Kolmnurk on geomeetriline arv, mis koosneb kolmest segmendist, mis ühendavad kolme punkti, mis ei asu samal sirgel. Kolmnurga moodustavaid punkte nimetatakse selle punktideks ja lõigud on kõrvuti.

Olenevalt kolmnurga tüübist (ristkülikukujuline, ühevärviline jne) saate kolmnurga külge arvutada erineval viisil, olenevalt sisendandmetest ja ülesande tingimustest.

Artikli kiire navigeerimine

Täisnurkse kolmnurga külgede arvutamiseks kasutatakse Pythagorase teoreemi, mille kohaselt hüpotenuusi ruut võrdub jala ruutude summaga.

Kui märgistada jalad tähega "a" ja "b" ning hüpotenuus "c"-ga, siis võib leida lehti järgmiste valemitega:

Kui täisnurkse kolmnurga (a ja b) teravnurgad on teada, saab selle küljed leida järgmiste valemitega:

kärbitud kolmnurk

Kolmnurka nimetatakse võrdkülgseks kolmnurgaks, mille mõlemad küljed on ühesugused.

Kuidas leida hüpotenuus kahest jalast

Kui täht "a" on identne sama leheküljega, "b" on alus, "b" on aluse vastas nurk, "a" on külgnev nurk, saab lehekülgede arvutamiseks kasutada järgmisi valemeid:

Kaks nurka ja külg

Kui on teada mis tahes kolmnurga üks leht (c) ja kaks nurka (a ja b), kasutatakse ülejäänud lehtede arvutamiseks siinuse valemit:

Peate leidma kolmanda väärtuse y = 180 - (a + b), sest

kolmnurga kõigi nurkade summa on 180°;

Kaks külge ja nurk

Kui kolmnurga kaks külge (a ja b) ning nendevaheline nurk (y) on teada, saab kolmanda külje arvutamiseks kasutada koosinusteoreemi.

Kuidas määrata täisnurkse kolmnurga ümbermõõt

Kolmnurkne kolmnurk on kolmnurk, millest üks on 90 kraadi ja ülejäänud kaks on terav. arvutus ümbermõõt selline kolmnurk sõltuvalt selle kohta teadaoleva teabe hulgast.

Sul läheb seda vaja

• Olenevalt olukorrast, oskused 2 kolmnurga kolmest küljest, samuti üks selle teravatest nurkadest.

juhiseid

esiteks Meetod 1. Kui kõik kolm lehekülge on teada kolmnurk Seejärel arvutatakse ümbermõõt, olgu see siis risti või mitte kolmnurkne, järgmiselt: P = A + B + C, kus võimalik, c on hüpotenuus; a ja b on jalad.

teiseks 2. meetod.

Kui ristkülikul on ainult kaks külge, siis kasutades Pythagorase teoreemi, kolmnurk saab arvutada valemiga: P = v (a2 + b2) + a + b või P = v (c2 - b2) + b + c.

kolmandaks Meetod 3. Olgu hüpotenuus c ja teravnurk? Täisnurkse kolmnurga korral on perimeetrit võimalik leida järgmiselt: P = (1 + sin?

neljas Meetod 4. Nad ütlevad, et täisnurkses kolmnurgas on ühe jala pikkus võrdne a-ga ja vastupidi, sellel on teravnurk. Siis arvuta ümbermõõt See kolmnurk viiakse läbi vastavalt valemile: P = a * (1 / tg?

1 / poeg? + 1)

viies 5. meetod.

Kolmnurga võrguarvutus

Laske meie jalg juhtida ja olla sellesse kaasatud, siis arvutatakse vahemik järgmiselt: P = A * (1 / CTG + 1 / + 1 cos?)

Sarnased videod

Pythagorase teoreem on igasuguse matemaatika alus. Määrab tõelise kolmnurga külgede vahelise suhte. Nüüd on sellel teoreemil 367 tõestust.

juhiseid

esiteks Pythagorase teoreemi klassikaline koolkondlik sõnastus kõlab järgmiselt: hüpotenuusi ruut võrdub jalgade ruutude summaga.

