Емтихан тапсырмаларындағы функциялардың көлемі. Типтік есептерді шешу 4 x 2 функциясының мәндер жиынын табыңыз
Көптеген тапсырмалар белгілі бір сегментте немесе анықтаудың бүкіл доменінде функция мәндерінің жиынтығын іздеуге әкеледі. Мұндай тапсырмаларға өрнектерді әртүрлі бағалау, теңсіздіктерді шешу жатады.
Бұл мақалада функцияның ауқымын анықтаймыз, оны табу әдістерін қарастырамыз және қарапайымнан күрделіге қарай мысалдардың шешімін егжей-тегжейлі талдаймыз. Барлық материал түсінікті болу үшін графикалық иллюстрациялармен қамтамасыз етіледі. Сонымен, бұл мақала функцияның ауқымын қалай табуға болады деген сұраққа толық жауап береді.
Анықтама.
y = f(x) функциясының X интервалындағы мәндер жиыныфункцияның барлық мәндерінің жиыны деп аталады, ол барлығын қайталау кезінде қабылдайды.
Анықтама.
y = f(x) функциясының диапазоныанықтау облысындағы барлық x бойынша қайталау кезінде алатын функцияның барлық мәндерінің жиыны деп аталады.
Функцияның диапазоны E(f) ретінде белгіленеді.
Функцияның диапазоны мен функция мәндерінің жиыны бірдей емес. y = f(x) функциясының мәндер жиынын табу кезіндегі X интервалы функцияның анықталу облысымен сәйкес келсе, бұл ұғымдар баламалы болып саналады.
Сондай-ақ, y=f(x) теңдеуінің оң жағындағы өрнек үшін функцияның ауқымын x айнымалысымен шатастырмаңыз. f(x) өрнегі үшін x айнымалысының рұқсат етілген мәндерінің ауданы y=f(x) функциясының анықтамасының ауданы болып табылады.
Суретте бірнеше мысал келтірілген.
Функция графиктері қою көк сызықтармен, жіңішке қызыл сызықтар асимптоталар, қызыл нүктелер және Oy осіндегі сызықтар сәйкес функцияның ауқымын көрсетеді.
Көріп отырғаныңыздай, функцияның диапазоны функцияның графигін у осіне проекциялау арқылы алынады. Бұл бір сан (бірінші жағдай), сандар жиыны (екінші жағдай), кесінді (үшінші жағдай), интервал (төртінші жағдай), ашық сәуле (бесінші жағдай), біріктіру (алтыншы жағдай) және т.б. .
Сонымен, функцияның ауқымын табу үшін не істеу керек.
Ең қарапайым жағдайдан бастайық: үзіліссіз y = f(x) функциясының мәндер жиынын аралықта қалай анықтау керектігін көрсетеміз.
Кесіндіде үздіксіз функция ондағы ең үлкен және ең кіші мәндерге жететіні белгілі. Осылайша, сегменттегі бастапқы функцияның мәндерінің жиыны сегмент болады 
. Сондықтан біздің міндетіміз интервалдағы функцияның ең үлкен және ең кіші мәндерін табу болып табылады.
Мысалы, арксинус функциясының диапазонын табайық.
Мысал.
y = arcsinx функциясының ауқымын көрсетіңіз.
Шешім.
Арксинустың анықталу облысы [-1; 1] . Осы сегменттегі функцияның ең үлкен және ең кіші мәнін табыңыз. 
Туынды (-1; 1) аралықтағы барлық х үшін оң болады, яғни доғалық функция анықтаудың барлық облысы бойынша артады. Сондықтан ол ең кіші мәнді x = -1 кезінде, ал ең үлкенін x = 1 кезінде қабылдайды. 
Арксинус функциясының ауқымын алдық 
.
Мысал.
Функция мәндерінің жиынын табыңыз 
сегментте.
Шешім.
Берілген кесіндідегі функцияның ең үлкен және ең кіші мәнін табыңыз.
Сегментке жататын экстремум нүктелерін анықтайық: 
Біз бастапқы функцияның мәндерін сегменттің ұштарында және нүктелерінде есептейміз 
:
Сондықтан сегменттегі функция мәндерінің жиыны сегмент болып табылады 
.
Енді y = f(x) үздіксіз функциясының мәндер жиынын (a; b) , аралықтарынан қалай табуға болатынын көрсетеміз.
Алдымен функцияның экстремум нүктелерін, экстремумдарын, берілген аралықтағы функцияның өсу және кему аралықтарын анықтаймыз. Әрі қарай, біз интервалдың соңында және (немесе) шексіздіктегі шектерде есептейміз (яғни, функцияның интервал шекарасындағы немесе шексіздіктегі әрекетін зерттейміз). Бұл ақпарат осындай интервалдардағы функция мәндерінің жиынын табу үшін жеткілікті.
Мысал.
(-2; 2) аралықтағы функция мәндерінің жиынын анықтаңыз.
Шешім.
(-2; 2) интервалына түсетін функцияның экстремум нүктелерін табайық: 
Нүкте x = 0 - максималды нүкте, өйткені туынды одан өткен кезде таңбасын плюстен минусқа өзгертеді, ал функция графигі өсуден кемуге қарай жүреді. 
функцияның сәйкес максимумы болып табылады.
Оң жақта х -2-ге, сол жақта х 2-ге ұмтылғанда функцияның әрекетін анықтайық, яғни бір жақты шектерді табамыз: 
Біз не алдық: аргумент -2-ден нөлге өзгергенде, функция мәндері минус шексіздіктен минус төрттен біріне дейін артады (х = 0 кезінде функцияның максимумы), аргумент нөлден 2-ге өзгергенде, функция мәндер минус шексіздікке дейін төмендейді. Осылайша, (-2; 2) интервалдағы функция мәндерінің жиыны .
Мысал.
y = tgx тангенс функциясының мәндер жиынын интервалда көрсетіңіз.
Шешім.
Интервалдағы тангенс функциясының туындысы оң болады 
, бұл функцияның ұлғаюын көрсетеді. Функцияның әрекетін интервал шекарасында зерттейміз: 
Осылайша, аргумент келесіден -ге өзгергенде, функцияның мәндері минус шексіздіктен плюс шексіздікке дейін өседі, яғни бұл аралықтағы жанама мәндер жиыны барлық нақты сандар жиыны болып табылады.
Мысал.
y = lnx натурал логарифм функциясының ауқымын табыңыз.
Шешім.
Натурал логарифм функциясы аргументтің оң мәндері үшін анықталған 
. Бұл аралықта туынды оң болады 
, бұл ондағы функцияның ұлғаюын көрсетеді. Функцияның бір жақты шегін табайық, өйткені аргумент оң жақтан нөлге ұмтылады, ал х сияқты шегі плюс шексіздікке ұмтылады: 
Біз x нөлден плюс шексіздікке өзгерген кезде функцияның мәндері минус шексіздіктен плюс шексіздікке дейін өсетінін көреміз. Демек, натурал логарифм функциясының диапазоны нақты сандардың барлық жиыны болып табылады.
Мысал.
Шешім.
Бұл функция барлық нақты x мәндері үшін анықталған. Экстремум нүктелерін, сонымен қатар функцияның өсу және кему аралықтарын анықтайық. 
Демек, функция төмендейді, кезінде артады, x = 0 - максималды нүкте, 
функцияның сәйкес максимумы.
