Parallelogramm ja selle pindala. Arvutame nurkade summa ja rööpküliku pindala: omadused ja märgid. Külgnevate nurkade omadused

Paralleelogrammi ala

1. teoreem

Rööpküliku pindala on defineeritud kui selle külje pikkuse korrutis sellele tõmmatud kõrgusega.

kus $a$ on rööpküliku külg, $h$ on selle külje kõrgus.

Tõestus.

Olgu meile antud rööpkülik $ABCD$ $AD=BC=a$. Joonistame kõrgused $DF$ ja $AE$ (joonis 1).

Pilt 1.

On ilmne, et arv $FDAE$ on ristkülik.

\[\angle BAE=(90)^0-\nurk A,\ \] \[\angle CDF=\nurk D-(90)^0=(180)^0-\nurk A-(90)^0 =(90)^0-\angle A=\angle BAE\]

Seega, kuna $CD=AB,\ DF=AE=h$, $\kolmnurk BAE=\kolmnurk CDF$, siis $I$ võrra kolmnurga võrdsuse test. Siis

Nii et vastavalt ristküliku pindala teoreemile:

Teoreem on tõestatud.

2. teoreem

Rööpküliku pindala on määratletud kui selle külgnevate külgede pikkuse korrutis nende külgede vahelise nurga siinusega.

Matemaatiliselt saab selle kirjutada järgmiselt

kus $a,\b$ on rööpküliku küljed, $\alpha $ on nendevaheline nurk.

Tõestus.

Olgu meile antud rööpkülik $ABCD$, mille $BC=a,\ CD=b,\ \angle C=\alpha $. Joonistage kõrgus $DF=h$ (joonis 2).

Joonis 2.

Siinuse definitsiooni järgi saame

Seega

Seega, teoreemi $1$ järgi:

Teoreem on tõestatud.

Kolmnurga pindala

3. teoreem

Kolmnurga pindala on defineeritud kui pool selle külje pikkuse ja sellele tõmmatud kõrguse korrutisest.

Matemaatiliselt saab selle kirjutada järgmiselt

kus $a$ on kolmnurga külg, $h$ on selle külje kõrgus.

Tõestus.

Joonis 3

Nii et teoreemi $1$ järgi:

Teoreem on tõestatud.

4. teoreem

Kolmnurga pindala on defineeritud kui pool selle külgnevate külgede pikkuse korrutisest nende külgede vahelise nurga siinus.

Matemaatiliselt saab selle kirjutada järgmiselt

kus $a,\b$ on kolmnurga küljed, $\alpha $ on nendevaheline nurk.

Tõestus.

Olgu meile antud kolmnurk $ABC$, mille $AB=a$. Joonistage kõrgus $CH=h$. Ehitame selle kuni rööpkülikuni $ABCD$ (joonis 3).

Ilmselgelt $\triangle ACB=\kolmnurk CDB$ $I$ võrra. Siis

Nii et teoreemi $1$ järgi:

Teoreem on tõestatud.

Trapetsi piirkond

5. teoreem

Trapetsi pindala on defineeritud kui pool selle aluste pikkuste korrutisest selle kõrgusega.

Matemaatiliselt saab selle kirjutada järgmiselt

Tõestus.

Olgu meile antud trapets $ABCK$, kus $AK=a,\ BC=b$. Joonistame sellesse kõrgused $BM=h$ ja $KP=h$ ning diagonaali $BK$ (joonis 4).

Joonis 4

Teoreemi järgi $3$ saame

Teoreem on tõestatud.

Ülesande näide

Näide 1

Leidke võrdkülgse kolmnurga pindala, kui selle külje pikkus on $a.$

Lahendus.

Kuna kolmnurk on võrdkülgne, on kõik selle nurgad võrdsed $(60)^0$.

Siis on meil teoreemi $4$ järgi

Vastus:$\frac(a^2\sqrt(3))(4)$.

Pange tähele, et selle ülesande tulemust saab kasutada mis tahes antud küljega võrdkülgse kolmnurga pindala leidmiseks.

Nagu eukleidilises geomeetrias, on tasapindade teooria põhielemendid punkt ja sirge, nii on rööpkülik kumerate nelinurkade üks võtmekujundeid. Sellest, nagu kuulist niidid, voolavad mõisted "ristkülik", "ruut", "romb" ja muud geomeetrilised suurused.

Kokkupuutel

Rööpküliku definitsioon

kumer nelinurk, mis koosneb segmentidest, mille iga paar on paralleelne, on geomeetrias tuntud rööpkülikuna.

Klassikaline rööpkülik näeb välja nelinurk ABCD. Külgi nimetatakse alusteks (AB, BC, CD ja AD), mis tahes tipust selle tipu vastasküljele tõmmatud risti nimetatakse kõrguseks (BE ja BF), sirgeid AC ja BD on diagonaalid.

