Co to jest kąt prosty 2. Kąt prosty, rozwarty, ostry i rozwinięty. Jak zaznaczyć kąt ostry

Zacznijmy od zdefiniowania, czym jest kąt. Po pierwsze, jest Po drugie, tworzą go dwa promienie, które nazywane są bokami kąta. Po trzecie, te ostatnie wychodzą z jednego punktu, który nazywa się wierzchołkiem rogu. Na podstawie tych znaków możemy dokonać definicji: kąt to figura geometryczna, która składa się z dwóch promieni (boków) wychodzących z jednego punktu (wierzchołka).

Są one klasyfikowane według stopni, według położenia względem siebie i względem okręgu. Zacznijmy od rodzajów kątów według ich wielkości.

Istnieje kilka ich odmian. Przyjrzyjmy się bliżej każdemu typowi.

Istnieją tylko cztery główne rodzaje kątów - kąt prosty, rozwarty, ostry i rozwinięty.

Prosty

To wygląda tak:

Jego miara stopni wynosi zawsze 90 o, innymi słowy, kąt prosty to kąt 90 stopni. Mają je tylko takie czworokąty jak kwadrat i prostokąt.

Tępy

To wygląda tak:

Miara stopni jest zawsze większa niż 90 stopni, ale mniejsza niż 180 stopni. Może wystąpić w takich czworokątach jak romb, dowolny równoległobok, w wielokątach.

Pikantny

To wygląda tak:

Miara kąta ostrego jest zawsze mniejsza niż 90°. Występuje we wszystkich czworobokach, z wyjątkiem kwadratu i dowolnego równoległoboku.

rozmieszczony

Rozwinięty kąt wygląda następująco:

Nie występuje w wielokątach, ale jest nie mniej ważny niż wszystkie inne. Kąt prosty to figura geometryczna, której miara w stopniach wynosi zawsze 180º. Możesz na nim budować, rysując jeden lub więcej promieni z jego wierzchołka w dowolnym kierunku.

Istnieje kilka innych drugorzędnych typów kątów. Nie uczą się ich w szkołach, ale trzeba przynajmniej wiedzieć o ich istnieniu. Istnieje tylko pięć drugorzędnych typów kątów:

1. Zero

To wygląda tak:

Już sama nazwa kąta mówi o jego wielkości. Jego pole wewnętrzne wynosi 0°, a boki leżą jeden na drugim, jak pokazano na rysunku.

2. Ukośne

Ukośny może być prosty, tępy, ostry i rozwinięty pod kątem. Jego głównym warunkiem jest to, aby nie był równy 0 o, 90 o, 180 o, 270 o.

3. wypukły

Wypukłe to kąty zerowe, proste, rozwarte, ostre i rozwinięte. Jak już zrozumiałeś, miara kąta wypukłego wynosi od 0 o do 180 o.

4. Niewypukłe

Niewypukłe to kąty o mierze stopni od 181 o do 359 o włącznie.

5. Pełny

Kąt, którego miara wynosi 360 stopni, jest kątem całkowitym.

Są to wszystkie rodzaje kątów w zależności od ich wielkości. Teraz rozważ ich typy według położenia na płaszczyźnie względem siebie.

1. Dodatkowe

Są to dwa kąty ostre, które tworzą jedną linię prostą, tj. ich suma wynosi 90 o.

2. Powiązane

Sąsiednie kąty powstają, gdy promień jest rysowany w dowolnym kierunku przez rozłożony, a dokładniej przez jego górę. Ich suma wynosi 180 o.

3. Pionowy

Kąty pionowe powstają, gdy przecinają się dwie proste. Ich miary stopni są równe.

Przejdźmy teraz do rodzajów kątów położonych względem koła. Są tylko dwa z nich: centralny i wpisany.

1. Centralny

Kąt środkowy to ten, którego wierzchołek znajduje się w środku okręgu. Jego miara stopnia jest równa mierze stopnia mniejszego łuku opartego na bokach.

2. Wpisane

Kąt wpisany to taki, którego wierzchołek leży na okręgu i którego boki go przecinają. Jego miara stopnia jest równa połowie łuku, na którym spoczywa.

