ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜ ಮತ್ತು ಅದರ ಪ್ರದೇಶ. ನಾವು ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುತ್ತೇವೆ: ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಮತ್ತು ಚಿಹ್ನೆಗಳು. ಪಕ್ಕದ ಮೂಲೆಗಳ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯಗಳು

ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜ ಪ್ರದೇಶ

ಪ್ರಮೇಯ 1

ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಅದರ ಬದಿಯ ಉದ್ದದ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ಅದರ ಎತ್ತರಕ್ಕೆ ಎಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಇಲ್ಲಿ $a$ ಎಂಬುದು ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಬದಿಯಾಗಿದೆ, $h$ ಎಂಬುದು ಈ ಬದಿಗೆ ಎಳೆಯಲಾದ ಎತ್ತರವಾಗಿದೆ.

ಪುರಾವೆ.

ನಮಗೆ $AD=BC=a$ ಜೊತೆಗೆ $ABCD$ ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜವನ್ನು ನೀಡೋಣ. $DF$ ಮತ್ತು $AE$ (Fig. 1) ಎತ್ತರವನ್ನು ಸೆಳೆಯೋಣ.

ಚಿತ್ರ 1.

$FDAE$ ಒಂದು ಆಯತವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ.

\[\angle BAE=(90)^0-\angle A,\ \] \[\angle CDF=\angle D-(90)^0=(180)^0-\angle A-(90)^0 =(90)^0-\angle A=\angle BAE\]

ಆದ್ದರಿಂದ, $CD=AB,\ DF=AE=h$, $\triangle BAE=\triangle CDF$, $I$ ರಿಂದ ತ್ರಿಕೋನ ಸಮಾನತೆಯ ಪರೀಕ್ಷೆ. ನಂತರ

ಆದ್ದರಿಂದ ಆಯತ ಪ್ರದೇಶದ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ:

ಪ್ರಮೇಯವು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.

ಪ್ರಮೇಯ 2

ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಅದರ ಪಕ್ಕದ ಬದಿಗಳ ಉದ್ದದ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ಆ ಬದಿಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಸೈನ್ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಗಣಿತದ ಪ್ರಕಾರ, ಇದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬರೆಯಬಹುದು

ಇಲ್ಲಿ $a,\ b$ ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಬದಿಗಳು, $\alpha $ ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವಾಗಿದೆ.

ಪುರಾವೆ.

ನಮಗೆ $BC=a,\ CD=b,\ \angle C=\alpha $ ಜೊತೆಗೆ $ABCD$ ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜವನ್ನು ನೀಡೋಣ. ಎತ್ತರವನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ $DF=h$ (ಚಿತ್ರ 2).

ಚಿತ್ರ 2.

ಸೈನ್ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ಆದ್ದರಿಂದ

ಆದ್ದರಿಂದ, ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ $1$:

ಪ್ರಮೇಯವು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.

ತ್ರಿಕೋನದ ಪ್ರದೇಶ

ಪ್ರಮೇಯ 3

ತ್ರಿಕೋನದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಅದರ ಬದಿಯ ಉದ್ದದ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಉತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ಅದಕ್ಕೆ ಎಳೆಯುವ ಎತ್ತರ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಗಣಿತದ ಪ್ರಕಾರ, ಇದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬರೆಯಬಹುದು

ಇಲ್ಲಿ $a$ ಎಂಬುದು ತ್ರಿಕೋನದ ಬದಿಯಾಗಿದೆ, $h$ ಎಂಬುದು ಈ ಬದಿಗೆ ಎಳೆಯಲಾದ ಎತ್ತರವಾಗಿದೆ.

ಪುರಾವೆ.

ಚಿತ್ರ 3

ಆದ್ದರಿಂದ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ $1$:

ಪ್ರಮೇಯವು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.

ಪ್ರಮೇಯ 4

ತ್ರಿಕೋನದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಅದರ ಪಕ್ಕದ ಬದಿಗಳ ಉದ್ದದ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ಆ ಬದಿಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಸೈನ್ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಗಣಿತದ ಪ್ರಕಾರ, ಇದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬರೆಯಬಹುದು

ಇಲ್ಲಿ $a,\ b$ ಎಂಬುದು ತ್ರಿಕೋನದ ಬದಿಗಳು, $\alpha $ ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವಾಗಿದೆ.

ಪುರಾವೆ.

ನಮಗೆ $AB=a$ ಜೊತೆಗೆ $ABC$ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ನೀಡೋಣ. ಎತ್ತರವನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ $CH=h$. ಅದನ್ನು ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜ $ABCD$ (Fig. 3) ಗೆ ನಿರ್ಮಿಸೋಣ.

ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, $\triangle ACB=\triangle CDB$ ರಿಂದ $I$. ನಂತರ

ಆದ್ದರಿಂದ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ $1$:

ಪ್ರಮೇಯವು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.

ಟ್ರೆಪೆಜಿಯಮ್ ಪ್ರದೇಶ

ಪ್ರಮೇಯ 5

ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್‌ನ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಅದರ ತಳದ ಉದ್ದದ ಮೊತ್ತದ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ಅದರ ಎತ್ತರವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಗಣಿತದ ಪ್ರಕಾರ, ಇದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬರೆಯಬಹುದು

ಪುರಾವೆ.

