Trougao je geometrijski broj sastavljen od tri segmenta koji spajaju tri tačke koje ne leže na istoj pravoj. Tačke koje formiraju trougao nazivaju se njegove tačke, a segmenti su jedan pored drugog.

U zavisnosti od vrste trougla (pravougaoni, jednobojni, itd.) možete izračunati stranu trougla na različite načine, u zavisnosti od ulaznih podataka i uslova zadatka.

Brza navigacija za članak

Za izračunavanje stranica pravokutnog trokuta koristi se Pitagorina teorema prema kojoj je kvadrat hipotenuze jednak zbroju kvadrata kateta.

Ako krakove označimo sa "a" i "b", a hipotenuzu sa "c", tada se mogu pronaći stranice sa sljedećim formulama:

Ako su oštri uglovi pravokutnog trokuta (a i b) poznati, njegove stranice se mogu naći sa sljedećim formulama:

izrezani trougao

Trokut se naziva jednakostranični trokut u kojem su obje strane iste.

Kako pronaći hipotenuzu u dva kraka

Ako je slovo "a" identično istoj stranici, "b" je osnova, "b" je ugao nasuprot baze, "a" je susjedni ugao, sljedeće formule mogu se koristiti za izračunavanje stranica:

Dva ugla i strana

Ako su poznata jedna stranica (c) i dva ugla (a i b) bilo kojeg trokuta, za izračunavanje preostalih stranica koristi se sinusna formula:

Morate pronaći treću vrijednost y = 180 - (a + b) jer

zbir svih uglova trougla je 180°;

Dvije strane i ugao

Ako su poznate dvije strane trokuta (a i b) i ugao između njih (y), za izračunavanje treće strane može se koristiti kosinusna teorema.

Kako odrediti obim pravokutnog trougla

Trouglasti trougao je trougao, od kojih je jedan 90 stepeni, a druga dva su oštra. proračun perimetar takav trougao zavisno od količine poznatih informacija o tome.

Trebaće ti

• U zavisnosti od prilike, veštine 2 od tri strane trougla, kao i jednog od njegovih oštrih uglova.

instrukcije

prvo Metoda 1. Ako su poznate sve tri stranice trougao Zatim, bilo okomito ili ne trouglasto, perimetar se izračunava kao: P = A + B + C, gdje je moguće, c je hipotenuza; a i b su noge.

sekunda Metoda 2.

Ako pravougaonik ima samo dvije stranice, onda koristeći Pitagorinu teoremu, trougao može se izračunati pomoću formule: P = v (a2 + b2) + a + b ili P = v (c2 - b2) + b + c.

treće Metod 3. Neka je hipotenuza c i oštar ugao? Za pravougaoni trokut biće moguće pronaći obim na ovaj način: P = (1 + sin?

četvrto Metoda 4. Kažu da je u pravokutnom trouglu dužina jedne noge jednaka a i, naprotiv, ima oštar ugao. Zatim izračunajte perimetar Ovo trougaoće se izvesti prema formuli: P = a * (1 / tg?

1 / sin? + 1)

peti Metoda 5.

Trokut online izračunavanje

Neka naša noga vodi i bude uključena u nju, tada će se raspon izračunati kao: P = A * (1 / CTG + 1 / + 1 cos?)

Slični video zapisi

Pitagorina teorema je osnova svake matematike. Određuje odnos između stranica pravog trougla. Sada postoji 367 dokaza ove teoreme.

instrukcije

prvo Klasična školska formulacija Pitagorine teoreme zvuči ovako: kvadrat hipotenuze jednak je zbroju kvadrata kateta.

Da biste pronašli hipotenuzu u pravokutnom trokutu od dva Cateta, morate se okrenuti na kvadrat dužine kateta, sastaviti ih i uzeti kvadratni korijen zbira. U originalnoj formulaciji njegove izjave, tržište se zasniva na hipotenuzi, jednakoj zbroju kvadrata 2 kvadrata koje je proizvela Catete. Međutim, moderna algebarska formulacija ne zahtijeva uvođenje domenske reprezentacije.

sekunda Na primjer, pravokutni trokut čiji su kraci 7 cm i 8 cm.