Функцияның шексіздіктегі әрекетін қарастырайық: 
Осылайша, шексіздікте функцияның мәндері асимптотикалық түрде нөлге жақындайды.
Аргумент минус шексіздіктен нөлге (максималды нүкте) өзгерген кезде функцияның мәндері нөлден тоғызға дейін (функцияның максимумына дейін) өсетінін, ал х нөлден плюс шексіздікке өзгеретінін білдік. функцияның мәндері тоғыздан нөлге дейін төмендейді.
Схематикалық сызбаны қараңыз.
Енді функцияның диапазоны болатыны анық көрінеді.
y = f(x) функциясының мәндер жиынын интервалдар бойынша табу ұқсас зерттеулерді қажет етеді. Біз енді бұл істерге егжей-тегжейлі тоқталмаймыз. Біз оларды төмендегі мысалдарда көреміз.
y = f(x) функциясының анықталу облысы бірнеше интервалдардың бірігуі болсын. Мұндай функцияның диапазонын табу кезінде әрбір интервалдағы мәндер жиыны анықталады және олардың бірігуі алынады.
Мысал.
Функцияның ауқымын табыңыз.
Шешім.
Біздің функциямыздың бөлгіші нөлге бармауы керек, яғни .
Алдымен ашық сәуледегі функцияның мәндер жиынын табайық.
Функция туындысы 
бұл интервалда теріс, яғни функция оған азаяды. 
Аргумент минус шексіздікке ұмтылатындықтан, функцияның мәндері асимптотикалық түрде бірлікке жақындайтынын анықтадық. x минус шексіздіктен екіге өзгергенде, функцияның мәндері бірден минус шексіздікке дейін төмендейді, яғни қарастырылатын аралықта функция мәндер жиынын қабылдайды. Біз бірлікті қоспаймыз, өйткені функцияның мәндері оған жетпейді, тек асимптотикалық түрде минус шексіздікте оған ұмтылады.
Біз ашық сәуле үшін де солай әрекет етеміз.
Бұл аралықта функция да төмендейді. 
Бұл аралықтағы функция мәндерінің жиыны жиын болып табылады.
Осылайша, функция мәндерінің қажетті диапазоны жиындардың бірігуі және .
Графикалық иллюстрация.
Біз периодтық функцияларға жеке тоқталуымыз керек. Периодтық функциялар диапазоны осы функцияның периодына сәйкес келетін интервалдағы мәндер жиынымен сәйкес келеді.
Мысал.
y = sinx синус функциясының ауқымын табыңыз.
Шешім.
Бұл функция периоды екі пи болатын периодты. Бір сегментті алып, ондағы мәндер жиынын анықтайық. 
Сегментте екі экстремум нүктесі бар және .
Біз осы нүктелердегі және сегмент шекараларындағы функцияның мәндерін есептейміз, ең кіші және ең үлкен мәндерді таңдаймыз: 
Демек, 
.
Мысал.
Функцияның ауқымын табыңыз 
.
Шешім.
Арккосинус диапазоны нөлден пиге дейінгі сегмент екенін білеміз, яғни, 
немесе басқа постта. Функция 
arccosx-тан х осі бойымен жылжыту және созу арқылы алуға болады. Мұндай түрлендірулер ауқымға әсер етпейді, сондықтан 
. Функция 
бастап келеді Ой осінің бойымен үш рет созылады, яғни 
. Ал түрлендірулердің соңғы сатысы y осі бойынша төрт бірлік төмен жылжу болып табылады. Бұл бізді қос теңсіздікке әкеледі 
Осылайша, қажетті мәндер ауқымы болып табылады 
.
Басқа мысалға шешім келтірейік, бірақ түсініктемесіз (олар талап етілмейді, өйткені олар толығымен ұқсас).
Мысал.
Функция ауқымын анықтаңыз 
.
Шешім.
Біз бастапқы функцияны пішінде жазамыз 
. Көрсеткіштік функцияның диапазоны интервал болып табылады. Яғни, . Содан кейін 
Демек, 
.
Суретті аяқтау үшін анықтау облысында үздіксіз емес функцияның ауқымын табу туралы айту керек. Бұл жағдайда анықтау облысы үзіліс нүктелері бойынша аралықтарға бөлінеді және олардың әрқайсысы бойынша мәндер жиынын табамыз. Алынған мәндер жиынын біріктіре отырып, біз бастапқы функцияның мәндер ауқымын аламыз. Сол жақтағы 3-ті есте сақтауды ұсынамыз, функцияның мәндері минус бірге, ал оң жақта x 3-ке ұмтылғанда, функцияның мәндері плюс шексіздікке бейім.
Осылайша, функцияның анықталу облысы үш интервалға бөлінеді.
Интервалда бізде функция бар 
. Сол уақыттан бері 
Сонымен, бастапқы функцияның интервалдағы мәндер жиыны [-6;2] .
Жартылай интервалда y = -1 тұрақты функциясы бар. Яғни, интервалдағы бастапқы функция мәндерінің жиыны бір элементтен тұрады.
Функция аргументтің барлық жарамды мәндері үшін анықталған. Функцияның өсу және кему аралықтарын табыңыз.
Туынды x=-1 және x=3 кезінде жойылады. Бұл нүктелерді нақты осьте белгілеп, алынған интервалдар бойынша туындының белгілерін анықтаймыз. 
Функция төмендейді 
, [-1 артады; 3] , x=-1 минимум нүкте, x=3 максимум нүкте.
Сәйкес минималды және максималды функцияларды есептейміз: 
Функцияның шексіздіктегі әрекетін тексерейік: 
Екінші шек бастап есептелді.
Схематикалық сурет салайық.
Аргумент минус шексіздіктен -1-ге өзгергенде, функция мәндері плюс шексіздіктен -2e-ге дейін төмендейді, аргумент -1-ден 3-ке өзгергенде, функция мәндері -2e-ден -ге дейін артады, аргумент келесіден өзгереді. 3 плюс шексіздікке дейін функция мәндері нөлден төмендейді, бірақ олар нөлге жетпейді.
Функция модель болып табылады. X-ті тәуелсіз айнымалы мәндер жиыны ретінде анықтайық // тәуелсіз кез келген дегенді білдіреді.
Функция - бұл Х жиынындағы тәуелсіз айнымалының әрбір мәні үшін тәуелді айнымалының жалғыз мәнін табуға болатын ереже. // яғни. әрбір x үшін бір у бар.
Анықтамадан екі ұғым бар екендігі шығады - тәуелсіз айнымалы (оны х деп белгілейміз және ол кез келген мәнді қабылдай алады) және тәуелді айнымалы (оны у немесе f (х) арқылы белгілейміз және ол келесі функциядан есептеледі: x орнына қоямыз).
МЫСАЛ y=5+x
1.Тәуелсіз – х, сондықтан кез келген мәнді аламыз, х = 3 болсын
2. енді біз у-ді есептейміз, сондықтан y \u003d 5 + x \u003d 5 + 3 \u003d 8. (y х-қа тәуелді, өйткені біз қандай x-ті ауыстырсақ, біз осындай у аламыз)
Біз у айнымалысы х айнымалысына функционалды тәуелді деп айтамыз және ол былай белгіленеді: y = f (x).
МЫСАЛЫ.