ನಮಗೆ ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ $ABCK$ ನೀಡೋಣ, ಇಲ್ಲಿ $AK=a,\ BC=b$. ಅದರಲ್ಲಿ $BM=h$ ಮತ್ತು $KP=h$, ಹಾಗೆಯೇ ಕರ್ಣ $BK$ (Fig. 4) ಅನ್ನು ನಾವು ಸೆಳೆಯೋಣ.

ಚಿತ್ರ 4

ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ $3$, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ಪ್ರಮೇಯವು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.

ಕಾರ್ಯ ಉದಾಹರಣೆ

ಉದಾಹರಣೆ 1

ಅದರ ಬದಿಯ ಉದ್ದವು $a.$ ಆಗಿದ್ದರೆ ಸಮಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ

ಪರಿಹಾರ.

ತ್ರಿಕೋನವು ಸಮಬಾಹುವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಕೋನಗಳು $(60)^0$ ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ನಂತರ, ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ $4$, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ

ಉತ್ತರ:$\frac(a^2\sqrt(3))(4)$.

ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬದಿಯೊಂದಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಸಮಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಬಳಸಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ.

ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿರುವಂತೆ, ಬಿಂದು ಮತ್ತು ನೇರ ರೇಖೆಯು ಸಮತಲಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಮುಖ್ಯ ಅಂಶಗಳಾಗಿವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜವು ಪೀನ ಚತುರ್ಭುಜಗಳ ಪ್ರಮುಖ ವ್ಯಕ್ತಿಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ಅದರಿಂದ, ಚೆಂಡಿನಿಂದ ಎಳೆಗಳಂತೆ, "ಆಯತ", "ಚದರ", "ರೋಂಬಸ್" ಮತ್ತು ಇತರ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಮಾಣಗಳ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ಹರಿಯುತ್ತವೆ.

ಸಂಪರ್ಕದಲ್ಲಿದೆ

ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ

ಪೀನ ಚತುರ್ಭುಜ,ವಿಭಾಗಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಜೋಡಿಯು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಕ್ಲಾಸಿಕ್ ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜ ಎಬಿಸಿಡಿ ಹೇಗೆ ಕಾಣುತ್ತದೆ. ಬದಿಗಳನ್ನು ಬೇಸ್‌ಗಳು (AB, BC, CD ಮತ್ತು AD) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಯಾವುದೇ ಶೃಂಗದಿಂದ ಈ ಶೃಂಗದ ಎದುರು ಭಾಗಕ್ಕೆ ಎಳೆಯುವ ಲಂಬವನ್ನು ಎತ್ತರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ (BE ಮತ್ತು BF), AC ಮತ್ತು BD ರೇಖೆಗಳು ಕರ್ಣಗಳಾಗಿವೆ.

ಗಮನ!ಚೌಕ, ರೋಂಬಸ್ ಮತ್ತು ಆಯತವು ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳಾಗಿವೆ.

ಬದಿಗಳು ಮತ್ತು ಕೋನಗಳು: ಅನುಪಾತದ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯಗಳು

ಪ್ರಮುಖ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು, ದೊಡ್ಡದಾಗಿ, ಹುದ್ದೆಯಿಂದಲೇ ಪೂರ್ವನಿರ್ಧರಿತವಾಗಿದೆ, ಅವರು ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ. ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಕೆಳಕಂಡಂತಿವೆ:

ವಿರುದ್ಧವಾಗಿರುವ ಬದಿಗಳು ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತವೆ.
ಪರಸ್ಪರ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿರುವ ಕೋನಗಳು ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಪುರಾವೆ: ∆ABC ಮತ್ತು ∆ADC ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಚತುರ್ಭುಜ ABCD ಅನ್ನು ಲೈನ್ AC ಯಿಂದ ಭಾಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ∠BCA=∠CAD ಮತ್ತು ∠BAC=∠ACD, ಏಕೆಂದರೆ AC ಅವರಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ (ಕ್ರಮವಾಗಿ BC||AD ಮತ್ತು AB||CD ಗಾಗಿ ಲಂಬ ಕೋನಗಳು). ಇದು ಇದರಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ: ∆ABC = ∆ADC (ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಸಮಾನತೆಗೆ ಎರಡನೇ ಮಾನದಂಡ).

∆ABC ಯಲ್ಲಿನ AB ಮತ್ತು BC ವಿಭಾಗಗಳು ∆ADC ಯಲ್ಲಿನ CD ಮತ್ತು AD ರೇಖೆಗಳಿಗೆ ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ, ಅಂದರೆ ಅವು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತವೆ: AB = CD, BC = AD. ಹೀಗಾಗಿ, ∠B ∠D ಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD, ಜೋಡಿಯಾಗಿಯೂ ಒಂದೇ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ನಂತರ ∠A = ∠C. ಆಸ್ತಿ ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.

ಆಕೃತಿಯ ಕರ್ಣಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

ಮುಖ್ಯ ಲಕ್ಷಣಈ ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳು: ಛೇದನದ ಬಿಂದುವು ಅವುಗಳನ್ನು ವಿಭಜಿಸುತ್ತದೆ.