Chodzi o rogi. Teraz wiesz, że oprócz najbardziej znanych - ostrych, tępych, prostych i rozmieszczonych - w geometrii istnieje wiele innych ich rodzajów.

Zobacz zdjęcie. (Rys. 1)

Ryż. 1. Na przykład ilustracja

Jakie kształty geometryczne są ci znane?

Oczywiście widziałeś, że obraz składa się z trójkątów i prostokątów. Jakie słowo kryje się w imieniu obu tych postaci? To słowo to kąt (ryc. 2).

Ryż. 2. Wyznaczanie kąta

Dzisiaj nauczymy się rysować kąt prosty.

Nazwa tego kąta ma już słowo „prosty”. Aby poprawnie przedstawić kąt prosty, potrzebujemy kwadratu. (Rys. 3)

Ryż. 3. Kwadrat

Sam kwadrat ma już kąt prosty. (Rys. 4)

Ryż. 4. Kąt prosty

Pomoże nam zobrazować tę figurę geometryczną.

Aby poprawnie zobrazować figurę, musimy dołączyć kwadrat do płaszczyzny (1), zakreślić jego boki (2), nazwać wierzchołek kąta (3) i promienie (4).

1.

2.

3.

4.

Ustalmy, czy wśród dostępnych kątów znajdują się linie proste (ryc. 5). Pomoże nam w tym kwadrat.

Ryż. 5. Na przykład ilustracja

Znajdźmy kąt prosty kwadratu i zastosujmy go do istniejących kątów (ryc. 6).

Ryż. 6. Na przykład ilustracja

Widzimy, że kąt prosty pokrywał się z kątem WOM. Oznacza to, że kąt WOM jest prawidłowy. Powtórzmy tę samą operację. (Rys. 7)

Ryż. 7. Na przykład ilustracja

Widzimy, że kąt prosty naszego kwadratu nie pokrywa się z kątem ChZT. Oznacza to, że kąt COD nie jest kątem prostym. Ponownie przykładamy kąt prosty kwadratu do kąta AOT. (Rys. 8)

Ryż. 8. Na przykład ilustracja

Widzimy, że kąt AOT jest znacznie większy niż kąt prosty. Oznacza to, że kąt AOT nie jest kątem prostym.

Na tej lekcji nauczyliśmy się, jak zbudować kąt prosty za pomocą kwadratu.

Słowo „kąt” nadało nazwę wielu rzeczom, a także kształtom geometrycznym: prostokątowi, trójkątowi, kwadratowi, za pomocą których można narysować kąt prosty.

Trójkąt to figura geometryczna, która składa się z trzech boków i trzech kątów. Trójkąt, który ma kąt prosty, nazywamy trójkątem prostokątnym.

Zobacz zdjęcie. (Rys. 1)

Ryż. 1. Na przykład ilustracja

Jakie kształty geometryczne są ci znane?

Oczywiście widziałeś, że obraz składa się z trójkątów i prostokątów. Jakie słowo kryje się w imieniu obu tych postaci? To słowo to kąt (ryc. 2).

Ryż. 2. Wyznaczanie kąta

Dzisiaj nauczymy się rysować kąt prosty.

Nazwa tego kąta ma już słowo „prosty”. Aby poprawnie przedstawić kąt prosty, potrzebujemy kwadratu. (Rys. 3)

Ryż. 3. Kwadrat

Sam kwadrat ma już kąt prosty. (Rys. 4)

Ryż. 4. Kąt prosty

Pomoże nam zobrazować tę figurę geometryczną.

Aby poprawnie zobrazować figurę, musimy dołączyć kwadrat do płaszczyzny (1), zakreślić jego boki (2), nazwać wierzchołek kąta (3) i promienie (4).

1.

2.

3.

4.

Ustalmy, czy wśród dostępnych kątów znajdują się linie proste (ryc. 5). Pomoże nam w tym kwadrat.

Ryż. 5. Na przykład ilustracja

Znajdźmy kąt prosty kwadratu i zastosujmy go do istniejących kątów (ryc. 6).

