Një trekëndësh është një numër gjeometrik i përbërë nga tre segmente që lidhin tre pika që nuk shtrihen në të njëjtën vijë. Pikat që formojnë një trekëndësh quhen pikat e tij, dhe segmentet janë krah për krah.

Në varësi të llojit të trekëndëshit (drejtkëndësh, pikturë njëngjyrëshe, etj.), Ju mund të llogarisni anën e trekëndëshit në mënyra të ndryshme, në varësi të të dhënave hyrëse dhe kushteve të problemit.

Navigim i shpejtë për një artikull

Për të llogaritur brinjët e një trekëndëshi kënddrejtë, përdoret teorema e Pitagorës, e cila thotë se katrori i hipotenuzës është i barabartë me shumën e katrorëve të këmbëve.

Nëse i emërtojmë këmbët si "a" dhe "b" dhe hipotenuzën si "c", atëherë faqet mund të gjenden me formulat e mëposhtme:

Nëse dihen këndet akute të një trekëndëshi kënddrejtë (a dhe b), brinjët e tij mund të gjenden me formulat e mëposhtme:

Trekëndësh i prerë

Trekëndëshi quhet trekëndësh barabrinjës në të cilin të dyja anët janë të njëjta.

Si të gjeni hipotenuzën në dy këmbë

Nëse shkronja "a" është identike me të njëjtën faqe, "b" është baza, "b" është këndi përballë bazës, "a" është këndi ngjitur për të llogaritur faqet, mund të përdorni formulat e mëposhtme:

Dy qoshe dhe një anë

Nëse njihen një faqe (c) dhe dy kënde (a dhe b) të çdo trekëndëshi, formula e sinusit përdoret për të llogaritur faqet e mbetura:

Ju duhet të gjeni vlerën e tretë y = 180 - (a + b) sepse

shuma e të gjitha këndeve të një trekëndëshi është 180°;

Dy anë dhe një kënd

Nëse njihen dy brinjë të trekëndëshit (a dhe b) dhe këndi ndërmjet tyre (y), teorema e kosinusit mund të përdoret për të llogaritur brinjën e tretë.

Si të përcaktohet perimetri i një trekëndëshi kënddrejtë

Një trekëndësh trekëndësh është një trekëndësh, njëri prej të cilëve është 90 gradë dhe dy të tjerët janë të mprehtë. llogaritje perimetër të tilla trekëndëshi në varësi të sasisë së informacionit të njohur për të.

Do t'ju duhet

• Në varësi të rastit, aftësitë 2 tre anët e trekëndëshit, si dhe një nga këndet akute të tij.

udhëzimet

së pari Metoda 1. Nëse njihen të tria faqet trekëndëshi Më pas, qofshin pingul apo jo trekëndësh, perimetri llogaritet si: P = A + B + C, ku është e mundur, c është hipotenuza; a dhe b janë këmbë.

e dyta Metoda 2.

Nëse një drejtkëndësh ka vetëm dy brinjë, atëherë duke përdorur teoremën e Pitagorës, trekëndëshi mund të llogaritet duke përdorur formulën: P = v (a2 + b2) + a + b ose P = v (c2 - b2) + b + c.

e treta Metoda 3. Le të jetë hipotenuza c dhe një kënd i mprehtë? Duke pasur parasysh një trekëndësh kënddrejtë, do të jetë e mundur të gjendet perimetri në këtë mënyrë: P ​​= (1 + mëkat?

e katërta Metoda 4. Ata thonë se në trekëndëshin kënddrejtë gjatësia e një këmbë është e barabartë me a dhe, përkundrazi, ka një kënd të mprehtë. Pastaj llogarisni perimetër Kjo trekëndëshi do të kryhet sipas formulës: P = a * (1 / tg?

1/djali? + 1)

të pestat Metoda 5.

Llogaritja e trekëndëshit në internet

Lëreni këmbën tonë të udhëheqë dhe të përfshihet në të, atëherë diapazoni do të llogaritet si: P = A * (1 / CTG + 1 / + 1 cos?)

Video të ngjashme

Teorema e Pitagorës është baza e të gjithë matematikës. Përcakton marrëdhëniet midis brinjëve të një trekëndëshi të vërtetë. Tani ka 367 prova të kësaj teoreme.

udhëzimet

së pari Formulimi klasik shkollor i teoremës së Pitagorës tingëllon kështu: katrori i hipotenuzës është i barabartë me shumën e katrorëve të këmbëve.

Për të gjetur hipotenuzën në një trekëndësh kënddrejtë me dy katet, duhet të drejtoheni në katrorin e gjatësisë së këmbëve, t'i mbledhni ato dhe të merrni rrënjën katrore të shumës. Në formulimin origjinal të deklaratës së tij, tregu bazohet në hipotenuzën, e cila është e barabartë me shumën e katrorëve të 2 katrorëve të prodhuar nga Catete. Megjithatë, formulimi modern algjebrik nuk kërkon prezantimin e një paraqitjeje domeni.

e dyta Për shembull, një trekëndësh kënddrejtë, këmbët e të cilit janë 7 cm dhe 8 cm.

