Զուգահեռագիծը և դրա մակերեսը: Մենք հաշվարկում ենք անկյունների գումարը և զուգահեռագծի մակերեսը՝ հատկություններ և նշաններ: Հարակից անկյունների առանձնահատկությունները

Զուգահեռագծի տարածք

Թեորեմ 1

Զուգահեռագծի մակերեսը սահմանվում է որպես նրա կողմի երկարության արտադրյալը դեպի այն ձգվող բարձրությունը:

որտեղ $a$-ը զուգահեռագծի կողմն է, $h$-ը այս կողմի վրա գծված բարձրությունն է:

Ապացույց.

Եկեք մեզ տրվի $ABCD$ զուգահեռագիծ $AD=BC=a$-ով: Եկեք գծենք $DF$ և $AE$ բարձրությունները (նկ. 1):

Նկար 1.

Ակնհայտ է, որ $FDAE$ ցուցանիշը ուղղանկյուն է։

\[\անկյուն BAE=(90)^0-\անկյուն A,\ \] \[\անկյուն CDF=\անկյուն D-(90)^0=(180)^0-\անկյուն A-(90)^0 =(90)^0-\անկյուն A=\անկյուն BAE\]

Հետեւաբար, քանի որ $CD=AB,\ DF=AE=h$, $\եռանկյուն BAE=\եռանկյուն CDF$, $I$-ով եռանկյունի հավասարության թեստը։ Հետո

Այսպիսով, ըստ ուղղանկյան տարածքի թեորեմի.

Թեորեմն ապացուցված է.

Թեորեմ 2

Զուգահեռագծի մակերեսը սահմանվում է որպես հարակից կողմերի երկարության արտադրյալ՝ այդ կողմերի միջև անկյան սինուսի վրա։

Մաթեմատիկորեն սա կարելի է գրել հետևյալ կերպ

որտեղ $a,\ b$-ը զուգահեռագծի կողմերն են, $\alpha $-ը նրանց միջև եղած անկյունն է:

Ապացույց.

Եկեք մեզ տրվի զուգահեռագիծ $ABCD$ $BC=a,\ CD=b,\ \անկյուն C=\alpha $-ով: Գծե՛ք $DF=h$ բարձրությունը (նկ. 2):

Նկար 2.

Սինուսի սահմանմամբ մենք ստանում ենք

Ուստի

Հետևաբար, $1$ թեորեմով.

Թեորեմն ապացուցված է.

Եռանկյունի մակերեսը

Թեորեմ 3

Եռանկյան մակերեսը սահմանվում է որպես նրա կողմի երկարության և դրան գծված բարձրության արտադրյալի կեսը:

Մաթեմատիկորեն սա կարելի է գրել հետևյալ կերպ

որտեղ $a$-ը եռանկյան կողմն է, $h$-ը այս կողմի վրա գծված բարձրությունն է:

Ապացույց.

Նկար 3

Այսպիսով, $1$ թեորեմով.

Թեորեմն ապացուցված է.

Թեորեմ 4

Եռանկյան մակերեսը սահմանվում է որպես հարակից կողմերի երկարության արտադրյալի կեսը՝ այդ կողմերի միջև անկյան սինուսի վրա։

Մաթեմատիկորեն սա կարելի է գրել հետևյալ կերպ

որտեղ $a,\ b$-ը եռանկյան կողմերն են, $\alpha $-ը նրանց միջև եղած անկյունն է:

Ապացույց.

Եկեք մեզ տրվի $ABC$ եռանկյուն $AB=a$-ով: Գծի՛ր $CH=h$ բարձրությունը։ Եկեք այն կառուցենք մինչև $ABCD$ զուգահեռագիծը (նկ. 3):

Ակնհայտ է, $\triangle ACB=\triangle CDB$ $I$-ով: Հետո

Այսպիսով, $1$ թեորեմով.

Թեորեմն ապացուցված է.

Trapezium տարածք

Թեորեմ 5

Trapezoid-ի մակերեսը սահմանվում է որպես դրա հիմքերի երկարությունների գումարի արտադրյալի կեսը և բարձրությունը:

Մաթեմատիկորեն սա կարելի է գրել հետևյալ կերպ

Ապացույց.

