Mis on täisnurk 2. Sirge, nüri, terav ja arenenud nurk. Kuidas märkida teravnurka

Alustuseks määratleme, mis on nurk. Esiteks, see on Teiseks, selle moodustavad kaks kiirt, mida nimetatakse nurga külgedeks. Kolmandaks tulevad viimased välja ühest punktist, mida nimetatakse nurga tipuks. Nende märkide põhjal saame teha definitsiooni: nurk on geomeetriline kujund, mis koosneb kahest ühest punktist (tipust) väljuvast kiirest (küljest).

Neid klassifitseeritakse kraadide, üksteise ja ringi suhtes paiknemise järgi. Alustame nurkade tüüpidega nende suuruse järgi.

Neid on mitut sorti. Vaatame iga tüüpi lähemalt.

Nurka on ainult neli peamist tüüpi – paremnurk, nürinurk, teravnurk ja arenenud nurk.

Otse

See näeb välja selline:

Selle kraadimõõt on alati 90 o, teisisõnu täisnurk on 90 kraadine nurk. Need on ainult nelinurkadel nagu ruut ja ristkülik.

Nüri

See näeb välja selline:

Kraadimõõt on alati suurem kui 90 kraadi, kuid väiksem kui 180 kraadi. See võib esineda sellistes nelinurkades nagu romb, suvaline rööpkülik, hulknurkadena.

Vürtsikas

See näeb välja selline:

Teravnurga kraadimõõt on alati väiksem kui 90°. See esineb kõigis nelinurkades, välja arvatud ruut ja suvaline rööpkülik.

kasutusele võetud

Laiendatud nurk näeb välja selline:

See ei esine hulknurkades, kuid see pole vähem oluline kui kõik teised. Sirgenurk on geomeetriline kujund, mille kraadimõõt on alati 180º. Sellele saab tugineda, tõmmates selle tipust mis tahes suunas ühe või mitu kiirt.

On mitmeid teisi sekundaarseid nurkade tüüpe. Neid koolides ei õpita, kuid nende olemasolust on vaja vähemalt teada. On ainult viis teist tüüpi nurki:

1. Null

See näeb välja selline:

Juba nurga nimi räägib selle suurusest. Selle sisepind on 0 o ja küljed asetsevad üksteise peal, nagu on näidatud joonisel.

2. Kaldus

Kaldus võib olla sirge ja nüri ning terav ja arenenud nurk. Selle põhitingimus on, et see ei tohiks olla võrdne 0 o, 90 o, 180 o, 270 o.

3. Kumer

Kumerad on null-, parem-, nüri-, terav- ja arenenud nurgad. Nagu te juba aru saite, on kumera nurga aste vahemikus 0 o kuni 180 o.

4. Mittekumer

Mittekumerad on nurgad, mille kraadimõõt on 181 o kuni 359 o (kaasa arvatud).

5. Täis

Nurk, mille mõõt on 360 kraadi, on täielik nurk.

Need on kõik tüüpi nurgad vastavalt nende suurusele. Nüüd kaaluge nende tüüpe üksteise suhtes lennuki asukoha järgi.

1. Täiendav

Need on kaks teravnurka, mis moodustavad ühe sirge, st. nende summa on 90 o.

2. Seotud

Külgnevad nurgad tekivad, kui kiir tõmmatakse mis tahes suunas läbi paigutatud, täpsemalt läbi selle tipu. Nende summa on 180 o.

3. Vertikaalne

Vertikaalsed nurgad tekivad siis, kui kaks sirget ristuvad. Nende kraadid on võrdsed.

Liigume nüüd ringi suhtes paiknevate nurkade tüüpide juurde. Neid on ainult kaks: keskne ja sissekirjutatud.

1. Kesk

Kesknurk on see nurk, mille tipp on ringi keskel. Selle kraadimõõt on võrdne külgede all oleva väiksema kaare kraadimõõduga.

2. Sissekirjutatud

Sissekirjutatud nurk on nurk, mille tipp asub ringil ja mille küljed seda lõikuvad. Selle kraadimõõt on võrdne poolega kaarest, millel see toetub.