Tada je, prema Pitagorinoj teoremi, kvadratna hipotenuza R + S = 49 + 64 = 113 cm Hipotenuza je jednaka kvadratnom korijenu od 113.

Uglovi pravouglog trougla

Rezultat je bio nerazuman broj.

treće Ako su trokuti katete 3 i 4, onda je hipotenuza = 25 = 5. Kada uzmete kvadratni korijen, dobijete prirodan broj. Brojevi 3, 4, 5 čine Pigagorinu trojku, pošto zadovoljavaju relaciju x? +Y? = Z, što je prirodno.

Drugi primjeri Pitagorine trojke su: 6, 8, 10; 5, 12, 13; 15, 20, 25; 9, 40, 41.

četvrto U ovom slučaju, ako su noge identične jedna drugoj, Pitagorina teorema se pretvara u primitivniju jednačinu. Na primjer, neka je takva ruka jednaka broju A i hipotenuza je definirana za C, a onda c? = Ap + Ap, C = 2A2, C = A? 2. U ovom slučaju, ne treba vam A.

peti Pitagorina teorema je poseban slučaj koji je veći od opće kosinusne teoreme, koja uspostavlja odnos između tri strane trougla za bilo koji ugao između njih.

Savjet 2: Kako odrediti hipotenuzu za noge i uglove

Hipotenuzom se naziva strana u pravouglom trouglu koja je nasuprot ugla od 90 stepeni.

instrukcije

prvo U slučaju dobro poznatih katetera, kao i oštrog kuta pravokutnog trokuta, hipotenuza može imati veličinu jednaku omjeru kraka i kosinusa / sinusa ovog kuta, ako je kut bio suprotan / e uključuje : H \u003d C1 (ili C2) / sin, H \u003d C1 (ili S2 ?) / cos ?. Primjer: Neka je ABC dat nepravilan trokut sa hipotenuzom AB i pravim uglom C.

Neka je B 60 stepeni, a A 30 stepeni. Dužina stabljike BC je 8 cm.Treba pronaći dužinu hipotenuze AB. Da biste to učinili, možete koristiti jednu od gore navedenih metoda: AB = BC / cos60 = 8 cm AB = BC / sin30 = 8 cm.

Hipotenuza je najduža stranica pravougaonika trougao. Nalazi se pod pravim uglom. Metoda za pronalaženje hipotenuze pravokutnika trougao zavisno od izvornih podataka.

instrukcije

prvo Ako su vam noge okomite trougao, zatim dužina hipotenuze pravokutnika trougao može se naći po Pitagorinom analogu - kvadrat dužine hipotenuze jednak je zbroju kvadrata dužina kateta: c2 = a2 + b2, gdje su a i b dužine kateta desnog trougao .

sekunda Ako je poznato i jedan od krakova je pod oštrim uglom, formula za pronalaženje hipotenuze ovisit će o prisutnosti ili odsutnosti pod određenim uglom u odnosu na poznatu nogu - susjedna (kota se nalazi blizu) ili vice obrnuto (suprotan slučaj se nalazi nego. V navedenog ugla jednak je razlomku hipotenuze kraka u kosinusnom kutu: a = a / cos; E, s druge strane, hipotenuza je ista kao i omjer sinusoidnih uglova: da = a / sin.

Slični video zapisi

Korisni savjeti
Ugaoni trokut čije su stranice povezane kao 3:4:5, nazvan egipatska delta, zbog činjenice da su ove figure naširoko koristili arhitekti starog Egipta.

Ovo je ujedno i najjednostavniji primjer Jeronovih trouglova, sa stranicama i površinom predstavljenim kao cijeli brojevi.

Trougao se naziva pravougaonik čiji je ugao 90°. Strana suprotna desnom uglu naziva se hipotenuza, a druga strana se naziva krakovi.

Ako želite pronaći kako se pravi pravokutni trokut formira nekim svojstvima pravilnih trokuta, odnosno činjenicom da je zbir oštrih uglova 90°, što se koristi, i činjenicom da je dužina suprotnog kraka polovina hipotenuze je 30°.