Ryż. 6. Na przykład ilustracja

Widzimy, że kąt prosty pokrywał się z kątem WOM. Oznacza to, że kąt WOM jest prawidłowy. Powtórzmy tę samą operację. (Rys. 7)

Ryż. 7. Na przykład ilustracja

Widzimy, że kąt prosty naszego kwadratu nie pokrywa się z kątem ChZT. Oznacza to, że kąt COD nie jest kątem prostym. Ponownie przykładamy kąt prosty kwadratu do kąta AOT. (Rys. 8)

Ryż. 8. Na przykład ilustracja

Widzimy, że kąt AOT jest znacznie większy niż kąt prosty. Oznacza to, że kąt AOT nie jest kątem prostym.

Na tej lekcji nauczyliśmy się, jak zbudować kąt prosty za pomocą kwadratu.

Słowo „kąt” nadało nazwę wielu rzeczom, a także kształtom geometrycznym: prostokątowi, trójkątowi, kwadratowi, za pomocą których można narysować kąt prosty.

Trójkąt to figura geometryczna, która składa się z trzech boków i trzech kątów. Trójkąt, który ma kąt prosty, nazywamy trójkątem prostokątnym.

Kąt jest główną figurą geometryczną, którą przeanalizujemy w całym temacie. Definicje, metody wyznaczania, zapisu i pomiaru kąta. Przeanalizujmy zasady wybierania narożników na rysunkach. Cała teoria jest zilustrowana i ma dużą liczbę rysunków wizualnych.

Definicja 1

Narożnik- prosta ważna figura w geometrii. Kąt zależy bezpośrednio od definicji promienia, która z kolei składa się z podstawowych pojęć punktu, prostej i płaszczyzny. Aby dokładnie przestudiować, musisz zagłębić się w tematy linia prosta na płaszczyźnie - niezbędne informacje I samolot - niezbędne informacje.

Pojęcie kąta zaczyna się od pojęć punktu, płaszczyzny i prostej przedstawionej na tej płaszczyźnie.

Definicja 2

Biorąc pod uwagę linię a na płaszczyźnie. Oznacz na nim jakiś punkt O. Linia jest podzielona przez punkt na dwie części, z których każda ma swoją nazwę Promień, a punktem O jest początek belki.

Innymi słowy, wiązka lub półlinii - jest to część prostej, złożona z punktów danej prostej, znajdujących się po tej samej stronie punktu początkowego, czyli punktu O.

Oznaczenie belki jest dozwolone w dwóch odmianach: jedna mała litera lub dwie wielkie litery alfabetu łacińskiego. Belka oznaczona dwoma literami ma nazwę składającą się z dwóch liter. Przyjrzyjmy się bliżej rysunkowi.

Przejdźmy do pojęcia definiowania kąta.

Definicja 3

Narożnik- jest to figura znajdująca się w danej płaszczyźnie, utworzona z dwóch niedopasowanych promieni, które mają wspólny początek. boczny róg jest promieniem wierzchołek- wspólny początek stron.

Istnieje przypadek, gdy boki kąta mogą działać jak linia prosta.

Definicja 4

Gdy oba boki kąta leżą na tej samej prostej lub jego boki stanowią dodatkowe półproste jednej prostej, to taki kąt nazywamy rozmieszczony.

Poniższy rysunek przedstawia spłaszczony róg.

Punkt leżący na prostej jest wierzchołkiem kąta. Najczęściej oznacza się go kropką O.

Kąt w matematyce jest oznaczony znakiem „∠”. Kiedy boki kąta są oznaczone małą łaciną, to dla poprawnej definicji kąta litery są zapisywane odpowiednio w rzędzie, zgodnie z bokami. Jeśli dwa boki są oznaczone k i h, to kąt jest oznaczony jako ∠ k h lub ∠ h k .

Gdy jest oznaczenie wielkimi literami, to odpowiednio boki narożnika mają nazwy O A i O B. W tym przypadku kąt ma nazwę trzech liter alfabetu łacińskiego, zapisanych w rzędzie, pośrodku z wierzchołkiem - ∠ A O B i ∠ B O A . Istnieje oznaczenie w postaci cyfr, gdy rogi nie mają nazw ani liter. Poniżej znajduje się rysunek, na którym kąty są wskazane na różne sposoby.