Atëherë, sipas teoremës së Pitagorës, hipotenuza katrore është e barabartë me R + S = 49 + 64 = 113 cm. Hipotenuza është e barabartë me rrënjën katrore të numrit 113.

Këndet e një trekëndëshi kënddrejtë

Rezultati ishte një numër i pabazuar.

e treta Nëse trekëndëshat janë këmbët 3 dhe 4, atëherë hipotenuza = 25 = 5. Kur merrni rrënjën katrore, merrni një numër natyror. Numrat 3, 4, 5 formojnë një treshe pigagore, pasi plotësojnë relacionin x? +Y? = Z, që është e natyrshme.

Shembuj të tjerë të një treshe të Pitagorës janë: 6, 8, 10; 5, 12, 13; 15, 20, 25; 9, 40, 41.

e katërta Në këtë rast, nëse këmbët janë identike me njëra-tjetrën, teorema e Pitagorës kthehet në një ekuacion më primitiv. Për shembull, supozoni se një dorë e tillë është e barabartë me numrin A dhe hipotenuza është përcaktuar për C, dhe pastaj c? = Ap + Ap, C = 2A2, C = A? 2. Në këtë rast nuk ju nevojitet A.

të pestat Teorema e Pitagorës është një rast i veçantë, më i madh se teorema e përgjithshme e kosinusit, e cila vendos marrëdhënien midis tre brinjëve të një trekëndëshi për çdo kënd midis dy prej tyre.

Këshilla 2: Si të përcaktohet hipotenuza për këmbët dhe këndet

Hipotenuza është ana në një trekëndësh kënddrejtë që është përballë këndit 90 gradë.

udhëzimet

së pari Në rastin e kateterëve të njohur, si dhe këndit akut të një trekëndëshi kënddrejtë, hipotenuza mund të ketë një madhësi të barabartë me raportin e këmbës me kosinusin / sinusin e këtij këndi, nëse këndi ishte i kundërt / e përfshijnë: H = C1 (ose C2) / mëkat, H = C1 (ose C2?) / cos?. Shembull: Le të jepet ABC një trekëndësh i parregullt me ​​hipotenuzë AB dhe kënd të drejtë C.

Le të jetë B 60 gradë dhe A 30 gradë. Gjatësia e kërcellit BC është 8 cm Duhet gjetur gjatësia e hipotenuzës AB. Për ta bërë këtë, mund të përdorni një nga metodat e mësipërme: AB = BC / cos60 = 8 cm AB = BC / sin30 = 8 cm.

Hipotenuza është ana më e gjatë e një drejtkëndëshi trekëndëshi. Ajo është e vendosur në një kënd të drejtë. Metoda për gjetjen e hipotenuzës së një drejtkëndëshi trekëndëshi në varësi të të dhënave burimore.

udhëzimet

së pari Nëse këmbët tuaja janë pingule trekëndëshi, pastaj gjatësia e hipotenuzës së drejtkëndëshit trekëndëshi mund të zbulohet nga analogu i Pitagorës - katrori i gjatësisë së hipotenuzës është i barabartë me shumën e katrorëve të gjatësisë së këmbëve: c2 = a2 + b2, ku a dhe b janë gjatësia e këmbëve të së djathtës trekëndëshi .

e dyta Nëse njëra nga këmbët është e njohur dhe në një kënd akut, formula për gjetjen e hipotenuzës do të varet nga prania ose mungesa në një kënd të caktuar në lidhje me këmbën e njohur - ngjitur (këmba ndodhet afër), ose anasjelltas ( rasti i kundërt ndodhet nego.V i këndit të specifikuar është i barabartë me fraksionin hipotenuzë të këmbës në këndin kosinus: a = a/cos;E, nga ana tjetër, hipotenuza është e njëjtë me raportin e këndeve të sinusit: da = a/mëkat.

Video të ngjashme

Këshilla të dobishme
Një trekëndësh këndor, anët e të cilit lidhen si 3:4:5, i quajtur delta egjiptiane për faktin se këto figura përdoreshin gjerësisht nga arkitektët e Egjiptit të lashtë.

Ky është gjithashtu shembulli më i thjeshtë i trekëndëshave të Jeros, në të cilët faqet dhe zona përfaqësohen me numra të plotë.

Trekëndësh quhet drejtkëndësh këndi i të cilit është 90°. Ana përballë këndit të djathtë quhet hipotenuzë, tjetra quhet këmbë.

Nëse dëshironi të gjeni se si formohet një trekëndësh kënddrejtë nga disa veti të trekëndëshave të rregullt, përkatësisht fakti që shuma e këndeve akute është 90°, që përdoret, dhe fakti që gjatësia e këmbës së kundërt është gjysma e hipotenuzës. është 30°.

Navigim i shpejtë për një artikull

Trekëndësh i prerë

Një nga vetitë e një trekëndëshi të barabartë është se dy këndet e tij janë të barabartë.