1.y=1/x. (гипербола деп аталады)
2. y=x^2. (парабола деп аталады)
3.y=3x+7. (түзу деп аталады)
4. y \u003d √ x. (парабола тармағы деп аталады)
Тәуелсіз айнымалы (оны х деп белгілейміз) функцияның аргументі деп аталады.
Функция ауқымы
Функция аргументі алатын барлық мәндер жиыны функцияның облысы деп аталады және D(f) немесе D(y) арқылы белгіленеді.
1.,2.,3.,4 үшін D(y) мәнін қарастырыңыз.
1. D (y)= (∞; 0) және (0;+∞) //нөлден басқа нақты сандар жиыны.
2. D (y) \u003d (∞; +∞) / / барлық көптеген нақты сандар
3. D (y) \u003d (∞; +∞) / / барлық көптеген нақты сандар
4. D (y) \u003d
Мысалдар
Функция мәндерінің жиынын табыңыз:
Туындыны қолдану
Анықтау облысын табыңыз: D(f)=[-3;3], өйткені $9-x^(2)\geq 0$
Туындыны табыңыз: $f"(x)=-\frac(x)(\sqrt(9-x^(2))))$
f"(x) = 0, егер x = 0 болса. f"(x) жоқ, егер $\sqrt(9-x^(2))=0$, яғни x = ±3 үшін. Біз үш маңызды нүктені аламыз: x 1 \u003d -3, x 2 \u003d 0, x 3 \u003d 3, олардың екеуі сегменттің ұштарымен сәйкес келеді. Есептеңіз: f(–3) = 0, f(0) = 3, f(3) = 0. Сонымен, f(x)-тің ең кіші мәні 0-ге, ең үлкен мәні 3-ке тең.
Жауабы: E(f) = .
Туынды қолданбайды
Функцияның ең үлкен және ең кіші мәндерін табыңыз:
доллардан бастап
f(x) = 1-\cos^(2)(x)+\cos(x)-\frac(1)(2) =
= 1-\frac(1)(2)+\frac(1)(4)-(\cos^(2)(x)-2\cdot\cos(x)\cdot\frac(1)(2) +(\frac(1)(2))^2) =
= \frac(3)(4)-(\cos(x)-\frac(1)(2))^(2) $ , содан кейін:
$f(x)\leq \frac(3)(4)$ барлық x үшін;
$f(x)\geq \frac(3)(4)-(\frac(3)(2))^(2)=-\frac(3)(2)$ барлық x үшін(өйткені $|\cos (x)|\leq 1$);
$f(\frac(\pi)(3))= \frac(3)(4)-(\cos(\frac(\pi)(3))-\frac(1)(2))^(2 )=\frac(3)(4)$;
$f(\pi)= \frac(3)(4)-(\cos(\pi)-\frac(1)(2))^(2)=-\frac(3)(2)$;
Жауабы: $\frac(3)(4)$ және $-\frac(3)(2)$
Егер сіз бұл есепті туындылардың көмегімен шешсеңіз, онда f (x) функциясының кесіндіде емес, бүкіл нақты түзуде анықталғанына байланысты кедергілерді жеңу қажет болады.
Шектеу/бағалау әдісін қолдану
Синус анықтамасынан $-1\leq\sin(x)\leq 1$ болатыны шығады. Әрі қарай сандық теңсіздіктердің қасиеттерін қолданамыз.
$-4\leq - 4\sin(x)\leq 4$, (қос теңсіздіктің барлық үш бөлігін -4-ке көбейтіңіз);
$1\leq 5 - 4\sin(x)\leq 9$ (қос теңсіздіктің үш бөлігіне 5 қосылады);
Өйткені берілген функцияанықтаудың бүкіл аймағында үздіксіз болса, онда оның мәндерінің жиыны, егер бар болса, анықтаудың бүкіл облысындағы ең кіші және ең үлкен мәндерінің арасында орналасады.
Бұл жағдайда $y = 5 - 4\sin(x)$ функциясының мәндер жиыны жиын болып табылады.
$$ \\ -1\leq\cos(7x)\leq 1 \\ -5\leq 5\cos(x)\leq 5 $$ теңсіздіктерінен $$\\ -6\leq y\ бағасын аламыз. leq 6$ $
x = p және x = 0 үшін функция -6 және 6 мәндерін қабылдайды, яғни. төменгі және жоғарғы шегіне жетеді. cos(7x) және cos(x) үздіксіз функцияларының сызықтық комбинациясы ретінде у функциясы бүтін сан осі бойымен үздіксіз болады, сондықтан үздіксіз функцияның қасиеті бойынша -6-дан 6-ға дейінгі барлық мәндерді қосады, және тек солар, өйткені $- 6\leq y\leq 6$ теңсіздіктеріне байланысты ол үшін басқа мәндер мүмкін емес.
Демек, E(y) = [-6;6].
$$ \\ -1\leq\sin(x)\leq 1 \\ 0\leq\sin^(2)(x)\leq 1 \\ 0\leq2\sin^(2)(x)\leq 2 \\ 1\leq1+2\sin^(2)(x)\leq 3 $$ Жауабы: E(f) = .
$$ \\ -\infty< {\rm tg}\, x < +\infty \\ 0 \leq {\rm tg}^{2}\, x < +\infty \\ 3 \leq 3+{\rm tg}^{2}\, x < +\infty \\ 2^{3} \leq 2^{3+{\rm tg}^{2}\, x} < +\infty \\ -\infty < -2^{3+{\rm tg}^{2}\, x} \leq -8 \\ -\infty < 3-2^{3+{\rm tg}^{2}\, x} \leq -5 $$ Ответ: E(f) = (–∞; -5].
$$ \\ -\infty< \lg{x} < +\infty \\ 0 \leq \lg^{2}{x} < +\infty \\ -\infty < -\lg^{2}{x} \leq 0 \\ -\infty < 16-\lg^{2}{x} \leq 16 \\ 0 \leq \sqrt{16-\lg^{2}{x}} \leq 4 \\ 2 \leq 2+\sqrt{16-\lg^{2}{x}} \leq 6 $$ Ответ: E(f) = .
$$ \\ \sin(x) + \cos(x) = \sin(x) + \sin(\frac(\pi)(2) - x) = \\ 2\sin\left өрнегін түрлейік. ((\ frac(x + \frac(\pi)(2) - x)(2)) \оң)\cos\left ((\frac(x + \frac(\pi)(2) + x)( 2)) \оң) \\ = 2\sin(\frac(\pi)(4))cos(x +\frac(\pi)(4)) = \sqrt(2)cos(x +\frac( \pi) (4)) $$.