Kąt dzieli płaszczyznę na dwie części. Jeśli kąt nie jest rozwinięty, to jedna część płaszczyzny ma nazwę obszar narożnika wewnętrznego, inny - obszar narożnika zewnętrznego. Poniżej znajduje się obraz wyjaśniający, które części płaszczyzny są zewnętrzne, a które wewnętrzne.

Po podzieleniu przez kąt prosty na płaszczyźnie, każda z jego części jest uważana za wnętrze kąta prostego.

Wewnętrzny obszar narożnika jest elementem służącym do drugiego określenia narożnika.

Definicja 5

narożnik nazywana jest figura geometryczna, składająca się z dwóch nienachodzących na siebie promieni, mających wspólny początek i odpowiedni wewnętrzny obszar kąta.

Ta definicja jest bardziej rygorystyczna niż poprzednia, ponieważ ma więcej warunków. Nie zaleca się rozpatrywania obu definicji osobno, ponieważ kąt to figura geometryczna przekształcona za pomocą dwóch promieni wychodzących z jednego punktu. Gdy konieczne jest wykonanie działań pod kątem, wówczas definicja oznacza obecność dwóch promieni o wspólnym pochodzeniu i obszarze wewnętrznym.

Definicja 6

Dwa rogi są nazywane powiązany, jeśli istnieje wspólny bok, a pozostałe dwie są komplementarnymi półprostymi lub tworzą kąt prosty.

Rysunek pokazuje, że sąsiednie narożniki wzajemnie się uzupełniają, ponieważ są wzajemną kontynuacją.

Definicja 7

Dwa rogi są nazywane pionowy, jeśli boki jednego są komplementarnymi półprostymi drugiego lub są przedłużeniami boków drugiego. Poniższy rysunek przedstawia obraz narożników pionowych.

Podczas przecinania linii uzyskuje się 4 pary sąsiednich i 2 pary kątów pionowych. Poniżej pokazano na rysunku.

W artykule przedstawiono definicje kątów równych i nierównych. Przeanalizujemy, który kąt jest uważany za duży, który jest mniejszy i inne właściwości kąta. Dwie liczby są uważane za równe, jeśli po nałożeniu całkowicie się pokrywają. Ta sama właściwość dotyczy porównywania kątów.

Biorąc pod uwagę dwa kąty. Należy dojść do wniosku, czy te kąty są równe, czy nie.

Wiadomo, że wierzchołki dwóch rogów i bok pierwszego rogu pokrywają się z dowolnym innym bokiem drugiego. Oznacza to, że w przypadku całkowitego zbiegu okoliczności, gdy kąty się nałożą, boki danych kątów będą się całkowicie pokrywać, kąty równy.

Może się zdarzyć, że przy nakładaniu boki nie będą łączone, a następnie rogi nierówny, mniejszy z których składa się z innego i więcej obejmuje zupełnie inny kąt. Poniżej znajdują się nierówne kąty, które nie są wyrównane po nałożeniu.

Rozwinięte kąty są równe.

Pomiar kątów rozpoczyna się od pomiaru boku mierzonego kąta i jego wewnętrznego obszaru, wypełniając go kątami jednostkowymi, które są przyłożone do siebie. Konieczne jest policzenie liczby ułożonych w stos rogów, określają one z góry miarę mierzonego kąta.

Jednostkę kąta można wyrazić w dowolnym mierzalnym kącie. Istnieją ogólnie przyjęte jednostki miary stosowane w nauce i technice. Specjalizują się w innych tytułach.

Najczęściej używane pojęcie stopień.

Definicja 8

jeden stopień nazywamy kątem, który ma sto osiemdziesiątą część kąta prostego.

Standardowa notacja stopnia to „°”, wtedy jeden stopień to 1°. Dlatego kąt prosty składa się ze 180 takich kątów, składających się z jednego stopnia. Wszystkie dostępne rogi są ciasno ułożone jeden na drugim, a boki poprzedniego są wyrównane z następnym.