ಪುರಾವೆ: m. E ಎಂಬುದು ABCD ಆಕೃತಿಯ AC ಮತ್ತು BD ಕರ್ಣಗಳ ಛೇದಕ ಬಿಂದುವಾಗಿರಲಿ. ಅವು ಎರಡು ಅನುಗುಣವಾದ ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ - ∆ABE ಮತ್ತು ∆CDE.

AB=CD ಅವರು ವಿರುದ್ಧವಾಗಿರುವುದರಿಂದ. ರೇಖೆಗಳು ಮತ್ತು ಸೆಕೆಂಟ್‌ಗಳ ಪ್ರಕಾರ, ∠ABE = ∠CDE ಮತ್ತು ∠BAE = ∠DCE.

ಸಮಾನತೆಯ ಎರಡನೇ ಚಿಹ್ನೆಯ ಪ್ರಕಾರ, ∆ABE = ∆CDE. ಇದರರ್ಥ ∆ABE ಮತ್ತು ∆CDE ಅಂಶಗಳು: AE = CE, BE = DE ಮತ್ತು, ಮೇಲಾಗಿ, ಅವು AC ಮತ್ತು BD ಯ ಅನುಗುಣವಾದ ಭಾಗಗಳಾಗಿವೆ. ಆಸ್ತಿ ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.

ಪಕ್ಕದ ಮೂಲೆಗಳ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯಗಳು

ಪಕ್ಕದ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ, ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವು 180 ° ಆಗಿದೆ, ಅವರು ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳು ಮತ್ತು ಸೆಕೆಂಟ್ನ ಒಂದೇ ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಮಲಗಿರುವುದರಿಂದ. ಚತುರ್ಭುಜ ABCD ಗಾಗಿ:

∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º

ದ್ವಿಭಾಜಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು:

, ಒಂದು ಬದಿಗೆ ಕೈಬಿಡಲಾಗಿದೆ, ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತವೆ;
ವಿರುದ್ಧ ಶೃಂಗಗಳು ಸಮಾನಾಂತರ ದ್ವಿಭಾಜಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ;
ದ್ವಿಭಾಜಕವನ್ನು ಎಳೆಯುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆದ ತ್ರಿಕೋನವು ಸಮದ್ವಿಬಾಹುಗಳಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ವಿಶಿಷ್ಟ ಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು

ಈ ಆಕೃತಿಯ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯಗಳು ಅದರ ಮುಖ್ಯ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತವೆ, ಅದು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಓದುತ್ತದೆ: ಚತುರ್ಭುಜವನ್ನು ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆಅದರ ಕರ್ಣಗಳು ಛೇದಿಸುವ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಮತ್ತು ಈ ಹಂತವು ಅವುಗಳನ್ನು ಸಮಾನ ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುತ್ತದೆ.

ಪುರಾವೆ: ಚತುರ್ಭುಜ ABCD ಯ AC ಮತ್ತು BD ರೇಖೆಗಳು t. E ನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸಲಿ. ∠AED = ∠BEC, ಮತ್ತು AE+CE=AC BE+DE=BD ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ನಂತರ ∆AED = ∆BEC (ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಸಮಾನತೆಯ ಮೊದಲ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ). ಅಂದರೆ, ∠EAD = ∠ECB. ಅವು AD ಮತ್ತು BC ರೇಖೆಗಳಿಗೆ ಸೆಕೆಂಟ್ AC ಯ ಆಂತರಿಕ ಕ್ರಾಸಿಂಗ್ ಕೋನಗಳಾಗಿವೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಸಮಾನಾಂತರತೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ - AD || ಕ್ರಿ.ಪೂ. BC ಮತ್ತು CD ಸಾಲುಗಳ ಇದೇ ರೀತಿಯ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಸಹ ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ. ಪ್ರಮೇಯವು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.

ಆಕೃತಿಯ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು

ಈ ಆಕೃತಿಯ ಪ್ರದೇಶ ಹಲವಾರು ವಿಧಗಳಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆಸರಳವಾದವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ: ಎತ್ತರ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಎಳೆಯುವ ತಳವನ್ನು ಗುಣಿಸುವುದು.

ಪುರಾವೆ: BE ಮತ್ತು CF ಶೃಂಗಗಳಿಂದ BE ಮತ್ತು CF ಅನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ. ∆ABE ಮತ್ತು ∆DCF ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ AB = CD ಮತ್ತು BE = CF. ABCDಯು EBCF ಆಯತಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅವುಗಳು ಅನುಪಾತದ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ: S ABE ಮತ್ತು S EBCD, ಹಾಗೆಯೇ S DCF ಮತ್ತು S EBCD. ಈ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಆಕೃತಿಯ ಪ್ರದೇಶವು ಆಯತದಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ:

S ABCD = S EBCF = BE× BC = BE×AD.

ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸೂತ್ರವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು, ನಾವು ಎತ್ತರವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ hb, ಮತ್ತು ಬದಿ ಬಿ. ಕ್ರಮವಾಗಿ:

ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಹುಡುಕಲು ಇತರ ಮಾರ್ಗಗಳು

ಪ್ರದೇಶದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜ ಮತ್ತು ಕೋನದ ಬದಿಗಳ ಮೂಲಕ, ಅವರು ರೂಪಿಸುವ, ಎರಡನೇ ತಿಳಿದಿರುವ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ.