Եկեք մեզ տրվի $ABCK$ trapezoid, որտեղ $AK=a,\ BC=b$: Դրանում գծենք $BM=h$ և $KP=h$ բարձրությունները, ինչպես նաև $BK$ անկյունագիծը (նկ. 4):

Նկար 4

$3$ թեորեմով մենք ստանում ենք

Թեորեմն ապացուցված է.

Առաջադրանքի օրինակ

Օրինակ 1

Գտե՛ք հավասարակողմ եռանկյան մակերեսը, եթե նրա կողմի երկարությունը $a.$ է

Լուծում.

Քանի որ եռանկյունը հավասարակողմ է, նրա բոլոր անկյունները հավասար են $(60)^0$:

Այնուհետև $4$ թեորեմով մենք ունենք

Պատասխան.$\frac(a^2\sqrt(3))(4)$:

Նկատի ունեցեք, որ այս խնդրի արդյունքը կարող է օգտագործվել տվյալ կողմով ցանկացած հավասարակողմ եռանկյան մակերեսը գտնելու համար:

Ինչպես էվկլիդեսյան երկրաչափության մեջ, կետը և ուղիղ գիծը հարթությունների տեսության հիմնական տարրերն են, այնպես էլ զուգահեռագիծը ուռուցիկ քառանկյունների առանցքային պատկերներից է։ Դրանից, ինչպես գնդից թելերը, հոսում են «ուղղանկյուն», «քառակուսի», «ռոմբ» և այլ երկրաչափական մեծություններ հասկացությունները։

հետ շփման մեջ

Զուգահեռագծի սահմանում

ուռուցիկ քառանկյուն,բաղկացած հատվածներից, որոնցից յուրաքանչյուր զույգ զուգահեռ է, երկրաչափության մեջ հայտնի է որպես զուգահեռագիծ։

Դասական զուգահեռագիծը ABCD քառանկյունն է: Կողմերը կոչվում են հիմքեր (AB, BC, CD և AD), ցանկացած գագաթից այս գագաթի հակառակ կողմին գծված ուղղահայացը կոչվում է բարձրություն (BE և BF), AC և BD ուղիղները անկյունագծեր են:

Ուշադրություն.Քառակուսին, ռոմբը և ուղղանկյունը զուգահեռագծի հատուկ դեպքեր են:

Կողմերը և անկյունները՝ հարաբերակցության առանձնահատկությունները

Հիմնական հատկությունները, մեծ հաշվով, կանխորոշված է հենց նշանակմամբ, դրանք ապացուցված են թեորեմով։ Այս բնութագրերը հետևյալն են.

Հակառակ կողմերը զույգերով նույնական են:
Անկյունները, որոնք հակադիր են միմյանց, զույգերով հավասար են։

Ապացույց՝ դիտարկենք ∆ABC և ∆ADC, որոնք ստացվում են ABCD քառանկյունը AC տողի վրա բաժանելով: ∠BCA=∠CAD և ∠BAC=∠ACD, քանի որ AC-ը նրանց համար ընդհանուր է (համապատասխանաբար BC||AD և AB||CD-ի ուղղահայաց անկյունները): Այստեղից բխում է՝ ∆ABC = ∆ADC (եռանկյունների հավասարության երկրորդ չափանիշը)։

∆ABC-ում AB և BC հատվածները զույգերով համապատասխանում են CD և AD տողերին ∆ADC-ում, ինչը նշանակում է, որ դրանք նույնական են՝ AB = CD, BC = AD: Այսպիսով, ∠B-ն համապատասխանում է ∠D-ին և դրանք հավասար են: Քանի որ ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD, որոնք նույնպես զույգերով նույնական են, ապա ∠A = ∠C: Սեփականությունն ապացուցված է։

Նկարի անկյունագծերի բնութագրերը

Հիմնական առանձնահատկությունըայս զուգահեռագծի ուղիղները. հատման կետը դրանք կիսում է:

Ապացույց՝ թող m E լինի ABCD նկարի AC և BD անկյունագծերի հատման կետը: Նրանք կազմում են երկու համաչափ եռանկյունիներ՝ ∆ABE և ∆CDE:

AB=CD, քանի որ դրանք հակադիր են: Ըստ տողերի և հատվածների՝ ∠ABE = ∠CDE և ∠BAE = ∠DCE:

Համաձայն հավասարության երկրորդ նշանի՝ ∆ABE = ∆CDE։ Սա նշանակում է, որ ∆ABE և ∆CDE տարրերն են՝ AE = CE, BE = DE և ավելին, դրանք AC և BD-ի համաչափ մասեր են։ Սեփականությունն ապացուցված է։

Հարակից անկյունների առանձնահատկությունները

Կից կողմերի անկյունների գումարը 180° է, քանի որ դրանք ընկած են զուգահեռ ուղիղների և հատվածի միևնույն կողմում։ ABCD քառանկյունի համար.

∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º

Բիսեկտորի հատկությունները.

, մի կողմ ընկած, ուղղահայաց են.
հակառակ գագաթներն ունեն զուգահեռ կիսիչներ;
կիսաչափը գծելով ստացված եռանկյունը հավասարաչափ կլինի:

Զուգահեռագծի բնորոշ հատկանիշների որոշումը թեորեմով

Այս գործչի առանձնահատկությունները բխում են նրա հիմնական թեորեմից, որը հետևյալն է. քառանկյունը համարվում է զուգահեռագիծայն դեպքում, երբ նրա անկյունագծերը հատվում են, և այս կետը դրանք բաժանում է հավասար հատվածների:

Ապացույց. Թող ABCD քառանկյան AC և BD ուղիղները հատվեն t. E-ում: Քանի որ ∠AED = ∠BEC, և AE+CE=AC BE+DE=BD, ապա ∆AED = ∆BEC (եռանկյունների հավասարության առաջին նշանով): Այսինքն՝ ∠EAD = ∠ԵԿԲ: Դրանք նաև AD և BC գծերի համար AC հատվածի ներքին հատման անկյուններն են: Այսպիսով, զուգահեռության սահմանմամբ - AD || մ.թ.ա. Ստացված է նաև BC և CD տողերի նմանատիպ հատկությունը։ Թեորեմն ապացուցված է.

Նկարի մակերեսի հաշվարկ

Այս գործչի տարածքը հայտնաբերվել է մի քանի ձևովամենապարզներից մեկը՝ բազմապատկելով այն բարձրությունը և հիմքը, որին այն գծված է:

Ապացույց. B և C գագաթներից նկարե՛ք BE և CF ուղղահայացները: ∆ABE և ∆DCF հավասար են, քանի որ AB = CD և BE = CF: ABCD-ն հավասար է EBCF ուղղանկյունին, քանի որ դրանք նույնպես բաղկացած են համաչափ թվերից՝ S ABE և S EBCD, ինչպես նաև S DCF և S EBCD: Հետևում է, որ այս երկրաչափական գործչի մակերեսը նույնն է, ինչ ուղղանկյունը.

S ABCD = S EBCF = BE×BC=BE×AD:

Զուգահեռագծի մակերեսի ընդհանուր բանաձևը որոշելու համար մենք բարձրությունը նշում ենք որպես hb, իսկ կողմը բ. Համապատասխանաբար.

Տարածք գտնելու այլ եղանակներ

Տարածքի հաշվարկներ զուգահեռագծի և անկյան կողմերի միջով, որը նրանք ձևավորում են, երկրորդ հայտնի մեթոդն է։

Spr-ma - տարածք;

a և b-ն նրա կողմերն են

α - անկյուն a և b հատվածների միջև:

Այս մեթոդը գործնականում հիմնված է առաջինի վրա, բայց այն դեպքում, երբ այն անհայտ է։ միշտ կտրում է ուղղանկյուն եռանկյունը, որի պարամետրերը հայտնաբերվում են եռանկյունաչափական նույնականությամբ, այսինքն. Փոխակերպելով հարաբերակցությունը, մենք ստանում ենք. Առաջին մեթոդի հավասարման մեջ մենք բարձրությունը փոխարինում ենք այս արտադրյալով և ստանում այս բանաձևի վավերականության ապացույց։

