Odgovor: 30.  Riješenje. 1) 2) Stoga, 2 x pripadaju drugoj četvrtini. 3) U drugoj četvrtini funkcija sinusa opada i kontinuirana je. Dakle, ova funkcija 4) Izračunajte ove vrijednosti:
Odgovor :
 Riješenje. 1) Budući da sinus uzima vrijednosti od -1 do 1, tada skup vrijednosti razlike 2) Arkosinus je monotono opadajuća i kontinuirana funkcija. Dakle, skup vrijednosti izraza je segment 3) Kada se ovaj segment pomnoži sa Odgovor:  Riješenje. Budući da je arktangens rastuća funkcija, onda 2) Pri povećanju x iz 3) Pri povećanju od 4) Koristeći formulu koja izražava sinus kroz tangens polukuta, nalazimo da
Dakle, željeni skup vrijednosti je unija segmenata Odgovor: na= a sin x + b cos x ili na= grijeh (Rx) + bcos (Rx).
Riješenje. Pronađimo vrijednost Transformirajmo izraz 15 sin 2x + 20 cos 2x = 25 ( 25 grijeha (2x + Skup vrijednosti funkcije y \u003d sin (2x + Zatim skup vrijednosti izvorne funkcije -25 Odgovor:
[-25; 25].
Funkcija na= ctg x opada na segmentu [π/4; π/2], stoga će funkcija uzeti najmanju vrijednost pri x =π/2, tj na(π/2) = stg π/2 = 0; a najveća vrijednost je kod x=π/4, tj na(π/4) = stg π/4 = 1. Odgovor: 1, 0.  . Riješenje. Odvojeni u jednakosti Slijedi da je graf funkcije f(x) ili hiperbola (a≠ 0) ili pravac bez točke. Štoviše, ako je; 2a) i (2a; Ako je a \u003d 0, tada je f (x) \u003d -2 u cijeloj domeni definicije x ≠ 0. Stoga je očito da željene vrijednosti parametra nisu jednake nuli. Budući da nas zanimaju samo vrijednosti funkcije na segmentu [-1; 1], tada je klasifikacija situacija određena činjenicom da se asimptota x = 2a hiperbole (a≠0) nalazi u odnosu na ovaj segment. Slučaj 1. Sve točke intervala [-1; 1] nalaze se desno od vertikalne asimptote x = 2a, tj. kada je 2a Slučaj 2. Vertikalna asimptota siječe interval [-1; 1], a funkcija opada (kao u slučaju 1), odnosno kada Slučaj 3. Vertikalna asimptota siječe interval [-1; 1], a funkcija je rastuća, tj. -1 Slučaj 4. Sve točke intervala [-1; 1] nalaze se lijevo od okomite asimptote, odnosno 1 a > . i drugo Prijem 5. Pojednostavljivanje formule koja definira razlomačku racionalnu funkciju Prijem 6. Pronalaženje skupa vrijednosti kvadratnih funkcija (pronalaženjem vrha parabole i utvrđivanjem prirode ponašanja njezinih grana). Prijem 7. Uvođenje pomoćnog kuta za pronalaženje skupa vrijednosti nekih trigonometrijskih funkcija. Često, u okviru rješavanja problema, moramo tražiti skup vrijednosti funkcije na domeni definicije ili na segmentu. Na primjer, to treba učiniti prilikom rješavanja različiti tipovi nejednakosti, evaluacije izraza itd. Kao dio ovog materijala, reći ćemo vam što je raspon funkcije, dati glavne metode pomoću kojih se može izračunati i analizirati probleme različitih stupnjeva složenosti. Radi jasnoće, pojedini položaji prikazani su