Brza navigacija za članak

izrezani trougao

Jedno od svojstava jednakog trougla je da su mu dva ugla ista.

Da biste izračunali ugao pravokutnog jednakostraničnog trokuta, morate znati da:

• Nije gori od 90°.
• Vrijednosti oštrih uglova određuju se formulom: (180 ° -90 °) / 2 = 45 °, tj.

  Uglovi α i β su 45°.

Ako je poznata vrijednost jednog od oštrih uglova poznata, drugi se može naći pomoću formule: β = 180º-90º-α ili α = 180º-90º-β.

Ovaj omjer se najčešće koristi ako je jedan od uglova 60° ili 30°.

Ključni koncepti

Zbir unutrašnjih uglova trougla je 180°.

Jer to je jedan nivo, dva ostaju oštri.

Izračunajte trougao na mreži

Ako želite da ih pronađete, morate znati da:

druge metode

Vrijednosti oštrog ugla pravokutnog trokuta mogu se izračunati iz srednje vrijednosti - linijom iz tačke na suprotnoj strani trokuta, a visina - prava je okomita povučena iz hipotenuze pod pravim kutom.

Neka se medijan proteže od desnog ugla do sredine hipotenuze, a h je visina. U ovom slučaju ispada da:

• sinα = b / (2 * s); sin β = a / (2 * s).
• cosα = a / (2 * s); cos β = b / (2 * s).
• sinα = h / b; sin β = h / a.

Dvije stranice

Ako su dužine hipotenuze i jedne od kateta poznate u pravokutnom trokutu ili s dvije strane, tada se za određivanje vrijednosti oštrih uglova koriste trigonometrijski identiteti:

• α=arcsin(a/c), β=arcsin(b/c).
• α=arcos(b/c), β=arcos(a/c).
• α = arktan (a / b), β = arktan (b / a).

Dužina pravouglog trougla

Površina i površina trougla

perimetar

Obim bilo kojeg trougla jednak je zbiru dužina triju stranica. Opća formula za pronalaženje trouglastog trougla je:

gdje je P obim trougla, a, b i c su njegove stranice.

Perimetar jednakog trougla može se naći uzastopnim kombinovanjem dužina njegovih stranica, ili množenjem dužine stranice sa 2 i dodavanjem dužine baze proizvodu.

Opća formula za pronalaženje ravnotežnog trougla izgledat će ovako:

gdje je P obim jednakog trougla, ali su ili b, b baza.

Perimetar jednakostraničnog trougla može se naći uzastopnim kombinovanjem dužina njegovih stranica ili množenjem dužine bilo koje stranice sa 3.

Opća formula za pronalaženje oboda jednakostraničnih trokuta izgledala bi ovako:

gdje je P obim jednakostraničnog trougla, a bilo koja od njegovih stranica.

region

Ako želite izmjeriti površinu trokuta, možete je uporediti sa paralelogramom. Razmotrimo trougao ABC:

Ako uzmemo isti trokut i popravimo ga tako da dobijemo paralelogram, dobićemo paralelogram iste visine i osnove kao i ovaj trokut:

U ovom slučaju, zajednička strana trokuta je presavijena duž dijagonale oblikovanog paralelograma.

Iz svojstava paralelograma. Poznato je da su dijagonale paralelograma uvijek podijeljene na dva jednaka trougla, tada je površina svakog trougla jednaka polovini raspona paralelograma.

Pošto je površina paralelograma proizvod visine njegove osnove, površina trokuta će biti polovina tog proizvoda. Dakle, za ΔABC površina će biti ista

Sada razmotrite pravougli trokut:

Dva identična pravougaona trokuta mogu se saviti u pravougaonik ako se naslanja na njih, što je svaka druga hipotenuza.

Budući da se površina pravokutnika poklapa s površinom susjednih stranica, površina ovog trokuta je ista:

Iz ovoga možemo zaključiti da je površina bilo kojeg pravokutnog trokuta jednaka umnošku kateta podijeljenih sa 2.