Զուգահեռագծի և անկյան անկյունագծերի միջով,որը նրանք ստեղծում են, երբ հատվում են, կարող ես գտնել նաև տարածքը:

Ապացույց. AC-ը և BD-ն հատելով ձևավորում են չորս եռանկյուններ՝ ABE, BEC, CDE և AED: Դրանց գումարը հավասար է այս քառանկյան մակերեսին։

Այս Δ-ներից յուրաքանչյուրի մակերեսը կարելի է գտնել արտահայտությունից, որտեղ a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB: Քանի որ , ապա հաշվարկներում օգտագործվում է սինուսի մեկ արժեք: Այն է . Քանի որ AE+CE=AC= d 1 և BE+DE=BD= d 2, տարածքի բանաձևը կրճատվում է հետևյալի.

Կիրառում վեկտորային հանրահաշիվում

Այս քառանկյան բաղկացուցիչ մասերի հատկանիշները կիրառություն են գտել վեկտորային հանրահաշիվում, այն է՝ երկու վեկտորի գումարում։ Զուգահեռագծի կանոնը նշում է, որ եթե տրված են վեկտորներԵվՈչհամագիծ են, ապա դրանց գումարը հավասար կլինի այս թվի անկյունագծին, որի հիմքերը համապատասխանում են այս վեկտորներին։

Ապացույց՝ կամայականորեն ընտրված սկզբից, այսինքն. - մենք կառուցում ենք վեկտորներ և . Այնուհետև մենք կառուցում ենք OASV զուգահեռագիծ, որտեղ OA և OB հատվածները կողմեր են: Այսպիսով, ՕՀ-ն ընկած է վեկտորի կամ գումարի վրա:

Զուգահեռագծի պարամետրերի հաշվարկման բանաձևեր

Ինքնությունը տրվում է հետևյալ պայմաններով.

a և b, α - կողմերը և նրանց միջև եղած անկյունը.
d 1 and d 2 , γ - անկյունագծեր եւ դրանց հատման կետում;
h a և h b - բարձրություններ, որոնք իջեցվել են a և b կողմերին;

Պարամետր	Բանաձև
Կողմեր գտնելը
անկյունագծերի և նրանց միջև անկյան կոսինուսի երկայնքով
անկյունագծով և կողքից
բարձրության և հակառակ գագաթի միջոցով
Գտեք անկյունագծերի երկարությունը
կողմերի վրա և դրանց միջև եղած վերևի չափը
կողմերի երկայնքով և անկյունագծերից մեկը	Եզրակացություն Զուգահեռագիծը, որպես երկրաչափության առանցքային պատկերներից մեկը, օգտագործվում է կյանքում, օրինակ՝ շինարարության մեջ՝ տեղանքի տարածքը կամ այլ չափումներ հաշվարկելիս: Հետևաբար, դրա տարբեր պարամետրերի հաշվարկման տարբերակիչ հատկանիշների և մեթոդների մասին գիտելիքները կարող են օգտակար լինել կյանքի ցանկացած ժամանակ:

Այս թեմայով խնդիրներ լուծելիս, բացի հիմնական հատկությունները զուգահեռագիծև համապատասխան բանաձևերը, կարող եք հիշել և կիրառել հետևյալը.

Զուգահեռագծի ներքին անկյան կիսորդը նրանից կտրում է հավասարաչափ եռանկյունին
Զուգահեռագծի կողմերից մեկին կից ներքին անկյունների կիսադիրները փոխադարձաբար ուղղահայաց են
Կիսեկտորներ, որոնք գալիս են զուգահեռագծի հակառակ ներքին անկյուններից, միմյանց զուգահեռ կամ ընկած են մեկ ուղիղ գծի վրա
Զուգահեռագծի անկյունագծերի քառակուսիների գումարը հավասար է նրա կողմերի քառակուսիների գումարին
Զուգահեռագծի մակերեսը հավասար է անկյունագծերի արտադրյալի կեսին, նրանց միջև անկյան սինուսին:

Դիտարկենք այն խնդիրները, որոնց լուծման ժամանակ օգտագործվում են այս հատկությունները:

Առաջադրանք 1.

