Paralelogram i njegova površina. Izračunavamo zbroj kutova i površinu paralelograma: svojstva i znakove. Značajke susjednih uglova

Površina paralelograma

Teorem 1

Površina paralelograma definirana je kao umnožak duljine njegove stranice i visine povučene na nju.

gdje je $a$ stranica paralelograma, $h$ je visina povučena na ovu stranicu.

Dokaz.

Neka nam je dan paralelogram $ABCD$ s $AD=BC=a$. Nacrtajmo visine $DF$ i $AE$ (sl. 1).

Slika 1.

Očito je da je lik $FDAE$ pravokutnik.

\[\kut BAE=(90)^0-\kut A,\ \] \[\kut CDF=\kut D-(90)^0=(180)^0-\kut A-(90)^0 =(90)^0-\kut A=\kut BAE\]

Stoga, budući da je $CD=AB,\ DF=AE=h$, $\trikut BAE=\trikut CDF$, $I$ test jednakosti trokuta. Zatim

Dakle, prema teoremu o površini pravokutnika:

Teorem je dokazan.

Teorem 2

Površina paralelograma definirana je kao umnožak duljine njegovih susjednih stranica i sinusa kuta između tih stranica.

Matematički se to može napisati na sljedeći način

gdje su $a,\ b$ stranice paralelograma, $\alpha $ je kut između njih.

Dokaz.

Neka nam je dan paralelogram $ABCD$ s $BC=a,\ CD=b,\ \kut C=\alpha $. Nacrtajte visinu $DF=h$ (sl. 2).

Slika 2.

Prema definiciji sinusa, dobivamo

Stoga

Dakle, prema teoremu $1$:

Teorem je dokazan.

Površina trokuta

Teorem 3

Površina trokuta definirana je kao polovica umnoška duljine njegove stranice i visine povučene na nju.

Matematički se to može napisati na sljedeći način

gdje je $a$ stranica trokuta, $h$ je visina povučena na ovu stranicu.

Dokaz.

Slika 3

Prema teoremu $1$:

Teorem je dokazan.

Teorem 4

Površina trokuta definirana je kao polovica umnoška duljine njegovih susjednih stranica i sinusa kuta između tih stranica.

Matematički se to može napisati na sljedeći način

gdje su $a,\ b$ stranice trokuta, $\alpha $ je kut između njih.

Dokaz.

Neka nam je dan trokut $ABC$ s $AB=a$. Nacrtaj visinu $CH=h$. Sastavimo ga do paralelograma $ABCD$ (sl. 3).

Očito, $\trokut ACB=\trokut CDB$ za $I$. Zatim

Prema teoremu $1$:

Teorem je dokazan.

Područje trapeza

Teorem 5

Površina trapeza definirana je kao polovica umnoška zbroja duljina njegovih baza i visine.

Matematički se to može napisati na sljedeći način

Dokaz.

Neka nam je dan trapez $ABCK$, gdje je $AK=a,\ BC=b$. Nacrtajmo u njoj visine $BM=h$ i $KP=h$, te dijagonalu $BK$ (sl. 4).

Slika 4

Prema teoremu $3$, dobivamo

Teorem je dokazan.

Primjer zadatka

Primjer 1

Odredite površinu jednakostraničnog trokuta ako je duljina njegove stranice $a.$

Riješenje.

Budući da je trokut jednakostraničan, svi su njegovi kutovi jednaki $(60)^0$.

Zatim, prema teoremu $4$, imamo

Odgovor:$\frac(a^2\sqrt(3))(4)$.

Imajte na umu da se rezultat ovog problema može koristiti za pronalaženje površine bilo kojeg jednakostraničnog trokuta sa zadanom stranicom.

Kao što su u euklidskoj geometriji točka i pravac glavni elementi teorije ravnina, tako je i paralelogram jedna od ključnih figura konveksnih četverokuta. Iz njega, poput niti iz lopte, teku pojmovi "pravokutnik", "kvadrat", "romb" i druge geometrijske veličine.

U kontaktu s

Definicija paralelograma

konveksni četverokut, koji se sastoji od segmenata, od kojih je svaki par paralelan, poznat je u geometriji kao paralelogram.

Kako izgleda klasični paralelogram je četverokut ABCD. Stranice se nazivaju osnovicama (AB, BC, CD i AD), okomica povučena iz bilo kojeg vrha na suprotnu stranu tog vrha naziva se visina (BE i BF), pravci AC i BD su dijagonale.

Pažnja! Kvadrat, romb i pravokutnik su posebni slučajevi paralelograma.