Kõik on seotud nurkadega. Nüüd teate, et lisaks kõige kuulsamatele - teravatele, nüridele, sirgetele ja laialivalguvatele - on geomeetrias palju muud tüüpi neid.

Vaata pilti. (Joonis 1)

Riis. 1. Illustratsioon näiteks

Millised geomeetrilised kujundid on teile tuttavad?

Muidugi nägite, et pilt koosneb kolmnurkadest ja ristkülikutest. Mis sõna on mõlema kuju nimes peidus? See sõna on nurk (joon. 2).

Riis. 2. Nurga määramine

Täna õpime, kuidas joonistada täisnurka.

Selle nurga nimes on juba sõna "sirge". Täisnurga õigeks kujutamiseks vajame ruutu. (Joonis 3)

Riis. 3. Ruut

Ruut ise on juba täisnurgaga. (Joonis 4)

Riis. 4. Täisnurk

Ta aitab meil seda geomeetrilist kujundit kujutada.

Joonise õigeks kujutamiseks peame kinnitama ruudu tasapinnale (1), tegema selle külgedele ringi (2), nimetama nurga tipu (3) ja kiirte (4).

Teeme kindlaks, kas saadaolevate nurkade hulgas on sirgeid (joonis 5). Selles aitab meid ruut.

Riis. 5. Illustratsioon näiteks

Leiame ruudu õige nurga ja rakendame selle olemasolevatele nurkadele (joon. 6).

Riis. 6. Illustratsioon näiteks

Näeme, et täisnurk langes kokku jõuvõtuvõlli nurgaga. See tähendab, et jõuvõtuvõlli nurk on õige. Teeme sama toimingu uuesti. (Joonis 7)

Riis. 7. Illustratsioon näiteks

Näeme, et meie ruudu täisnurk ei langenud kokku COD nurgaga. See tähendab, et nurk COD ei ole täisnurk. Veelkord rakendame ruudu täisnurka nurgale AOT. (Joonis 8)

Riis. 8. Illustratsioon näiteks

Näeme, et AOT nurk on palju suurem kui täisnurk. See tähendab, et AOT nurk ei ole täisnurk.

Selles õppetükis õppisime ruudu abil täisnurka looma.

Sõna "nurk" andis nime paljudele asjadele, aga ka geomeetrilistele kujunditele: ristkülik, kolmnurk, ruut, millega saab joonistada täisnurga.

Kolmnurk on geomeetriline kujund, mis koosneb kolmest küljest ja kolmest nurgast. Kolmnurka, millel on täisnurk, nimetatakse täisnurkseks kolmnurgaks.

Vaata pilti. (Joonis 1)

Riis. 1. Illustratsioon näiteks

Millised geomeetrilised kujundid on teile tuttavad?

Muidugi nägite, et pilt koosneb kolmnurkadest ja ristkülikutest. Mis sõna on mõlema kuju nimes peidus? See sõna on nurk (joon. 2).

Riis. 2. Nurga määramine

Täna õpime, kuidas joonistada täisnurka.

Selle nurga nimes on juba sõna "sirge". Täisnurga õigeks kujutamiseks vajame ruutu. (Joonis 3)

Riis. 3. Ruut

Ruut ise on juba täisnurgaga. (Joonis 4)

Riis. 4. Täisnurk

Ta aitab meil seda geomeetrilist kujundit kujutada.

Joonise õigeks kujutamiseks peame kinnitama ruudu tasapinnale (1), tegema selle külgedele ringi (2), nimetama nurga tipu (3) ja kiirte (4).

Teeme kindlaks, kas saadaolevate nurkade hulgas on sirgeid (joonis 5). Selles aitab meid ruut.

Riis. 5. Illustratsioon näiteks

Leiame ruudu õige nurga ja rakendame selle olemasolevatele nurkadele (joon. 6).