ABCD զուգահեռագծի C անկյան կիսորդը հատում է AD կողմը M կետում և AB կողմի շարունակությունը A կետից այն կողմ E կետում: Գտեք զուգահեռագծի պարագիծը, եթե AE \u003d 4, DM \u003d 3:

Լուծում.

1. Եռանկյուն CMD isosceles. (Գույք 1): Հետեւաբար, CD = MD = 3 սմ:

2. EAM եռանկյունը հավասարաչափ է:
Հետեւաբար, AE = AM = 4 սմ:

3. AD = AM + MD = 7 սմ:

4. Պարագիծ ABCD = 20 սմ:

Պատասխանել. 20 սմ

Առաջադրանք 2.

Անկյունագծերը գծված են ուռուցիկ քառանկյուն ABCD-ում: Հայտնի է, որ ABD, ACD, BCD եռանկյունների մակերեսները հավասար են։ Ապացուցե՛ք, որ տրված քառանկյունը զուգահեռագիծ է:

Լուծում.

1. Թող BE լինի ABD եռանկյան բարձրությունը, CF՝ ACD եռանկյան բարձրությունը: Քանի որ, ըստ խնդրի պայմանի, եռանկյունների մակերեսները հավասար են և ունեն ընդհանուր AD հիմք, ապա այդ եռանկյունների բարձրությունները հավասար են։ BE = CF:

2. BE, CF-ն ուղղահայաց են AD-ին: B և C կետերը գտնվում են AD գծի նույն կողմում: BE = CF: Ուստի տողը մ.թ.ա. || ՀԱՅՏԱՐԱՐՈՒԹՅՈՒՆ. (*)

3. Թող AL լինի ACD եռանկյան բարձրությունը, BK՝ BCD եռանկյան բարձրությունը: Քանի որ, ըստ խնդրի պայմանի, եռանկյունների մակերեսները հավասար են և ունեն ընդհանուր հիմք CD, ապա այդ եռանկյունների բարձրությունները հավասար են։ AL = BK.

4. AL-ը և BK-ն ուղղահայաց են CD-ին: B և A կետերը գտնվում են ուղիղ գծի CD-ի նույն կողմում: AL = BK. Հետևաբար, AB տողը || CD (**)

5. Պայմանները (*), (**) ենթադրում են, որ ABCD-ը զուգահեռագիծ է:

Պատասխանել. Ապացուցված է. ABCD-ն զուգահեռագիծ է:

Առաջադրանք 3.

ABCD զուգահեռագծի BC և CD կողմերի վրա համապատասխանաբար M և H կետերը նշված են այնպես, որ BM և HD հատվածները հատվում են O կետում;<ВМD = 95 о,

Լուծում.

1. DOM եռանկյունու մեջ<МОD = 25 о (Он смежный с <ВОD = 155 о); <ОМD = 95 о. Тогда <ОDМ = 60 о.

2. Ուղղանկյուն եռանկյունում DHC
(
Հետո<НСD = 30 о. СD: НD = 2: 1
(Քանի որ ուղղանկյուն եռանկյունում, 30 o անկյան դիմաց ընկած ոտքը հավասար է հիպոթենուսի կեսին):

Բայց CD = AB: Այնուհետև AB: HD = 2: 1:

3. <С = 30 о,
4. <А = <С = 30 о, <В =
Պատասխան՝ AB: HD = 2: 1,<А = <С = 30 о, <В =

Առաջադրանք 4.

4√6 երկարությամբ զուգահեռագծի անկյունագծերից մեկը հիմքի հետ կազմում է 60° անկյուն, իսկ երկրորդը նույն հիմքով կազմում է 45° անկյուն։ Գտեք երկրորդ անկյունագիծը:

Լուծում.