Hüpotenuusi leidmiseks kahest katetist koosnevas täisnurkses kolmnurgas peate pöörama jalgade pikkuse ruutu, panema need kokku ja võtma summa ruutjuure. Tema väite algses sõnastuses põhineb turg hüpotenuusil, mis on võrdne Catete'i toodetud kahe ruudu ruutude summaga. Kaasaegne algebraline formuleering ei nõua aga domeeni esituse kasutuselevõttu.

teiseks Näiteks täisnurkne kolmnurk, mille jalad on 7 cm ja 8 cm.

Siis on Pythagorase teoreemi järgi ruudukujuline hüpotenuus R + S = 49 + 64 = 113 cm Hüpotenuus võrdub 113 ruutjuurega.

Täisnurkse kolmnurga nurgad

Tulemuseks oli ebamõistlik arv.

kolmandaks Kui kolmnurgad on jalad 3 ja 4, siis hüpotenuus = 25 = 5. Kui võtate ruutjuure, saate naturaalarvu. Arvud 3, 4, 5 moodustavad Pygagorase kolmiku, kuna need rahuldavad seost x? +Y? = Z, mis on loomulik.

Teised Pythagorase kolmiku näited on: 6, 8, 10; 5, 12, 13; 15, 20, 25; 9, 40, 41.

neljas Sel juhul, kui jalad on üksteisega identsed, muutub Pythagorase teoreem primitiivsemaks võrrandiks. Näiteks olgu selline käsi võrdne arvuga A ja hüpotenuus on defineeritud C jaoks ja siis c? = Ap + Ap, C = 2A2, C = A? 2. Sel juhul pole A-d vaja.

viies Pythagorase teoreem on erijuhtum, mis on suurem kui üldine koosinusteoreem, mis loob seose kolmnurga kolme külje vahel nende kahe vahelise mis tahes nurga korral.

Näpunäide 2: kuidas määrata jalgade ja nurkade hüpotenuus

Hüpotenuusiks nimetatakse täisnurkse kolmnurga külge, mis on 90-kraadise nurga vastas.

juhiseid

esiteks Tuntud kateetrite ja täisnurkse kolmnurga teravnurga korral võib hüpotenuusi suurus olla võrdne jala ja selle nurga koosinuse / siinuse suhtega, kui nurk oli vastupidine / e kaasa arvatud : H \u003d C1 (või C2) / sin, H = C1 (või С2 ?) / cos ?. Näide: Olgu ABC antud ebakorrapärane kolmnurk hüpotenuusiga AB ja täisnurgaga C.

Olgu B 60 kraadi ja A 30 kraadi. Tüve BC pikkus on 8 cm Tuleks leida hüpotenuusi AB pikkus. Selleks võite kasutada ühte ülaltoodud meetoditest: AB = BC / cos60 = 8 cm AB = BC / sin30 = 8 cm.

Hüpotenuus on ristküliku pikim külg kolmnurk. See asub täisnurga all. Ristküliku hüpotenuusi leidmise meetod kolmnurk sõltuvalt lähteandmetest.

juhiseid

esiteks Kui teie jalad on risti kolmnurk, siis ristküliku hüpotenuusi pikkus kolmnurk võib leida Pythagorase analoogiga - hüpotenuusi pikkuse ruut võrdub jalgade pikkuste ruutude summaga: c2 = a2 + b2, kus a ja b on parema jala pikkuste kolmnurk .

teiseks Kui see on teada ja üks jalg on terava nurga all, sõltub hüpotenuusi leidmise valem teadaoleva jala suhtes teatud nurga all olevast olemasolust või puudumisest - külgneb (jalg asub lähedal) või vastupidi (vastupidine juhtum asub määratud nurga nego.V on võrdne jala hüpotenuusi murdosaga koosinusnurgas: a = a / cos; E seevastu hüpotenuus on sama kui sinusoidaalsete nurkade suhe : da = a / sin.

Sarnased videod

Kasulikud näpunäited
Nurgakujuline kolmnurk, mille küljed on omavahel ühendatud kui 3:4:5, mida nimetatakse Egiptuse deltaks, kuna Vana-Egiptuse arhitektid kasutasid neid kujundeid laialdaselt.

See on ka kõige lihtsam näide Jeroni kolmnurkadest, kus leheküljed ja pindala on kujutatud täisarvudena.

Kolmnurka nimetatakse ristkülikuks, mille nurk on 90°. Parema nurga vastas olevat külge nimetatakse hüpotenuusiks, teist poolt jalgadeks.