grafikonima. Nakon čitanja ovog članka imat ćete sveobuhvatno razumijevanje opsega funkcije. Počnimo s osnovnim definicijama. Definicija 1 Skup vrijednosti funkcije y = f (x) na nekom intervalu x je skup svih vrijednosti koje ova funkcija poprima iteracijom preko svih vrijednosti x ∈ X. Definicija 2 Raspon funkcije y = f (x) je skup svih njezinih vrijednosti koje može poprimiti pri ponavljanju preko vrijednosti x iz raspona x ∈ (f) . Raspon neke funkcije obično se označava s E (f) . Imajte na umu da koncept skupa vrijednosti funkcije nije uvijek identičan području njegovih vrijednosti. Ovi koncepti će biti ekvivalentni samo ako se raspon vrijednosti x pri pronalaženju skupa vrijednosti podudara s domenom funkcije. Također je važno razlikovati raspon i raspon varijable x za izraz s desne strane y = f (x) . Područje prihvatljivih vrijednosti x za izraz f (x) bit će područje definiranja ove funkcije. Ispod je ilustracija koja prikazuje neke primjere. Plave linije su grafovi funkcija, crvene su asimptote, crvene točke i linije na y-osi su rasponi funkcije. Očito, opseg funkcije se može dobiti projiciranjem grafa funkcije na os O y . U isto vrijeme, to može biti ili jedan broj ili skup brojeva, segment, interval, otvorena zraka, unija numeričkih intervala itd. Razmotrite glavne načine pronalaženja raspona funkcije. Počnimo s definiranjem skupa vrijednosti kontinuirane funkcije y = f (x) na određenom segmentu, označenom [ a ; b] . Znamo da funkcija koja je kontinuirana na određenom intervalu na njemu postiže svoj minimum i maksimum, odnosno maksimum m a x x ∈ a ; b f (x) i najmanja vrijednost m i n x ∈ a ; b f (x) . Dakle, dobivamo segment m i n x ∈ a ; bf(x); m a x x ∈ a ; b f (x) , koji će sadržavati skupove vrijednosti izvorne funkcije. Tada sve što trebamo učiniti je pronaći navedene minimalne i maksimalne točke na ovom segmentu. Uzmimo problem u kojem je potrebno odrediti raspon vrijednosti arkusina. Primjer 1 Stanje: pronađite raspon y = a r c sin x . Riješenje U općem slučaju domena definicije arkusina nalazi se na intervalu [ - 1 ; 1 ] . Na njoj trebamo odrediti najveću i najmanju vrijednost navedene funkcije. y "= a r c sin x" = 1 1 - x 2 Znamo da će derivacija funkcije biti pozitivna za sve x vrijednosti koje se nalaze u intervalu [ - 1 ; 1 ] , odnosno kroz cijelu domenu definicije, funkcija arksinusa će rasti. To znači da će imati najmanju vrijednost kada je x jednako - 1, a najveću - kada je x jednako 1. m i n x ∈ - 1; 1 a r c sin x = a r c sin - 1 = - π 2 m a x x ∈ - 1 ; 1 a r c sin x \u003d a r c sin 1 \u003d π 2 Dakle, raspon funkcije arkusina bit će jednak E (a r c sin x) = - π 2 ; π 2 . Odgovor: E (a r c sin x) \u003d - π 2; π 2 Primjer 2 Stanje: izračunajte raspon y = x 4 - 5 x 3 + 6 x 2 na zadanom intervalu [ 1 ; 4 ] . Riješenje Sve što trebamo učiniti je izračunati najveću i najmanju vrijednost funkcije u zadanom intervalu. Za određivanje ekstremnih točaka potrebno je izvršiti sljedeće izračune: y "= x 4 - 5 x 3 + 6 x 2" = 4 x 3 + 15 x 2 + 12 x = x 4 x 2 - 15 x + 12 y " = 0 ⇔ x (4 x 2 - 15 x + 12 ) = 0 x 1 = 0 ∉ 1; 4 i l i 4 x 2 - 15 x + 12 = 0 D = - 15 2 - 4 4 12 = 33 x 2 = 15 - 33 8 ≈ 1. 