1. AO = 2√6:

2. Կիրառի՛ր սինուսի թեորեմը AOD եռանկյան վրա:

AO/sin D = OD/sin A.

2√6/sin 45 o = OD/sin 60 o:

OD = (2√6sin 60 o) / sin 45 o = (2√6 √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6:

Պատասխան՝ 12.

Առաջադրանք 5.

5√2 և 7√2 կողմեր ունեցող զուգահեռագծի համար անկյունագծերի միջև փոքր անկյունը հավասար է զուգահեռագծի փոքր անկյան: Գտե՛ք շեղանկյունների երկարությունների գումարը:

Լուծում.

Թող d 1, d 2 լինեն զուգահեռագծի անկյունագծերը, իսկ անկյունագծերի և զուգահեռագծի փոքր անկյան միջև անկյունը լինի φ:

1. Հաշվենք երկու տարբեր
իր տարածքի ուղիները:

S ABCD \u003d AB AD sin A \u003d 5√2 7√2 sin f,

S ABCD \u003d 1/2 AC BD sin AOB \u003d 1/2 d 1 d 2 sin f.

Մենք ստանում ենք հավասարություն 5√2 7√2 sin f = 1/2d 1 d 2 sin f կամ

2 5√2 7√2 = d 1 d 2 ;

2. Օգտագործելով զուգահեռագծի կողմերի և անկյունագծերի հարաբերությունը՝ գրում ենք հավասարությունը.

(AB 2 + AD 2) 2 = AC 2 + BD 2:

((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = դ 1 2 + դ 2 2:

d 1 2 + d 2 2 = 296:

3. Կազմենք համակարգ.

(d 1 2 + d 2 2 = 296,
(d 1 + d 2 = 140.

Համակարգի երկրորդ հավասարումը բազմապատկեք 2-ով և ավելացրեք այն առաջինին:

Մենք ստանում ենք (d 1 + d 2) 2 = 576: Այսպիսով, Id 1 + d 2 I = 24:

Քանի որ d 1, d 2-ը զուգահեռագծի անկյունագծերի երկարություններն են, ապա d 1 + d 2 = 24:

Պատասխան՝ 24։

Առաջադրանք 6.

Զուգահեռագծի կողմերը 4 և 6 են։ Անկյունագծերի միջև սուր անկյունը 45 o է։ Գտե՛ք զուգահեռագծի մակերեսը:

Լուծում.

1. AOB եռանկյունից, օգտագործելով կոսինուսի թեորեմը, գրում ենք զուգահեռագծի կողմի և անկյունագծերի հարաբերությունը։

AB 2 \u003d AO 2 + VO 2 2 AO VO cos AOB:

4 2 \u003d (d 1 / 2) 2 + (d 2 / 2) 2 - 2 (d 1 / 2) (d 2 / 2) cos 45 o;

d 1 2/4 + d 2 2/4 - 2 (d 1/2) (d 2/2)√2/2 = 16:

d 1 2 + d 2 2 - d 1 d 2 √2 = 64:

2. Նմանապես մենք գրում ենք AOD եռանկյան հարաբերությունը:

Մենք դա հաշվի ենք առնում<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2.

Մենք ստանում ենք d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √2 = 144 հավասարումը:

3. Մենք ունենք համակարգ
(d 1 2 + d 2 2 - d 1 d 2 √2 = 64,
(d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √2 = 144.

Առաջինը հանելով երկրորդ հավասարումից՝ ստանում ենք 2d 1 d 2 √2 = 80 կամ.

դ 1 դ 2 = 80/(2√2) = 20√2

4. S ABCD \u003d 1/2 AC BD sin AOB \u003d 1/2 d 1 d 2 sin α \u003d 1/2 20√2 √2/2 \u003d 10:

Նշում:Այս և նախորդ հարցում համակարգն ամբողջությամբ լուծելու կարիք չկա՝ նախատեսելով, որ այս հարցում տարածքը հաշվարկելու համար անհրաժեշտ է անկյունագծերի արտադրյալ։

Պատասխան՝ 10.

Առաջադրանք 7.