Iz ovih primjera možemo zaključiti da je površina svakog trokuta jednaka umnošku dužine, a visina je smanjena na osnovu podijeljenu sa 2.

Opća formula za pronalaženje površine trokuta bi izgledala ovako:

gdje je S površina trokuta, ali njegova osnova, ali visina pada na dno a.

Izgradnja bilo kojeg krova nije tako laka kao što se čini. A ako želite da bude pouzdan, izdržljiv i da se ne boji raznih opterećenja, onda prije toga, čak iu fazi projektovanja, morate napraviti mnogo proračuna. I oni će uključivati ​​ne samo količinu materijala koji se koristi za ugradnju, već i određivanje uglova nagiba, površine kosina itd. Kako pravilno izračunati ugao krova? Od ove vrijednosti će u velikoj mjeri ovisiti ostali parametri ovog dizajna.

Projektovanje i izgradnja svakog krova je uvijek vrlo važan i odgovoran posao. Pogotovo kada je u pitanju krov stambene zgrade ili krov složenog oblika. Ali čak i uobičajena šupa, instalirana na neupadljivoj šupi ili garaži, samo treba preliminarne proračune.

Ako unaprijed ne odredite kut nagiba krova, ne saznate koju bi optimalnu visinu trebao imati greben, tada postoji veliki rizik od izgradnje krova koji će se srušiti nakon prve snježne padavine ili svih završnih premaza otkinut će od njega čak i umjeren vjetar.

Također, ugao nagiba krova značajno će utjecati na visinu grebena, površinu i dimenzije padina. Ovisno o tome, bit će moguće preciznije izračunati količinu materijala potrebnih za izradu rafter sistema i završne obrade.

Cijene za razne vrste sljemena

Krovni greben

Jedinice

Sjećajući se geometrije koju su svi naučili u školi, sa sigurnošću se može reći da se ugao krova mjeri u stepenima. Međutim, u knjigama o konstrukciji, kao i na raznim crtežima, možete pronaći i drugu opciju - ugao je naznačen kao postotak (ovdje mislimo na omjer širine i visine).

općenito, Ugao nagiba je ugao koji formiraju dvije ravnine koje se seku- preklapanje i direktno nagib krova. Može biti samo oštar, odnosno ležati u rasponu od 0-90 stepeni.

Napomenu! Vrlo strme padine, čiji je ugao veći od 50 stepeni, izuzetno su rijetke u svom čistom obliku. Obično se koriste samo za ukrašavanje krovova, mogu biti prisutni i na tavanima.

Što se tiče mjerenja uglova krova u stepenima, onda je sve jednostavno - svi koji su studirali geometriju u školi imaju ovo znanje. Dovoljno je skicirati krovni dijagram na papiru i kutomjerom odrediti kut.

Što se tiče postotaka, onda morate znati visinu grebena i širinu zgrade. Prvi indikator se dijeli s drugim, a rezultirajuća vrijednost se množi sa 100%. Dakle, procenat se može izračunati.

Napomenu! U procentu od 1, tipičan stepen nagiba je 2,22%. Odnosno, nagib sa uglom od 45 običnih stepeni jednak je 100%. A 1 posto je 27 lučnih minuta.

Tabela vrijednosti - stepeni, minute, postoci

Koji faktori utiču na ugao nagiba?

Na ugao nagiba bilo kojeg krova utiče veliki broj faktora, od želja budućeg vlasnika kuće do regije u kojoj će se kuća nalaziti. Prilikom izračunavanja važno je uzeti u obzir sve suptilnosti, čak i one koje na prvi pogled izgledaju beznačajne. U nekom trenutku, oni mogu odigrati svoju ulogu. Odrediti odgovarajući ugao nagiba krova treba znajući:

• vrste materijala od kojih će se graditi krovna pita, počevši od rešetkastog sistema i završavajući s vanjskim završetkom;
• klimatski uslovi na području (opterećenje vjetrom, preovlađujući smjer vjetra, padavine, itd.);
• oblik buduće zgrade, njena visina, dizajn;
• namjena objekta, mogućnosti korištenja tavanskog prostora.