Kui soovite teada saada, kuidas täisnurkne kolmnurk moodustub mõne korrapärase kolmnurga omaduse, nimelt tõsiasja, et teravnurkade summa on 90°, ja asjaolu, et vastasjala pikkus on pool hüpotenuusist. on 30°.

Artikli kiire navigeerimine

kärbitud kolmnurk

Võrdse kolmnurga üks omadusi on see, et selle kaks nurka on ühesugused.

Täisnurkse võrdkülgse kolmnurga nurga arvutamiseks peate teadma, et:

• See pole halvem kui 90°.
• Teravnurkade väärtused määratakse järgmise valemiga: (180 ° -90 °) / 2 = 45 °, s.o.

  Nurgad α ja β on 45°.

Kui ühe teravnurga teadaolev väärtus on teada, saab teise leida valemiga: β = 180º-90º-α või α = 180º-90º-β.

Seda suhet kasutatakse kõige sagedamini, kui üks nurkadest on 60° või 30°.

Põhimõisted

Kolmnurga sisenurkade summa on 180°.

Kuna see on üks tase, jäävad kaks teravaks.

Arvutage kolmnurk Internetis

Kui soovite neid leida, peate teadma järgmist:

muud meetodid

Täisnurkse kolmnurga teravnurga väärtusi saab arvutada keskmisest - joonega kolmnurga vastasküljel asuvast punktist ja kõrgusest - joon on risti, mis on tõmmatud hüpotenuusist täisnurga all.

Laske mediaan ulatuda paremast nurgast hüpotenuusi keskkohani ja h on kõrgus. Sel juhul selgub, et:

• sinα = b / (2 * s); sin β = a / (2 * s).
• cosa = a/ (2 * s); cos β = b / (2 * s).
• sinα = h/b; sin β = h / a.

Kaks lehte

Kui hüpotenuusi ja ühe jala pikkused on teada täisnurkses kolmnurgas või kahest küljest, kasutatakse teravnurkade väärtuste määramiseks trigonomeetrilisi identiteete:

• α = arcsiin (a/c), β = arcsiin (b/c).
• α=arcos(b/c), β=arcos(a/c).
• α = arctaan (a / b), β = arctan (b / a).

Täisnurkse kolmnurga pikkus

Kolmnurga pindala ja pindala

ümbermõõt

Iga kolmnurga ümbermõõt on võrdne kolme külje pikkuste summaga. Kolmnurkse kolmnurga leidmise üldvalem on järgmine:

kus P on kolmnurga ümbermõõt, a, b ja c on selle küljed.

Võrdse kolmnurga ümbermõõt saab leida, kombineerides järjestikku selle külgede pikkusi või korrutades külje pikkuse 2-ga ja lisades tootele aluse pikkuse.

Tasakaalukolmnurga leidmise üldvalem näeb välja järgmine:

kus P on võrdse kolmnurga ümbermõõt, kuid kas b, b on alus.

Võrdkülgse kolmnurga ümbermõõt selle saab leida, kombineerides järjestikku selle külgede pikkusi või korrutades mis tahes lehe pikkuse 3-ga.

Võrdkülgsete kolmnurkade serva leidmise üldvalem näeks välja järgmine:

kus P on võrdkülgse kolmnurga ümbermõõt, a on selle mis tahes külg.

piirkond

Kui soovite mõõta kolmnurga pindala, saate seda võrrelda rööpkülikuga. Vaatleme kolmnurka ABC:

Kui võtame sama kolmnurga ja fikseerime selle nii, et saame rööpküliku, saame selle kolmnurgaga sama kõrguse ja alusega rööpküliku:

Sel juhul volditakse kolmnurkade ühine külg piki vormitud rööpküliku diagonaali kokku.

Rööpküliku omadustest. On teada, et rööpküliku diagonaalid jagatakse alati kaheks võrdseks kolmnurgaks, siis on iga kolmnurga pind võrdne poolega rööpküliku vahemikust.

Kuna rööpküliku pindala on selle aluse kõrguse korrutis, on kolmnurga pindala sellest korrutisest pool. Nii et ΔABC puhul on pindala sama

Nüüd kaaluge täisnurkset kolmnurka:

Kaks identset täisnurkset kolmnurka saab painutada ristkülikuks, kui see toetub nende vastu, mis on iga teine ​​hüpotenuus.