Զուգահեռագծի մակերեսը 96 է, իսկ կողմերը՝ 8 և 15։ Գտե՛ք ավելի փոքր անկյունագծի քառակուսին։

Լուծում.

1. S ABCD \u003d AB AD sin VAD: Եկեք փոխարինում կատարենք բանաձևում.

Մենք ստանում ենք 96 = 8 15 sin VAD: Հետևաբար մեղքը VAD = 4/5:

2. Գտնել cos ՎԱՏ. մեղք 2 VAD + cos 2 VAD = 1:

(4/5) 2 + cos 2 BAD = 1. cos 2 BAD = 9/25:

Ըստ խնդրի պայմանի՝ մենք գտնում ենք ավելի փոքր շեղանկյունի երկարությունը։ BD անկյունագիծը ավելի փոքր կլինի, եթե BAD անկյունը սուր է: Այնուհետև cos BAD = 3/5:

3. ABD եռանկյունից, օգտագործելով կոսինուսի թեորեմը, գտնում ենք BD անկյունագծի քառակուսին:

BD 2 \u003d AB 2 + AD 2 - 2 AB BD cos BAD:

ВD 2 \u003d 8 2 + 15 2 - 2 8 15 3 / 5 \u003d 145:

Պատասխան՝ 145։

Հարցեր ունե՞ք։ Չգիտե՞ք ինչպես լուծել երկրաչափության խնդիրը:
Կրկնուսույցի օգնություն ստանալու համար գրանցվեք։
Առաջին դասն անվճար է։

կայքը, նյութի ամբողջական կամ մասնակի պատճենմամբ, աղբյուրի հղումը պարտադիր է:

Մինչ կսովորենք, թե ինչպես գտնել զուգահեռագծի տարածքը, մենք պետք է հիշենք, թե ինչ է զուգահեռագիծը և ինչ է կոչվում դրա բարձրությունը: Զուգահեռագիծը այն քառանկյունն է, որի հակառակ կողմերը զույգ-զույգ զուգահեռ են (պառկած են զուգահեռ ուղիղների վրա): Հակառակ կողմի կամայական կետից այս կողմը պարունակող ուղղին գծված ուղղահայացը կոչվում է զուգահեռագծի բարձրություն։

Քառակուսին, ուղղանկյունը և ռոմբը զուգահեռագծի հատուկ դեպքեր են:

Զուգահեռագծի մակերեսը նշվում է որպես (S):

Զուգահեռագծի տարածքը գտնելու բանաձևեր

S=a*h, որտեղ a-ն հիմքն է, h-ն այն բարձրությունն է, որը ձգվում է դեպի հիմքը:

S=a*b*sinα, որտեղ a-ն և b-ը հիմքերն են, իսկ α-ն՝ a և b հիմքերի միջև ընկած անկյունը:

S \u003d p * r, որտեղ p-ը կիսաշրջագիծն է, r-ը շրջանագծի շառավիղն է, որը ներգծված է զուգահեռագծի մեջ:

a և b վեկտորներով ձևավորված զուգահեռագծի մակերեսը հավասար է տվյալ վեկտորների արտադրյալի մոդուլին, այն է՝

Դիտարկենք օրինակ թիվ 1. Տրված է զուգահեռագիծ, որի կողմը 7 սմ է, իսկ բարձրությունը՝ 3 սմ։ Ինչպես գտնել զուգահեռագծի մակերեսը, մեզ պետք է բանաձև լուծելու համար։

Այսպիսով, S= 7x3: S=21. Պատասխան՝ 21 սմ 2։

Դիտարկենք օրինակ թիվ 2. Հիմքերը 6 և 7 սմ են, իսկ հիմքերի միջև անկյունը 60 աստիճան է։ Ինչպե՞ս գտնել զուգահեռագծի մակերեսը: Բանաձև, որն օգտագործվում է լուծելու համար.