U onim regijama gdje postoji jako opterećenje vjetrom, preporučuje se izgradnja krova s ​​jednim nagibom i malim kutom nagiba. Tada, uz jak vjetar, vjerovatnije je da će se krov oduprijeti i neće se otkinuti. Ako regiju karakterizira velika količina padavina (snijeg ili kiša), onda je bolje napraviti nagib strmiji - to će omogućiti padavinama da se kotrljaju / odvode s krova i ne stvaraju dodatno opterećenje. Optimalni nagib krova u vjetrovitim područjima varira između 9-20 stepeni, a tamo gdje ima mnogo padavina - do 60 stepeni. Ugao od 45 stepeni omogućit će vam da zanemarite opterećenje snijegom općenito, ali u ovom slučaju pritisak vjetra na krov će biti 5 puta veći nego na krovu sa nagibom od samo 11 stepeni.

Napomenu! Što su veći parametri nagiba krova, to će biti potrebno više materijala za njegovu izradu. Troškovi se povećavaju za najmanje 20%.

Uglovi nagiba i krovni materijali

Ne samo klimatski uslovi će imati značajan uticaj na oblik i ugao padina. Važnu ulogu igraju materijali koji se koriste za izgradnju, posebno - krovište.

Table. Optimalni uglovi nagiba za krovove od raznih materijala.

Napomenu! Što je niži nagib krova, manji je nagib koji se koristi za izradu sanduka.

Cijene metalnih pločica

metalna pločica

Visina klizaljke zavisi i od ugla nagiba.

Prilikom proračuna bilo kojeg krova, pravokutni trokut se uvijek uzima kao smjernica, gdje su krakovi visina nagiba u gornjoj tački, odnosno na grebenu ili prijelazu iz donjeg dijela cijelog sistema rogova na vrh (u slučaju mansardnih krovova), kao i projekcija dužine određene kosine na horizontalu, koja je predstavljena preklopima. Ovdje postoji samo jedna konstantna vrijednost - ovo je dužina krova između dva zida, odnosno dužina raspona. Visina dela grebena će varirati u zavisnosti od ugla nagiba.

Poznavanje formula iz trigonometrije pomoći će u dizajniranju krova: tgA = H / L, sinA = H / S, H = LxtgA, S = H / sinA, gdje je A ugao nagiba, H je visina krova do područja sljemena, L je ½ cijele dužine raspona krova (kod dvovodnog krova) ili cijele dužine (u slučaju dvostrešnog krova), S - dužina samog kosina. Na primjer, ako je poznata tačna vrijednost visine dijela grebena, tada se kut nagiba određuje prema prvoj formuli. Ugao možete pronaći pomoću tablice tangenti. Ako se proračun temelji na kutu krova, tada možete pronaći parametar visine grebena pomoću treće formule. Dužina rogova, koja ima vrijednost kuta nagiba i parametara nogu, može se izračunati pomoću četvrte formule.

U matematici, kada se razmatra trokut, mnogo pažnje se nužno posvećuje njegovim stranicama. Pošto ovi elementi formiraju ovu geometrijsku figuru. Stranice trokuta se koriste za rješavanje mnogih geometrijskih problema.

Definicija koncepta

Segmenti koji spajaju tri tačke koje ne leže na istoj pravoj liniji nazivaju se stranicama trougla. Elementi koji se razmatraju ograničavaju dio ravni, koji se naziva unutrašnjost date geometrijske figure.

Matematičari u svojim proračunima dozvoljavaju generalizacije u vezi sa stranicama geometrijskih figura. Dakle, u degenerisanom trouglu tri njegova segmenta leže na jednoj pravoj liniji.

Karakteristike koncepta

Izračunavanje stranica trokuta uključuje određivanje svih ostalih parametara figure. Znajući dužinu svakog od ovih segmenata, lako možete izračunati perimetar, površinu, pa čak i uglove trokuta.

Rice. 1. Proizvoljni trougao.