16 ∈ 1 ;4 ;x3 = 15 + 338 ≈ 2,59 ∈ 1;4 Pronađimo sada vrijednosti zadane funkcije na krajevima segmenta i točkama x 2 = 15 - 33 8 ; x 3 \u003d 15 + 33 8: y (1) = 1 4 - 5 1 3 + 6 1 2 = 2 y 15 - 33 8 = 15 - 33 8 4 - 5 15 - 33 8 3 + 6 15 - 33 8 2 = = 117 + 165 33 512 ≈ 2 . 08 y 15 + 33 8 = 15 + 33 8 4 - 5 15 + 33 8 3 + 6 15 + 33 8 2 = = 117 - 165 33 512 ≈ - 1 . 62 y (4) = 4 4 - 5 4 3 + 6 4 2 = 32 To znači da će skup vrijednosti funkcije biti određen segmentom 117 - 165 33 512 ; 32 . Odgovor: 117 - 165 33 512 ; 32 . Prijeđimo na pronalaženje skupa vrijednosti kontinuirane funkcije y = f (x) u intervalima (a; b) , i a ; + ∞ , - ∞ ; b, -∞; +∞ . Počnimo s određivanjem najveće i najmanje točke, kao i intervala povećanja i smanjenja u zadanom intervalu. Nakon toga trebat ćemo izračunati jednostrane granice na krajevima intervala i/ili granice u beskonačnosti. Drugim riječima, moramo odrediti ponašanje funkcije pod zadanim uvjetima. Za to imamo sve potrebne podatke. Primjer 3 Stanje: izračunajte raspon funkcije y = 1 x 2 - 4 na intervalu (- 2 ; 2) . Riješenje Odredi najveću i najmanju vrijednost funkcije na zadanom intervalu y "= 1 x 2 - 4" = - 2 x (x 2 - 4) 2 y " = 0 ⇔ - 2 x (x 2 - 4) 2 = 0 ⇔ x = 0 ∈ (- 2 ; 2) Dobili smo maksimalnu vrijednost jednaku 0, budući da se u ovoj točki mijenja predznak funkcije i graf se počinje smanjivati. Pogledajte ilustraciju:
To jest, y (0) = 1 0 2 - 4 = - 1 4 bit će najveća vrijednost funkcije. Sada definirajmo ponašanje funkcije za x koja teži - 2 na desnoj strani i + 2 na lijevoj strani. Drugim riječima, nalazimo jednostrana ograničenja: lim x → - 2 + 0 1 x 2 - 4 = lim x → - 2 + 0 1 (x - 2) (x + 2) = = 1 - 2 + 0 - 2 - 2 + 0 + 2 = - 1 4 1 + 0 = - ∞ lim x → 2 + 0 1 x 2 - 4 = lim x → 2 + 0 1 (x - 2) (x + 2) = = 1 2 - 0 - 2 2 - 0 + 2 = 1 4 1 - 0 = -∞ Dobili smo da će se vrijednosti funkcije povećati od minus beskonačnosti do -1 4 kada se argument promijeni od -2 do 0. A kada se argument promijeni s 0 na 2, vrijednosti funkcije opadaju prema minus beskonačnosti. Stoga će skup vrijednosti zadane funkcije na intervalu koji nam treba biti (- ∞ ; - 1 4 ] . Odgovor: (- ∞ ; - 1 4 ] . Primjer 4 Stanje: označite skup vrijednosti y = t g x na zadanom intervalu - π 2 ; π 2 . Riješenje Znamo da je općenito derivacija tangente u - π 2; π 2 će biti pozitivan, odnosno funkcija će rasti. Sada definirajmo kako se funkcija ponaša unutar