ಸ್ಪ್ರ್-ಮಾ - ಪ್ರದೇಶ;

a ಮತ್ತು b ಅದರ ಬದಿಗಳು

α - ಎ ಮತ್ತು ಬಿ ವಿಭಾಗಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನ.

ಈ ವಿಧಾನವು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ಮೊದಲನೆಯದನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ, ಆದರೆ ಅದು ತಿಳಿದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ. ಯಾವಾಗಲೂ ಬಲ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಕತ್ತರಿಸುತ್ತದೆ, ಅದರ ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಗುರುತುಗಳಿಂದ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಅನುಪಾತವನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಮೊದಲ ವಿಧಾನದ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಈ ಉತ್ಪನ್ನದೊಂದಿಗೆ ಎತ್ತರವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಈ ಸೂತ್ರದ ಸಿಂಧುತ್ವದ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಒಂದು ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜ ಮತ್ತು ಕೋನದ ಕರ್ಣಗಳ ಮೂಲಕ,ಅವರು ಛೇದಿಸಿದಾಗ ಅವರು ರಚಿಸುವ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಸಹ ನೀವು ಕಾಣಬಹುದು.

ಪುರಾವೆ: AC ಮತ್ತು BD ಛೇದಿಸುವ ನಾಲ್ಕು ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ: ABE, BEC, CDE ಮತ್ತು AED. ಅವುಗಳ ಮೊತ್ತವು ಈ ಚತುರ್ಭುಜದ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಈ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ∆ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಿಂದ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB. ರಿಂದ , ನಂತರ ಸೈನ್‌ನ ಒಂದೇ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅದು . AE+CE=AC= d 1 ಮತ್ತು BE+DE=BD= d 2 ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ಪ್ರದೇಶ ಸೂತ್ರವು ಕಡಿಮೆಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ:

ವೆಕ್ಟರ್ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್

ಈ ಚತುರ್ಭುಜದ ಘಟಕ ಭಾಗಗಳ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯಗಳು ವೆಕ್ಟರ್ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಅನ್ವಯವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡಿವೆ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ: ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಸೇರ್ಪಡೆ. ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜ ನಿಯಮವು ಹೇಳುತ್ತದೆ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ನೀಡಿದರೆಮತ್ತುಅಲ್ಲಕೊಲಿನಿಯರ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ, ನಂತರ ಅವುಗಳ ಮೊತ್ತವು ಈ ಆಕೃತಿಯ ಕರ್ಣಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇವುಗಳ ಆಧಾರಗಳು ಈ ವಾಹಕಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ.

ಪುರಾವೆ: ನಿರಂಕುಶವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿದ ಆರಂಭದಿಂದ - ಅಂದರೆ, ಸುಮಾರು. - ನಾವು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು . ಮುಂದೆ, ನಾವು ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜ OASV ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅಲ್ಲಿ OA ಮತ್ತು OB ವಿಭಾಗಗಳು ಬದಿಗಳಾಗಿವೆ. ಹೀಗಾಗಿ, OS ವೆಕ್ಟರ್ ಅಥವಾ ಮೊತ್ತದ ಮೇಲೆ ಇರುತ್ತದೆ.

ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಸೂತ್ರಗಳು

ಗುರುತನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಷರತ್ತುಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ:

a ಮತ್ತು b, α - ಬದಿಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನ;
d 1 ಮತ್ತು d 2, γ - ಕರ್ಣಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಛೇದನದ ಹಂತದಲ್ಲಿ;
h a ಮತ್ತು h b - ಎತ್ತರಗಳನ್ನು a ಮತ್ತು b ಬದಿಗಳಿಗೆ ಇಳಿಸಲಾಗಿದೆ;

ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್	ಸೂತ್ರ
ಬದಿಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು
ಕರ್ಣಗಳ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್
ಕರ್ಣೀಯವಾಗಿ ಮತ್ತು ಪಕ್ಕಕ್ಕೆ
ಎತ್ತರ ಮತ್ತು ವಿರುದ್ಧ ಶೃಂಗದ ಮೂಲಕ
ಕರ್ಣಗಳ ಉದ್ದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು
ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ನಡುವೆ ಮೇಲ್ಭಾಗದ ಗಾತ್ರ
ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಕರ್ಣಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು	ತೀರ್ಮಾನ ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜವನ್ನು ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಪ್ರಮುಖ ವ್ಯಕ್ತಿಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿ ಜೀವನದಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸೈಟ್ ಅಥವಾ ಇತರ ಅಳತೆಗಳ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವಾಗ ನಿರ್ಮಾಣದಲ್ಲಿ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಅದರ ವಿವಿಧ ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ವಿಶಿಷ್ಟ ಲಕ್ಷಣಗಳು ಮತ್ತು ವಿಧಾನಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಜ್ಞಾನವು ಜೀವನದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಈ ವಿಷಯದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ಜೊತೆಗೆ ಮೂಲಭೂತ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜಮತ್ತು ಅನುಗುಣವಾದ ಸೂತ್ರಗಳು, ನೀವು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಬಹುದು ಮತ್ತು ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು:

ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಆಂತರಿಕ ಕೋನದ ದ್ವಿಭಾಜಕವು ಅದರಿಂದ ಸಮದ್ವಿಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಕತ್ತರಿಸುತ್ತದೆ
ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಒಂದು ಬದಿಯ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿರುವ ಆಂತರಿಕ ಕೋನಗಳ ದ್ವಿಭಾಜಕಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತವೆ
ಒಂದು ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ವಿರುದ್ಧ ಆಂತರಿಕ ಕೋನಗಳಿಂದ ಬರುವ ದ್ವಿಭಾಜಕಗಳು, ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ ಅಥವಾ ಒಂದು ಸರಳ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ
ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಕರ್ಣಗಳ ಚೌಕಗಳ ಮೊತ್ತವು ಅದರ ಬದಿಗಳ ಚೌಕಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ
ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವು ಕರ್ಣಗಳ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದ್ದು, ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಸೈನ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.

ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸುವ ಪರಿಹಾರದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.

ಕಾರ್ಯ 1.

ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜ ABCD ಯ ಕೋನ C ಯ ದ್ವಿಭಾಜಕವು M ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ AD ಯನ್ನು ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು E ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ A ಬಿಂದುವನ್ನು ಮೀರಿ AB ಯ ಮುಂದುವರಿಕೆಯು AE \u003d 4, DM \u003d 3 ಆಗಿದ್ದರೆ ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಪರಿಧಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ.

1. ತ್ರಿಕೋನ CMD ಸಮದ್ವಿಬಾಹುಗಳು. (ಆಸ್ತಿ 1). ಆದ್ದರಿಂದ, CD = MD = 3 ಸೆಂ.

2. ತ್ರಿಕೋನ EAM ಸಮದ್ವಿಬಾಹು.
ಆದ್ದರಿಂದ, AE = AM = 4 ಸೆಂ.

3. AD = AM + MD = 7 ಸೆಂ.

4. ಪರಿಧಿ ABCD = 20 ಸೆಂ.

ಉತ್ತರ. 20 ಸೆಂ.ಮೀ

ಕಾರ್ಯ 2.

ಕರ್ಣಗಳನ್ನು ಪೀನ ಚತುರ್ಭುಜ ABCD ಯಲ್ಲಿ ಎಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ABD, ACD, BCD ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಪ್ರದೇಶಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆ ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ. ನೀಡಿರುವ ಚತುರ್ಭುಜವು ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ.

1. BE ತ್ರಿಕೋನ ABD ಯ ಎತ್ತರವಾಗಿರಲಿ, CF ತ್ರಿಕೋನ ACD ಯ ಎತ್ತರವಾಗಿರಲಿ. ಸಮಸ್ಯೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯ ಪ್ರಕಾರ, ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಪ್ರದೇಶಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾದ AD ಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ, ನಂತರ ಈ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಎತ್ತರಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. BE = CF.

2. BE, CF AD ಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಬಿ ಮತ್ತು ಸಿ ಪಾಯಿಂಟ್‌ಗಳು AD ಯ ರೇಖೆಯ ಒಂದೇ ಬದಿಯಲ್ಲಿವೆ. BE = CF. ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಾಲು ಕ್ರಿ.ಪೂ || ಕ್ರಿ.ಶ. (*)

3. AL ಎಂಬುದು ತ್ರಿಕೋನ ACD ಯ ಎತ್ತರವಾಗಿರಲಿ, BK ತ್ರಿಕೋನ BCD ಯ ಎತ್ತರವಾಗಿರಲಿ. ಸಮಸ್ಯೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯ ಪ್ರಕಾರ, ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಪ್ರದೇಶಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಮೂಲ ಸಿಡಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ, ನಂತರ ಈ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಎತ್ತರಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. AL = BK.

4. AL ಮತ್ತು BK CD ಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಬಿ ಮತ್ತು ಎ ಅಂಕಗಳು ನೇರ ರೇಖೆಯ CD ಯ ಒಂದೇ ಬದಿಯಲ್ಲಿವೆ. AL = BK. ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಾಲು AB || ಸಿಡಿ (**)

5. ಷರತ್ತುಗಳು (*), (**) ಎಬಿಸಿಡಿ ಒಂದು ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

ಉತ್ತರ. ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ. ಎಬಿಸಿಡಿ ಒಂದು ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜವಾಗಿದೆ.

ಕಾರ್ಯ 3.

ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜ ABCD ಯ BC ಮತ್ತು CD ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ, M ಮತ್ತು H ಅಂಕಗಳನ್ನು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಗುರುತಿಸಲಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ BM ಮತ್ತು HD ವಿಭಾಗಗಳು O ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ;<ВМD = 95 о,

ಪರಿಹಾರ.

1. ತ್ರಿಕೋನ DOM ನಲ್ಲಿ<МОD = 25 о (Он смежный с <ВОD = 155 о); <ОМD = 95 о. Тогда <ОDМ = 60 о.

2. ಬಲ ತ್ರಿಕೋನ DHC ಯಲ್ಲಿ
(
ನಂತರ<НСD = 30 о. СD: НD = 2: 1
(ಬಲ ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ, 30 o ಕೋನದ ಎದುರು ಇರುವ ಕಾಲು ಅರ್ಧ ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್‌ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ).