Zbrajanjem strana ove figure možete odrediti perimetar.

P=a+b+c, gdje su a, b, c stranice trougla

A da biste pronašli površinu trokuta, trebali biste koristiti formulu Heron.

$$S=\sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c))$$

Gdje je p poluperimetar.

Uglovi date geometrijske figure izračunavaju se pomoću kosinusne teoreme.

$$cos α=((b^2+c^2-a^2)\over(2bc))$$

Značenje

Kroz omjer stranica trokuta izražavaju se neka svojstva ove geometrijske figure:

• Nasuprot najmanjoj strani trougla nalazi se njegov najmanji ugao.
• Vanjski ugao razmatrane geometrijske figure dobija se proširenjem jedne od strana.
• Nasuprot jednakih uglova trougla su jednake stranice.
• U bilo kojem trouglu jedna od stranica je uvijek veća od razlike druga dva segmenta. A zbir bilo koje dvije strane ove brojke je veći od treće.

Jedan od znakova jednakosti dva trokuta je omjer zbira svih strana geometrijske figure. Ako su ove vrijednosti iste, tada će trokuti biti jednaki.

Neka svojstva trougla zavise od njegovog tipa. Stoga prvo trebate uzeti u obzir veličinu stranica ili uglova ove figure.

Formiranje trouglova

Ako su dvije strane razmatrane geometrijske figure iste, onda se ovaj trokut naziva jednakokračnim.

Rice. 2. Jednakokraki trougao.

Kada su svi segmenti u trokutu jednaki, dobićete jednakostranični trougao.

Rice. 3. Jednakostranični trougao.

Bilo koji proračun je prikladniji za izvođenje u slučajevima kada se proizvoljan trokut može pripisati određenom tipu. Od tada će pronalaženje traženog parametra ove geometrijske figure biti znatno pojednostavljeno.

Iako vam pravilno odabrana trigonometrijska jednadžba omogućuje rješavanje mnogih problema u kojima se razmatra proizvoljan trokut.

Šta smo naučili?

Tri segmenta koja su povezana tačkama i ne pripadaju istoj pravoj liniji čine trougao. Ove strane formiraju geometrijsku ravan, koja se koristi za određivanje površine. Uz pomoć ovih segmenata možete pronaći mnoge važne karakteristike figure, kao što su perimetar i uglovi. Omjer stranica trokuta pomaže u pronalaženju njegovog tipa. Neka svojstva date geometrijske figure mogu se koristiti samo ako su poznate dimenzije svake njene strane.

Tematski kviz

Ocjena članka

Prosječna ocjena: 4.3. Ukupno primljenih ocjena: 142.

Online kalkulator.
Rješenje trouglova.

Rješenje trougla je nalaženje svih njegovih šest elemenata (tj. tri stranice i tri ugla) sa bilo koja tri data elementa koji definiraju trokut.

Ovaj matematički program pronalazi stranu \(c \), uglove \(\alpha \) i \(\beta \) date stranice koje je odredio korisnik \(a, b \) i ugao između njih \(\gamma \)

Program ne samo da daje odgovor na problem, već i prikazuje proces pronalaženja rješenja.

Ovaj onlajn kalkulator može biti od koristi srednjoškolcima u pripremama za testove i ispite, prilikom provjere znanja prije Jedinstvenog državnog ispita, kao i roditeljima za kontrolu rješavanja mnogih zadataka iz matematike i algebre. Ili vam je možda preskupo unajmiti nastavnika ili kupiti nove udžbenike? Ili samo želite da svoj domaći zadatak iz matematike ili algebre uradite što je brže moguće? U tom slučaju možete koristiti i naše programe sa detaljnim rješenjem.

Na taj način možete sami provoditi obuku i/ili obuku vaše mlađe braće ili sestara, dok se nivo obrazovanja u oblasti zadataka koji se rješavaju povećava.

Ukoliko niste upoznati sa pravilima za unos brojeva, preporučujemo da se upoznate s njima.