Tähelepanu! Ruut, romb ja ristkülik on rööpküliku erijuhud.

Küljed ja nurgad: suhte omadused

Põhiomadused üldiselt eelnevalt määratud nimetusega, on need tõestatud teoreemiga. Need omadused on järgmised:

1. Vastasküljed on paarikaupa identsed.
2. Üksteise vastas olevad nurgad on paarides võrdsed.

Tõestus: vaatleme ∆ABC ja ∆ADC, mis saadakse nelinurga ABCD jagamisel sirgega AC. ∠BCA=∠CAD ja ∠BAC=∠ACD, kuna AC on neile ühine (vastavalt BC||AD ja AB||CD vertikaalnurgad). Sellest järeldub: ∆ABC = ∆ADC (teine ​​kolmnurkade võrdsuse kriteerium).

Lõigud AB ja BC ∆ABC-s vastavad paarikaupa joontele CD ja AD ∆ADC-s, mis tähendab, et need on identsed: AB = CD, BC = AD. Seega ∠B vastab ∠D-le ja need on võrdsed. Kuna ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD, mis on samuti paarides identsed, siis ∠A = ∠C. Kinnistu on tõendatud.

Figuuri diagonaalide omadused

Peamine omadus need rööpkülikujooned: lõikepunkt poolitab need.

Tõestus: olgu m E joonise ABCD diagonaalide AC ja BD lõikepunkt. Need moodustavad kaks proportsionaalset kolmnurka – ∆ABE ja ∆CDE.

AB = CD, kuna need on vastandlikud. Vastavalt joontele ja sekantidele on ∠ABE = ∠CDE ja ∠BAE = ∠DCE.

Teise võrdusmärgi järgi ∆ABE = ∆CDE. See tähendab, et elemendid ∆ABE ja ∆CDE on: AE = CE, BE = DE ja pealegi on need AC ja BD proportsionaalsed osad. Kinnistu on tõendatud.

Külgnevate nurkade omadused

Külgnevate külgede nurkade summa on 180°, kuna need asuvad paralleelsete joonte ja sekanti samal küljel. Nelinurga ABCD puhul:

∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º

Poolitaja omadused:

1. , ühele küljele langenud, on risti;
2. vastastippudel on paralleelsed poolitajad;
3. poolitaja joonestamisel saadud kolmnurk on võrdhaarne.

Rööpküliku tunnusjoonte määramine teoreemi abil

Selle joonise omadused tulenevad selle põhiteoreemist, mis kõlab järgmiselt: nelinurka peetakse rööpkülikuks juhul, kui selle diagonaalid lõikuvad ja see punkt jagab need võrdseteks segmentideks.

Tõestus: nelinurga ABCD sirged AC ja BD lõikuvad punktis t. E. Kuna ∠AED = ∠BEC ja AE+CE=AC BE+DE=BD, siis ∆AED = ∆BEC (kolmnurkade esimese võrdusmärgi järgi). See tähendab, et ∠EAD = ∠EKB. Need on ka joonte AD ja BC sekanti AC sisemised ristumisnurgad. Seega paralleelsuse definitsiooni järgi - AD || eKr. Samuti tuletatakse ridade BC ja CD sarnane omadus. Teoreem on tõestatud.

Figuuri pindala arvutamine

Selle joonise pindala leitud mitmel viisilüks lihtsamaid: kõrguse ja aluse korrutamine, millele see tõmmatakse.

Tõestus: Joonistage tippudest B ja C ristid BE ja CF. ∆ABE ja ∆DCF on võrdsed, kuna AB = CD ja BE = CF. ABCD on võrdne ristkülikuga EBCF, kuna need koosnevad ka proportsionaalsetest arvudest: S ABE ja S EBCD, samuti S DCF ja S EBCD. Sellest järeldub, et selle geomeetrilise kujundi pindala on sama, mis ristküliku pindala:

S ABCD = S EBCF = BE × BC = BE × AD.

Rööpküliku pindala üldvalemi määramiseks tähistame kõrgust kui hb, ja külg b. Vastavalt:

Muud võimalused ala leidmiseks

Pindalaarvutused läbi rööpküliku külgede ja nurga, mille nad moodustavad, on teine ​​teadaolev meetod.

,

Spr-ma - pindala;

a ja b on selle küljed

α - segmentide a ja b vaheline nurk.

See meetod põhineb praktiliselt esimesel, kuid juhul, kui see pole teada. lõikab alati ära täisnurkse kolmnurga, mille parameetrid leitakse trigonomeetriliste identiteetide abil, st . Suhte teisendades saame . Esimese meetodi võrrandis asendame kõrguse selle tootega ja saame tõendi selle valemi kehtivuse kohta.

Rööpküliku ja nurga diagonaalide kaudu mille nad lõikuvad loovad, leiate ka ala.

Tõestus: AC ja BD lõikuvad neli kolmnurka: ABE, BEC, CDE ja AED. Nende summa on võrdne selle nelinurga pindalaga.