ಆದರೆ ಸಿಡಿ = ಎಬಿ. ನಂತರ AB: HD = 2: 1.

3. <С = 30 о,
4. <А = <С = 30 о, <В =
ಉತ್ತರ: AB: HD = 2: 1,<А = <С = 30 о, <В =

ಕಾರ್ಯ 4.

4√6 ಉದ್ದದ ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಒಂದು ಕರ್ಣವು ಬೇಸ್‌ನೊಂದಿಗೆ 60 ° ಕೋನವನ್ನು ಮಾಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಕರ್ಣವು ಅದೇ ಬೇಸ್‌ನೊಂದಿಗೆ 45 ° ಕೋನವನ್ನು ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಎರಡನೇ ಕರ್ಣವನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಪರಿಹಾರ.

1. AO = 2√6.

2. ಸೈನ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು AOD ತ್ರಿಕೋನಕ್ಕೆ ಅನ್ವಯಿಸಿ.

AO/sin D = OD/sin A.

2√6/sin 45 o = OD/sin 60 o.

OD = (2√6sin 60 o) / sin 45 o = (2√6 √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6.

ಉತ್ತರ: 12.

ಕಾರ್ಯ 5.

5√2 ಮತ್ತು 7√2 ಬದಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜಕ್ಕೆ, ಕರ್ಣಗಳ ನಡುವಿನ ಚಿಕ್ಕ ಕೋನವು ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಚಿಕ್ಕ ಕೋನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಕರ್ಣಗಳ ಉದ್ದಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ.

d 1, d 2 ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಕರ್ಣಗಳಾಗಿರಲಿ, ಮತ್ತು ಕರ್ಣಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನ ಮತ್ತು ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಚಿಕ್ಕ ಕೋನವು φ ಆಗಿರಲಿ.

1. ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಎಣಿಕೆ ಮಾಡೋಣ
ಅದರ ಪ್ರದೇಶದ ಮಾರ್ಗಗಳು.

S ABCD \u003d AB AD ಪಾಪ A \u003d 5√2 7√2 sin f,

S ABCD \u003d 1/2 AC BD sin AOB \u003d 1/2 d 1 d 2 sin f.

ನಾವು ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ 5√2 7√2 sin f = 1/2d 1 d 2 sin f ಅಥವಾ

2 5√2 7√2 = d 1 d 2 ;

2. ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಬದಿಗಳು ಮತ್ತು ಕರ್ಣಗಳ ನಡುವಿನ ಅನುಪಾತವನ್ನು ಬಳಸಿ, ನಾವು ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ

(AB 2 + AD 2) 2 = AC 2 + BD 2.

((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = d 1 2 + d 2 2 .

d 1 2 + d 2 2 = 296.

3. ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಮಾಡೋಣ:

(d 1 2 + d 2 2 = 296,
(d 1 + d 2 = 140.

ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು 2 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಮೊದಲನೆಯದಕ್ಕೆ ಸೇರಿಸಿ.

ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ (d 1 + d 2) 2 = 576. ಆದ್ದರಿಂದ Id 1 + d 2 I = 24.

d 1, d 2 ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಕರ್ಣಗಳ ಉದ್ದವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ನಂತರ d 1 + d 2 = 24.

ಉತ್ತರ: 24.

ಕಾರ್ಯ 6.

ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಬದಿಗಳು 4 ಮತ್ತು 6. ಕರ್ಣಗಳ ನಡುವಿನ ತೀವ್ರ ಕೋನವು 45 o ಆಗಿದೆ. ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಪರಿಹಾರ.

1. AOB ತ್ರಿಕೋನದಿಂದ, ಕೊಸೈನ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿ, ನಾವು ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜ ಮತ್ತು ಕರ್ಣಗಳ ಬದಿಯ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ.

AB 2 \u003d AO 2 + VO 2 2 AO VO cos AOB.

4 2 \u003d (d 1 / 2) 2 + (d 2 / 2) 2 - 2 (d 1 / 2) (d 2 / 2) cos 45 o;

d 1 2/4 + d 2 2/4 - 2 (d 1/2) (d 2/2)√2/2 = 16.

d 1 2 + d 2 2 - d 1 d 2 √2 = 64.

2. ಅಂತೆಯೇ, ನಾವು AOD ತ್ರಿಕೋನಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ.

ನಾವು ಅದನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2.

ನಾವು d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √2 = 144 ಎಂಬ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

3. ನಮಗೆ ಒಂದು ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಇದೆ
(d 1 2 + d 2 2 - d 1 d 2 √2 = 64,
(d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √2 = 144.

ಎರಡನೆಯ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಮೊದಲನೆಯದನ್ನು ಕಳೆಯುವುದರಿಂದ, ನಾವು 2d 1 d 2 √2 = 80 ಅಥವಾ

d 1 d 2 = 80/(2√2) = 20√2

4. S ABCD \u003d 1/2 AC BD ಪಾಪ AOB \u003d 1/2 d 1 d 2 sin α \u003d 1/2 20√2 √2/2 \u003d 10.

ಸೂಚನೆ:ಇದರಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಹಿಂದಿನ ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ, ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ, ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಕರ್ಣಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದ ಅಗತ್ಯವಿದೆ ಎಂದು ಮುನ್ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

ಉತ್ತರ: 10.