Për të llogaritur këndin e një trekëndëshi kongruent të drejtë, duhet të dini se:

• Kjo nuk është më keq se 90 °.
• Vlerat e këndeve akute përcaktohen me formulën: (180 ° -90 °) / 2 = 45 °, d.m.th.

  Këndet α dhe β janë të barabartë me 45°.

Nëse dihet vlera e njohur e njërit prej këndeve akute, tjetri mund të gjendet duke përdorur formulën: β = 180º-90º-α ose α = 180º-90º-β.

Ky raport përdoret më shpesh nëse njëri prej këndeve është 60° ose 30°.

Konceptet kryesore

Shuma e këndeve të brendshme të një trekëndëshi është 180°.

Për shkak se është një nivel, dy mbeten të mprehta.

Llogaritni trekëndëshin në internet

Nëse dëshironi t'i gjeni ato, duhet të dini se:

metoda të tjera

Vlerat e këndeve akute të një trekëndëshi kënddrejtë mund të llogariten nga mesatarja - me një vijë nga një pikë në anën e kundërt të trekëndëshit, dhe lartësia - vija është një pingul e tërhequr nga hipotenuza në një kënd të drejtë .

Lëreni mesataren të shtrihet nga këndi i djathtë deri në mes të hipotenuzës dhe le të jetë h lartësia. Në këtë rast rezulton se:

• sin α = b / (2 * s); sin β = a / (2 * s).
• cos α = a / (2 * s); cos β = b / (2 * s).
• sin α = h/b; sin β = h/a.

Dy faqe

Nëse gjatësitë e hipotenuzës dhe njërës prej këmbëve janë të njohura në një trekëndësh kënddrejtë ose në të dy anët, atëherë identitetet trigonometrike përdoren për të përcaktuar vlerat e këndeve akute:

• α = harksin (a/c), β = harksin (b/c).
• α = arcos (b/c), β = arcos (a/c).
• α = arctan (a / b), β = arctan (b / a).

Gjatësia e një trekëndëshi kënddrejtë

Sipërfaqja dhe sipërfaqja e një trekëndëshi

perimetër

Perimetri i çdo trekëndëshi është i barabartë me shumën e gjatësive të tre brinjëve. Formula e përgjithshme për gjetjen e një trekëndëshi trekëndësh është:

ku P është perimetri i trekëndëshit, a, b dhe c i brinjëve të tij.

Perimetri i një trekëndëshi të barabartë mund të gjendet duke kombinuar në mënyrë të njëpasnjëshme gjatësitë e anëve të saj ose duke shumëzuar gjatësinë e anës me 2 dhe duke shtuar gjatësinë e bazës në produkt.

Formula e përgjithshme për gjetjen e një trekëndëshi të ekuilibrit do të duket si kjo:

ku P është perimetri i një trekëndëshi të barabartë, por ose b, b është baza.

Perimetri i një trekëndëshi barabrinjës mund të gjendet duke kombinuar në mënyrë sekuenciale gjatësitë e anëve të saj ose duke shumëzuar gjatësinë e çdo faqeje me 3.

Formula e përgjithshme për gjetjen e buzës së trekëndëshave barabrinjës do të duket si kjo:

ku P është perimetri i një trekëndëshi barabrinjës, a është çdo brinjë e tij.

Rajon

Nëse dëshironi të matni sipërfaqen e një trekëndëshi, mund ta krahasoni atë me një paralelogram. Konsideroni trekëndëshin ABC:

Nëse marrim të njëjtin trekëndësh dhe e rregullojmë në mënyrë që të marrim një paralelogram, marrim një paralelogram me të njëjtën lartësi dhe bazë si ky trekëndësh:

Në këtë rast, ana e përbashkët e trekëndëshave paloset së bashku përgjatë diagonales së paralelogramit të derdhur.

Nga vetitë e paralelogramit. Dihet se diagonalet e një paralelogrami ndahen gjithmonë në dy trekëndësha të barabartë, atëherë sipërfaqja e secilit trekëndësh është e barabartë me gjysmën e diapazonit të paralelogramit.

Meqenëse sipërfaqja e një paralelogrami është e njëjtë me produktin e lartësisë së bazës së tij, sipërfaqja e trekëndëshit do të jetë e barabartë me gjysmën e këtij produkti. Kështu, për ΔABC zona do të jetë e njëjtë

Tani merrni parasysh një trekëndësh kënddrejtë:

Dy trekëndësha identikë kënddrejtë mund të përkulen në një drejtkëndësh nëse mbështetet kundër tyre, që është hipotenuza e njëra-tjetrës.

Meqenëse sipërfaqja e drejtkëndëshit përkon me sipërfaqen e anëve ngjitur, zona e këtij trekëndëshi është e njëjtë:

Nga kjo mund të konkludojmë se sipërfaqja e çdo trekëndëshi kënddrejtë është e barabartë me produktin e këmbëve të ndarë me 2.

Nga këta shembuj mund të konkludohet se sipërfaqja e çdo trekëndëshi është e njëjtë me produktin e gjatësisë dhe lartësia reduktohet në nënshtresën e ndarë me 2.

Formula e përgjithshme për gjetjen e sipërfaqes së një trekëndëshi do të duket si kjo:

ku S është sipërfaqja e trekëndëshit, por baza e tij, por lartësia bie në fund a.

Ndërtimi i çdo çati nuk është aq i lehtë sa duket. Dhe nëse dëshironi që ajo të jetë e besueshme, e qëndrueshme dhe të mos ketë frikë nga ngarkesa të ndryshme, atëherë së pari, në fazën e projektimit, duhet të bëni shumë llogaritje. Dhe ato do të përfshijnë jo vetëm sasinë e materialeve të përdorura për instalim, por edhe përcaktimin e këndeve të pjerrësisë, zonave të pjerrësisë, etj. Si të llogarisni saktë këndin e pjerrësisë së çatisë? Është nga kjo vlerë që parametrat e mbetur të këtij dizajni do të varen kryesisht.

Projektimi dhe ndërtimi i çdo çati është gjithmonë një çështje shumë e rëndësishme dhe e përgjegjshme. Sidomos kur bëhet fjalë për çatinë e një ndërtese banimi ose një çati me formë komplekse. Por edhe një i thjeshtë i zakonshëm, i instaluar në një kasolle ose garazh të papërshkrueshëm, gjithashtu ka nevojë për llogaritje paraprake.

Nëse nuk e përcaktoni paraprakisht këndin e pjerrësisë së çatisë, nuk zbuloni se cila duhet të jetë lartësia optimale e kreshtës, atëherë ekziston një rrezik i lartë për të ndërtuar një çati që do të shembet pas reshjeve të para të borës, ose të gjithë veshja përfundimtare do të këputet edhe nga një erë mesatare.

Gjithashtu, këndi i çatisë do të ndikojë ndjeshëm në lartësinë e kreshtës, sipërfaqen dhe dimensionet e shpateve. Në varësi të kësaj, do të jetë e mundur të llogaritet më saktë sasia e materialeve të nevojshme për të krijuar sistemin e mahijeve dhe materialet e përfundimit.

Çmimet për lloje të ndryshme të kreshtave të çatisë

Kreshta e çatisë

Njësitë

Duke kujtuar gjeometrinë që të gjithë studionin në shkollë, mund të thuhet me siguri se këndi i çatisë matet në gradë. Sidoqoftë, në librat për ndërtim, si dhe në vizatime të ndryshme, mund të gjeni një opsion tjetër - këndi tregohet si përqindje (këtu nënkuptojmë raportin e aspektit).

Në përgjithësi, Këndi i pjerrësisë është këndi i formuar nga dy plane të kryqëzuara– tavani dhe vetë pjerrësia e çatisë. Mund të jetë vetëm e mprehtë, domethënë të shtrihet në rangun prej 0-90 gradë.

Në një shënim! Shpatet shumë të pjerrëta, këndi i prirjes së të cilave është më shumë se 50 gradë, janë jashtëzakonisht të rralla në formën e tyre të pastër. Zakonisht ato përdoren vetëm për dizajn dekorativ të çatisë; ato mund të jenë të pranishme në papafingo.

Sa i përket matjes së këndeve të çatisë në shkallë, gjithçka është e thjeshtë - të gjithë ata që studiojnë gjeometrinë në shkollë e kanë këtë njohuri. Mjafton të skiconi një diagram të çatisë në letër dhe të përdorni një raportor për të përcaktuar këndin.

Sa i përket përqindjeve, duhet të dini lartësinë e kreshtës dhe gjerësinë e ndërtesës. Treguesi i parë ndahet me të dytin, dhe vlera që rezulton shumëzohet me 100%. Në këtë mënyrë mund të llogaritet përqindja.

Në një shënim! Në një përqindje prej 1, shkalla tipike e prirjes është 2.22%. Kjo do të thotë, një pjerrësi me një kënd prej 45 gradë të zakonshme është e barabartë me 100%. Dhe 1 përqind është 27 minuta hark.

Tabela e vlerave - gradë, minuta, përqindje

Cilët faktorë ndikojnë në këndin e prirjes?

Këndi i pjerrësisë së çdo çati ndikohet nga një numër shumë i madh faktorësh, duke filluar nga dëshirat e pronarit të ardhshëm të shtëpisë dhe duke përfunduar me rajonin ku do të vendoset shtëpia. Gjatë llogaritjes, është e rëndësishme të merren parasysh të gjitha hollësitë, madje edhe ato që në shikim të parë duken të parëndësishme. Një ditë ata mund të luajnë rolin e tyre. Përcaktoni këndin e duhur të çatisë duke ditur:

• llojet e materialeve nga të cilat do të ndërtohet byreku i çatisë, duke filluar nga sistemi i mahijeve dhe duke përfunduar me dekorimin e jashtëm;
• kushtet klimatike në një zonë të caktuar (ngarkesa e erës, drejtimi mbizotërues i erës, sasia e reshjeve, etj.);
• forma e ndërtesës së ardhshme, lartësia e saj, dizajni;
• qëllimi i ndërtesës, opsionet për përdorimin e hapësirës së papafingo.