Косинус анықтамасы $$ \\ -1\leq\cos(x)\leq 1 білдіреді; \\ -1\leq \cos((x + \frac(\pi)(4)))\leq 1; \\ -\sqrt(2)\leq \sqrt(2)\cos((x +\frac(\pi)(4)))\leq\sqrt(2); $$
Бұл функция анықтаудың барлық облысында үздіксіз болғандықтан, оның мәндерінің жиыны оның ең кіші және ең үлкен мәндерінің, егер бар болса, $y =\sqrt(2)\ функциясының мәндер жиынының арасына қойылады. cos((x +\frac(\pi)(4 )))$ — $[-\sqrt(2);\sqrt(2)]$ жиыны.
$$\\ E(3^(x)) = (0;+∞), \\ E(3^(x)+ 1) = (1;+∞), \\ E(-(3^(x) )+ 1)^(2) = (-∞;-1), \\ E(5 – (3^(x)+1)^(2)) = (-∞;4) $$
$t = 5 – (3^(x)+1)^(2)$ деп белгілеңіз, мұндағы -∞≤t≤4. Осылайша, мәселе $y = \log_(0,5)(t)$ функциясының (-∞;4) сәулесіндегі мәндер жиынын табуға дейін қысқарады. $y = \log_(0,5)(t)$ функциясы тек t > 0 үшін анықталғандықтан, оның сәуледегі мәндер жиыны (-∞;4) мәндер жиынымен сәйкес келеді. (0;4) интервалындағы функция – сәуленің (-∞;4) логарифмдік функцияның анықталу облысымен (0;+∞) қиылысуы. (0;4) аралықта бұл функция үздіксіз және кемулі. t > 0 үшін ол +∞-ке ұмтылады, ал t = 4 үшін -2 мәнін қабылдайды, сондықтан E(y) = (-2, +∞).
Біз функцияның графикалық көрінісіне негізделген әдісті қолданамыз.
Функцияны түрлендірулерден кейін бізде: y 2 + x 2 = 25, және y ≥ 0, |x| ≤ 5.
$x^(2)+y^(2)=r^(2)$ радиусы r шеңбердің теңдеуі екенін еске түсіру керек.
Осы шектеулер бойынша бұл теңдеудің графигі бастапқыда центрленген жоғарғы жарты шеңбер және радиусы 5-ке тең. E(y) = екені анық.
Жауабы: E(y) = .
Қолданылған әдебиет
Бірыңғай мемлекеттік емтихан мәселелеріндегі функциялар көлемі, Минюк Ирина Борисовна
Функция мәндерінің жиынын табу бойынша кеңестер, Беляева И., Федорова С.
Функция мәндерінің жиынын табу
Қабылдау емтиханында математикадан есептерді шығару жолы, И.И.Мельников, И.Н.Сергеев
1-бет
3-сабақ
«функция диапазоны»
Міндеттері: - Белгілі бір мәселені шешу үшін мәндер ауқымы тұжырымдамасын қолдану;
шешім типтік тапсырмалар.
Бірнеше жылдар бойы емтихандарда проблемалар үнемі пайда болды, онда функциялардың берілген тобынан мәндер жиыны мәлімделген шарттарды қанағаттандыратындарды таңдау қажет.
Осындай тапсырмаларды қарастырайық.
Білімді жаңарту.
Функция мәндерінің жиыны деп нені түсінеміз?
Функцияның мәндер жиыны дегеніміз не?
Функция мәндерінің жиынын қандай деректерден табуға болады? (Функцияның аналитикалық белгісіне немесе оның графигіне сәйкес)
(см Тапсырмаларды ҚОЛДАНУ, А бөлігі)
Біз қандай функция мәндерін білеміз? (Негізгі функциялар тақтада жазылуымен тізімделеді; функциялардың әрқайсысы үшін оның мәндер жиыны жазылады). Нәтижесінде тақтада және оқушылардың дәптерінде
|
Функция |
Көптеген құндылықтар |
|
ж = x 2 ж = x 3 у=| x| у=
|
E( ж) = E( ж) = [- 1, 1] E( ж) = (– ∞, + ∞) E( ж) = (– ∞, + ∞) E( ж) = (– ∞, + ∞) E( ж) = (0, + ∞) |
Осы білімді пайдалана отырып, біз тақтада жазылған функциялардың мәндер жиынын бірден таба аламыз ба? (2 кестені қараңыз).
Бұл сұраққа жауап беруге не көмектеседі? (Осы функциялардың графиктері).
Бірінші функцияның графигін қалай салуға болады? (Параболаны 4 бірлік төмен түсіріңіз).
|
Функция |
Көптеген құндылықтар |
|
ж = x 2 – 4 |
E( ж) = [-4, + ∞) |
|
ж = + 5 |
E( ж) = |
|
ж = – 5кос x |
E( ж) = [- 5, 5] |
|
у=тг( x + / 6) – 1 |
E( ж) = (– ∞, + ∞) |
|
у=күнә( x + / 3) – 2 |
E( ж) = [- 3, - 1] |
|
у=| x – 1 | + 3 |
E( ж) = |
|
у=| ctg x| |
E( ж) = |
|
ж =  = | cos(x + /4) | |
E( ж) = |
|
у=(x- 5) 2 + 3 |
E( ж) = . Функция мәндерінің жиынын табыңыз:   . 
Тригонометриялық функциялардың мәндер жиынын табуға есептер шығару алгоритмімен таныстыру. Бір емтиханға арналған опцияларға енгізілген әртүрлі тапсырмаларға тәжірибемізді қалай қолдануға болатынын көрейік. 1. Аргументтің берілген мәні үшін функциялардың мәндерін табу. Мысал.у = 2 функциясының мәнін табыңыз cos(π/2+ π/4 ) – 1, Егер x = -π/2. Шешім. ж(-π/2) = 2 cos(- π/2 – π/4 )- 1= 2 cos(π/2 + π/4 )- 1 = - 2 күнәπ/4 – 1 = - 2  – 1 =
= – 2. Тригонометриялық функциялардың ауқымын табу
1≤ күнәX≤ 1 2 ≤ 2 күнәX≤ 2 9 ≤ 11+2күнәX≤ 13 3 ≤ Функцияның бүтін мәндерін интервалға жазайық. Бұл сан 3. Жауабы: 3.
сағ= күнә 2 X- 2 3 күнәx + 3 2 - 3 2 + 8, сағ= (күнәX- 3) 2 -1. E ( күнәX) = [-1;1]; E ( күнәX -3) = [-4;-2]; E ( күнәX -3) 2 = ; E ( сағ) = . Жауап: .
Бұл функция үшін мәндер жиынын таба аламыз ба? (Жоқ.) Не істеу керек? (Бір функцияға дейін қысқартылған.) Бұны қалай істейді? (cos 2 формуласын қолданыңыз x= 1-күнә 2 x.) Сонымен, сағ= 1-күнә 2 x+2күн x –2, ж= -күн 2 x+2күн x –1, сағ= -(күнә x –1) 2 . Енді біз мәндер жинағын тауып, олардың ең кішісін таңдай аламыз. 1 ≤ күнә x ≤ 1, 2 ≤ күнә x – 1 ≤ 0, 0 ≤ (күнә x – 1) 2 ≤ 4, 4 ≤ -(күнә x -1) 2 ≤ 0. Сонымен, функцияның ең кіші мәні сағ жалдау= -4. Жауабы: -4.