Kõigi nende ∆ pindala saab leida avaldisest , kus a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB. Kuna , siis kasutatakse arvutustes ühte siinuse väärtust. See on . Kuna AE+CE=AC= d 1 ja BE+DE=BD= d 2 , väheneb pindalavalem järgmiselt:

.

Rakendus vektoralgebras

Selle nelinurga koostisosade omadused on leidnud rakendust vektoralgebras, nimelt: kahe vektori liitmine. Rööpküliku reegel ütleb, et kui antud vektoridJaMitteon kollineaarsed, siis on nende summa võrdne selle joonise diagonaaliga, mille alused vastavad nendele vektoritele.

Tõestus: suvaliselt valitud algusest - see tähendab umbes. - ehitame vektoreid ja . Järgmiseks ehitame rööpküliku OASV, kus lõigud OA ja OB on küljed. Seega asub OS vektoril või summal.

Rööpküliku parameetrite arvutamise valemid

Identiteedid antakse järgmistel tingimustel:

1. a ja b, α - küljed ja nendevaheline nurk;
2. d 1 ja d 2, γ - diagonaalid ja nende lõikepunktis;
3. h a ja h b - külgedele a ja b langetatud kõrgused;

Parameeter	Valem
Külgede leidmine
piki diagonaale ja nendevahelise nurga koosinust
diagonaalselt ja külili
läbi kõrguse ja vastastipu
Diagonaalide pikkuse leidmine
külgedel ja nende vahel oleva ülaosa suurus
mööda külgi ja ühte diagonaalidest	 Järeldus Rööpkülikut kui geomeetria üht võtmekuju kasutatakse elus, näiteks ehituses objekti pindala arvutamisel või muudel mõõtmistel. Seetõttu võivad teadmised selle erinevate parameetrite eristavate tunnuste ja meetodite kohta olla kasulikud igal ajal elus.

Selle teema ülesandeid lahendades lisaks põhiomadused rööpkülik ja vastavad valemid, võite meeles pidada ja rakendada järgmist:

1. Rööpküliku sisenurga poolitaja lõikab sellest ära võrdhaarse kolmnurga
2. Rööpküliku ühe küljega külgnevate sisenurkade poolitajad on üksteisega risti
3. Rööpküliku vastastikustest sisenurkadest lähtuvad poolitajad, mis on üksteisega paralleelsed või asuvad ühel sirgel
4. Rööpküliku diagonaalide ruutude summa on võrdne selle külgede ruutude summaga
5. Rööpküliku pindala on pool diagonaalide korrutisest nendevahelise nurga siinuse võrra.

Vaatleme ülesandeid, mille lahendamisel neid omadusi kasutatakse.

Ülesanne 1.

Rööpküliku ABCD nurga C poolitaja lõikab külge AD punktis M ja külje AB jätkumist punktist A punktis A punktis E. Leidke rööpküliku ümbermõõt, kui AE \u003d 4, DM \u003d 3.

Lahendus.

1. Kolmnurga CMD võrdhaarne. (Kinnisvara 1). Seetõttu CD = MD = 3 cm.

2. Kolmnurk EAM on võrdhaarne.
Seetõttu AE = AM = 4 cm.

3. AD = AM + MD = 7 cm.

4. Ümbermõõt ABCD = 20 cm.

Vastus. 20 cm

2. ülesanne.

Diagonaalid on tõmmatud kumeras nelinurgas ABCD. Teatavasti on kolmnurkade ABD, ACD, BCD pindalad võrdsed. Tõesta, et antud nelinurk on rööpkülik.

Lahendus.

1. Olgu BE kolmnurga ABD kõrgus, CF kolmnurga ACD kõrgus. Kuna vastavalt ülesande tingimusele on kolmnurkade pindalad võrdsed ja neil on ühine alus AD, siis on nende kolmnurkade kõrgused võrdsed. BE = CF.

2. BE, CF on risti AD-ga. Punktid B ja C asuvad samal pool joont AD. BE = CF. Seetõttu joon BC || AD. (*)

3. Olgu AL kolmnurga ACD kõrgus, BK kolmnurga BCD kõrgus merepinnast. Kuna vastavalt ülesande tingimusele on kolmnurkade pindalad võrdsed ja neil on ühine alus CD, siis on nende kolmnurkade kõrgused võrdsed. AL = BK.

4. AL ja BK on risti CD-ga. Punktid B ja A asuvad sirge CD samal küljel. AL = BK. Seetõttu joon AB || CD (**)

5. Tingimused (*), (**) viitavad sellele, et ABCD on rööpkülik.

Vastus. Tõestatud. ABCD on rööpkülik.

3. ülesanne.

Rööpküliku ABCD külgedele BC ja CD on märgitud vastavalt punktid M ja H nii, et lõigud BM ja HD lõikuvad punktis O;<ВМD = 95 о,