Riis. 6. Illustratsioon näiteks

Näeme, et täisnurk langes kokku jõuvõtuvõlli nurgaga. See tähendab, et jõuvõtuvõlli nurk on õige. Teeme sama toimingu uuesti. (Joonis 7)

Riis. 7. Illustratsioon näiteks

Näeme, et meie ruudu täisnurk ei langenud kokku COD nurgaga. See tähendab, et nurk COD ei ole täisnurk. Veelkord rakendame ruudu täisnurka nurgale AOT. (Joonis 8)

Riis. 8. Illustratsioon näiteks

Näeme, et AOT nurk on palju suurem kui täisnurk. See tähendab, et AOT nurk ei ole täisnurk.

Selles õppetükis õppisime ruudu abil täisnurka looma.

Sõna "nurk" andis nime paljudele asjadele, aga ka geomeetrilistele kujunditele: ristkülik, kolmnurk, ruut, millega saab joonistada täisnurga.

Kolmnurk on geomeetriline kujund, mis koosneb kolmest küljest ja kolmest nurgast. Kolmnurka, millel on täisnurk, nimetatakse täisnurkseks kolmnurgaks.

Nurk on peamine geomeetriline kujund, mida analüüsime kogu teema jooksul. Definitsioonid, seadistusmeetodid, nurga märkimine ja mõõtmine. Analüüsime joonistel nurkade valimise põhimõtteid. Kogu teooria on illustreeritud ja sellel on suur hulk visuaalseid jooniseid.

Definitsioon 1

Nurk- lihtne oluline kujund geomeetrias. Nurk sõltub otseselt kiire definitsioonist, mis omakorda koosneb punkti, sirge ja tasandi põhimõistest. Põhjalikuks uurimiseks tuleb teemadesse süveneda sirgjoon tasapinnal – vajalik info Ja lennuk - vajalik teave.

Nurga mõiste algab sellel tasapinnal kujutatud punkti, tasandi ja sirge mõistetega.

2. definitsioon

Antud joon a tasapinnal. Tähistage sellel mõnda punkti O. Joone on punktiga jagatud kaheks osaks, millest igaühel on nimi Ray, ja punkt O on tala algus.

Ehk siis tala või pooljoon - see on osa sirgest, mis koosneb antud sirge punktidest, mis asuvad samal pool alguspunkti, st punkti O.

Tala tähistus on lubatud kahes variandis: üks väiketäht või kaks ladina tähestiku suurtähte. Kahe tähega tähistamisel on tala nimi, mis koosneb kahest tähest. Vaatame joonist lähemalt.

Liigume edasi nurga määratlemise kontseptsiooni juurde.

3. määratlus

Nurk- see on antud tasapinnal asuv kujund, mille moodustavad kaks mittevastavat kiirt, millel on ühine päritolu. külgmine nurk on tala tipp– pidude ühine algus.

On juhtumeid, kui nurga küljed võivad toimida sirgjoonena.

4. definitsioon

Kui nurga mõlemad küljed asuvad samal sirgel või selle küljed on ühe sirge täiendavad pooljooned, nimetatakse sellist nurka. kasutusele võetud.

Alloleval joonisel on kujutatud lame nurk.

Punkt sirgel on nurga tipp. Enamasti tähistatakse seda punktiga O.

Nurka tähistatakse matemaatikas märgiga "∠". Kui nurga küljed on tähistatud väikese ladina keelega, kirjutatakse nurga õigeks määratlemiseks tähed vastavalt külgedele vastavalt ritta. Kui kaks külge on tähistatud k ja h, siis nurk on tähistatud kui ∠ k h või ∠ h k .

Kui tähistus on suurtähtedega, on nurga külgedel vastavalt nimed O A ja O B. Sel juhul on nurgal kolme ladina tähestiku tähe nimetus, mis on kirjutatud järjest, keskel tipuga - ∠ A O B ja ∠ B O A . Kui nurkadel pole nimesid ega tähti, on tähistus numbrite kujul. Allpool on joonis, kus nurgad on näidatud erineval viisil.

Nurk jagab tasapinna kaheks osaks. Kui nurk ei ole välja töötatud, siis ühel tasandi osal on nimi sisenurga piirkond, teine - välisnurga ala. Allpool on pilt, mis selgitab, millised tasapinna osad on välised ja millised sisemised.

Tasapinnal sirgnurgaga jagamisel loetakse selle mis tahes osa sirgnurga sisemuseks.

Nurga sisepind on element, mis teenib nurga teist määratlust.

Definitsioon 5

nurk nimetatakse geomeetrilist kujundit, mis koosneb kahest mittekattuvatest kiirest, millel on ühine päritolu ja vastav nurga sisepind.

See määratlus on eelmisest rangem, kuna sellel on rohkem tingimusi. Mõlemat definitsiooni eraldi käsitleda ei tasu, sest nurk on geomeetriline kujund, mis on teisendatud kahe ühest punktist väljuva kiirte abil. Kui on vaja sooritada toiminguid nurgaga, tähendab definitsioon kahe ühise päritoluga kiire ja sisemise piirkonna olemasolu.

Definitsioon 6

Kaks nurka nimetatakse seotud, kui on ühine külg ja ülejäänud kaks on üksteist täiendavad pooljooned või moodustavad sirge nurga.

Joonis näitab, et kõrvuti asetsevad nurgad täiendavad üksteist, kuna need on üksteise jätkud.

Definitsioon 7

Kaks nurka nimetatakse vertikaalne, kui ühe küljed on teise üksteist täiendavad pooljooned või teise külgede pikendused. Alloleval joonisel on kujutatud vertikaalsete nurkade kujutis.

Joonte ületamisel saadakse 4 paari külgnevaid ja 2 paari vertikaalseid nurki. Allpool on näidatud pildil.

Artiklis on toodud võrdsete ja ebavõrdsete nurkade määratlused. Analüüsime, millist nurka peetakse suureks, kumba väiksemaks ja muid nurga omadusi. Kaks numbrit loetakse võrdseks, kui need kattuvad täielikult. Sama omadus kehtib nurkade võrdlemisel.

Antud kaks nurka. Tuleb jõuda järeldusele, kas need nurgad on võrdsed või mitte.

On teada, et kahe nurga tipud ja esimese nurga külg kattuvad teise nurga mis tahes teise küljega. See tähendab, et täieliku kokkulangevuse korral, kui nurgad on üksteise peale asetatud, langevad antud nurkade küljed täielikult kokku, nurgad võrdne.

Võib juhtuda, et peale asetades ei pruugi külgi kombineerida, siis nurki ebavõrdne, väiksem millest koosneb teisest ja rohkem sisaldab täiesti teist nurka. Allpool on ebavõrdsed nurgad, mis pole üksteise peale asetamisel joondatud.

Arenenud nurgad on võrdsed.

Nurkade mõõtmine algab mõõdetud nurga külje ja selle sisemise piirkonna mõõtmisega, täites need ühiknurkadega, rakendatakse need üksteisele. On vaja loendada virnastatud nurkade arv, need määravad eelnevalt mõõdetud nurga suuruse.

Nurgaühikut saab väljendada mis tahes mõõdetava nurga all. Teaduses ja tehnoloogias kasutatakse üldtunnustatud mõõtühikuid. Nad on spetsialiseerunud teistele tiitlitele.

Kõige sagedamini kasutatav mõiste kraadi.

Definitsioon 8

üks kraad nimetatakse nurka, millel on sada kaheksakümnendik sirgendatud nurgast.

Kraadi standardtähis on "°", siis üks kraad on 1°. Seetõttu koosneb sirgnurk 180 sellisest nurgast, mis koosnevad ühest kraadist. Kõik saadaolevad nurgad on tihedalt üksteise külge virnastatud ja eelmise küljed joondatakse järgmisega.

On teada, et kraadide arv nurgas on sama nurga mõõt. Välja töötatud nurgas on oma koostises 180 virnastatud nurka. Alloleval joonisel on näited, kus nurk on seatud 30 korda, see tähendab üks kuuendik laiendatud ja 90 korda, see tähendab pool.

