Parallelogrammi ja sen pinta-ala. Laskemme kulmien summan ja suunnikkaan pinta-alan: ominaisuudet ja merkit. Vierekkäisten kulmien ominaisuudet

Rinnakkaisalue

Lause 1

Suunnikkaan pinta-ala määritellään sen sivun pituuden ja siihen vedetyn korkeuden tulona.

missä $a$ on suuntaviivan sivu, $h$ on tälle sivulle piirretty korkeus.

Todiste.

Annetaan suunnikkaalle $ABCD$, jossa on $AD=BC=a$. Piirretään korkeudet $DF$ ja $AE$ (kuva 1).

Kuva 1.

On selvää, että luku $FDAE$ on suorakulmio.

\[\angle BAE=(90)^0-\kulma A,\ \] \[\angle CDF=\kulma D-(90)^0=(180)^0-\kulma A-(90)^0 =(90)^0-\kulma A=\kulma BAE\]

Siksi, koska $CD=AB,\ DF=AE=h$, $\kolmio BAE=\kolmio CDF$, $I$:lla kolmion yhtäläisyystesti. Sitten

Joten suorakulmion pinta-alan lauseen mukaan:

Lause on todistettu.

Lause 2

Suunnikkaan pinta-ala määritellään sen vierekkäisten sivujen pituuden tulona kertaa näiden sivujen välisen kulman sini.

Matemaattisesti tämä voidaan kirjoittaa seuraavasti

missä $a,\b$ ovat suunnikkaan sivut, $\alpha $ on niiden välinen kulma.

Todiste.

Annetaan suunnikkaalle $ABCD$, jossa on $BC=a,\ CD=b,\ \angle C=\alpha $. Piirrä korkeus $DF=h$ (kuva 2).

Kuva 2.

Sinin määritelmän mukaan saamme

Siten

Siksi lauseen $1$ mukaan:

Lause on todistettu.

Kolmion pinta-ala

Lause 3

Kolmion pinta-ala määritellään puoleksi sen sivun pituuden ja siihen piirretyn korkeuden tulosta.

Matemaattisesti tämä voidaan kirjoittaa seuraavasti

missä $a$ on kolmion sivu, $h$ on tälle sivulle piirretty korkeus.

Todiste.

Kuva 3

Joten lauseen $1$ mukaan:

Lause on todistettu.

Lause 4

Kolmion pinta-ala määritellään puoleksi sen vierekkäisten sivujen pituuden tulosta kerrottuna näiden sivujen välisen kulman sinillä.

Matemaattisesti tämä voidaan kirjoittaa seuraavasti

missä $a,\b$ ovat kolmion sivut, $\alpha $ on niiden välinen kulma.

Todiste.

Olkoon meille annettu kolmio $ABC$, jossa $AB=a$. Piirrä korkeus $CH=h$. Rakennetaan se suunnikkaaseen $ABCD$ (kuva 3).

Ilmeisesti $\kolmio ACB=\kolmio CDB$ tekijällä $I$. Sitten

Joten lauseen $1$ mukaan:

Lause on todistettu.

Trapetsium-alue

Lause 5

Puolisuunnikkaan pinta-ala määritellään puoleksi sen kannan pituuksien summan tulosta sen korkeudella.

Matemaattisesti tämä voidaan kirjoittaa seuraavasti

Todiste.

Annetaan puolisuunnikkaan $ABCK$, jossa $AK=a,\ BC=b$. Piirretään siihen korkeudet $BM=h$ ja $KP=h$ sekä diagonaali $BK$ (kuva 4).

Kuva 4

Lauseen $3$ perusteella saamme

Lause on todistettu.

Esimerkki tehtävästä

Esimerkki 1

Etsi tasasivuisen kolmion pinta-ala, jos sen sivun pituus on $a.$

Ratkaisu.

Koska kolmio on tasasivuinen, kaikki sen kulmat ovat yhtä suuria kuin $(60)^0$.

Sitten Lauseen $4$ mukaan meillä on

Vastaus:$\frac(a^2\sqrt(3))(4)$.

Huomaa, että tämän tehtävän tulosta voidaan käyttää minkä tahansa tasasivuisen kolmion pinta-alan löytämiseen tietyllä sivulla.

Kuten euklidisessa geometriassa, piste ja suora ovat tasoteorian pääelementtejä, joten suunnikas on yksi kuperoiden nelikulmioiden avainkuvista. Siitä, kuten pallon langoista, virtaavat käsitteet "suorakulmio", "neliö", "rombi" ja muut geometriset suureet.

Yhteydessä

Suunnikkaan määritelmä

kupera nelikulmio, Se koostuu segmenteistä, joiden jokainen pari on yhdensuuntainen, tunnetaan geometriassa suunnikkaana.

Miltä klassinen suuntaviiva näyttää, on nelikulmio ABCD. Sivuja kutsutaan kantaviksi (AB, BC, CD ja AD), mistä tahansa kärjestä tämän kärjen vastakkaiselle puolelle vedettyä kohtisuoraa kutsutaan korkeudeksi (BE ja BF), viivoja AC ja BD ovat diagonaalit.

Huomio! Neliö, rombi ja suorakulmio ovat suuntaviivan erikoistapauksia.

Sivut ja kulmat: suhdeominaisuudet

Tärkeimmät ominaisuudet, yleisesti itse nimityksen määräämä, ne todistetaan lauseella. Nämä ominaisuudet ovat seuraavat:

1. Vastakkaiset sivut ovat identtisiä pareittain.
2. Toisiaan vastakkaiset kulmat ovat pareittain yhtä suuret.

Todistus: harkitse ∆ABC ja ∆ADC, jotka saadaan jakamalla nelikulmio ABCD suoralla AC. ∠BCA=∠CAD ja ∠BAC=∠ACD, koska AC on niille yhteinen (pystykulmat BC||AD:lle ja AB||CD:lle, vastaavasti). Tästä seuraa: ∆ABC = ∆ADC (toinen kolmioiden yhtäläisyyden kriteeri).

Jaksot AB ja BC ∆ABC:ssä vastaavat pareittain ∆ADC:n viivoja CD ja AD, mikä tarkoittaa, että ne ovat identtisiä: AB = CD, BC = AD. Siten ∠B vastaa arvoa ∠D ja ne ovat yhtä suuret. Koska ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD, jotka ovat myös identtisiä pareittain, niin ∠A = ∠C. Omaisuus on todistettu.

Figuurin diagonaalien ominaisuudet

Pääominaisuus nämä suunnikasviivat: leikkauspiste jakaa ne kahtia.

Todistus: olkoon m. E kuvion ABCD diagonaalien AC ja BD leikkauspiste. Ne muodostavat kaksi vastaavaa kolmiota - ∆ABE ja ∆CDE.

AB=CD, koska ne ovat vastakkaisia. Viivojen ja sekanttien mukaan ∠ABE = ∠CDE ja ∠BAE = ∠DCE.

Toisen tasa-arvon mukaan ∆ABE = ∆CDE. Tämä tarkoittaa, että elementit ∆ABE ja ∆CDE ovat: AE = CE, BE = DE ja lisäksi ne ovat AC:n ja BD:n suhteellisia osia. Omaisuus on todistettu.

Vierekkäisten kulmien ominaisuudet

Vierekkäisillä sivuilla kulmien summa on 180°, koska ne sijaitsevat samalla puolella yhdensuuntaisia ​​viivoja ja sekanttia. Nelikulmio ABCD:

∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º

Bisectorin ominaisuudet:

1. , pudonneet toiselle puolelle, ovat kohtisuorassa;
2. vastakkaisilla pisteillä on rinnakkaiset puolittajat;
3. puolittajaa piirtämällä saatu kolmio on tasakylkinen.

Suunnikkaan ominaispiirteiden määrittäminen lauseella

Tämän kuvan ominaisuudet seuraavat sen päälauseesta, joka kuuluu seuraavasti: nelikulmiota pidetään suunnikkaana siinä tapauksessa, että sen lävistäjät leikkaavat, ja tämä piste jakaa ne yhtäläisiksi segmenteiksi.

Todistus: Leikkaavat nelikulmion ABCD suorat AC ja BD pisteessä t. E. Koska ∠AED = ∠BEC ja AE+CE=AC BE+DE=BD, niin ∆AED = ∆BEC (kolmioiden ensimmäisellä yhtäläisyysmerkillä). Eli ∠EAD = ∠EKP. Ne ovat myös sekantin AC sisäiset risteyskulmat linjoille AD ja BC. Siten rinnakkaisuuden määritelmän mukaan - AD || eKr. Myös rivien BC ja CD samanlainen ominaisuus johdetaan. Lause on todistettu.

Kuvan pinta-alan laskeminen

Tämän hahmon pinta-ala löytyy monella tapaa yksi yksinkertaisimmista: kerrotaan korkeus ja pohja, johon se on vedetty.

Todistus: Piirrä pisteitä B ja C kohtisuorat BE ja CF. ∆ABE ja ∆DCF ovat yhtä suuret, koska AB = CD ja BE = CF. ABCD on yhtä suuri kuin suorakulmio EBCF, koska ne koostuvat myös suhteellisista luvuista: S ABE ja S EBCD sekä S DCF ja S EBCD. Tästä seuraa, että tämän geometrisen kuvion pinta-ala on sama kuin suorakulmion pinta-ala:

S ABCD = S EBCF = BE×BC=BE×AD.

Suunnikkaan alueen yleisen kaavan määrittämiseksi merkitsemme korkeutta as hb, ja sivu b. Vastaavasti:

Muita tapoja löytää alue

Pinta-alalaskelmat suunnikkaan ja kulman sivujen läpi, jonka ne muodostavat, on toinen tunnettu menetelmä.

,

Spr-ma - alue;

a ja b ovat sen sivut

α - segmenttien a ja b välinen kulma.

Tämä menetelmä perustuu käytännössä ensimmäiseen, mutta jos sitä ei tunneta. katkaisee aina suorakulmaisen kolmion, jonka parametrit löytyvät trigonometristen identiteettien avulla, eli . Muuttamalla suhdetta saamme . Ensimmäisen menetelmän yhtälössä korvaamme korkeuden tällä tuotteella ja saamme todisteen tämän kaavan pätevyydestä.

Suunnikkaan ja kulman lävistäjien kautta, jonka ne luovat risteäessään, voit myös löytää alueen.

Todistus: AC ja BD leikkaavat neljä kolmiota: ABE, BEC, CDE ja AED. Niiden summa on yhtä suuri kuin tämän nelikulmion pinta-ala.

Jokaisen näiden ∆:n pinta-ala löytyy lausekkeesta , jossa a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB. Koska , silloin laskelmissa käytetään yhtä sinin arvoa. Tuo on . Koska AE+CE=AC= d 1 ja BE+DE=BD= d 2 , pinta-alakaava pienenee seuraavasti:

.

Sovellus vektorialgebrassa

Tämän nelikulmion muodostavien osien piirteet ovat löytäneet sovelluksen vektorialgebrassa, nimittäin: kahden vektorin yhteenlasku. Suunnikkasääntö sanoo sen jos vektorit annetaanJaEiovat kollineaarisia, niin niiden summa on yhtä suuri kuin tämän kuvan diagonaali, jonka kantat vastaavat näitä vektoreita.

Todiste: mielivaltaisesti valitusta alusta - eli. - Rakennamme vektoreita ja . Seuraavaksi rakennetaan suunnikas OASV, jossa segmentit OA ja OB ovat sivuja. Siten käyttöjärjestelmä on vektorissa tai summassa.

Kaavat suunnikkaan parametrien laskemiseen

Henkilöllisyydet annetaan seuraavin ehdoin:

1. a ja b, α - sivut ja niiden välinen kulma;
2. d 1 ja d 2 , γ - diagonaalit ja niiden leikkauspisteessä;
3. h a ja h b - korkeudet laskettu sivuille a ja b;

Parametri	Kaava
Puolien löytäminen
diagonaaleja ja niiden välisen kulman kosinia pitkin
vinosti ja sivuttain
korkeuden ja vastakkaisen kärjen läpi
Diagonaalien pituuden löytäminen
sivuilla ja yläosan koko niiden välillä
sivuilla ja yhdellä lävistäjästä	 Johtopäätös Suunnikkapiirros yhtenä geometrian avainhahmoista on käytössä elämässä esimerkiksi rakentamisessa työmaan pinta-alaa laskettaessa tai muissa mittauksissa. Siksi tieto sen erilaisten parametrien ominaisuuksista ja laskentamenetelmistä voi olla hyödyllistä milloin tahansa elämässä.

Kun ratkaiset tämän aiheen ongelmia, sen lisäksi perusominaisuudet suunnikas ja vastaavat kaavat, voit muistaa ja soveltaa seuraavaa:

1. Suunnikkaan sisäkulman puolittaja leikkaa siitä tasakylkisen kolmion
2. Suunnikkaan yhden sivun vieressä olevien sisäisten kulmien puolittimet ovat keskenään kohtisuorassa
3. Puolittajat tulevat suunnikkaan vastakkaisista sisäkulmista, ovat yhdensuuntaisia ​​keskenään tai sijaitsevat yhdellä suoralla
4. Suunnikkaan diagonaalien neliöiden summa on yhtä suuri kuin sen sivujen neliöiden summa
5. Suunnikkaan pinta-ala on puolet diagonaalien tulosta kertaa niiden välisen kulman sini.

Tarkastellaan tehtäviä, joiden ratkaisussa näitä ominaisuuksia käytetään.

Tehtävä 1.

Suunnikkaan ABCD kulman C puolittaja leikkaa sivun AD pisteessä M ja sivun AB jatkon pisteen A takana pisteessä E. Etsi suunnikkaan kehä, jos AE \u003d 4, DM \u003d 3.

Ratkaisu.

1. Kolmion CMD tasakylkinen. (Omaisuus 1). Siksi CD = MD = 3 cm.

2. Kolmio EAM on tasakylkinen.
Siksi AE = AM = 4 cm.

3. AD = AM + MD = 7 cm.

4. Kehä ABCD = 20 cm.

Vastaus. 20 cm

Tehtävä 2.

Diagonaalit piirretään kuperaan nelikulmioon ABCD. Tiedetään, että kolmioiden ABD, ACD, BCD pinta-alat ovat yhtä suuret. Todista, että annettu nelikulmio on suunnikas.

Ratkaisu.

1. Olkoon BE kolmion ABD korkeus, CF kolmion ACD korkeus. Koska kolmioiden pinta-alat ovat tehtävän ehdon mukaan yhtä suuret ja niillä on yhteinen kanta AD, niin näiden kolmioiden korkeudet ovat yhtä suuret. BE = CF.

2. BE, CF ovat kohtisuorassa AD:hen nähden. Pisteet B ja C sijaitsevat samalla puolella linjaa AD. BE = CF. Siksi linja BC || ILMOITUS. (*)

3. Olkoon AL kolmion ACD korkeus, BK kolmion BCD korkeus. Koska kolmioiden pinta-alat ovat tehtävän ehdon mukaan yhtä suuret ja niillä on yhteinen kanta CD, niin näiden kolmioiden korkeudet ovat yhtä suuret. AL = BK.

4. AL ja BK ovat kohtisuorassa CD:tä vastaan. Pisteet B ja A sijaitsevat suoran CD:n samalla puolella. AL = BK. Siksi linja AB || CD (**)

5. Ehdot (*), (**) tarkoittavat, että ABCD on suuntaviiva.

Vastaus. Todistettu. ABCD on suuntaviiva.

Tehtävä 3.

Suunnikkaan ABCD sivuille BC ja CD on merkitty pisteet M ja H siten, että janat BM ja HD leikkaavat pisteessä O;<ВМD = 95 о,