Në ato rajone ku ka një ngarkesë të fortë të erës, rekomandohet të ndërtohet një çati me një pjerrësi dhe një kënd të lehtë prirjeje. Pastaj, në një erë të fortë, çatia ka më shumë mundësi të qëndrojë në këmbë dhe të mos shkëputet. Nëse rajoni karakterizohet nga një sasi e madhe reshjesh (borë ose shi), atëherë është më mirë ta bëni shpatin më të pjerrët - kjo do të lejojë që reshjet të rrokullisen/kullojnë nga çatia dhe të mos krijojnë ngarkesë shtesë. Pjerrësia optimale e një çati të pjerrët në rajonet me erë varion midis 9-20 gradë, dhe ku ka shumë reshje - deri në 60 gradë. Një kënd prej 45 gradë do t'ju lejojë të injoroni ngarkesën e borës në tërësi, por presioni i erës në këtë rast në çati do të jetë 5 herë më i madh se në një çati me një pjerrësi prej vetëm 11 gradë.

Në një shënim! Sa më të mëdha të jenë parametrat e pjerrësisë së çatisë, aq më e madhe është sasia e materialeve të nevojshme për ta krijuar atë. Kostoja rritet me të paktën 20%.

Këndet e pjerrësisë dhe materialet e çatisë

Jo vetëm kushtet klimatike do të kenë një ndikim të rëndësishëm në formën dhe këndin e shpateve. Materialet e përdorura për ndërtim, në veçanti mbulesat e çatisë, luajnë gjithashtu një rol të rëndësishëm.

Tabela. Kënde optimale të pjerrësisë për çatitë e bëra nga materiale të ndryshme.

Në një shënim! Sa më i ulët të jetë pjerrësia e çatisë, aq më i vogël është hapi i përdorur gjatë krijimit të mbështjellësit.

Çmimet për pllaka metalike

Pllaka metalike

Lartësia e kreshtës varet gjithashtu nga këndi i pjerrësisë

Kur llogaritet çdo çati, një trekëndësh me kënd të drejtë merret gjithmonë si pikë referimi, ku këmbët janë lartësia e pjerrësisë në pikën e sipërme, domethënë në kreshtë ose kalimi i pjesës së poshtme të të gjithë sistemit të mahijeve. deri në majë (në rastin e kulmeve të papafingo), si dhe projeksioni i gjatësisë së një pjerrësi të veçantë në horizontale, e cila përfaqësohet nga mbivendosje. Këtu ka vetëm një vlerë konstante - kjo është gjatësia e çatisë midis dy mureve, domethënë gjatësia e hapësirës. Lartësia e pjesës së kreshtës do të ndryshojë në varësi të këndit të prirjes.

Njohja e formulave nga trigonometria do t'ju ndihmojë të dizajnoni një çati: tgA = H/L, sinA = H/S, H = LxtgA, S = H/sinA, ku A është këndi i pjerrësisë, H është lartësia e çatisë. në zonën e kreshtës, L është ½ e gjithë gjatësisë së hapësirës së çatisë (me çati me çati) ose e gjithë gjatësisë (në rastin e një çati me një kate), S - gjatësia e vetë pjerrësisë. Për shembull, nëse dihet vlera e saktë e lartësisë së pjesës së kreshtës, atëherë këndi i prirjes përcaktohet duke përdorur formulën e parë. Ju mund ta gjeni këndin duke përdorur tabelën e tangjentëve. Nëse llogaritjet bazohen në këndin e çatisë, atëherë parametri i lartësisë së kreshtës mund të gjendet duke përdorur formulën e tretë. Gjatësia e mahijeve, që kanë vlerën e këndit të prirjes dhe parametrat e këmbëve, mund të llogaritet duke përdorur formulën e katërt.

Në matematikë, kur merret parasysh një trekëndësh, i kushtohet shumë vëmendje anëve të tij. Sepse këto elemente formojnë këtë figurë gjeometrike. Brinjët e një trekëndëshi përdoren për të zgjidhur shumë probleme gjeometrike.

Përkufizimi i konceptit

Segmentet që lidhin tre pika që nuk shtrihen në të njëjtën vijë quhen brinjë të një trekëndëshi. Elementet në shqyrtim kufizojnë një pjesë të rrafshit, e cila quhet brendësi e një figure të caktuar gjeometrike.

Matematikanët në llogaritjet e tyre lejojnë përgjithësime në lidhje me anët e figurave gjeometrike. Kështu, në një trekëndësh të degjeneruar, tre nga segmentet e tij shtrihen në një vijë të drejtë.

Karakteristikat e konceptit

Llogaritja e brinjëve të një trekëndëshi përfshin përcaktimin e të gjithë parametrave të tjerë të figurës. Duke ditur gjatësinë e secilit prej këtyre segmenteve, ju lehtë mund të llogarisni perimetrin, sipërfaqen dhe madje edhe këndet e trekëndëshit.

Oriz. 1. Trekëndësh arbitrar.

Duke mbledhur anët e një figure të caktuar, mund të përcaktoni perimetrin.

P=a+b+c, ku a, b, c janë brinjët e trekëndëshit

Dhe për të gjetur sipërfaqen e një trekëndëshi, atëherë duhet të përdorni formulën e Heronit.

$$S=\sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c))$$

Ku p është gjysmëperimetri.

Këndet e një figure të caktuar gjeometrike llogariten duke përdorur teoremën e kosinusit.

$$cos α=((b^2+c^2-a^2)\mbi(2bc))$$

Kuptimi

Disa veti të kësaj figure gjeometrike shprehen përmes raportit të brinjëve të një trekëndëshi:

• Përballë anës më të vogël të një trekëndëshi është këndi më i vogël i tij.
• Këndi i jashtëm i figurës gjeometrike në fjalë fitohet duke zgjatur njërën nga anët.
• Këndet e kundërta të një trekëndëshi janë brinjë të barabarta.
• Në çdo trekëndësh, njëra nga brinjët është gjithmonë më e madhe se diferenca e dy segmenteve të tjera. Dhe shuma e çdo dy anët e kësaj figure është më e madhe se e treta.

Një nga shenjat se dy trekëndësha janë të barabartë është raporti i shumës së të gjitha brinjëve të figurës gjeometrike. Nëse këto vlera janë të njëjta, atëherë trekëndëshat do të jenë të barabartë.

Disa veti të një trekëndëshi varen nga lloji i tij. Prandaj, së pari duhet të merrni parasysh madhësinë e anëve ose këndeve të kësaj figure.

Formimi i trekëndëshave

Nëse dy brinjët e figurës gjeometrike në fjalë janë të njëjta, atëherë ky trekëndësh quhet dykëndësh.

Oriz. 2. Trekëndëshi dykëndësh.

Kur të gjithë segmentet në një trekëndësh janë të barabartë, ju merrni një trekëndësh barabrinjës.

Oriz. 3. Trekëndësh barabrinjës.

Është më i përshtatshëm për të kryer çdo llogaritje në rastet kur një trekëndësh arbitrar mund të klasifikohet si një lloj specifik. Sepse atëherë gjetja e parametrit të kërkuar të kësaj figure gjeometrike do të thjeshtohet ndjeshëm.

Megjithëse një ekuacion trigonometrik i zgjedhur saktë ju lejon të zgjidhni shumë probleme në të cilat merret parasysh një trekëndësh arbitrar.

Çfarë kemi mësuar?

Tre segmente që lidhen me pika dhe nuk i përkasin të njëjtës drejtëz formojnë një trekëndësh. Këto anë formojnë një plan gjeometrik, i cili përdoret për të përcaktuar zonën. Duke përdorur këto segmente, mund të gjeni shumë karakteristika të rëndësishme të një figure, si perimetri dhe këndet. Raporti i pamjes së një trekëndëshi ndihmon për të gjetur llojin e tij. Disa veti të një figure të caktuar gjeometrike mund të përdoren vetëm nëse dihen dimensionet e secilës anë të saj.

Test mbi temën

Vlerësimi i artikullit

Vleresim mesatar: 4.3. Gjithsej vlerësimet e marra: 142.

Llogaritësi online.
Zgjidhja e trekëndëshave.

Zgjidhja e një trekëndëshi është gjetja e të gjashtë elementëve të tij (d.m.th., tre brinjëve dhe tre këndeve) nga çdo tre elementë të dhënë që përcaktojnë trekëndëshin.

Ky program matematikor gjen anën \(c\), këndet \(\alfa \) dhe \(\beta \) nga anët e specifikuara nga përdoruesi \(a, b\) dhe këndin ndërmjet tyre \(\gama \)

Programi jo vetëm që i jep përgjigje problemit, por shfaq edhe procesin e gjetjes së një zgjidhjeje.

Ky kalkulator online mund të jetë i dobishëm për nxënësit e shkollave të mesme në shkollat ​​e mesme kur përgatiten për teste dhe provime, kur testojnë njohuritë para Provimit të Unifikuar të Shtetit dhe për prindërit për të kontrolluar zgjidhjen e shumë problemeve në matematikë dhe algjebër. Apo ndoshta është shumë e shtrenjtë për ju të punësoni një mësues ose të blini tekste të reja shkollore? Apo thjesht dëshironi t'i kryeni detyrat e shtëpisë tuaj të matematikës ose algjebrës sa më shpejt të jetë e mundur? Në këtë rast, ju gjithashtu mund të përdorni programet tona me zgjidhje të detajuara.

Në këtë mënyrë ju mund të kryeni trajnimin tuaj dhe/ose trajnimin e vëllezërve ose motrave tuaja më të vogla, ndërkohë që rritet niveli i arsimimit në fushën e zgjidhjes së problemeve.

Nëse nuk jeni njohur me rregullat për futjen e numrave, ju rekomandojmë që të njiheni me to.

Rregullat për futjen e numrave

Numrat mund të specifikohen jo vetëm si numra të plotë, por edhe si thyesa.
Pjesët e plota dhe thyesore në thyesat dhjetore mund të ndahen ose me pikë ose me presje.
Për shembull, mund të futni thyesa dhjetore si 2.5 ose si 2.5

Futni anët \(a, b\) dhe këndin ndërmjet tyre \(\gama \) Zgjidh një trekëndësh

U zbulua se disa skripta të nevojshëm për të zgjidhur këtë problem nuk u ngarkuan dhe programi mund të mos funksionojë.
Mund ta keni të aktivizuar AdBlock.
Në këtë rast, çaktivizoni atë dhe rifreskoni faqen.

JavaScript është çaktivizuar në shfletuesin tuaj.
Që zgjidhja të shfaqet, duhet të aktivizoni JavaScript.
Këtu janë udhëzimet se si të aktivizoni JavaScript në shfletuesin tuaj.

Sepse Ka shumë njerëz të gatshëm për të zgjidhur problemin, kërkesa juaj është në radhë.
Në pak sekonda zgjidhja do të shfaqet më poshtë.
Te lutem prit sekondë...

nëse ti vuri re një gabim në zgjidhje, atëherë mund të shkruani për këtë në Formularin e Feedback-ut.
Mos harro tregoni se cila detyrë ju vendosni se çfarë futni në fusha.

Lojërat tona, enigmat, emulatorët:

Pak teori.

Teorema e sinuseve

Teorema

Brinjët e një trekëndëshi janë proporcionale me sinuset e këndeve të kundërta:
$$ \frac(a)(\sin A) = \frac(b)(\sin B) = \frac(c)(\sin C) $$

Teorema e kosinusit

Teorema
Le të jetë AB = c, BC = a, CA = b në trekëndëshin ABC. Pastaj
Katrori i brinjës së trekëndëshit është i barabartë me shumën e katrorëve të dy brinjëve të tjera minus dyfishin e produktit të këtyre brinjëve të shumëzuar me kosinusin e këndit ndërmjet tyre.
$$ a^2 = b^2+c^2-2ba \cos A $$

Zgjidhja e trekëndëshave

Zgjidhja e një trekëndëshi nënkupton gjetjen e të gjashtë elementëve të tij (d.m.th., tre brinjëve dhe tre këndeve) nga çdo tre elementë të dhënë që përcaktojnë trekëndëshin.

Le të shohim tre probleme që përfshijnë zgjidhjen e një trekëndëshi. Në këtë rast, ne do të përdorim shënimin e mëposhtëm për brinjët e trekëndëshit ABC: AB = c, BC = a, CA = b.

Zgjidhja e një trekëndëshi duke përdorur dy brinjë dhe këndin ndërmjet tyre

Jepet: \(a, b, \këndi C\). Gjeni \(c, \këndi A, \këndi B\)

Zgjidhje
1. Duke përdorur teoremën e kosinusit gjejmë \(c\):

$$ c = \sqrt( a^2+b^2-2ab \cos C ) $$ 2. Duke përdorur teoremën e kosinusit, kemi:
$$ \cos A = \frac( b^2+c^2-a^2 )(2bc) $$

3. \(\këndi B = 180^\rreth -\këndi A -\këndi C\)

Zgjidhja e një trekëndëshi për krah dhe kënde ngjitur

Jepet: \(a, \këndi B, \këndi C\). Gjeni \(\këndin A, b, c\)

Zgjidhje
1. \(\këndi A = 180^\rreth -\këndi B -\këndi C\)

2. Duke përdorur teoremën e sinusit, llogarisim b dhe c:
$$ b = a \frac(\sin B)(\sin A), \quad c = a \frac(\sin C)(\sin A) $$

Zgjidhja e një trekëndëshi duke përdorur tre brinjë

Jepet: \(a, b, c\). Gjeni \(\këndi A, \këndi B, \këndi C\)

Zgjidhje
1. Duke përdorur teoremën e kosinusit marrim:
$$ \cos A = \frac(b^2+c^2-a^2)(2bc) $$

Duke përdorur \(\cos A\) gjejmë \(\kënd A\) duke përdorur një mikrollogaritës ose duke përdorur një tabelë.