Nurgamõõtmiste täpseks määramiseks kasutatakse minuteid ja sekundeid. Neid kasutatakse siis, kui nurga väärtus ei ole täisarv kraadi tähistus. Sellised kraadiosad võimaldavad teil teha täpsemaid arvutusi.

Definitsioon 9

minut nimetatakse üheks kuuekümnendikuks kraadiks.

Definitsioon 10

teiseks helistas üks kuuekümnendik minutist.

Kraad sisaldab 3600 sekundit. Minutid tähistavad """ ja sekundid """. Määramine toimub:

1°=60"=3600"", 1"=(160)°, 1"=60"", 1""=(160)"=(13600)°,

ja nurga 17 kraadi 3 minutit ja 59 sekundit tähis on 17° 3 "59"".

Definitsioon 11

Toome näite nurga astme mõõtmise kohta, mis on võrdne 17 ° 3 "59" ". Kirjel on teine vorm 17 + 3 60 + 59 3600 \u003d 17 239 3600.

Nurkade täpseks mõõtmiseks kasutatakse mõõteseadet, näiteks protraktorit. Nurga ∠ A O B ja selle kraadi mõõtmisel 110 kraadi kasutatakse mugavamat tähistust ∠ A O B \u003d 110 °, mis on kirjas "Nurk A O B on võrdne 110 kraadiga".

Geomeetrias kasutatakse nurgamõõtu vahemikust (0 , 180 ] ja trigonomeetrias nimetatakse suvalist kraadimõõtu pöördenurgad. Nurkade väärtust väljendatakse alati reaalarvuna. Täisnurk on nurk, millel on 90 kraadi. Terav nurk on nurk, mis on väiksem kui 90 kraadi, ja nüri- rohkem.

Teravnurka mõõdetakse vahemikus (0, 90) ja nürinurka - (90, 180) . Allpool on selgelt näidatud kolme tüüpi nurki.

Mis tahes nurga mis tahes kraadimõõt on sama väärtus. Suuremal nurgal on vastavalt suurem kraadimõõt kui väiksemal. Ühe nurga kraadimõõt on kõigi saadaolevate sisenurkade kraadimõõtude summa. Alloleval joonisel on kujutatud nurka AOB, mis koosneb nurkadest AOC, COD ja DOB. Üksikasjalikult näeb see välja järgmine: ∠ A O B = ∠ A O C + ∠ D O B = 45 ° + 30 ° + 60 ° = 135 °.

Selle põhjal võib järeldada, summa kõik külgnevad nurgad on 180 kraadi sest nad kõik moodustavad laiendatud nurga.

Sellest järeldub, et mis tahes vertikaalsed nurgad on võrdsed. Kui vaadelda seda näitega, saame, et nurk A O B ja C O D on vertikaalsed (joonisel), siis loetakse nurkade paarid A O B ja B O C, C O D ja B O C kõrvuti asetsevateks. Sellisel juhul loetakse võrdsust ∠ A O B + ∠ B O C = 180 ° koos ∠ C O D + ∠ B O C = 180 ° -ga üheselt tõeseks. Seega saame, et ∠ A O B = ∠ C O D . Allpool on näide vertikaalpüükide kujutisest ja tähistusest.

Lisaks kraadidele, minutitele ja sekunditele kasutatakse teist mõõtühikut. Seda nimetatakse radiaan. Kõige sagedamini võib seda leida trigonomeetriast hulknurkade nurkade määramisel. Mida nimetatakse radiaaniks.

Definitsioon 12

Üks radiaannurk nimetatakse kesknurgaks, mille ringi raadius on võrdne kaare pikkusega.

Joonisel on radiaan kujutatud ringina, kus on keskpunkt, mida tähistab punkt, mille kaks punkti ringil on ühendatud ja teisendatud raadiusteks O A ja O B. Definitsiooni järgi on see kolmnurk A O B võrdkülgne, mis tähendab et kaare A B pikkus võrdub raadiuste O B ja Oh A pikkustega.