Այսպիսով, նախ մենք գտնում ենք անկյան սինուսը: Սինուս 60 \u003d 0,5, համապատասխանաբար S \u003d 6 * 7 * 0,5 \u003d 21 Պատասխան՝ 21 սմ 2:

Հուսով եմ, որ այս օրինակները կօգնեն ձեզ լուծել խնդիրները: Եվ հիշեք, որ գլխավորը բանաձևերի իմացությունն ու ուշադիր լինելն է

Զուգահեռագիծ - երկրաչափական պատկեր, որը հաճախ հանդիպում է երկրաչափության դասընթացի առաջադրանքներում (պլանաչափության բաժին): Այս քառանկյան հիմնական հատկանիշներն են հակադիր անկյունների հավասարությունը և երկու զույգ զուգահեռ հակադիր կողմերի առկայությունը։ Զուգահեռագծի հատուկ դեպքերն են ռոմբը, ուղղանկյունը, քառակուսին:

Այս տեսակի պոլիգոնի տարածքի հաշվարկը կարող է կատարվել մի քանի եղանակով. Դիտարկենք դրանցից յուրաքանչյուրը:

Գտե՛ք զուգահեռագծի մակերեսը, եթե կողմն ու բարձրությունը հայտնի են

Զուգահեռագծի մակերեսը հաշվարկելու համար կարող եք օգտագործել նրա կողմի արժեքները, ինչպես նաև դրա վրա իջեցված բարձրության երկարությունը: Այս դեպքում ստացված տվյալները հուսալի կլինեն և՛ հայտնի կողմի դեպքում՝ գործչի հիմքի, և՛ եթե ձեր տրամադրության տակ ունեք գործչի կողմը։ Այս դեպքում ցանկալի արժեքը կստացվի բանաձևով.

S = a * h (a) = b * h (b),

S-ն այն տարածքն է, որը պետք է որոշվի,

a, b - հայտնի (կամ հաշվարկված) կողմը,

h-ն դրա վրա իջեցված բարձրությունն է:

Օրինակ՝ զուգահեռագծի հիմքի արժեքը 7 սմ է, հակառակ գագաթից դրա վրա իջած ուղղահայացը՝ 3 սմ։

Լուծում` S = a * h (a) = 7 * 3 = 21:

Գտե՛ք զուգահեռագծի մակերեսը, եթե հայտնի են 2 կողմերը և նրանց միջև եղած անկյունը

Դիտարկենք այն դեպքը, երբ դուք գիտեք նկարի երկու կողմերի մեծությունը, ինչպես նաև անկյան աստիճանի չափը, որը նրանք կազմում են միմյանց հետ: Տրամադրված տվյալները կարող են օգտագործվել նաև զուգահեռագծի տարածքը գտնելու համար: Այս դեպքում բանաձևի արտահայտությունը կունենա հետևյալ տեսքը.

S = a * c * sinα = a * c * sinβ,

ա - կողմը,

c-ն հայտնի (կամ հաշվարկված) հիմք է,

α, β-ն անկյուններն են a և c կողմերի միջև:

Օրինակ՝ զուգահեռագծի հիմքը 10 սմ է, նրա կողմը փոքր է 4 սմ։ Նկարի բութ անկյունը 135° է։

Լուծում. որոշեք երկրորդ կողմի արժեքը՝ 10 - 4 \u003d 6 սմ:

S = a * c * sinα = 10 * 6 * sin135° = 60 * sin(90° + 45°) = 60 * cos45° = 60 * √2 /2 = 30√2:

Գտե՛ք զուգահեռագծի մակերեսը, եթե հայտնի են անկյունագծերը և նրանց միջև եղած անկյունը

Տվյալ բազմանկյան անկյունագծերի հայտնի արժեքների առկայությունը, ինչպես նաև այն անկյունը, որը նրանք ձևավորում են դրանց հատման արդյունքում, հնարավորություն է տալիս որոշել նկարի տարածքը:

S = (d1*d2)/2*sinγ,
S = (d1*d2)/2*sinφ,

S-ն այն տարածքն է, որը պետք է որոշվի,
d1, d2-ը հայտնի (կամ հաշվարկված) անկյունագծեր են,
γ, φ-ն անկյուններն են d1 և d2 անկյունագծերի միջև: