Równoległobok i jego pole. Obliczamy sumę kątów i powierzchnię równoległoboku: właściwości i znaki. Cechy sąsiednich narożników

Obszar równoległoboku

Twierdzenie 1

Pole równoległoboku definiuje się jako iloczyn długości jego boku pomnożonej przez narysowaną do niego wysokość.

gdzie $a$ to bok równoległoboku, $h$ to wysokość poprowadzona na ten bok.

Dowód.

Otrzymamy równoległobok $ABCD$ z $AD=BC=a$. Narysujmy wysokości $DF$ i $AE$ (rys. 1).

Obrazek 1.

Jest oczywiste, że figura $FDAE$ jest prostokątem.

\[\kąt BAE=(90)^0-\kąt A,\ \] \[\kąt CDF=\kąt D-(90)^0=(180)^0-\kąt A-(90)^0 =(90)^0-\kąt A=\kąt BAE\]

Zatem, skoro $CD=AB,\ DF=AE=h$, $\triangle BAE=\triangle CDF$, przez $I$ test równości trójkątów. Następnie

Zatem zgodnie z twierdzeniem o polu prostokąta:

Twierdzenie zostało udowodnione.

Twierdzenie 2

Pole równoległoboku definiuje się jako iloczyn długości jego sąsiednich boków razy sinus kąta między tymi bokami.

Matematycznie można to zapisać w następujący sposób

gdzie $a,\ b$ to boki równoległoboku, $\alpha $ to kąt między nimi.

Dowód.

Niech dany będzie równoległobok $ABCD$ gdzie $BC=a,\ CD=b,\ \angle C=\alpha $. Narysuj wysokość $DF=h$ (rys. 2).

Rysunek 2.

Z definicji sinusa otrzymujemy

Stąd

Stąd, z twierdzenia $1$:

Twierdzenie zostało udowodnione.

Powierzchnia trójkąta

Twierdzenie 3

Pole trójkąta definiuje się jako połowę iloczynu długości jego boku i wysokości do niego narysowanej.

Matematycznie można to zapisać w następujący sposób

gdzie $a$ to bok trójkąta, $h$ to wysokość poprowadzona na ten bok.

Dowód.

Rysunek 3

Zatem z twierdzenia $1$:

Twierdzenie zostało udowodnione.

Twierdzenie 4

Pole trójkąta definiuje się jako połowę iloczynu długości sąsiednich boków pomnożonej przez sinus kąta między tymi bokami.

Matematycznie można to zapisać w następujący sposób

gdzie $a,\ b$ to boki trójkąta, $\alpha $ to kąt między nimi.

Dowód.

Otrzymamy trójkąt $ABC$, gdzie $AB=a$. Narysuj wysokość $CH=h$. Zbudujmy to do równoległoboku $ABCD$ (rys. 3).

Oczywiście $\triangle ACB=\triangle CDB$ przez $I$. Następnie

Zatem z twierdzenia $1$:

Twierdzenie zostało udowodnione.

Pole trapezu

Twierdzenie 5

Pole trapezu definiuje się jako połowę iloczynu sumy długości jego podstaw razy jego wysokość.

Matematycznie można to zapisać w następujący sposób

Dowód.

Otrzymamy trapez $ABCK$, gdzie $AK=a,\ BC=b$. Narysujmy w nim wysokości $BM=h$ i $KP=h$ oraz przekątną $BK$ (rys. 4).

Rysunek 4

Zgodnie z twierdzeniem $3$ otrzymujemy

Twierdzenie zostało udowodnione.

Przykład zadania

Przykład 1

Znajdź pole trójkąta równobocznego, jeśli długość jego boku wynosi $a.$

Rozwiązanie.

Ponieważ trójkąt jest równoboczny, wszystkie jego kąty są równe $(60)^0$.

Następnie, zgodnie z Twierdzeniem 4 $, mamy

Odpowiedź:$\frac(a^2\sqrt(3))(4)$.

Zauważ, że wynik tego problemu można wykorzystać do znalezienia obszaru dowolnego trójkąta równobocznego o danym boku.

Podobnie jak w geometrii euklidesowej punkt i prosta są głównymi elementami teorii płaszczyzn, tak równoległobok jest jedną z kluczowych figur wypukłych czworoboków. Z niego, jak nici z kuli, wypływają pojęcia „prostokąta”, „kwadratu”, „rombu” i innych wielkości geometrycznych.

W kontakcie z

Definicja równoległoboku

wypukły czworobok, składający się z segmentów, z których każda para jest równoległa, jest znany w geometrii jako równoległobok.

Jak wygląda klasyczny równoległobok, to czworokąt ABCD. Boki nazywamy podstawami (AB, BC, CD i AD), prostopadła poprowadzona z dowolnego wierzchołka na przeciwległy bok tego wierzchołka nazywana jest wysokością (BE i BF), proste AC i BD to przekątne.