Kuna ristküliku pind langeb kokku külgnevate külgede pinnaga, on selle kolmnurga pindala sama:

Sellest võime järeldada, et iga täisnurkse kolmnurga pind on võrdne jalgade korrutisega, mis on jagatud 2-ga.

Nendest näidetest võime järeldada, et iga kolmnurga pind on sama, mis pikkuse korrutis, ja kõrgust vähendatakse 2-ga jagatud alusele.

Kolmnurga pindala leidmise üldvalem näeb välja järgmine:

kus S on kolmnurga pindala, kuid selle alus, kuid kõrgus langeb põhja a.

Iga katuse ehitamine pole nii lihtne, kui tundub. Ja kui soovite, et see oleks töökindel, vastupidav ja ei kardaks erinevaid koormusi, siis tuleb eelnevalt, isegi projekteerimisetapis, teha palju arvutusi. Ja need ei sisalda mitte ainult paigaldamiseks kasutatud materjalide hulka, vaid ka kaldenurkade määramist, nõlvade pindala jne. Kuidas katuse nurka õigesti arvutada? Sellest väärtusest sõltuvad suuresti selle disaini ülejäänud parameetrid.

Iga katuse projekteerimine ja ehitamine on alati väga oluline ja vastutustundlik tegevus. Eriti kui tegemist on elumaja katusega või keerulise kujuga katusega. Kuid isegi tavaline kuur, mis on paigaldatud ebamäärasele kuurile või garaažile, vajab lihtsalt esialgseid arvutusi.

Kui te ei määra eelnevalt katuse kaldenurka, ei saa teada, milline peaks olema harja optimaalne kõrgus, siis on suur oht ehitada katus, mis pärast esimest lumesadu kokku kukub või kogu viimistluskate rebib sellest lahti isegi mõõdukas tuul.

Samuti mõjutab katuse kaldenurk oluliselt harja kõrgust, nõlvade pindala ja mõõtmeid. Sõltuvalt sellest on võimalik täpsemalt arvutada sarikate süsteemi ja viimistluse loomiseks vajalike materjalide kogus.

Erinevat tüüpi katuseharjade hinnad

Katusehari

Ühikud

Meenutades geomeetriat, mida kõik koolis õppisid, võib kindlalt väita, et katuse nurka mõõdetakse kraadides. Kuid ehitusraamatutes ja ka erinevatel joonistel võite leida ka teise võimaluse - nurk on näidatud protsentides (siin peame silmas kuvasuhet).

Üldiselt kaldenurk on nurk, mille moodustavad kaks lõikuvat tasapinda- kattuvad ja otse katuse kalle. See võib olla ainult terav, see tähendab, et see võib olla vahemikus 0–90 kraadi.

Märkusena! Väga järsud nõlvad, mille kaldenurk on üle 50 kraadi, on puhtal kujul üliharuldased. Tavaliselt kasutatakse neid ainult katuste kaunistamiseks, need võivad olla pööningutel.

Mis puudutab katuse nurkade mõõtmist kraadides, siis kõik on lihtne - need teadmised on kõigil, kes koolis geomeetriat õppisid. Piisab, kui visandada paberile katuseskeem ja kasutada nurga määramiseks protraktorit.

Mis puutub protsentidesse, siis peate teadma katuseharja kõrgust ja hoone laiust. Esimene näitaja jagatakse teisega ja saadud väärtus korrutatakse 100% -ga. Seega saab protsendi arvutada.

Märkusena! Kui protsent on 1, on tüüpiline kaldeaste 2,22%. See tähendab, et 45-kraadise nurgaga kalle on 100%. Ja 1 protsent on 27 kaareminutit.

Väärtuste tabel - kraadid, minutid, protsenti

Millised tegurid mõjutavad kaldenurka?