zadanih granica: lim x → π 2 + 0 t g x = t g - π 2 + 0 = - ∞ lim x → π 2 - 0 t g x = t g π 2 - 0 = + ∞ Dobili smo povećanje vrijednosti funkcije od minus beskonačno do plus beskonačno kada se argument promijeni od - π 2 do π 2, i možemo reći da će skup rješenja ove funkcije biti skup svih realnih brojevima. Odgovor: - ∞ ; + ∞ . Primjer 5 Stanje: odrediti koji je raspon funkcije prirodnog logaritma y = ln x . Riješenje Znamo da je ova funkcija definirana za pozitivne vrijednosti argumenta D (y) = 0 ; +∞ . Derivacija na zadanom intervalu bit će pozitivna: y " = ln x " = 1 x . To znači da se na njemu povećava funkcija. Zatim moramo definirati jednostrano ograničenje za slučaj kada argument ide na 0 (na desnoj strani) i kada x ide u beskonačnost: lim x → 0 + 0 ln x = ln (0 + 0) = - ∞ lim x → ∞ ln x = ln + ∞ = + ∞ Otkrili smo da će vrijednosti funkcije rasti od minus beskonačnosti do plus beskonačnosti kako se x vrijednosti mijenjaju od nule do plus beskonačnosti. To znači da je skup svih realnih brojeva raspon funkcije prirodnog logaritma. Odgovor: skup svih realnih brojeva je raspon funkcije prirodnog logaritma. Primjer 6 Stanje: odredi koliki je raspon funkcije y = 9 x 2 + 1 . Riješenje Ova je funkcija definirana pod uvjetom da je x realan broj. Izračunajmo najveću i najmanju vrijednost funkcije, kao i intervale njezina povećanja i smanjenja: y " = 9 x 2 + 1 " = - 18 x (x 2 + 1) 2 y " = 0 ⇔ x = 0 y " ≤ 0 ⇔ x ≥ 0 y " ≥ 0 ⇔ x ≤ 0 Kao rezultat, utvrdili smo da će se ova funkcija smanjiti ako je x ≥ 0; povećati ako je x ≤ 0 ; ima najveću točku y (0) = 9 0 2 + 1 = 9 kada je varijabla 0 . Pogledajmo kako se funkcija ponaša u beskonačnosti: lim x → - ∞ 9 x 2 + 1 = 9 - ∞ 2 + 1 = 9 1 + ∞ = + 0 lim x → + ∞ 9 x 2 + 1 = 9 + ∞ 2 + 1 = 9 1 + ∞ = +0 Iz zapisa je vidljivo da će se vrijednosti funkcije u ovom slučaju asimptotski približavati 0. Ukratko: kada se argument promijeni od minus beskonačnosti do nule, tada se vrijednosti funkcije povećavaju od 0 do 9. Kako vrijednosti argumenata idu od 0 do plus beskonačno, odgovarajuće vrijednosti funkcije smanjit će se od 9 do 0. To smo prikazali na slici:
To pokazuje da će raspon funkcije biti interval E (y) = (0 ; 9 ] Odgovor: E (y) = (0 ; 9 ] Ako trebamo odrediti skup vrijednosti funkcije y = f (x) na intervalima [ a ; b) , (a ; b ] , [ a ; + ∞) , (- ∞ ; b ] , tada ćemo morati provesti potpuno ista istraživanja. Nećemo još analizirati ove slučajeve: susrest ćemo ih kasnije u problemima . Ali što ako je domena određene funkcije unija nekoliko intervala? Zatim moramo izračunati skupove vrijednosti na svakom od ovih intervala i kombinirati ih. Primjer 7 Stanje: odredi koliki će biti raspon y = x x - 2 . Riješenje Budući da se nazivnik funkcije ne smije pretvoriti u 0, onda je D (y) = - ∞ ; 2 ∪ 2 ; +∞ . Počnimo s definiranjem skupa vrijednosti funkcije na prvom segmentu - ∞ ; 2, što je otvorena greda. Znamo da će funkcija na njoj opasti, odnosno da će derivacija te funkcije biti negativna. lim x → 2 - 0 x x - 2 = 2 - 0 2 - 0 - 2 = 2 - 0 = - ∞ lim x → - ∞ x x - 2 = lim x → - ∞ x - 2 + 2 x - 2 = lim x → - ∞ 1 + 2 x - 2 = 1 + 2 - ∞ - 2 = 1 - 0 Zatim, u onim slučajevima gdje se argument mijenja prema minus beskonačnosti, vrijednosti funkcije će se asimptotski približavati 1 . Ako se vrijednosti x mijenjaju od minus beskonačno do 2, tada će se vrijednosti smanjiti od 1 do minus beskonačno, tj. funkcija na ovom segmentu će uzimati vrijednosti iz intervala - ∞ ; 1 . Iz našeg razmišljanja isključujemo jedinstvo, budući da ga vrijednosti funkcije ne dosežu, već mu se samo asimptotski približavaju. Za otvorenu gredu 2 ; + ∞ izvodimo potpuno iste radnje. Funkcija na njemu također se smanjuje: lim x → 2 + 0 x x - 2 = 2 + 0 2 + 0 - 2 = 2 + 0 = + ∞ lim x → + ∞ x x - 2 = lim x → + ∞ x - 2 + 2 x - 2 = lim x → + ∞ 1 + 2 x - 2 = 1 + 2 + ∞ - 2 = 1 + 0 Vrijednosti funkcije na ovom segmentu određene su skupom 1 ; +∞ . To znači da će raspon vrijednosti funkcije navedene u uvjetu koji nam je potreban biti unija skupova - ∞; 1 i 1; +∞ . Odgovor: E (y) = - ∞; 1 ∪ 1; +∞ . To se može vidjeti na grafikonu:
Poseban slučaj su periodične funkcije. Njihovo područje vrijednosti podudara se sa skupom vrijednosti na intervalu koji odgovara razdoblju ove funkcije. Primjer 8 Stanje: odredi raspon sinusa y = sin x . Riješenje Sinus se odnosi na periodičku funkciju, a njezin period je 2 pi. Uzimamo segment 0 ; 2 π i vidjeti koji će biti skup vrijednosti na njemu. y " = (sin x) " = cos x y " = 0 ⇔ cos x = 0 ⇔ x = π 2 + πk , k ∈ Z Unutar 0; 2 π funkcija će imati ekstremne točke π 2 i x = 3 π 2 . Izračunajmo koje će vrijednosti funkcije biti jednake u njima, kao i na granicama segmenta, nakon čega izaberemo najveću i najmanju vrijednost. y (0) = sin 0 = 0 y π 2 = sin π 2 = 1 y 3 π 2 = sin 3 π 2 = - 1 y (2 π) = sin (2 π) = 0 ⇔ min x ∈ 0 ; 2 π sin x = sin 3 π 2 = - 1 , max x ∈ 0 ; 2 π sinx \u003d sin π 2 \u003d 1 Odgovor: E (sinx) = - 1; 1 . Ako trebate znati raspone funkcija kao što su eksponencijalne, eksponencijalne, logaritamske, trigonometrijske, inverzne trigonometrijske, tada vam savjetujemo da ponovno pročitate članak o osnovnim elementarnim funkcijama. Teorija koju ovdje predstavljamo omogućuje nam testiranje tamo navedenih vrijednosti. Poželjno ih je naučiti jer su često potrebni u rješavanju problema. Ako znate raspone glavnih funkcija, onda lako možete pronaći raspone funkcija koje se dobivaju iz elementarnih pomoću geometrijske transformacije. Primjer 9 Stanje: odredi raspon y = 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 - 4 . Riješenje