Шешім. сағ= 1-cos 2 x+ cos x + 1,5, сағ= -cos 2 x+ 2∙0,5∙cos x - 0,25 + 2,75, сағ= -(кос x- 0,5) 2 + 2,75. E(cos x) = [-1;1], E(cos x – 0,5) = [-1,5;0,5], E(cos x – 0,5) 2 = , E(-(кос x-0,5) 2) = [-2,25;0], E( сағ) = . Функцияның ең үлкен мәні сағ наиб= 2,75; ең кіші мән сағ жалдау= 0,5. Функцияның ең үлкен және ең кіші мәндерінің көбейтіндісін табайық: сағ наиб ∙сағ жалдау = 0,5∙2,75 = 1,375. Жауабы: 1,375. Шешім. Функцияны формада қайта жазайық сағ =, сағ = Енді функцияның мәндер жиынын табайық. Е(күнә x) = [-1, 1], E(6sin x) = [-6, 6], E(6sin x + 1) = [-5, 7], E((6син x + 1) 2) = , E(– (6син x + 1) 2) = [-49, 0], E(– (6син x + 1) 2 + 64) = , E( ж) = [ Функцияның бүтін мәндерінің қосындысын табайық: 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 30. Жауабы: 30.  Шешім. 1) 2) Сондықтан, 2 Xекінші тоқсанға жатады. 3) Екінші тоқсанда синус функциясы азайып, үздіксіз болады. Сонымен, бұл функция 4) Мына мәндерді есептеңіз:
Жауап :
 Шешім. 1) Синус -1-ден 1-ге дейінгі мәндерді қабылдайтындықтан, онда айырмашылық мәндерінің жиыны 2) Арккосинус монотонды кемімелі және үздіксіз функция. Демек, өрнек мәндерінің жиыны сегмент болып табылады 3) Бұл кесіндіні көбейткенде Жауап:  Шешім. Доғаның тангенсі өсетін функция болғандықтан 2) ұлғайған кезде Xбастап 3) бастап ұлғайған кезде 4) Синусты жарты бұрыштың тангенсі арқылы өрнектейтін формуланы қолданып, оны табамыз
Демек, қажетті мәндер жиыны сегменттердің бірігуі болып табылады Жауап: сағ= a sin x + b cos xнемесе сағ= күнә (Рx) + bcos (Рx).
Шешім. Мәнін табайық Өрнекті түрлендірейік 15 sin 2x + 20 cos 2x = 25 ( 25 күнә (2x + Функция мәндерінің жиыны y \u003d sin (2x + Содан кейін бастапқы функцияның мәндер жиыны -25 Жауап:
[-25; 25].
Функция сағ= ctg Xсегментінде азаяды [π/4; π/2], сондықтан функция ең кіші мәнді қабылдайды x =π/2, яғни сағ(π/2) = сtg π/2 = 0; және ең үлкен мән -де x=π/4, яғни сағ(π/4) = сtg π/4 = 1. Жауабы: 1, 0.  . Шешім. Теңдікте бөліңіз Бұдан f(x) функциясының графигі не гипербола (а≠ 0) немесе нүктесі жоқ түзу болатыны шығады. Сонымен қатар, егер а; 2a) және (2a); Егер a \u003d 0 болса, онда f (x) \u003d -2 анықтаманың бүкіл облысы бойынша x ≠ 0. Демек, параметрдің қажетті мәндері нөлге тең емес екені анық. Бізді тек [-1 сегментіндегі функцияның мәндері қызықтыратындықтан; 1], онда жағдайлардың жіктелуі гиперболаның (a≠0) х = 2а асимптотасы осы кесіндіге қатысты орналасуымен анықталады. 1-жағдай. Интервалдың барлық нүктелері [-1; 1] тік асимптотаның оң жағында x = 2a, яғни 2a болғанда 2-жағдай. Тік асимптота [-1 аралықпен қиылысады; 1], ал функция төмендейді (1-жағдайдағыдай), яғни қашан 3-жағдай. Тік асимптота [-1 аралықпен қиылысады; 1] және функция өсуде, яғни -1 4-жағдай. Интервалдың барлық нүктелері [-1; 1] тік асимптотаның сол жағында, яғни 1 a > . және екінші Қабылдау 5.Бөлшек рационал функцияны анықтайтын формуланы оңайлату Қабылдау 6.Квадраттық функциялардың мәндер жиынын табу (парабола төбесін табу және оның тармақтарының мінез-құлқының сипатын анықтау арқылы). Қабылдау 7.Кейбір тригонометриялық функциялардың мәндер жиынын табу үшін көмекші бұрышты енгізу. Көбінесе есептерді шешу шеңберінде функция мәндерінің жиынын анықтау облысындағы немесе сегменттегі іздеуге тура келеді. Мысалы, мұны шешу кезінде жасау керек әртүрлі түрлерітеңсіздіктер, өрнекті бағалау және т.б. Осы материалдың бір бөлігі ретінде біз функцияның диапазоны не екенін айтамыз, оны есептеуге болатын негізгі әдістерді береміз және әртүрлі күрделілік дәрежесіндегі есептерді талдаймыз. Түсінікті болу үшін жеке позициялар графиктермен суреттелген. Осы мақаланы оқығаннан кейін сіз функцияның ауқымы туралы жан-жақты түсінікке ие боласыз. Негізгі анықтамалардан бастайық. Анықтама 1 y = f (x) функциясының кейбір x интервалындағы мәндер жиыны бұл функция барлық x ∈ X мәндерін қайталағанда алатын барлық мәндердің жиыны болып табылады. Анықтама 2 y = f (x) функциясының диапазоны оның x ∈ (f) диапазонынан x мәндерін қайталау кезінде қабылдай алатын барлық мәндерінің жиыны болып табылады. Кейбір функцияның диапазоны әдетте E (f) арқылы белгіленеді. Функция мәндерінің жиыны түсінігі әрқашан оның мәндерінің ауданымен бірдей бола бермейтінін ескеріңіз. Бұл ұғымдар мәндер жиынын табу кезіндегі x мәндерінің диапазоны функцияның облысымен сәйкес келген жағдайда ғана баламалы болады. Оң жақтағы y = f (x) өрнек үшін x айнымалысының диапазоны мен диапазонын ажырату да маңызды. f (x) өрнегі үшін рұқсат етілген x мәндерінің ауданы осы функцияның анықтау аймағы болады. Төменде кейбір мысалдарды көрсететін иллюстрация берілген. Көк сызықтар - функциялардың графиктері, қызыл - асимптоталар, қызыл нүктелер және у осіндегі сызықтар - функцияның ауқымдары. Әлбетте, функцияның диапазонын функцияның графигін O y осіне проекциялау арқылы алуға болады. Бұл ретте ол бір сан немесе сандар жиыны, кесінді, интервал, ашық сәуле, сандық интервалдар бірлестігі және т.