Stranice i kutovi: značajke omjera

Ključna svojstva, uglavnom, unaprijed određena samom oznakom, dokazuju se teoremom. Ove karakteristike su sljedeće:

1. Suprotne strane su identične u parovima.
2. Kutovi koji su međusobno nasuprotni jednaki su u parovima.

Dokaz: razmotrimo ∆ABC i ∆ADC koji se dobiju dijeljenjem četverokuta ABCD s pravcem AC. ∠BCA=∠CAD i ∠BAC=∠ACD, budući da im je AC zajednički (okomiti kutovi za BC||AD odnosno AB||CD). Iz toga slijedi: ∆ABC = ∆ADC (drugi kriterij jednakosti trokuta).

Dužci AB i BC u ∆ABC odgovaraju u parovima pravcima CD i AD u ∆ADC, što znači da su identični: AB = CD, BC = AD. Dakle, ∠B odgovara ∠D i oni su jednaki. Kako je ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD, koji su također identični u parovima, onda je ∠A = ∠C. Svojstvo je dokazano.

Karakteristike dijagonala figure

Glavna značajka ove paralelogramske linije: sjecište ih raspolavlja.

Dokaz: neka je m. E sjecište dijagonala AC i BD lika ABCD. Oni tvore dva sumjerljiva trokuta - ∆ABE i ∆CDE.

AB=CD jer su suprotni. Prema pravcima i sekantima je ∠ABE = ∠CDE i ∠BAE = ∠DCE.

Prema drugom znaku jednakosti je ∆ABE = ∆CDE. To znači da su elementi ∆ABE i ∆CDE: AE = CE, BE = DE i, štoviše, sumjerljivi su dijelovi AC i BD. Svojstvo je dokazano.

Značajke susjednih uglova

Na susjednim stranicama zbroj kutova je 180°, budući da leže s iste strane paralelnih pravaca i sekante. Za četverokut ABCD:

∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º

Svojstva simetrale:

1. , oborene na jednu stranu, okomite su;
2. nasuprotni vrhovi imaju paralelne simetrale;
3. trokut dobiven povlačenjem simetrale bit će jednakokračan.

Određivanje karakterističnih obilježja paralelograma pomoću teorema

Značajke ove figure proizlaze iz njenog glavnog teorema, koji glasi kako slijedi: četverokut se smatra paralelogramom u slučaju da se njegove dijagonale sijeku, a ta ih točka dijeli na jednake segmente.

Dokaz: Neka se pravci AC i BD četverokuta ABCD sijeku u t.E. Kako je ∠AED = ∠BEC, a AE+CE=AC BE+DE=BD, onda je ∆AED = ∆BEC (po prvom znaku jednakosti trokuta). Odnosno, ∠EAD = ∠ECB. Oni su također unutarnji kutovi križanja sekante AC za pravce AD ​​i BC. Dakle, po definiciji paralelizma - AD || PRIJE KRISTA. Također se izvodi slično svojstvo pravaca BC i CD. Teorem je dokazan.

Izračunavanje površine figure

Područje ove figure naći na nekoliko načina jedan od najjednostavnijih: množenje visine i baze na koju je povučena.

Dokaz: Povucite okomice BE i CF iz vrhova B i C. ∆ABE i ∆DCF su jednake jer je AB = CD i BE = CF. ABCD je jednak pravokutniku EBCF, jer se i oni sastoje od razmjernih likova: S ABE i S EBCD, kao i S DCF i S EBCD. Slijedi da je površina ove geometrijske figure jednaka površini pravokutnika:

S ABCD = S EBCF = BE×BC=BE×AD.

Da bismo odredili opću formulu za površinu paralelograma, visinu označavamo kao hb, i sa strane b. Odnosno:

Drugi načini za pronalaženje područja

Izračuni površina kroz stranice paralelograma i kut, koji oni tvore, druga je poznata metoda.

,

Spr-ma - područje;

a i b su njegove stranice

α - kut između odsječaka a i b.

Ova se metoda praktički temelji na prvoj, ali u slučaju da je nepoznata. uvijek odsijeca pravokutni trokut čiji se parametri nalaze trigonometrijskim identitetima, tj. Transformacijom omjera dobivamo . U jednadžbi prve metode visinu zamijenimo ovim umnoškom i dobijemo dokaz valjanosti ove formule.

Kroz dijagonale paralelograma i ugla, koje stvaraju kada se sijeku, također možete pronaći područje.

Dokaz: AC i BD koji se sijeku tvore četiri trokuta: ABE, BEC, CDE i AED. Njihov zbroj jednak je površini ovog četverokuta.