Wiadomo, że liczba stopni w kącie jest tą samą miarą kąta. Rozwinięty narożnik ma w swoim składzie 180 ułożonych w stos narożników. Poniższy rysunek pokazuje przykłady, w których kąt jest ułożony 30 razy, czyli jedną szóstą rozszerzonego, i 90 razy, czyli połowę.

Minuty i sekundy służą do dokładnego określenia pomiarów kąta. Stosuje się je, gdy wartość kąta nie jest liczbą całkowitą. Takie części stopnia pozwalają na wykonywanie dokładniejszych obliczeń.

Definicja 9

minuta nazywa się jedną sześćdziesiątą stopnia.

Definicja 10

drugi nazywany jedną sześćdziesiątą minuty.

Stopień zawiera 3600 sekund. Minuty oznaczają „””, a sekundy „””. Oznaczenie ma miejsce:

1°=60"=3600"", 1"=(160)°, 1"=60"", 1""=(160)"=(13600)°,

a oznaczenie kąta 17 stopni 3 minuty i 59 sekund to 17 ° 3 „59” .

Definicja 11

Podajmy przykład zapisu miary stopnia kąta równego 17 ° 3 „59” ”. Wpis ma inną postać 17 + 3 60 + 59 3600 \u003d 17 239 3600.

Aby dokładnie zmierzyć kąty, stosuje się urządzenie pomiarowe, takie jak kątomierz. Przy oznaczaniu kąta ∠ A O B i jego miary stopnia 110 stopni stosuje się wygodniejszy zapis ∠ A O B \u003d 110 °, który brzmi: „Kąt A O B jest równy 110 stopni”.

W geometrii używa się miary kąta z przedziału (0 , 180 ], aw trygonometrii miara dowolnego stopnia nazywana jest kąty skrętu. Wartość kątów jest zawsze wyrażana jako liczba rzeczywista. Prosty kąt to kąt, który ma 90 stopni. Ostry kąt jest kątem, który jest mniejszy niż 90 stopni, oraz tępy- więcej.

Kąt ostry mierzy się w przedziale (0, 90) , a kąt rozwarty - (90, 180) . Poniżej wyraźnie pokazano trzy rodzaje kątów.

Każda miara stopnia dowolnego kąta ma tę samą wartość. Odpowiednio większy kąt ma większą miarę stopnia niż mniejszy. Miara stopnia jednego kąta jest sumą wszystkich dostępnych miar kątów wewnętrznych. Poniższy rysunek przedstawia kąt AOB, składający się z kątów AOC, COD i DOB. Szczegółowo wygląda to tak: ∠ A O B = ∠ A O C + ∠ D O B = 45 ° + 30 ° + 60 ° = 135 °.

Na tej podstawie można stwierdzić, że suma Wszystko sąsiednie kąty mają 180 stopni ponieważ wszystkie tworzą kąt rozszerzony.

Wynika z tego, że każdy kąty pionowe są równe. Jeśli rozważymy to na przykładzie, otrzymamy, że kąt A O B i C O D są pionowe (na rysunku), wówczas pary kątów A O B i B O C, C O D i B O C są uważane za sąsiadujące. W takim przypadku równość ∠ A O B + ∠ B O C = 180 ° wraz z ∠ C O D + ∠ B O C = 180 ° uważa się za wyjątkowo prawdziwe. Stąd mamy, że ∠ ZA O B = ∠ C O re . Poniżej przykład zdjęcia i oznaczenia zaczepów pionowych.

Oprócz stopni, minut i sekund używana jest inna jednostka miary. Nazywa się to radian. Najczęściej można go znaleźć w trygonometrii przy wyznaczaniu kątów wielokątów. Co nazywa się radianem.

Definicja 12

Jeden kąt radianowy zwany kątem środkowym, który ma promień okręgu równy długości łuku.

Na rysunku radian jest przedstawiony jako okrąg, w którym znajduje się środek oznaczony punktem, z dwoma punktami na okręgu połączonymi i przekształconymi w promienie O A i O B. Z definicji ten trójkąt A O B jest równoboczny, co oznacza że długość łuku A B jest równa długości promieni O B i Oh A.