Iga katuse kaldenurka mõjutavad väga paljud tegurid, alates maja tulevase omaniku soovidest kuni piirkonnani, kus maja hakkab asuma. Arvutamisel on oluline arvesse võtta kõiki peensusi, isegi neid, mis esmapilgul tunduvad tähtsusetud. Mingil hetkel võivad nad oma osa täita. Määrake sobiv katuse kaldenurk, teades:

• materjalitüübid, millest katusepirukas ehitatakse, alustades sõrestikusüsteemist ja lõpetades välisviimistlusega;
• piirkonna kliimatingimused (tuulekoormus, valitsev tuulesuund, sademed jne);
• tulevase hoone kuju, selle kõrgus, kujundus;
• hoone otstarve, katusealuse ruumi kasutamise võimalused.

Nendes piirkondades, kus on tugev tuulekoormus, on soovitatav ehitada ühe kaldega ja väikese kaldenurgaga katus. Siis peab tugeva tuulega katus tõenäolisemalt vastu ega rebene maha. Kui piirkonda iseloomustab suur sademete hulk (lumi või vihm), on parem kalle järsemaks muuta - see võimaldab sademetel katuselt veereda / ära voolata ega tekita lisakoormust. Kuurikatuse optimaalne kalle tuulistes piirkondades varieerub vahemikus 9-20 kraadi ja seal, kus on palju sademeid - kuni 60 kraadi. 45-kraadine nurk võimaldab üldiselt lumekoormust ignoreerida, kuid sel juhul on tuule rõhk katusele 5 korda suurem kui ainult 11-kraadise kaldega katusel.

Märkusena! Mida suuremad on katuse kalde parameetrid, seda rohkem on selle loomiseks vaja materjale. Kulud tõusevad vähemalt 20%.

Kaldenurgad ja katusematerjalid

Nõlvade kuju ja nurka ei mõjuta märkimisväärselt mitte ainult kliimatingimused. Olulist rolli mängivad ehitamiseks kasutatavad materjalid, eriti katusekate.

Tabel. Optimaalsed kaldenurgad erinevatest materjalidest katuste jaoks.

Märkusena! Mida madalam on katuse kalle, seda väiksem on aediku loomise kalle.

Metallplaatide hinnad

metallist plaat

Uisu kõrgus sõltub ka kaldenurgast.

Iga katuse arvutamisel võetakse alati juhisena ristkülikukujuline kolmnurk, kus jalad on kalde kõrgus ülemises punktis, st harja juures või üleminekul kogu sarikate süsteemi alumisest osast tippu. (mansardkatuste puhul), samuti konkreetse kalde pikkuse projektsioon horisontaalselt, mida kujutavad kattumised. Siin on ainult üks konstantne väärtus - see on kahe seina vaheline katuse pikkus, see tähendab vahemiku pikkus. Harjaosa kõrgus varieerub sõltuvalt kaldenurgast.

Trigonomeetria valemite tundmine aitab katust kujundada: tgA \u003d H / L, sinA \u003d H / S, H \u003d LxtgA, S \u003d H / sinA, kus A on kalde nurk, H on kaldenurk katuse kõrgus harja piirkonnani, L on ½ katuse kogu pikkusest (viilkatusega) või kogu pikkuses (kuurikatuse korral), S - kalde enda pikkus. Näiteks kui on teada harjaosa kõrguse täpne väärtus, siis määratakse kaldenurk esimese valemiga. Nurga leiate puutujate tabeli abil. Kui arvutus põhineb katuse kaldenurgal, saate harja kõrguse parameetri leida kolmanda valemi abil. Sarikate pikkuse, millel on kaldenurga väärtus ja jalgade parameetrid, saab arvutada neljanda valemi abil.

Matemaatikas pööratakse kolmnurga kaalumisel palju tähelepanu selle külgedele. Kuna need elemendid moodustavad selle geomeetrilise kujundi. Kolmnurga külgi kasutatakse paljude geomeetriaülesannete lahendamiseks.

Mõiste määratlus

Lõike, mis ühendavad kolme punkti, mis ei asu samal sirgel, nimetatakse kolmnurga külgedeks. Vaadeldavad elemendid piiravad osa tasapinnast, mida nimetatakse antud geomeetrilise kujundi sisemuseks.

Matemaatikud lubavad oma arvutustes teha üldistusi geomeetriliste kujundite külgede kohta. Niisiis asuvad degenereerunud kolmnurga kolm selle lõiku ühel sirgel.

Kontseptsiooni omadused

Kolmnurga külgede arvutamine hõlmab kõigi teiste joonise parameetrite määramist. Teades iga selle segmendi pikkust, saate hõlpsalt arvutada kolmnurga perimeetri, pindala ja isegi nurgad.