б. Функцияның ауқымын табудың негізгі жолдарын қарастырыңыз. Белгілі бір кесіндідегі y = f (x) үздіксіз функциясының мәндер жиынын анықтаудан бастайық, [ a ; b]. Белгілі бір аралықта үзіліссіз болатын функция ондағы минимум мен максимумға жететінін білеміз, яғни максимум m a x x ∈ a ; b f (x) және ең кіші мәні m i n x ∈ a ; b f (x) . Сонымен, m i n x ∈ a кесіндісін аламыз; bf(x); m a x x ∈ a ; b f (x) , ол бастапқы функцияның мәндер жиынын қамтиды. Сонда бізге осы сегменттегі көрсетілген минималды және максималды нүктелерді табу ғана қалады. Арксинус мәндерінің диапазонын анықтау қажет есепті алайық. 1-мысал Шарты: y = a r c sin x диапазонын табыңыз. Шешім Жалпы жағдайда доға синусын анықтау облысы [ - 1 аралықта орналасады; 1]. Ондағы көрсетілген функцияның ең үлкен және ең кіші мәнін анықтауымыз керек. y "= a r c sin x" = 1 1 - x 2 Біз [ - 1 аралықта орналасқан барлық х мәндері үшін функцияның туындысы оң болатынын білеміз; 1 ] , яғни анықтаудың бүкіл облысы бойынша арксинус функциясы артады. Бұл х 1-ге тең болғанда ең кіші мәнді, ал х 1-ге тең болғанда ең үлкен мәнді қабылдайтынын білдіреді. m i n x ∈ - 1 ; 1 a r c sin x = a r c sin - 1 = - π 2 m a x x ∈ - 1 ; 1 a r c sin x \u003d a r c sin 1 \u003d π 2 Осылайша, арксинус функциясының диапазоны E (a r c sin x) = - π 2 -ге тең болады; π 2. Жауап: E (a r c sin x) \u003d - π 2; π 2 2-мысал Шарты:берілген кесіндідегі y = x 4 - 5 x 3 + 6 x 2 диапазонын есептеңіз [ 1 ; 4]. Шешім Бізге тек берілген интервалдағы функцияның ең үлкен және ең кіші мәнін есептеп алу керек. Экстремум нүктелерін анықтау үшін келесі есептеулерді орындау қажет: y "= x 4 - 5 x 3 + 6 x 2" = 4 x 3 + 15 x 2 + 12 x = x 4 x 2 - 15 x + 12 y " = 0 ⇔ x (4 x 2 - 15 x + 12) ) = 0 x 1 = 0 ∉ 1;4 және l және 4 x 2 - 15 x + 12 = 0 D = - 15 2 - 4 4 12 = 33 x 2 = 15 - 33 8 ≈ 1. 16 ∈ 1 ;4 ;x3 = 15 + 338 ≈ 2,59 ∈ 1;4 Енді кесіндінің соңындағы берілген функцияның мәндерін және x 2 = 15 - 33 8 нүктелерін табайық; x 3 \u003d 15 + 33 8: y (1) = 1 4 - 5 1 3 + 6 1 2 = 2 y 15 - 33 8 = 15 - 33 8 4 - 5 15 - 33 8 3 + 6 15 - 33 8 2 = = 117 + 165 33 ≈512 2 . 08 ж 15 + 33 8 = 15 + 33 8 4 - 5 15 + 33 8 3 + 6 15 + 33 8 2 = = 117 - 165 33 512 ≈ - 1 . 62 ж (4) = 4 4 - 5 4 3 + 6 4 2 = 32 Бұл функция мәндерінің жиыны 117 - 165 33 512 сегментімен анықталатынын білдіреді; 32 . Жауап: 117 - 165 33 512 ; 32 . (a ; b) , және a аралықтарында y = f (x) үздіксіз функциясының мәндер жиынын табуға көшейік; + ∞ , - ∞ ; b , -∞ ; +∞ . Ең үлкен және ең кіші нүктелерді, сондай-ақ берілген аралықтағы өсу және кему аралықтарын анықтаудан бастайық. Осыдан кейін интервалдың соңындағы бір жақты шектеулерді және/немесе шексіздіктегі шектеулерді есептеу керек болады. Басқаша айтқанда, берілген шарттарда функцияның әрекетін анықтау керек. Ол үшін бізде барлық қажетті деректер бар. 3-мысал Шарты:(- 2 ; 2) интервалында y = 1 x 2 - 4 функция диапазонын есептеңіз. Шешім Берілген интервалдағы функцияның ең үлкен және ең кіші мәнін анықтаңыз y "= 1 x 2 - 4" = - 2 x (x 2 - 4) 2 y " = 0 ⇔ - 2 x (x 2 - 4) 2 = 0 ⇔ x = 0 ∈ (- 2 ; 2) Біз максималды мәнді 0-ге тең алдық, өйткені дәл осы кезде функцияның таңбасы өзгеріп, график төмендей бастайды. Суретті қараңыз:
Яғни, y (0) = 1 0 2 - 4 = - 1 4 функцияның ең үлкен мәні болады. Енді оң жағында - 2 және сол жағында + 2 болатын x үшін функцияның әрекетін анықтайық. Басқаша айтқанда, біз бір жақты шектеулерді табамыз: lim x → - 2 + 0 1 x 2 - 4 = lim x → - 2 + 0 1 (x - 2) (x + 2) = = 1 - 2 + 0 - 2 - 2 + 0 + 2 = - 1 4 1 + 0 = - ∞ lim x → 2 + 0 1 x 2 - 4 = lim x → 2 + 0 1 (x - 2) (x + 2) = = 1 2 - 0 - 2 2 - 0 + 2 = 1 4 1 - 0 = -∞ Аргумент - 2-ден 0-ге өзгерген кезде функция мәндері минус шексіздіктен - 1 4-ке дейін өсетінін алдық. Ал аргумент 0-ден 2-ге өзгергенде, функцияның мәндері минус шексіздікке қарай азаяды. Демек, берілген функцияның бізге қажет интервалдағы мәндер жиыны (- ∞ ; - 1 4 ] болады. Жауап: (- ∞ ; - 1 4 ] . 4-мысал Шарт: берілген интервалдағы y = t g x мәндер жиынын көрсетіңіз - π 2 ; π 2. Шешім Біз білеміз, жалпы алғанда, жанаманың туындысы - π 2; π 2 оң болады, яғни функция артады. Енді функция берілген шекараларда қалай әрекет ететінін анықтайық: lim x → π 2 + 0 t g x = t g - π 2 + 0 = - ∞ lim x → π 2 - 0 t g x = t g π 2 - 0 = + ∞ Аргумент - π 2-ден π 2-ге дейін өзгерген кезде функция мәндерінің минус шексіздіктен плюс шексіздікке ұлғаюын алдық және бұл функцияның шешімдер жиыны барлық нақтылардың жиыны болады деп айта аламыз. сандар. Жауап: - ∞ ; + ∞ . 5-мысал Шарты: y = ln x натурал логарифм функциясының диапазоны қандай екенін анықтаңыз. Шешім Бұл функция D (y) = 0 аргументінің оң мәндері үшін анықталғанын білеміз; +∞ . Берілген интервалдағы туынды оң болады: y " = ln x " = 1 x . Бұл функция ондағы артып жатқанын білдіреді. Әрі қарай, аргумент 0-ге (оң жақта) және х шексіздікке өткенде бір жақты шектеуді анықтауымыз керек: lim x → 0 + 0 ln x = ln (0 + 0) = - ∞ lim x → ∞ ln x = ln + ∞ = + ∞ Біз функцияның мәндері минус шексіздіктен плюс шексіздікке дейін өсетінін анықтадық, өйткені x мәндері нөлден плюс шексіздікке өзгереді. Бұл барлық нақты сандар жиыны натурал логарифм функциясының диапазоны екенін білдіреді. Жауап:барлық нақты сандар жиыны натурал логарифм функциясының диапазоны болып табылады. 