ಕಾರ್ಯ 7.

ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ 96 ಮತ್ತು ಅದರ ಬದಿಗಳು 8 ಮತ್ತು 15. ಚಿಕ್ಕ ಕರ್ಣೀಯ ಚೌಕವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ.

1. S ABCD \u003d AB AD ಪಾಪ VAD. ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ ಪರ್ಯಾಯವನ್ನು ಮಾಡೋಣ.

ನಾವು 96 = 8 15 ಸಿನ್ VAD ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಪಾಪ VAD = 4/5.

2. cos BAD ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ. sin 2 VAD + cos 2 VAD = 1.

(4/5) 2 + cos 2 BAD = 1. cos 2 BAD = 9/25.

ಸಮಸ್ಯೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯ ಪ್ರಕಾರ, ನಾವು ಚಿಕ್ಕದಾದ ಕರ್ಣೀಯ ಉದ್ದವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಕೋನ BAD ತೀವ್ರವಾಗಿದ್ದರೆ ಕರ್ಣ BD ಚಿಕ್ಕದಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಂತರ cos BAD = 3/5.

3. ತ್ರಿಕೋನ ABD ಯಿಂದ, ಕೊಸೈನ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿ, ನಾವು ಕರ್ಣ BD ಯ ಚೌಕವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.

BD 2 \u003d AB 2 + AD 2 - 2 AB BD cos BAD.

ВD 2 \u003d 8 2 + 15 2 - 2 8 15 3 / 5 \u003d 145.

ಉತ್ತರ: 145.

ನೀವು ಯಾವುದೇ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೀರಾ? ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸಬೇಕೆಂದು ತಿಳಿದಿಲ್ಲವೇ?
ಬೋಧಕರ ಸಹಾಯ ಪಡೆಯಲು - ನೋಂದಾಯಿಸಿ.
ಮೊದಲ ಪಾಠ ಉಚಿತ!

ಸೈಟ್, ವಸ್ತುವಿನ ಪೂರ್ಣ ಅಥವಾ ಭಾಗಶಃ ನಕಲು ಜೊತೆಗೆ, ಮೂಲಕ್ಕೆ ಲಿಂಕ್ ಅಗತ್ಯವಿದೆ.

ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಎಂದು ನಾವು ಕಲಿಯುವ ಮೊದಲು, ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜ ಎಂದರೇನು ಮತ್ತು ಅದರ ಎತ್ತರವನ್ನು ನಾವು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜವು ಚತುರ್ಭುಜವಾಗಿದ್ದು, ಅದರ ವಿರುದ್ಧ ಬದಿಗಳು ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ (ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳ ಮೇಲೆ ಇರುತ್ತದೆ). ಎದುರು ಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಈ ಬದಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ರೇಖೆಗೆ ಎಳೆಯುವ ಲಂಬವನ್ನು ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಎತ್ತರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಚೌಕ, ಆಯತ ಮತ್ತು ರೋಂಬಸ್‌ಗಳು ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳಾಗಿವೆ.

ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು (S) ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸೂತ್ರಗಳು

S=a*h, ಇಲ್ಲಿ a ಆಧಾರವಾಗಿದೆ, h ಎಂಬುದು ಬೇಸ್‌ಗೆ ಎಳೆಯುವ ಎತ್ತರವಾಗಿದೆ.

S=a*b*sinα, ಇಲ್ಲಿ a ಮತ್ತು b ಬೇಸ್‌ಗಳು ಮತ್ತು α ಎಂಬುದು a ಮತ್ತು b ಬೇಸ್‌ಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವಾಗಿದೆ.

S \u003d p * r, ಇಲ್ಲಿ p ಅರೆ-ಪರಿಧಿ, r ಎಂಬುದು ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದಲ್ಲಿ ಕೆತ್ತಲಾದ ವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯವಾಗಿದೆ.

ಎ ಮತ್ತು ಬಿ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಪ್ರದೇಶವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಾಹಕಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್‌ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ:

ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 1 ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ: ಒಂದು ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ, ಅದರ ಬದಿಯು 7 ಸೆಂ, ಮತ್ತು ಎತ್ತರವು 3 ಸೆಂ. ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು, ನಮಗೆ ಪರಿಹಾರಕ್ಕಾಗಿ ಸೂತ್ರದ ಅಗತ್ಯವಿದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ S= 7x3. S=21. ಉತ್ತರ: 21 ಸೆಂ 2.

ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 2 ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ: ಬೇಸ್ಗಳು 6 ಮತ್ತು 7 ಸೆಂ, ಮತ್ತು ಬೇಸ್ಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವು 60 ಡಿಗ್ರಿಗಳಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಹೇಗೆ? ಪರಿಹಾರಕ್ಕಾಗಿ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಹೀಗಾಗಿ, ಮೊದಲು ನಾವು ಕೋನದ ಸೈನ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಸೈನ್ 60 \u003d 0.5, ಕ್ರಮವಾಗಿ ಎಸ್ \u003d 6 * 7 * 0.5 \u003d 21 ಉತ್ತರ: 21 ಸೆಂ 2.

ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಈ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ನಿಮಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತವೆ ಎಂದು ನಾನು ಭಾವಿಸುತ್ತೇನೆ. ಮತ್ತು ನೆನಪಿಡಿ, ಮುಖ್ಯ ವಿಷಯವೆಂದರೆ ಸೂತ್ರಗಳ ಜ್ಞಾನ ಮತ್ತು ಗಮನ

ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜ - ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅಂಕಿ, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಕೋರ್ಸ್ (ಪ್ಲ್ಯಾನಿಮೆಟ್ರಿ ವಿಭಾಗ) ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ. ಈ ಚತುರ್ಭುಜದ ಪ್ರಮುಖ ಲಕ್ಷಣಗಳು ವಿರುದ್ಧ ಕೋನಗಳ ಸಮಾನತೆ ಮತ್ತು ಎರಡು ಜೋಡಿ ಸಮಾನಾಂತರ ವಿರುದ್ಧ ಬದಿಗಳ ಉಪಸ್ಥಿತಿ. ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳು ರೋಂಬಸ್, ಆಯತ, ಚೌಕ.

ಈ ರೀತಿಯ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಪ್ರದೇಶದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವನ್ನು ಹಲವಾರು ವಿಧಗಳಲ್ಲಿ ಮಾಡಬಹುದು. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.

ಪಾರ್ಶ್ವ ಮತ್ತು ಎತ್ತರ ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ

ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು, ನೀವು ಅದರ ಬದಿಯ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು, ಜೊತೆಗೆ ಅದರ ಮೇಲೆ ಇಳಿಸಿದ ಎತ್ತರದ ಉದ್ದವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಪಡೆದ ಡೇಟಾವು ತಿಳಿದಿರುವ ಬದಿಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಎರಡೂ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹವಾಗಿರುತ್ತದೆ - ಆಕೃತಿಯ ಬೇಸ್, ಮತ್ತು ನಿಮ್ಮ ವಿಲೇವಾರಿಯಲ್ಲಿ ನೀವು ಆಕೃತಿಯ ಬದಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ:

S = a * h (a) = b * h (b),

S ಎಂಬುದು ನಿರ್ಧರಿಸಬೇಕಾದ ಪ್ರದೇಶವಾಗಿದೆ,

a, b - ತಿಳಿದಿರುವ (ಅಥವಾ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿದ) ಬದಿ,

h ಎಂಬುದು ಅದರ ಮೇಲೆ ಇಳಿಸಲಾದ ಎತ್ತರವಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ: ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ತಳಹದಿಯ ಮೌಲ್ಯವು 7 ಸೆಂ.ಮೀ., ವಿರುದ್ಧ ಶೃಂಗದಿಂದ ಅದರ ಮೇಲೆ ಬೀಳುವ ಲಂಬದ ಉದ್ದವು 3 ಸೆಂ.ಮೀ.

ಪರಿಹಾರ: S = a * h (a) = 7 * 3 = 21.

2 ಬದಿಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವು ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ

ಆಕೃತಿಯ ಎರಡು ಬದಿಗಳ ಪರಿಮಾಣ ಮತ್ತು ಅವು ಪರಸ್ಪರ ರೂಪಿಸುವ ಕೋನದ ಡಿಗ್ರಿ ಅಳತೆಯನ್ನು ನೀವು ತಿಳಿದಾಗ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಒದಗಿಸಿದ ಡೇಟಾವನ್ನು ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಸಹ ಬಳಸಬಹುದು. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸೂತ್ರದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ:

S = a * c * sinα = a * c * sinβ,

ಎ - ಬದಿ,

c ಎಂಬುದು ತಿಳಿದಿರುವ (ಅಥವಾ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿದ) ಆಧಾರವಾಗಿದೆ,

α, β ಎ ಮತ್ತು ಸಿ ಬದಿಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನಗಳಾಗಿವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ: ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ತಳವು 10 ಸೆಂ, ಅದರ ಬದಿಯು 4 ಸೆಂ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ. ಆಕೃತಿಯ ಚೂಪಾದ ಕೋನವು 135° ಆಗಿದೆ.

ಪರಿಹಾರ: ಎರಡನೇ ಬದಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ: 10 - 4 \u003d 6 ಸೆಂ.

S = a * c * sinα = 10 * 6 * sin135 ° = 60 * sin (90 ° + 45 °) = 60 * cos45 ° = 60 * √2 / 2 = 30√2.

ಕರ್ಣಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವು ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ

ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಕರ್ಣಗಳ ತಿಳಿದಿರುವ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಉಪಸ್ಥಿತಿ, ಹಾಗೆಯೇ ಅವುಗಳ ಛೇದನದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಅವು ರೂಪಿಸುವ ಕೋನವು ಆಕೃತಿಯ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಿಸುತ್ತದೆ.

S = (d1*d2)/2*sinγ,
S = (d1*d2)/2*sinφ,

S ಎಂಬುದು ನಿರ್ಧರಿಸಬೇಕಾದ ಪ್ರದೇಶವಾಗಿದೆ,
d1, d2 ತಿಳಿದಿರುವ (ಅಥವಾ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿದ) ಕರ್ಣಗಳು,
γ, φ ಗಳು ಕರ್ಣಗಳು d1 ಮತ್ತು d2 ನಡುವಿನ ಕೋನಗಳಾಗಿವೆ.