2. Në mënyrë të ngjashme, gjejmë këndin B.
3. \(\këndi C = 180^\rreth -\këndi A -\këndi B\)

Zgjidhja e një trekëndëshi duke përdorur dy brinjë dhe një kënd përballë një brinjë të njohur

Jepet: \(a, b, \këndi A\). Gjeni \(c, \këndi B, \këndi C\)

Zgjidhje
1. Duke përdorur teoremën e sinuseve, gjejmë \(\sin B\) marrim:
$$ \frac(a)(\sin A) = \frac(b)(\sin B) \Rightarrow \sin B = \frac(b)(a) \cdot \sin A $$

Le të prezantojmë shënimin: \(D = \frac(b)(a) \cdot \sin A \). Në varësi të numrit D, janë të mundshme rastet e mëposhtme:
Nëse D > 1, një trekëndësh i tillë nuk ekziston, sepse \(\sin B\) nuk mund të jetë më i madh se 1
Nëse D = 1, ekziston një \(\këndi B: \quad \sin B = 1 \Djathtas \këndi B = 90^\circ \)
Nëse D Nëse D 2. \(\këndi C = 180^\circ -\këndi A -\këndi B\)

3. Duke përdorur teoremën e sinusit, llogarisim anën c:
$$ c = a \frac(\sin C)(\sin A) $$

Libra (tekste shkollore) Abstrakte të Provimit të Unifikuar të Shtetit dhe testeve të Provimit të Unifikuar të Shtetit në internet Lojëra, enigma Komplot grafikët e funksioneve Fjalori drejtshkrimor i gjuhës ruse Fjalori i zhargonit të të rinjve Katalogu i shkollave ruse Katalogu i institucioneve arsimore të mesme të Rusisë Katalogu i universiteteve ruse Lista të detyrave

Në gjeometri shpesh ka probleme që lidhen me brinjët e trekëndëshave. Për shembull, shpesh është e nevojshme të gjendet një brinjë e një trekëndëshi nëse dy të tjerët janë të njohur.

Trekëndëshat janë dykëndësh, barabrinjës dhe të pabarabartë. Nga e gjithë shumëllojshmëria, për shembullin e parë do të zgjedhim një drejtkëndësh (në një trekëndësh të tillë, një nga këndet është 90 °, anët ngjitur me të quhen këmbë, dhe e treta është hipotenuza).

Lundrim i shpejtë përmes artikullit

Gjatësia e brinjëve të një trekëndëshi kënddrejtë

Zgjidhja e problemit rrjedh nga teorema e matematikanit të madh Pitagora. Ai thotë se shuma e katrorëve të këmbëve të një trekëndëshi kënddrejtë është e barabartë me katrorin e hipotenuzës së tij: a²+b²=c²

• Gjeni katrorin e gjatësisë së këmbës a;
• Gjeni katrorin e këmbës b;
• Ne i bashkojmë ato;
• Nga rezultati i fituar nxjerrim rrënjën e dytë.

Shembull: a=4, b=3, c=?

• a²=4²=16;
• b² =3²=9;
• 16+9=25;
• √25=5. Kjo do të thotë, gjatësia e hipotenuzës së këtij trekëndëshi është 5.

Nëse trekëndëshi nuk ka kënd të drejtë, atëherë gjatësitë e dy brinjëve nuk janë të mjaftueshme. Për këtë, nevojitet një parametër i tretë: ky mund të jetë një kënd, lartësia e trekëndëshit, rrezja e rrethit të gdhendur në të, etj.

Nëse dihet perimetri

Në këtë rast, detyra është edhe më e thjeshtë. Perimetri (P) është shuma e të gjitha brinjëve të trekëndëshit: P=a+b+c. Kështu, duke zgjidhur një ekuacion të thjeshtë matematikor, marrim rezultatin.

Shembull: P=18, a=7, b=6, c=?

1) Ne e zgjidhim ekuacionin duke lëvizur të gjithë parametrat e njohur në njërën anë të shenjës së barazimit:

2) Zëvendësoni vlerat në vend të tyre dhe llogaritni anën e tretë:

c=18-7-6=5, gjithsej: brinja e tretë e trekëndëshit është 5.

Nëse këndi dihet

Për të llogaritur brinjën e tretë të një trekëndëshi të dhënë një kënd dhe dy brinjë të tjera, zgjidhja zbret në llogaritjen e ekuacionit trigonometrik. Duke ditur marrëdhënien midis brinjëve të trekëndëshit dhe sinusit të këndit, është e lehtë të llogaritet brinja e tretë. Për ta bërë këtë, ju duhet të shënoni të dy anët dhe të shtoni rezultatet e tyre së bashku. Pastaj zbres produktit që rezulton produktin e brinjëve të shumëzuar me kosinusin e këndit: C=√(a²+b²-a*b*cosα)

Nëse zona është e njohur

Në këtë rast, një formulë nuk do të funksionojë.

1) Së pari, llogaritni sin γ, duke e shprehur atë nga formula për sipërfaqen e një trekëndëshi:

sin γ= 2S/(a*b)

2) Duke përdorur formulën e mëposhtme, ne llogarisim kosinusin e të njëjtit kënd:

sin² α + cos² α=1

cos α=√(1 — sin² α)=√(1- (2S/(a*b))²)

3) Dhe përsëri përdorim teoremën e sinuseve:

C=√((a²+b²)-a*b*cosα)

C=√((a²+b²)-a*b*√(1- (S/(a*b))²))

Duke zëvendësuar vlerat e variablave në këtë ekuacion, marrim përgjigjen e problemit.