Uwaga! Kwadrat, romb i prostokąt to szczególne przypadki równoległoboku.

Boki i kąty: cechy proporcji

Kluczowe właściwości, ogólnie rzecz biorąc, z góry określone przez samą nazwę, są one udowodnione przez twierdzenie. Cechy te są następujące:

1. Boki, które są przeciwne, są identyczne w parach.
2. Kąty leżące naprzeciw siebie są równe w parach.

Dowód: rozważ ∆ABC i ∆ADC, które otrzymujemy dzieląc czworokąt ABCD przez prostą AC. ∠BCA=∠CAD i ∠BAC=∠ACD, ponieważ AC jest dla nich wspólne (odpowiednio kąty pionowe dla BC||AD i AB||CD). Wynika z tego: ∆ABC = ∆ADC (drugie kryterium równości trójkątów).

Odcinki AB i BC w ∆ABC odpowiadają parami prostym CD i AD w ∆ADC, co oznacza, że ​​są one identyczne: AB = CD, BC = AD. Zatem ∠B odpowiada ∠D i są one równe. Ponieważ ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD, które również są identyczne w parach, to ∠A = ∠C. Właściwość została udowodniona.

Charakterystyka przekątnych figury

Główna cecha te linie równoległoboku: punkt przecięcia przecina je na pół.

Dowód: niech m. E będzie punktem przecięcia przekątnych AC i BD figury ABCD. Tworzą one dwa współmierne trójkąty - ∆ABE i ∆CDE.

AB=CD, ponieważ są przeciwne. Zgodnie z prostymi i siecznymi, ∠ABE = ∠CDE i ∠BAE = ∠DCE.

Zgodnie z drugim znakiem równości ∆ABE = ∆CDE. Oznacza to, że elementy ∆ABE i ∆CDE to: AE = CE, BE = DE, a ponadto są to części współmierne AC i BD. Właściwość została udowodniona.

Cechy sąsiednich narożników

Na sąsiednich bokach suma kątów wynosi 180°, ponieważ leżą po tej samej stronie prostych równoległych i siecznej. Dla czworokąta ABCD:

∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º

Właściwości dwusiecznej:

1. , opuszczone na bok, są prostopadłe;
2. przeciwległe wierzchołki mają dwusieczne równoległe;
3. trójkąt uzyskany przez narysowanie dwusiecznej będzie równoramienny.

Wyznaczanie cech charakterystycznych równoległoboku za pomocą twierdzenia

Cechy tej figury wynikają z jej głównego twierdzenia, które brzmi następująco: czworokąt jest uważany za równoległobok w przypadku, gdy jego przekątne się przecinają, a ten punkt dzieli je na równe segmenty.

Dowód: Niech proste AC i BD czworokąta ABCD przecinają się w t. E. Skoro ∠AED = ∠BEC, a AE+CE=AC BE+DE=BD, to ∆AED = ∆BEC (przy pierwszym znaku równości trójkątów). Oznacza to, że ∠EAD = ∠ECB. Są to również wewnętrzne kąty przecięcia siecznej AC dla linii AD i BC. Zatem z definicji równoległości - AD || PNE. Wyprowadzono również podobną właściwość linii BC i CD. Twierdzenie zostało udowodnione.

Obliczanie pola figury

Obszar tej figury znaleźć na kilka sposobów jeden z najprostszych: pomnożenie wysokości i podstawy, do której jest rysowany.

Dowód: Narysuj prostopadłe BE i CF z wierzchołków B i C. ∆ABE i ∆DCF są równe, ponieważ AB = CD i BE = CF. ABCD jest równe prostokątowi EBCF, ponieważ składają się one również z cyfr proporcjonalnych: SABE i S EBCD oraz S DCF i S EBCD. Wynika z tego, że obszar tej figury geometrycznej jest taki sam jak prostokąta:

S ABCD = S EBCF = BE×BC=BE×AD.

Aby określić ogólny wzór na obszar równoległoboku, oznaczamy wysokość jako hb i bok B. Odpowiednio:

Inne sposoby znajdowania obszaru

Obliczenia powierzchni przez boki równoległoboku i kąt, które tworzą, jest drugą znaną metodą.

,

Spr-ma - obszar;

a i b to jego boki

α - kąt między odcinkami a i b.

Ta metoda jest praktycznie oparta na pierwszej, ale w przypadku, gdy jest nieznana. zawsze odcina trójkąt prostokątny, którego parametry znajdują się za pomocą tożsamości trygonometrycznych, tj. Przekształcając stosunek, otrzymujemy . W równaniu pierwszej metody zastępujemy wysokość tym iloczynem i uzyskujemy dowód ważności tego wzoru.

Przez przekątne równoległoboku i kąta które tworzą, gdy się przecinają, możesz również znaleźć obszar.

Dowód: AC i BD przecinające się tworzą cztery trójkąty: ABE, BEC, CDE i AED. Ich suma jest równa polu tego czworoboku.