Pravila za unos brojeva

Brojevi se mogu postaviti ne samo cijeli, već i razlomci.
Cjelobrojni i razlomak u decimalnim razlomcima mogu se odvojiti tačkom ili zarezom.
Na primjer, možete unijeti decimale poput 2,5 ili poput 2,5

Unesite stranice \(a, b \) i ugao između njih \(\gamma \) Riješi trougao

Utvrđeno je da neke skripte potrebne za rješavanje ovog zadatka nisu učitane i program možda neće raditi.
Možda imate omogućen AdBlock.
U tom slučaju, onemogućite ga i osvježite stranicu.

U vašem pretraživaču je onemogućen JavaScript.
JavaScript mora biti omogućen da bi se rješenje pojavilo.
Evo instrukcija kako da omogućite JavaScript u vašem pretraživaču.

Jer Ima puno ljudi koji žele riješiti problem, vaš zahtjev je u redu.
Nakon nekoliko sekundi, rješenje će se pojaviti ispod.
Pričekajte sec...

Ako ti uočio grešku u rješenju, onda o tome možete pisati u Obrascu za povratne informacije.
Nemoj zaboraviti naznačiti koji zadatak ti odluči šta unesite u polja.

Naše igre, zagonetke, emulatori:

Malo teorije.

Sinusni teorem

Teorema

Stranice trokuta su proporcionalne sinusima suprotnih uglova:
$$ \frac(a)(\sin A) = \frac(b)(\sin B) = \frac(c)(\sin C) $$

Kosinus teorema

Teorema
Neka je u trouglu ABC AB = c, BC = a, CA = b. Onda
Kvadrat stranice trokuta jednak je zbroju kvadrata druge dvije stranice minus dvostruki proizvod tih stranica puta kosinus ugla između njih.
$$ a^2 = b^2+c^2-2ba \cos A $$

Rešavanje trouglova

Rješenje trougla je nalaženje svih njegovih šest elemenata (tj. tri stranice i tri ugla) sa bilo koja tri data elementa koji definiraju trokut.

Razmotrite tri problema za rješavanje trougla. U ovom slučaju koristićemo sljedeću notaciju za stranice trougla ABC: AB = c, BC = a, CA = b.

Rješenje trougla date dvije stranice i ugao između njih

Zadano: \(a, b, \ugao C \). Pronađite \(c, \ugao A, \ugao B \)

Rješenje
1. Po zakonu kosinusa nalazimo \(c\):

$$ c = \sqrt( a^2+b^2-2ab \cos C ) $$ 2. Koristeći kosinus teoremu, imamo:
$$ \cos A = \frac( b^2+c^2-a^2 )(2bc) $$

3. \(\ugao B = 180^\krug -\ugao A -\ugao C \)

Rješenje trougla s obzirom na stranicu i susjedne uglove

Dato: \(a, \ugao B, \ugao C \). Pronađite \(\ugao A, b, c \)

Rješenje
1. \(\ugao A = 180^\krug -\ugao B -\ugao C \)

2. Koristeći sinusnu teoremu, izračunavamo b i c:
$$ b = a \frac(\sin B)(\sin A), \quad c = a \frac(\sin C)(\sin A) $$

Rješavanje trougla sa tri strane

Zadato: \(a, b, c\). Pronađite \(\ugao A, \ugao B, \ugao C \)

Rješenje
1. Prema teoremi kosinusa, dobijamo:
$$ \cos A = \frac(b^2+c^2-a^2)(2bc) $$

Pomoću \(\cos A \) nalazimo \(\ugao A \) pomoću mikrokalkulatora ili iz tabele.