6-мысал Шарты:у = 9 x 2 + 1 функциясының диапазоны қандай болатынын анықтаңыз. Шешім Бұл функция x нақты сан болған жағдайда анықталады. Функцияның ең үлкен және ең кіші мәндерін, сондай-ақ оның өсу және кему аралықтарын есептейік: y " = 9 x 2 + 1 " = - 18 x (x 2 + 1) 2 y " = 0 ⇔ x = 0 y " ≤ 0 ⇔ x ≥ 0 y " ≥ 0 ⇔ x ≤ 0 Нәтижесінде, егер x ≥ 0 болса, бұл функция төмендейтінін анықтадық; ұлғайту, егер x ≤ 0 ; айнымалы 0 болғанда оның максималды нүктесі y (0) = 9 0 2 + 1 = 9 болады. Функцияның шексіздікте қалай әрекет ететінін көрейік: lim x → - ∞ 9 x 2 + 1 = 9 - ∞ 2 + 1 = 9 1 + ∞ = + 0 lim x → + ∞ 9 x 2 + 1 = 9 + ∞ 2 + 1 = 9 1 + ∞ = +0 Жазбадан бұл жағдайда функцияның мәндері асимптотикалық түрде 0-ге жақындайтынын көруге болады. Қорытындылай келе: аргумент минус шексіздіктен нөлге өзгергенде, функцияның мәндері 0-ден 9-ға дейін артады. Аргумент мәндері 0-ден плюс шексіздікке өткенде, сәйкес функция мәндері 9-дан 0-ге дейін төмендейді. Біз мұны суретте бейнеледік:
Бұл функцияның диапазоны E (y) = (0 ; 9 ] интервалы болатынын көрсетеді. Жауап: E (y) = (0 ; 9 ] y = f (x) функциясының мәндер жиынын [ a аралықтары бойынша анықтау қажет болса; б) , (a ; b ] , [ a ; + ∞) , (- ∞ ; b ] , онда дәл осындай зерттеулерді жүргізу керек болады. Біз бұл жағдайларды әлі талдамаймыз: оларды кейінірек есептер шығарамыз. . Бірақ белгілі бір функцияның анықталу облысы бірнеше интервалдардың бірігуі болса ше? Содан кейін біз осы аралықтардың әрқайсысы бойынша мәндер жиынын есептеп, оларды біріктіруіміз керек. 7-мысал Шарты: y = x x - 2 диапазоны қандай болатынын анықтаңыз. Шешім Функцияның бөлгішін 0-ге айналдыруға болмайтындықтан, D (y) = - ∞ ; 2 ∪ 2 ; +∞ . Бірінші сегменттегі функция мәндерінің жиынын анықтаудан бастайық - ∞ ; 2, бұл ашық сәуле. Ондағы функция кемитінін, яғни бұл функцияның туындысы теріс болатынын білеміз. lim x → 2 - 0 x x - 2 = 2 - 0 2 - 0 - 2 = 2 - 0 = - ∞ lim x → - ∞ x x - 2 = lim x → - ∞ x - 2 + 2 x - 2 = lim x → - ∞ 1 + 2 x - 2 = 1 + 2 - ∞ - 2 = 1 - 0 Содан кейін, аргумент минус шексіздікке қарай өзгеретін жағдайларда, функцияның мәндері асимптоталық түрде 1-ге жақындайды. Егер х мәндері минус шексіздіктен 2-ге дейін өзгерсе, онда мәндер 1-ден минус шексіздікке дейін төмендейді, яғни. бұл сегменттегі функция - ∞ интервалынан мәндерді қабылдайды; 1 . Біз пайымдауымыздан бірлікті жоққа шығарамыз, өйткені функцияның мәндері оған жетпейді, тек асимптотикалық түрде жақындайды. Ашық арқалық 2 үшін; + ∞ біз дәл осындай әрекеттерді орындаймыз. Ондағы функция да төмендейді: lim x → 2 + 0 x x - 2 = 2 + 0 2 + 0 - 2 = 2 + 0 = + ∞ lim x → + ∞ x x - 2 = lim x → + ∞ x - 2 + 2 x - 2 = lim x → + ∞ 1 + 2 x - 2 = 1 + 2 + ∞ - 2 = 1 + 0 Бұл сегменттегі функцияның мәндері 1 жиынымен анықталады; +∞ . Бұл бізге қажетті шартта көрсетілген функция мәндерінің диапазоны жиындар бірлестігі болады - ∞; 1 және 1; +∞ . Жауап: E (y) = - ∞ ; 1 ∪ 1 ; +∞ . Мұны диаграммадан көруге болады:
Ерекше жағдай - периодтық функциялар. Олардың мәнінің ауданы осы функцияның периодына сәйкес келетін интервалдағы мәндер жиынымен сәйкес келеді. 8-мысал Шарты: y = sin x синусының диапазонын анықтаңыз. Шешім Синус периодтық функцияны білдіреді және оның периоды 2 пи. Біз 0 сегментін аламыз; 2 π және ондағы мәндер жиыны қандай болатынын қараңыз. y " = (sin x) " = cos x y " = 0 ⇔ cos x = 0 ⇔ x = π 2 + πk , k ∈ Z 0 ішінде; 2 π функциясының шеткі нүктелері π 2 және x = 3 π 2 болады. Функцияның мәндері оларда, сондай-ақ сегменттің шекараларында неге тең болатынын есептеп көрейік, содан кейін біз ең үлкен және ең кіші мәнді таңдаймыз. y (0) = sin 0 = 0 y π 2 = sin π 2 = 1 y 3 π 2 = sin 3 π 2 = - 1 y (2 π) = sin (2 π) = 0 ⇔ min x ∈ 0 ; 2 π sin x = sin 3 π 2 = - 1 , max x ∈ 0 ; 2 π sinx \u003d sin π 2 \u003d 1 Жауап: E (sinx) = - 1 ; 1 . Егер сізге экспоненциалды, экспоненциалды, логарифмдік, тригонометриялық, кері тригонометриялық сияқты функциялардың диапазондарын білу қажет болса, онда негізгі элементар функциялар туралы мақаланы қайта оқуға кеңес береміз. Біз ұсынатын теория сол жерде көрсетілген мәндерді тексеруге мүмкіндік береді. Оларды үйренген жөн, өйткені олар мәселелерді шешуде жиі қажет. Егер сіз негізгі функциялардың диапазондарын білсеңіз, геометриялық түрлендіру арқылы қарапайым функциялардан алынған функциялардың диапазондарын оңай табуға болады. 9-мысал Шарты: y = 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 - 4 диапазонын анықтаңыз. Шешім 0-ден pi-ге дейінгі кесінді кері косинустың диапазоны екенін білеміз. Басқаша айтқанда, E (a r c cos x) = 0 ; π немесе 0 ≤ a r c cos x ≤ π. Доға косинусынан a r c cos x 3 + 5 π 7 функциясын оны O x осі бойымен жылжыту және созу арқылы алуға болады, бірақ мұндай түрлендірулер бізге ештеңе бермейді. Демек, 0 ≤ a r c cos x 3 + 5 π 7 ≤ π . 