Površina svakog od ovih ∆ može se pronaći iz izraza , gdje je a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB. Budući da je , tada se u izračunima koristi jedna vrijednost sinusa. To je . Budući da je AE+CE=AC= d 1 i BE+DE=BD= d 2 , formula površine se svodi na:

.

Primjena u vektorskoj algebri

Značajke sastavnih dijelova ovog četverokuta našle su primjenu u vektorskoj algebri, naime: zbrajanje dvaju vektora. Pravilo paralelograma kaže da ako su dati vektoriINesu kolinearni, tada će njihov zbroj biti jednak dijagonali ove figure, čije baze odgovaraju ovim vektorima.

Dokaz: iz proizvoljno odabranog početka – tj. - gradimo vektore i . Zatim gradimo paralelogram OASV, gdje su segmenti OA i OB stranice. Dakle, OS leži na vektoru ili sumi.

Formule za izračunavanje parametara paralelograma

Identiteti se daju pod sljedećim uvjetima:

1. a i b, α - strane i kut između njih;
2. d 1 i d 2 , γ - dijagonale i u točki njihova sjecišta;
3. h a i h b - visine spuštene na stranice a i b;

Parametar	Formula
Pronalaženje strana
uz dijagonale i kosinus kuta između njih
dijagonalno i bočno
kroz visinu i suprotni vrh
Određivanje duljina dijagonala
na stranama i veličini vrha između njih
duž stranica i jedne od dijagonala	 Zaključak Paralelogram, kao jedna od ključnih figura geometrije, koristi se u životu, na primjer, u građevinarstvu prilikom izračunavanja površine mjesta ili drugih mjerenja. Stoga znanje o razlikovnim značajkama i metodama za izračunavanje njegovih različitih parametara može biti korisno u bilo kojem trenutku u životu.

Prilikom rješavanja problema na ovu temu, pored osnovna svojstva paralelogram i odgovarajuće formule, možete zapamtiti i primijeniti sljedeće:

1. Simetrala unutarnjeg kuta paralelograma odsijeca od njega jednakokračni trokut
2. Simetrale unutarnjih kutova uz jednu od stranica paralelograma međusobno su okomite.
3. Simetrale koje dolaze iz suprotnih unutarnjih kutova paralelograma, međusobno su paralelne ili leže na jednoj ravnoj crti
4. Zbroj kvadrata dijagonala paralelograma jednak je zbroju kvadrata njegovih stranica
5. Površina paralelograma je polovica umnoška dijagonala puta sinusa kuta između njih.

Razmotrimo zadatke u čijem se rješavanju koriste ova svojstva.

Zadatak 1.

Simetrala kuta C paralelograma ABCD siječe stranicu AD u točki M i nastavak stranice AB iza točke A u točki E. Odredi opseg paralelograma ako je AE = 4, DM = 3.

Riješenje.

1. Trokut CMD jednakokračan. (Svojstvo 1). Dakle, CD = MD = 3 cm.

2. Trokut EAM je jednakokračan.
Dakle, AE = AM = 4 cm.

3. AD = AM + MD = 7 cm.

4. Opseg ABCD = 20 cm.

Odgovor. 20 cm

Zadatak 2.

U konveksnom četverokutu ABCD nacrtane su dijagonale. Poznato je da su površine trokuta ABD, ACD, BCD jednake. Dokažite da je zadani četverokut paralelogram.

Riješenje.

1. Neka je BE visina trokuta ABD, CF visina trokuta ACD. Kako su prema uvjetu zadatka površine trokuta jednake i imaju zajedničku osnovicu AD, tada su i visine tih trokuta jednake. BE = CF.

2. BE, CF su okomite na AD. Točke B i C nalaze se s iste strane pravca AD. BE = CF. Prema tome, pravac BC || OGLAS. (*)

3. Neka je AL visina trokuta ACD, BK visina trokuta BCD. Kako su prema uvjetu zadatka površine trokuta jednake i imaju zajedničku osnovicu CD, tada su i visine tih trokuta jednake. AL = BK.

4. AL i BK su okomiti na CD. Točke B i A nalaze se na istoj strani pravca CD. AL = BK. Prema tome, pravac AB || CD (**)

5. Uvjeti (*), (**) znače da je ABCD paralelogram.

Odgovor. dokazano. ABCD je paralelogram.

Zadatak 3.

Na stranicama BC i CD paralelograma ABCD označene su točke M odnosno H tako da se duži BM i HD sijeku u točki O;<ВМD = 95 о,