2. Slično, nalazimo ugao B.
3. \(\ugao C = 180^\krug -\ugao A -\ugao B \)

Rješavanje trougla date dvije stranice i ugao nasuprot poznatoj strani

Zadano: \(a, b, \ugao A \). Pronađite \(c, \ugao B, \ugao C \)

Rješenje
1. Po teoremi sinusa nalazimo \(\sin B \) dobijamo:
$$ \frac(a)(\sin A) = \frac(b)(\sin B) \Rightarrow \sin B = \frac(b)(a) \cdot \sin A $$

Hajde da uvedemo notaciju: \(D = \frac(b)(a) \cdot \sin A \). U zavisnosti od broja D, mogući su sledeći slučajevi:
Ako je D > 1, takav trokut ne postoji, jer \(\sin B \) ne može biti veći od 1
Ako je D = 1, postoji jedinstveni \(\ugao B: \quad \sin B = 1 \Strelica desno \ugao B = 90^\krug \)
Ako je D Ako je D 2. \(\ugao C = 180^\krug -\ugao A -\ugao B \)

3. Koristeći sinusnu teoremu, izračunavamo stranu c:
$$ c = a \frac(\sin C)(\sin A) $$

Knjige (udžbenici) Sažeci Jedinstvenog državnog ispita i OGE testova na mreži Igre, zagonetke Grafikovanje funkcija Pravopisni rečnik ruskog jezika Rečnik omladinskog slenga Katalog ruskih škola Katalog srednjih škola u Rusiji Katalog ruskih univerziteta Spisak zadataka

U geometriji se često javljaju problemi vezani za stranice trokuta. Na primjer, često je potrebno pronaći stranicu trokuta ako su druge dvije poznate.

Trokuti su jednakokračni, jednakostranični i jednakostranični. Od svih raznolikosti, za prvi primjer, biramo pravougaoni (u takvom trokutu jedan od uglova je 90 °, strane koje su uz njega zovu se noge, a treći hipotenuza).

Brza navigacija po članku

Dužina stranica pravokutnog trougla

Rješenje problema slijedi iz teoreme velikog matematičara Pitagore. Kaže da je zbir kvadrata kateta pravouglog trougla jednak kvadratu njegove hipotenuze: a²+b²=c²

• Odrediti kvadrat dužine kraka a;
• Pronađite kvadrat kateta b;
• Sastavili smo ih zajedno;
• Iz dobivenog rezultata izdvajamo korijen drugog stepena.

Primjer: a=4, b=3, c=?

• a²=4²=16;
• b²=3²=9;
• 16+9=25;
• √25=5. Odnosno, dužina hipotenuze ovog trougla je 5.

Ako trokut nema pravi ugao, onda dužine dvije stranice nisu dovoljne. Za to je potreban treći parametar: to može biti ugao, visina, površina trokuta, polumjer upisane kružnice itd.

Ako je obim poznat

U ovom slučaju zadatak je još lakši. Opseg (P) je zbir svih strana trougla: P=a+b+c. Dakle, rješavanjem jednostavne matematičke jednadžbe dobijamo rezultat.

Primjer: P=18, a=7, b=6, c=?

1) Rješavamo jednačinu prenoseći sve poznate parametre na jednu stranu znaka jednakosti:

2) Zamijenite vrijednosti umjesto njih i izračunajte treću stranu:

c=18-7-6=5, ukupno: treća stranica trougla je 5.

Ako je ugao poznat

Za izračunavanje treće strane trokuta s obzirom na ugao i druge dvije stranice, rješenje se svodi na izračunavanje trigonometrijske jednadžbe. Poznavajući odnos stranica trougla i sinusa ugla, lako je izračunati treću stranu. Da biste to učinili, morate kvadrirati obje strane i sabrati njihove rezultate. Zatim oduzmite od rezultirajućeg proizvoda stranica, pomnoženog kosinusom ugla: C=√(a²+b²-a*b*cosα)

Ako je područje poznato

U ovom slučaju, jedna formula nije dovoljna.

1) Prvo izračunamo sin γ izražavajući ga iz formule za površinu trokuta:

sin γ= 2S/(a*b)

2) Koristeći sljedeću formulu, izračunavamo kosinus istog ugla:

sin² α + cos² α=1

cos α=√(1 - sin² α)=√(1- (2S/(a*b))²)

3) I opet koristimo sinusnu teoremu:

C=√((a²+b²)-a*b*cosα)

C=√((a²+b²)-a*b*√(1- (S/(a*b))²))

Zamjenom vrijednosti varijabli u ovu jednačinu dobijamo odgovor na problem.