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 функциясын a r c cos x 3 + 5 π 7 кері косинусынан у осі бойымен созу арқылы алуға болады, яғни. 0 ≤ 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 ≤ 3 π. Соңғы түрлендіру O y осі бойымен 4 мәнге ығысу болып табылады. Нәтижесінде қос теңсіздікті аламыз: 0 - 4 ≤ 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 - 4 ≤ 3 π - 4 ⇔ - 4 ≤ 3 arccos x 3 + 5 π 7 - 4 ≤ 3 π - 4 Бізге қажет диапазон E (y) = - 4 тең болатынын алдық; 3 pi - 4 . Жауап: E (y) = - 4 ; 3 pi - 4 . Түсіндірместен тағы бір мысал жазайық, өйткені ол бұрынғыға мүлдем ұқсайды. 10-мысал Шарты:у = 2 2 x - 1 + 3 функциясының диапазоны қандай болатынын есептеңіз. Шешім y = 2 · (2 x - 1) - 1 2 + 3 күйінде берілген функцияны қайта жазайық. y = x - 1 2 қуат функциясы үшін диапазон 0 интервалында анықталады; + ∞ , яғни. x - 1 2 > 0. Мұндай жағдайда: 2 x - 1 - 1 2 > 0 ⇒ 2 (2 x - 1) - 1 2 > 0 ⇒ 2 (2 x - 1) - 1 2 + 3 > 3 Сонымен E (y) = 3 ; +∞ . Жауап: E (y) = 3 ; +∞ . Енді үздіксіз емес функцияның ауқымын қалай табуға болатынын қарастырайық. Мұны істеу үшін біз бүкіл аумақты аралықтарға бөліп, олардың әрқайсысы бойынша мәндер жиынын табуымыз керек, содан кейін бізде бар нәрсені біріктіру керек. Мұны жақсырақ түсіну үшін функцияның тоқтау нүктелерінің негізгі түрлерін қарап шығуды ұсынамыз. 11-мысал Шарты:функциясы берілген y = 2 sin x 2 - 4 , x ≤ - 3 - 1 , - 3< x ≤ 3 1 x - 3 , x >3 . Оның ауқымын есептеңіз. Шешім Бұл функция барлық x мәндері үшін анықталған. Оны - 3 және 3-ке тең аргумент мәндерімен үздіксіздік үшін талдап көрейік: lim x → - 3 - 0 f (x) = lim x → - 3 2 sin x 2 - 4 = 2 sin - 3 2 - 4 = - 2 sin 3 2 - 4 lim x → - 3 + 0 f (x) = lim x → - 3 (1) = - 1 ⇒ lim x → - 3 - 0 f (x) ≠ lim x → - 3 + 0 f (x) Бізде аргументтің мәні бар бірінші түрдегі қалпына келмейтін үзіліс бар - 3 . Оған жақындаған сайын функцияның мәндері - 2 sin 3 2 - 4 , ал оң жақта x - 3 - ге ұмтылған сайын, мәндер - 1 ге бейім болады. lim x → 3 - 0 f(x) = lim x → 3 - 0 (- 1) = 1 lim x → 3 + 0 f(x) = lim x → 3 + 0 1 x - 3 = + ∞ Бізде 3-ші нүктеде екінші түрдегі жойылмайтын үзіліс бар. Функция оған ұмтылғанда, оның мәндері - 1-ге жақындайды, ал оң жақтағы сол нүктеге - минус шексіздікке ұмтылады. Бұл функцияның барлық анықтау облысы 3 интервалға бөлінгенін білдіреді (- ∞ ; - 3 ] , (- 3 ; 3 ] , (3 ; + ∞) ). Олардың біріншісінде біз y \u003d 2 sin x 2 - 4 функциясын алдық. - 1 ≤ sin x ≤ 1 болғандықтан, мынаны аламыз: 1 ≤ күнә x 2< 1 ⇒ - 2 ≤ 2 sin x 2 ≤ 2 ⇒ - 6 ≤ 2 sin x 2 - 4 ≤ - 2 Бұл осы интервалда (- ∞ ; - 3 ] функция мәндерінің жиыны [ - 6 ; 2 ] болатынын білдіреді. Жартылай интервалда (- 3 ; 3 ] тұрақты функцияны аламыз y = - 1 . Демек, оның барлық мәндерінің жиыны бұл жағдайда бір санға дейін азаяды - 1 . Екінші аралықта 3; + ∞ бізде y = 1 x - 3 функциясы бар. Ол азаяды, себебі y " = - 1 (x - 3) 2< 0 . Она будет убывать от плюс бесконечности до 0 , но самого 0 не достигнет, потому что: lim x → 3 + 0 1 x - 3 = 1 3 + 0 - 3 = 1 + 0 = + ∞ lim x → + ∞ 1 x - 3 = 1 + ∞ - 3 = 1 + ∞ + 0 Демек, x > 3 үшін бастапқы функцияның мәндер жиыны 0 жиыны болып табылады; +∞ . Енді нәтижелерді біріктірейік: E (y) = - 6 ; - 2 ∪ - 1 ∪ 0 ; +∞ . Жауап: E (y) = - 6 ; - 2 ∪ - 1 ∪ 0 ; +∞ . Шешімі графикте көрсетілген:
12-мысал Шарты: y = x 2 - 3 e x функциясы бар. Оның мәндерінің жиынын анықтаңыз. Шешім Ол нақты сандар болып табылатын барлық аргумент мәндері үшін анықталған. Бұл функция қандай аралықтарда артып, қай уақытта азаятынын анықтайық: y "= x 2 - 3 e x" = 2 x e x - e x (x 2 - 3) e 2 x = - x 2 + 2 x + 3 e x = - (x + 1) (x - 3) e x Біз x = - 1 және x = 3 болса, туынды 0 болатынын білеміз. Осы екі нүктені оське орналастырып, алынған интервалдарда туындының қандай белгілері болатынын анықтаймыз.
Функция (- ∞ ; - 1 ] ∪ [ 3 ; + ∞) азаяды және [ - 1 ; 3]. Ең төменгі ұпай – 1, максимум – 3 болады. Енді сәйкес функция мәндерін табайық: y (- 1) = - 1 2 - 3 e - 1 = - 2 e y (3) = 3 2 - 3 e 3 = 6 e - 3 Функцияның шексіздіктегі әрекетін қарастырайық: lim x → - ∞ x 2 - 3 e x = - ∞ 2 - 3 e - ∞ = + ∞ + 0 = + ∞ lim x → + ∞ x 2 - 3 e x = + ∞ 2 - 3 e + ∞ = + ∞ + ∞ = = lim x → + ∞ x 2 - 3 "e x" = lim x → + ∞ 2 x e x = + ∞ + ∞ = = lim x → + ∞ 2 x "(e x)" = 2 lim x → + ∞ 1 e x = 2 1 + ∞ = + 0 Екінші шекті есептеу үшін L'Hopital ережесі қолданылды. Шешімді графикке салайық.
Бұл аргумент минус шексіздіктен -1-ге өзгерген кезде функция мәндері плюс шексіздіктен -2 e-ге дейін төмендейтінін көрсетеді. Егер ол 3-тен плюс шексіздікке өзгерсе, онда мәндер 6 e - 3-тен 0-ге дейін төмендейді, бірақ 0-ге жетпейді. Осылайша, E (y) = [ - 2 e ; +∞) . Жауап: E (y) = [ - 2 e ; +∞) Мәтінде қатені байқасаңыз, оны бөлектеп, Ctrl+Enter пернелерін басыңыз |
– 1.
, яғни. E (y) =.
,
, 8].
яғни Xбірінші тоқсанға жатады.
бұрын 
.
. көбейткенде 
бұл сегмент сегментке өтеді 
.
.
Біз алып жатырмыз 
.
.
.
бұрын 
аргумент 2 Xбастап артады 
бұрын 
. Мұндай аралықтағы синус өсетіндіктен, функция 
1-ге дейін.
аргумент 2 Xбастап артады 
. Мұндай аралықта синус кемитіндіктен, функция 
1-ге дейін.
.
Және 
, яғни сегмент 
= 
= 25.
) = 25 () =
), мұндағы cos 
күнә (2x + 
) және, егер a > 0 болса, бұл сәулелерде монотонды түрде артады.
.