Nurga tähistus on "rad". See tähendab, et kirje 5 radiaanis on lühendatud kui 5 rad. Mõnikord võite leida nimetuse, millel on nimi pi. Radiaanid ei sõltu antud ringi pikkusest, kuna kujunditel on mingi nurk ja selle kaar, mille keskpunkt asub antud nurga tipus. Neid peetakse sarnasteks.

Radiaanidel on sama tähendus kui kraadidel, erinevus on ainult nende suurusjärgus. Selle kindlaksmääramiseks on vaja kesknurga kaare arvutatud pikkus jagada selle raadiuse pikkusega.

Praktikas kasutavad nad teisendada kraadid radiaanideks ja radiaanid kraadideks probleemide lihtsamaks lahendamiseks. Täpsustatud artiklis on teave kraadimõõdu ja radiaani vahelise seose kohta, kus saate üksikasjalikult uurida tõlkeid kraadilt radiaanile ja vastupidi.

Kaarte visuaalseks ja mugavaks kujutamiseks kasutatakse nurki, jooniseid. Alati ei ole võimalik konkreetset nurka, kaare või nime õigesti kujutada ja tähistada. Võrdsed nurgad on tähistatud sama arvu kaare kujul ja ebavõrdsed erinevate kaare kujul. Joonis näitab teravate, võrdsete ja ebavõrdsete nurkade õiget tähistamist.

Kui märgistada on vaja rohkem kui 3 nurka, kasutatakse spetsiaalseid kaare sümboleid, nagu lainelised või sakilised. See ei oma nii suurt tähtsust. Alloleval joonisel on näidatud nende tähistus.

Nurkade tähistamine peaks olema lihtne, et mitte segada muid väärtusi. Ülesande lahendamisel on soovitatav valida ainult lahendamiseks vajalikud nurgad, et mitte risustada kogu joonist. See ei sega lahendust ja tõestust ning annab joonisele ka esteetilise välimuse.

Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter

Igal nurgal, sõltuvalt selle suurusest, on oma nimi:

Nurga vaade	Suurus kraadides	Näide
Vürtsikas	Vähem kui 90°
Otse	Võrdne 90°-ga. Joonisel tähistatakse täisnurka tavaliselt nurga ühest servast teise tõmmatud sümboliga.
Nüri	Suurem kui 90°, kuid väiksem kui 180°
kasutusele võetud	Võrdub 180° Sirgenurk on võrdne kahe täisnurga summaga ja täisnurk on pool sirgnurgast.
Kumer	Üle 180°, kuid alla 360°
Täis	Võrdub 360°

Kaks nurka nimetatakse seotud, kui neil on üks külg ühine ja ülejäänud kaks külge moodustavad sirge:

nurgad MOP Ja pon külgnevad alates tala OP- ühine pool ja kaks teist külge - OM Ja PEAL moodustage sirgjoon.

Külgnevate nurkade ühiskülge nimetatakse kaldus sirgeks, millel asuvad kaks ülejäänud külge, ainult siis, kui külgnevad nurgad ei ole üksteisega võrdsed. Kui külgnevad nurgad on võrdsed, on nende ühine külg risti.

Külgnevate nurkade summa on 180°.

Kaks nurka nimetatakse vertikaalne, kui ühe nurga küljed täiendavad sirgeid teise nurga külgi:

Nurgad 1 ja 3, samuti nurgad 2 ja 4 on vertikaalsed.

Vertikaalsed nurgad on võrdsed.

Tõestame, et vertikaalsed nurgad on võrdsed:

∠1 ja ∠2 summa on sirgnurk. Ja ∠3 ja ∠2 summa on sirgnurk. Seega on need kaks summat võrdsed:

∠1 + ∠2 = ∠3 + ∠2.

Selles võrdsuses on vasakul ja paremal sama termin - ∠2. Võrdsust ei rikuta, kui see vasak- ja parempoolne termin on välja jäetud. Siis saame.