Riis. 1. Suvaline kolmnurk.

Selle joonise külgede liitmisel saate määrata perimeetri.

P=a+b+c, kus a, b, c on kolmnurga küljed

Ja kolmnurga pindala leidmiseks peaksite kasutama Heroni valemit.

$$S=\sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c))$$

Kus p on poolperimeeter.

Antud geomeetrilise kujundi nurgad arvutatakse koosinusteoreemi kaudu.

$$cos α=((b^2+c^2-a^2)\over(2bc))$$

Tähendus

Kolmnurga külgede suhte kaudu väljendatakse selle geomeetrilise kujundi mõningaid omadusi:

• Kolmnurga väikseima külje vastas on selle väikseim nurk.
• Vaadeldava geomeetrilise kujundi välisnurk saadakse ühe külje pikendamisega.
• Kolmnurga vastassuunalised võrdsed nurgad on võrdsed küljed.
• Igas kolmnurgas on üks külgedest alati suurem kui kahe teise segmendi erinevus. Ja selle joonise mis tahes kahe külje summa on suurem kui kolmas.

Üks kahe kolmnurga võrdsuse märke on geomeetrilise kujundi kõigi külgede summa suhe. Kui need väärtused on samad, on kolmnurgad võrdsed.

Mõned kolmnurga omadused sõltuvad selle tüübist. Seetõttu peaksite kõigepealt arvestama selle joonise külgede või nurkade suurusega.

Kolmnurkade moodustamine

Kui vaadeldava geomeetrilise kujundi kaks külge on samad, nimetatakse seda kolmnurka võrdhaarseks.

Riis. 2. Võrdhaarne kolmnurk.

Kui kolmnurga kõik lõigud on võrdsed, saate võrdkülgse kolmnurga.

Riis. 3. Võrdkülgne kolmnurk.

Mis tahes arvutusi on mugavam teha juhtudel, kui suvalise kolmnurga saab omistada teatud tüübile. Sellest ajast alates on selle geomeetrilise kujundi vajaliku parameetri leidmine oluliselt lihtsustatud.

Kuigi õigesti valitud trigonomeetriline võrrand võimaldab teil lahendada palju probleeme, milles käsitletakse suvalist kolmnurka.

Mida me õppisime?

Kolm punktidega ühendatud lõiku, mis ei kuulu samale sirgele, moodustavad kolmnurga. Need küljed moodustavad geomeetrilise tasapinna, mida kasutatakse pindala määramiseks. Nende segmentide abil saate leida palju figuuri olulisi omadusi, nagu ümbermõõt ja nurgad. Kolmnurga kuvasuhe aitab leida selle tüübi. Teatud geomeetrilise kujundi mõningaid omadusi saab kasutada ainult siis, kui on teada selle iga külje mõõtmed.

Teemaviktoriin

Artikli hinnang

Keskmine hinne: 4.3. Kokku saadud hinnanguid: 142.

Interneti-kalkulaator.
Kolmnurkade lahendus.

Kolmnurga lahendus on kõigi selle kuue elemendi (st kolme külje ja kolme nurga) leidmine mis tahes kolme antud kolmnurka määratleva elemendi abil.

See matemaatikaprogramm leiab külje \(c \), nurgad \(\alpha \) ja \(\beta \) kasutaja määratud küljed \(a, b \) ning nendevahelise nurga \(\gamma \)

Programm mitte ainult ei anna probleemile vastust, vaid kuvab ka lahenduse leidmise protsessi.

See veebikalkulaator võib olla kasulik keskkooliõpilastele katseteks ja eksamiteks valmistumisel, teadmiste kontrollimisel enne ühtset riigieksamit ning vanematele paljude matemaatika ja algebra ülesannete lahendamise kontrollimisel. Või äkki on juhendaja palkamine või uute õpikute ostmine liiga kallis? Või soovite lihtsalt oma matemaatika või algebra kodutöö võimalikult kiiresti valmis saada? Sel juhul saate kasutada ka meie programme koos üksikasjaliku lahendusega.

Nii saate läbi viia enda ja/või oma nooremate vendade või õdede koolitusi, samal ajal tõstetakse lahendatavate ülesannete valdkonna haridustaset.