Znamo da je segment od 0 do pi raspon inverznog kosinusa. Drugim riječima, E (a r c cos x) = 0 ; π ili 0 ≤ a r c cos x ≤ π . Funkciju a r c cos x 3 + 5 π 7 možemo dobiti iz ark kosinusa pomicanjem i rastezanjem duž O x osi, ali takve nam transformacije neće dati ništa. Dakle, 0 ≤ a r c cos x 3 + 5 π 7 ≤ π . Funkcija 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 može se dobiti iz inverznog kosinusa a r c cos x 3 + 5 π 7 istezanjem duž y-osi, tj. 0 ≤ 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 ≤ 3 π . Konačna transformacija je pomak duž O y osi za 4 vrijednosti. Kao rezultat toga, dobivamo dvostruku nejednakost: 0 - 4 ≤ 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 - 4 ≤ 3 π - 4 ⇔ - 4 ≤ 3 arccos x 3 + 5 π 7 - 4 ≤ 3 π - 4 Dobili smo da će raspon koji nam treba biti jednak E (y) = - 4 ; 3 pi - 4 . Odgovor: E (y) = - 4; 3 pi - 4 . Napišimo još jedan primjer bez objašnjenja, jer potpuno je sličan prethodnom. Primjer 10 Stanje: izračunajte koliki će biti raspon funkcije y = 2 2 x - 1 + 3 . Riješenje Prepišimo funkciju zadanu u uvjetu kao y = 2 · (2 x - 1) - 1 2 + 3 . Za funkciju snage y = x - 1 2 raspon će biti definiran na intervalu 0 ; + ∞ , tj. x - 1 2 > 0 . U ovom slučaju: 2 x - 1 - 1 2 > 0 ⇒ 2 (2 x - 1) - 1 2 > 0 ⇒ 2 (2 x - 1) - 1 2 + 3 > 3 Dakle, E (y) = 3; +∞ . Odgovor: E (y) = 3; +∞ . Sada pogledajmo kako pronaći raspon funkcije koja nije kontinuirana. Da bismo to učinili, moramo podijeliti cijelo područje u intervale i pronaći skupove vrijednosti na svakom od njih, a zatim kombinirati ono što imamo. Da biste to bolje razumjeli, savjetujemo vam da pregledate glavne vrste prijelomnih točaka funkcija. Primjer 11 Stanje: dana je funkcija y = 2 sin x 2 - 4 , x ≤ - 3 - 1 , - 3< x ≤ 3 1 x - 3 , x >3 . Izračunajte njegov opseg. Riješenje Ova je funkcija definirana za sve x vrijednosti. Analizirajmo ga za kontinuitet s vrijednostima argumenta jednakim - 3 i 3: lim x → - 3 - 0 f (x) = lim x → - 3 2 sin x 2 - 4 = 2 sin - 3 2 - 4 = - 2 sin 3 2 - 4 lim x → - 3 + 0 f (x) = lim x → - 3 (1) = - 1 ⇒ lim x → - 3 - 0 f (x) ≠ lim x → - 3 + 0 f (x) Imamo nepopravljivi diskontinuitet prve vrste s vrijednošću argumenta - 3 . Kako joj se približavate, vrijednosti funkcije teže - 2 sin 3 2 - 4 , a kako x teži - 3 s desne strane, vrijednosti će težiti - 1 . lim x → 3 - 0 f(x) = lim x → 3 - 0 (- 1) = 1 lim x → 3 + 0 f(x) = lim x → 3 + 0 1 x - 3 = + ∞ U točki 3 imamo neuklonjiv diskontinuitet druge vrste. Kada funkcija teži njoj, njezine vrijednosti se približavaju - 1, dok teže istoj točki s desne strane - do minus beskonačnosti. To znači da je cijela domena definicije ove funkcije podijeljena na 3 intervala (- ∞ ; - 3 ] , (- 3 ; 3 ] , (3 ; + ∞) ). Na prvom od njih dobili smo funkciju y \u003d 2 sin x 2 - 4. Budući da je - 1 ≤ sin x ≤ 1, dobivamo: 1 ≤ sin x 2< 1 ⇒ - 2 ≤ 2 sin x 2 ≤ 2 ⇒ - 6 ≤ 2 sin x 2 - 4 ≤ - 2 To znači da je na tom intervalu (- ∞ ; - 3 ] skup vrijednosti funkcije [ - 6 ; 2 ] . Na poluintervalu (- 3 ; 3 ] dobivamo konstantnu funkciju y = - 1 . Prema tome, cijeli skup njegovih vrijednosti u ovom slučaju bit će sveden na jedan broj - 1 . Na drugom intervalu 3 ; + ∞ imamo funkciju y = 1 x - 3 . Opada jer je y " = - 1 (x - 3) 2< 0 . Она будет убывать от плюс бесконечности до 0 , но самого 0 не достигнет, потому что: lim x → 3 + 0 1 x - 3 = 1 3 + 0 - 3 = 1 + 0 = + ∞ lim x → + ∞ 1 x - 3 = 1 + ∞ - 3 = 1 + ∞ + 0 Dakle, skup vrijednosti izvorne funkcije za x > 3 je skup 0 ; +∞ . Sada kombinirajmo rezultate: E (y) = - 6 ; - 2 ∪ - 1 ∪ 0 ; +∞ . Odgovor: E (y) = - 6; - 2 ∪ - 1 ∪ 0 ; +∞ . Rješenje je prikazano na grafikonu:
Primjer 12 Uvjet: postoji funkcija y = x 2 - 3 e x . Odredite skup njegovih vrijednosti. Riješenje Definiran je za sve vrijednosti argumenata koji su realni brojevi. Odredimo u kojim će intervalima ova funkcija rasti, a u kojim padati: y "= x 2 - 3 e x" = 2 x e x - e x (x 2 - 3) e 2 x = - x 2 + 2 x + 3 e x = - (x + 1) (x - 3) e x Znamo da će derivacija postati 0 ako je x = - 1 i x = 3 . Te dvije točke postavimo na os i saznamo koje će predznake imati derivacija na dobivenim intervalima.
Funkcija će se smanjiti za (- ∞ ; - 1 ] ∪ [ 3 ; + ∞) i povećati za [ - 1 ; 3]. Minimalni bod će biti -1, maksimalni -3. Pronađimo sada odgovarajuće vrijednosti funkcije: y (- 1) = - 1 2 - 3 e - 1 = - 2 e y (3) = 3 2 - 3 e 3 = 6 e - 3 Pogledajmo ponašanje funkcije u beskonačnosti: lim x → - ∞ x 2 - 3 e x = - ∞ 2 - 3 e - ∞ = + ∞ + 0 = + ∞ lim x → + ∞ x 2 - 3 e x = + ∞ 2 - 3 e + ∞ = + ∞ + ∞ = = lim x → + ∞ x 2 - 3 "e x" = lim x → + ∞ 2 x e x = + ∞ + ∞ = = lim x → + ∞ 2 x "(e x)" = 2 lim x → + ∞ 1 e x = 2 1 + ∞ = + 0 Za izračun druge granice korišteno je L'Hopitalovo pravilo. Iscrtajmo naše rješenje na grafikonu.
To pokazuje da će se vrijednosti funkcije smanjiti od plus beskonačno do -2 e kada se argument promijeni od minus beskonačno do -1. Ako se promijeni od 3 do plus beskonačno, tada će se vrijednosti smanjiti od 6 e - 3 do 0, ali 0 neće biti dostignuta. Dakle, E (y) = [ - 2 e ; +∞) . Odgovor: E (y) = [ - 2 e ; +∞) Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter |
– 1.
, tj. E (y) = .
,
, 8].
to je x pripada prvoj četvrtini.
prije 
.
. Kada se pomnoži sa 
ovaj segment će ići u segment 
.
.
dobivamo 
.
.
.
prije 
argument 2 x povećava se od 
prije 
. Budući da sinus na takvom intervalu raste, funkcija 
do 1.
argument 2 x povećava se od 
. Budući da se sinus smanjuje na takvom intervalu, funkcija 
do 1.
.
I 
, odnosno segment 
= 
= 25.
) = 25 () =
), gdje je cos 
grijeh (2x + 
) i, ako je a > 0, monotono raste na tim zrakama.
.