Powierzchnię każdego z tych ∆ można znaleźć z wyrażenia , gdzie a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB. Skoro , to do obliczeń używana jest pojedyncza wartość sinusa. To jest . Ponieważ AE+CE=AC= d 1 i BE+DE=BD= d 2 , wzór na pole redukuje się do:

.

Zastosowanie w algebrze wektorów

Cechy części składowych tego czworoboku znalazły zastosowanie w algebrze wektorów, a mianowicie: dodawanie dwóch wektorów. Mówi o tym reguła równoległoboku jeśli dane wektoryINiesą współliniowe, to ich suma będzie równa przekątnej tej figury, której podstawy odpowiadają tym wektorom.

Dowód: z dowolnie wybranego początku - czyli ok. - budujemy wektory i . Następnie budujemy równoległobok OASV, gdzie odcinki OA i OB są bokami. Zatem system operacyjny leży na wektorze lub sumie.

Wzory do obliczania parametrów równoległoboku

Tożsamości są podawane pod następującymi warunkami:

1. aib, α - boki i kąt między nimi;
2. re 1 i re 2 , γ - przekątne iw punkcie ich przecięcia;
3. h a i h b - wysokości obniżone na boki a i b;

Parametr	Formuła
Znalezienie stron
wzdłuż przekątnych i cosinusa kąta między nimi
po przekątnej i na boki
przez wysokość i przeciwny wierzchołek
Znalezienie długości przekątnych
po bokach i wielkości blatu pomiędzy nimi
wzdłuż boków i jednej z przekątnych	 Wniosek Równoległobok, jako jedna z kluczowych figur geometrii, jest używany w życiu, na przykład w budownictwie przy obliczaniu powierzchni terenu lub innych pomiarów. Dlatego wiedza o cechach wyróżniających i metodach obliczania różnych jego parametrów może być przydatna w każdym momencie życia.

Podczas rozwiązywania problemów na ten temat, oprócz podstawowe właściwości równoległobok i odpowiadające im formuły, możesz zapamiętać i zastosować następujące zasady:

1. Dwusieczna kąta wewnętrznego równoległoboku odcina od niego trójkąt równoramienny
2. Dwusieczne kątów wewnętrznych przylegających do jednego z boków równoległoboku są wzajemnie prostopadłe
3. Dwusieczne wychodzące z przeciwnych kątów wewnętrznych równoległoboku, równoległe do siebie lub leżące na jednej prostej
4. Suma kwadratów przekątnych równoległoboku jest równa sumie kwadratów jego boków
5. Pole równoległoboku to połowa iloczynu przekątnych razy sinus kąta między nimi.

Rozważmy zadania, w rozwiązaniu których te właściwości są używane.

Zadanie 1.

Dwusieczna kąta C równoległoboku ABCD przecina bok AD w punkcie M i kontynuację boku AB poza punktem A w punkcie E. Znajdź obwód równoległoboku, jeśli AE \u003d 4, DM \u003d 3.

Rozwiązanie.

1. Trójkąt CMD równoramienny. (Obiekt 1). Zatem CD = MD = 3 cm.

2. Trójkąt EAM jest równoramienny.
Zatem AE = AM = 4 cm.

3. AD = AM + MD = 7 cm.

4. Obwód ABCD = 20 cm.

Odpowiedź. 20 cm

Zadanie 2.

W czworokącie wypukłym ABCD narysowano przekątne. Wiadomo, że pola trójkątów ABD, ACD, BCD są równe. Udowodnij, że podany czworokąt jest równoległobokiem.

Rozwiązanie.

1. Niech BE będzie wysokością trójkąta ABD, CF będzie wysokością trójkąta ACD. Ponieważ zgodnie z warunkiem zadania pola trójkątów są równe i mają wspólną podstawę AD, to wysokości tych trójkątów są równe. BE = CF.

2. BE, CF są prostopadłe do AD. Punkty B i C leżą po tej samej stronie prostej AD. BE = CF. Dlatego linia BC || OGŁOSZENIE. (*)

3. Niech AL będzie wysokością trójkąta ACD, BK wysokością trójkąta BCD. Ponieważ zgodnie z warunkiem zadania pola trójkątów są równe i mają wspólną podstawę CD, to wysokości tych trójkątów są równe. AL = BK.

4. AL i BK są prostopadłe do CD. Punkty B i A leżą po tej samej stronie prostej CD. AL = BK. Dlatego prosta AB || PŁYTA CD (**)

5. Z warunków (*), (**) wynika, że ​​ABCD jest równoległobokiem.

Odpowiedź. Udowodniony. ABCD jest równoległobokiem.

Zadanie 3.

Na bokach BC i CD równoległoboku ABCD zaznaczono odpowiednio punkty M i H, tak że odcinki BM i HD przecinają się w punkcie O;<ВМD = 95 о,