Kui te pole numbrite sisestamise reeglitega kursis, soovitame teil nendega tutvuda.

Numbrite sisestamise reeglid

Numbreid saab määrata mitte ainult täis-, vaid ka murdosa.
Täis- ja murdosa kümnendmurdudes saab eraldada kas punkti või komaga.
Näiteks võite sisestada kümnendkohad, näiteks 2,5 või 2,5

Sisestage küljed \(a, b \) ja nendevaheline nurk \(\gamma \) Lahenda kolmnurk

Leiti, et mõnda selle ülesande lahendamiseks vajalikku skripti ei laaditud ja programm ei pruugi töötada.
Teil võib olla AdBlock lubatud.
Sel juhul keelake see ja värskendage lehte.

Teie brauseris on JavaScript keelatud.
Lahenduse ilmumiseks peab JavaScript olema lubatud.
Siin on juhised JavaScripti lubamiseks brauseris.

Sest Inimesi, kes soovivad probleemi lahendada, on palju, teie taotlus on järjekorras.
Mõne sekundi pärast kuvatakse allpool lahendus.
Palun oota sek...

Kui sa märkasid lahenduses viga, siis saad sellest kirjutada Tagasisidevormi .
Ära unusta märkige, milline ülesanne otsustad mida sisestage väljadele.

Meie mängud, mõistatused, emulaatorid:

Natuke teooriat.

Siinuse teoreem

Teoreem

Kolmnurga küljed on võrdelised vastasnurkade siinustega:
$$ \frac(a)(\sin A) = \frac(b)(\sin B) = \frac(c)(\sin C) $$

Koosinusteoreem

Teoreem
Olgu kolmnurgas ABC AB = c, BC = a, CA = b. Siis
Kolmnurga külje ruut on võrdne kahe teise külje ruutude summaga, millest on lahutatud nende külgede kahekordne korrutis nendevahelise nurga koosinus.
$$ a^2 = b^2+c^2-2ba \cos A $$

Kolmnurkade lahendamine

Kolmnurga lahendus on kõigi selle kuue elemendi (st kolme külje ja kolme nurga) leidmine mis tahes kolme antud kolmnurka määratleva elemendi abil.

Mõelge kolmnurga lahendamiseks kolmele ülesandele. Sel juhul kasutame kolmnurga ABC külgede jaoks järgmist tähistust: AB = c, BC = a, CA = b.

Kolmnurga lahendus, mis on antud kaks külge ja nendevaheline nurk

Antud on: \(a, b, \nurk C \). Otsi \(c, \nurk A, \nurk B \)

Lahendus
1. Koosinuste seadusega leiame \(c\):

$$ c = \sqrt( a^2+b^2-2ab \cos C ) $$ 2. Koosinusteoreemi kasutades saame:
$$ \cos A = \frac( b^2+c^2-a^2 )(2bc) $$

3. \(\nurk B = 180^\circ -\nurk A -\nurk C \)

Kolmnurga lahendus antud külje ja külgnevate nurkade jaoks

Antud on: \(a, \nurk B, \nurk C \). Leia \(\nurk A, b, c \)

Lahendus
1. \(\nurk A = 180^\circ -\nurk B -\nurk C \)

2. Siinuse teoreemi abil arvutame b ja c:
$$ b = a \frac(\sin B)(\sin A), \quad c = a \frac(\sin C)(\sin A) $$

Kolme küljega kolmnurga lahendamine

Antud on: \(a, b, c\). Leia \(\nurk A, \nurk B, \nurk C \)

Lahendus
1. Koosinusteoreemi järgi saame:
$$ \cos A = \frac(b^2+c^2-a^2)(2bc) $$

\(\cos A \) järgi leiame \(\angle A \), kasutades mikrokalkulaatorit või tabelit.