Oznaczenie kąta przyjmuje się jako „rad”. Oznacza to, że wpis w 5 radianach jest skracany jako 5 rad. Czasami można znaleźć oznaczenie, które ma nazwę pi. Radiany nie zależą od długości danego koła, ponieważ figury mają jakieś ograniczenia za pomocą kąta i jego łuku ze środkiem znajdującym się w wierzchołku danego kąta. Uważane są za podobne.

Radiany mają takie samo znaczenie jak stopnie, różnica polega tylko na ich wielkości. Aby to ustalić, należy podzielić obliczoną długość łuku kąta środkowego przez długość jego promienia.

W praktyce używają konwertować stopnie na radiany i radiany na stopnie dla łatwiejszego rozwiązywania problemów. Wskazany artykuł zawiera informacje o związku między miarą stopnia a radianem, w którym można szczegółowo przestudiować translacje ze stopnia na radian i odwrotnie.

Do wizualnego i wygodnego przedstawienia łuków, kątów stosuje się rysunki. Nie zawsze jest możliwe prawidłowe zobrazowanie i oznaczenie określonego kąta, łuku lub nazwy. Równe kąty mają oznaczenie w postaci tej samej liczby łuków, a nierówne w postaci różnych. Rysunek pokazuje prawidłowe oznaczenie kątów ostrych, równych i nierównych.

Gdy trzeba zaznaczyć więcej niż 3 rogi, stosuje się specjalne oznaczenia łuków, takie jak falisty lub postrzępiony. To nie ma większego znaczenia. Poniższy rysunek przedstawia ich oznaczenie.

Oznaczenie kątów powinno być proste, aby nie kolidowało z innymi wartościami. Podczas rozwiązywania problemu zaleca się wybranie tylko narożników niezbędnych do rozwiązania, aby nie zaśmiecać całego rysunku. Nie zakłóci to rozwiązania i dowodu, a także nada rysunkowi estetyczny wygląd.

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

Każdy kąt, w zależności od jego wielkości, ma swoją nazwę:

Widok kątowy	Rozmiar w stopniach	Przykład
Pikantny	Mniej niż 90°
Prosty	Równy 90°. Na rysunku kąt prosty jest zwykle oznaczony symbolem narysowanym od jednej strony kąta do drugiej.
Tępy	Większy niż 90°, ale mniejszy niż 180°
rozmieszczony	Równa się 180° Kąt prosty jest równy sumie dwóch kątów prostych, a kąt prosty to połowa kąta prostego.
Wypukły	Więcej niż 180°, ale mniej niż 360°
Pełny	Równa się 360°

Dwa rogi są nazywane powiązany, jeśli mają jeden bok wspólny, a pozostałe dwa boki tworzą linię prostą:

rogi WYCIERAĆ I pon obok belki OP- strona wspólna, a pozostałe dwie strony - OM I NA ułożyć linię prostą.

Nazywa się wspólny bok sąsiednich kątów skośny do prostego, na którym leżą pozostałe dwa boki, tylko wtedy, gdy sąsiednie kąty nie są sobie równe. Jeśli sąsiednie kąty są równe, to ich wspólny bok będzie równy prostopadły.

Suma sąsiednich kątów wynosi 180°.

Dwa rogi są nazywane pionowy, jeśli boki jednego kąta uzupełniają proste boki innego kąta:

Kąty 1 i 3 oraz kąty 2 i 4 są pionowe.

Kąty pionowe są równe.

Udowodnijmy, że kąty wierzchołkowe są równe:

Suma ∠1 i ∠2 jest kątem prostym. A suma ∠3 i ∠2 jest kątem prostym. Zatem te dwie sumy są równe:

∠1 + ∠2 = ∠3 + ∠2.

W tej równości po lewej i po prawej stronie jest ten sam wyraz - ∠2. Równość nie zostaje naruszona, jeśli pominie się ten termin po lewej i po prawej stronie. Wtedy dostajemy.