2. Samamoodi leiame nurga B.
3. \(\nurk C = 180^\circ -\nurk A -\nurk B \)

Kolmnurga lahendamine, mis on antud kaks külge ja teadaoleva külje vastasnurk

Antud on: \(a, b, \nurk A\). Leia \(c, \nurk B, \nurk C \)

Lahendus
1. Siinuse teoreemiga leiame \(\sin B \) saame:
$$ \frac(a)(\sin A) = \frac(b)(\sin B) \Paremnool \sin B = \frac(b)(a) \cdot \sin A $$

Tutvustame tähistust: \(D = \frac(b)(a) \cdot \sin A \). Olenevalt numbrist D on võimalikud järgmised juhtumid:
Kui D > 1, siis sellist kolmnurka ei eksisteeri, sest \(\sin B \) ei saa olla suurem kui 1
Kui D = 1, on kordumatu \(\angle B: \quad \sin B = 1 \Paremnool \nurk B = 90^\circ \)
Kui D Kui D 2. \(\angle C = 180^\circ -\angle A -\angle B \)

3. Siinuse teoreemi abil arvutame külje c:
$$ c = a \frac(\sin C)(\sin A) $$

Raamatud (õpikud) Ühtse riigieksami ja OGE testide kokkuvõtted võrgus Mängud, mõistatused Funktsioonide graafik Vene keele õigekirjasõnastik Noorte slängi sõnaraamat Vene koolide kataloog Venemaa keskkoolide kataloog Venemaa ülikoolide kataloog Ülesannete loetelu

Geomeetrias on sageli probleeme kolmnurkade külgedega. Näiteks on sageli vaja leida kolmnurga külg, kui ülejäänud kaks on teada.

Kolmnurgad on võrdhaarsed, võrdkülgsed ja võrdkülgsed. Kogu sordi hulgast valime esimese näite jaoks ristkülikukujulise (sellise kolmnurga puhul on üks nurkadest 90 °, sellega külgnevaid külgi nimetatakse jalgadeks ja kolmas on hüpotenuus).

Kiire artiklite navigeerimine

Täisnurkse kolmnurga külgede pikkus

Ülesande lahendus tuleneb suure matemaatiku Pythagorase teoreemist. See ütleb, et täisnurkse kolmnurga jalgade ruutude summa on võrdne selle hüpotenuusi ruuduga: a²+b²=c²

• Leidke jala pikkuse ruut a;
• Leidke jala b ruut;
• Panime need kokku;
• Saadud tulemusest eraldame teise astme juure.

Näide: a=4, b=3, c=?

• a²=4²=16;
• b²=3²=9;
• 16+9=25;
• √25=5. See tähendab, et selle kolmnurga hüpotenuusi pikkus on 5.

Kui kolmnurgal ei ole täisnurka, siis kahe külje pikkustest ei piisa. Selleks on vaja kolmandat parameetrit: see võib olla nurk, kõrgus, kolmnurga pindala, sellesse kantud ringi raadius jne.

Kui perimeeter on teada

Sel juhul on ülesanne veelgi lihtsam. Ümbermõõt (P) on kolmnurga kõikide külgede summa: P=a+b+c. Seega, lahendades lihtsa matemaatilise võrrandi, saame tulemuse.

Näide: P=18, a=7, b=6, c=?

1) Lahendame võrrandi, kandes kõik teadaolevad parameetrid võrdusmärgi ühele küljele:

2) Asendage nende asemel väärtused ja arvutage kolmas külg:

c=18-7-6=5, seega on kolmnurga kolmas külg 5.

Kui nurk on teada

Kolmnurga kolmanda külje arvutamiseks nurga ja ülejäänud kahe külje arvutamiseks taandatakse lahendus trigonomeetrilise võrrandi arvutamiseks. Teades kolmnurga külgede ja nurga siinuse seost, on kolmandat külge lihtne arvutada. Selleks peate mõlemad küljed ruutu tegema ja nende tulemused kokku liitma. Seejärel lahutage saadud külgede korrutisest, mis on korrutatud nurga koosinusega: C=√(a²+b²-a*b*cosα)

Kui piirkond on teada

Sel juhul ühest valemist ei piisa.

1) Esiteks arvutame sin γ, väljendades seda kolmnurga pindala valemist:

sin γ = 2S/(a*b)

2) Järgmise valemi abil arvutame sama nurga koosinuse:

sin² α + cos² α=1

cos α=√(1 – sin² α)=√(1– (2S/(a*b))²)

3) Ja jällegi kasutame siinusteoreemi:

C=√((a²+b²)-a*b*cosα)

C=√((a²+b²)-a*b*√(1- (S/(a*b))²))

Asendades selles võrrandis muutujate väärtused, saame vastuse probleemile.